khảo sát hàm số

KHẢO SÁT HÀM SỐ Chuyên đề 2 Chuyên đề 2 HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013 ĐỖ TẤN LỘC THPT Chu Văn An 1. KHẢO SÁT HÀM BẬC BA: y = ax 3 +bx 2 +cx+d Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x 3 + 3x 2 – 4. Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2 1 3 x y x x = − + + Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2 3 4 2y x x x = − + − + Giải Ví dụ 1: Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS Tập xác định D = Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y’ = 3x 2 + 6x y’ = 0 ⇔ 3x 2 + 6x = 0 ⇔ x(3x + 6) = 0 ⇔ x = 0; x = - 2 Bước 2:Tìm y’ và lập phương trình y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có thì ghi ra nếu vô nghiệm thì nêu vô nghiệm – vì chủ yếu là để Tìm dấu của y’ sử dụng trong bảng biến thiên Giới hạn: lim x y →+∞ = +∞ ; lim x y →−∞ = −∞ Bước 3:Chỉ cần tìm giới hạn của số hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm 3 lim ?? x x →±∞ = hoặc 3 lim ( ) ?? x x →±∞ − = Bảng biến thiên: x -∞ -2 0 +∞ y' + 0 - 0 + y 0 +∞ -∞ - 4 Bước 4:BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho x, y’ và y Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0 Điểm cực tiểu: x = 0; y = -4 y’’ = 6x + 6 Bước 5:Phải nêu điểm cực đại; điểm cực tiểu (nếu không có thì không nêu ra) (Điểm uốn cần thiết khi giúp vẽ đồ thị của hàm số không cực trang 1 CĐ CT HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013 y’’ = 0 ⇔ 6x + 6 = 0 ⇔ x = 1 ( điểm uốn I(1;-2)) trị) Đồ thị hàm số: Giao điểm với Ox: y = 0 ⇒ x = -2; x = 1 Giao điểm với Oy: x = 0 ⇒ y = - 4 Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau:  Vẽ hệ trục tọa độ Oxy  Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy  Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số) Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3 2. KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG : y = ax 4 +bx 2 +c Ví dụ 4: Khảo sát hàm số y = x 4 - 2x 2 – 3. Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 2 3 2 2 x y x = − − + Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 2 2 2y x x= − + − Giải Ví dụ 4: Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS Tập xác định D = Bước 1:Tìm tập xác định của hàm số y’ = 4x 3 - 4x y’ = 0 ⇔ 4x 3 - 4x = 0 ⇔ x(4x 2 – 4) = 0 ⇔ x = 0; x = 1; x = - 1 Bước 2: tính y’ và xét dấu ý Giới hạn: lim x y →+∞ = +∞ ; lim x y →−∞ = +∞ Bước 3: Chỉ cần tìm giới hạn của số hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm 4 lim ?? x x →±∞ = trang 2 x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ? x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ? HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013 Bảng biến thiên: x -∞ -1 0 1 +∞ y' - 0 + y0 - 0 + +∞ -3 +∞ -4 -4 Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho x, y’ và y Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3 Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4 x = 1; y = -4 Bước 5: Phải nêu các điểm cực đại; các điểm cực tiểu Đồ thị hàm số: Giao điểm với Ox: x = ; y = 0 x = - ; y = 0 Giao điểm với Oy: x = 0 ; y = - 3 Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau:  Vẽ hệ trục tọa độ Oxy  Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy  Dựa vào BBT và dạng đồ thị để vẽ đúng dạng (tham khảo các dạng đồ thị ở sau đây) Học sinh giải ví dụ 5 và ví dụ 6- Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương 3. KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN: ax b y cx d + = + ( tử và mẫu không có nghiệm chung) trang 3 CĐ CT CT x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 1 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 1 nghiệm duy nhất x = 0 x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013 Ví dụ 7: Khảo sát hàm số 2 1 x y x − + = + . Ví dụ 8: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 2 1 x y x − = + Ví dụ 9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1 2 2 4 x y x − = − Giải Ví dụ 7: Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS Tập xác định D = \{-1} Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y’ = 2 3 ( 1)x − + < 0 ∀x∈D. Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định Bước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số để khẳng định luôn luôn âm (hay luôn luôn dương) từ đó suy ra: Hàm số luôn luôn giảm ( hay luôn luôn tăng ). Giới hạn và tiệm cận: Tiệm cận đứng x = - 1 vì 1 lim x y − →− = −∞ ; 1 lim x y + →− = +∞ Tiệm cận ngang: y = - 1 vì lim 1 x y →−∞ = − lim 1 x y →+∞ = − Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm cận là tiệm cân đứng và tiệm cận ngang Bảng biến thiên: x -∞ -1 +∞ y' y - - -1 +∞ -∞ -1 Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: Hàm số không có cực trị Bước 5:luôn không có cực trị Đồ thị hàm số: Giao điểm với Ox: y = 0 ⇒ x = 2 Giao điểm với Oy: x = 0 ⇒ y = 2 Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau:  Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định giao điểm với Ox,Oy.  Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và ngang.  Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của trang 4 HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013 mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số) Học sinh giải ví dụ 8 và ví dụ 9 Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến BÀI TẬP 1. Hàm số bậc ba: 3 2 y ax bx cx d = + + + ( ) 0a ≠ Bài 1. Cho hàm số 3 3 2y x x = − + (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương 3 3 2 0x x m− + − = . c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( ) 2;4M . d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 1 2 x = . e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ 0y = . Bài 2. Cho hàm số 3 2 3 4y x x =− + − (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương 3 2 3 0x x m− + = . c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là 1 2 x = . d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến 9 4 k = . e) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 3 2012d y x= + . Bài 3. Cho hàm số 3 4 3 1y x x = − − (C) trang 5 y I x y O Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến x O I HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phương rình: 3 3 0 4 x x m− + = c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) 1 15 : 2012 9 d y x=− + d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) 2 : 2012 72 x d y= − + e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Bài 4. Cho hàm số 3 2 2 3 1y x x = − − (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) 1 2 : 2012 3 d y x= + c) Viết phương trình đường thẳng đi qua ( ) 2;3M và tiếp xúc với đồ thị (C). d) Tìm m để đường thẳng ( ) 2 : 1d y mx= − cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt . e) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). Bài 5. Cho hàm số ( ) 3 2 3 1 3 2y x m x x = − + + − − a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số khi 1m = . b) Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình: 3 2 6 3 2 0x x x k− + − = . c) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu . d) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại 2x = . e) Tìm m để hàm số luôn giảm trên tập xác định. Bài 6. Cho hàm số ( ) 3 4 3 1 1y x m x = − + + ( ) m C a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C 0 ) của hàm số khi 0m = . b) Dựa vào đồ thị (C 0 ) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình: 3 4 3 0x x k− + = c) Tìm m để họ đồ thị (C m ) có hai cực trị . d) Tìm m để họ đồ thị (C m ) đạt cực tiểu tại 1x = e) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của họ đồ thị (C m ). Bài 7. Cho hàm số 3 – 2y x mx m = + + có đồ thị là ( ) m C a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 – 3 – 1 0x x k+ = trang 6 HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): 3y = . d) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại 2x = . Bài 8 Xác định tham số m để hàm số y = x 3 – 3x 2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M 1 (x 1 ;y 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : 1 2 1 2 1 2 ( )( 1) y y x x x x − − − = 2. Kết quả : m < 1 Bài 9 Tìm tham số m để hàm số y = 2x 3 – 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x 1 , x 2 và khi đó x 2 – x 1 không phụ thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x 2 – x 1 = 1 Bài 10 Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): 3 2 2 3 2 x x y x = + − và đường thẳng (d): 13 1 ( ) 12 2 y m x− = + . KQ: 1 giao điểm ( m ≤ 27 12 − ), 3 giao điểm ( m > 27 12 − ) 2. Hàm số trùng phương : 4 2 y ax bx c = + + , ( ) 0a≠ Bài 1. Cho hàm số 4 2 2y x x = − (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 4 2 2x x m− = c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 2x = . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ 8y = . e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 . Bài 2. Cho hàm số 4 2 2 1y x x =− + − (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 4 2 2x x m − = . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 2x = . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ 9y = − . e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 Bài 3. Cho hàm số 4 2 1y x x = + + (C) trang 7 HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 4 2 2x x m− = . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ 21 16 y= . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) 1 : 6 2012d y x= + e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) 2 1 : 2012 6 d y x= + . Bài 4. Cho hàm số 4 2 1 2 1 4 y x x = − + − (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Tìm m để phương trình 4 2 8 4x x m− + = có 2 nghiệm thực phân biệt . c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 1x = . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) :8 231 1 0d x y− + = . e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục Ox và các đường thẳng 1; 1x x = − = . Bài 5. Cho hàm số 4 2 2 3y x x = − + (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình 4 2 2 8x x− + >− . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 . e) Tìm m để đường thẳng ( ) : 3d y mx= + cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt . Bài 6. Cho hàm số 4 2 5 3 2 2 x y mx m= − + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 1m = . b) Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình 4 2 6 0x x k− + = . c) Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình 4 2 3 4 2 x x − <− . d) Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại 3x = . e) Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị . Bài 7. Cho hàm số ( ) 4 2 2 9 10y mx m x = + − + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 1m = . b) Tìm k để phương trình 4 2 8 10 0x x k− + = có hai nghiệm thực phân biệt . trang 8 HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013 c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) :2 45 1 0d x y+ − = . d) Tìm m để hàm số có một điểm cực trị . e) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị . 3. Hàm số hữu tỉ : ax b y cx d + = + Bài 1. Cho hàm số 2 1 1 x y x + = + (C) a) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 1 2 x = . c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ 1 2 y = − . d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến 3k =− . e) Tìm m để đường thẳng ( ) 5 : 2 3 d y mx m = + − cắt (C) tại 2 điểm phân biệt . Bài 2. Cho hàm số 1 1 x y x + = − (C) a) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ 1 2 y = . c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) 1 9 : 2012 2 d y x=− + . d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) 2 1 : 1 8 d y x= − . e) Tìm m để đường thẳng ( ) 3 1 : 2 3 d y mx m= + + cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm . Bài 3. Cho hàm số 1 1 x y x − = + (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành . c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung . trang 9 HĐBM Toán An Giang- Tài liệu tham khảo Ôn Tập Thi TN2013 d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) 1 8 1 : 9 3 d y x=− + . e) Tìm m để đường thẳng ( ) 2 1 : 2 3 d y mx m= − + cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương . Bài 4. Cho hàm số 2 2 x y x + = − (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai ( y x = − ). c) Tìm m để đường thẳng ( ) 1 : 3d y mx m= + − đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt . d) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên . e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. Bài 5. Cho hàm số 2 1 x y x + = − có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình 1y x = − . c)Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 2x = . d) Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;3] e)Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên. Bài 6. Cho hàm số 3 2 1 x y x − + = − có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung. c) CMR đường thẳng d: y x m = + luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. d) Tìm giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình 2 1y x =− − . Bài 7. Cho hàm số ( 1)m x m y x m − + = − ( 0m ≠ ) và có đồ thị là (C m ) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C 2 ). b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C 2 ), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng 3, 4.x x= = c) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó. trang 10 . y = ax 4 +bx 2 +c Ví dụ 4: Khảo sát hàm số y = x 4 - 2x 2 – 3. Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 2 3 2 2 x y x = − − + Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 2 2 2y x x= − + − Giải. khảo Ôn Tập Thi TN2013 Ví dụ 7: Khảo sát hàm số 2 1 x y x − + = + . Ví dụ 8: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 2 1 x y x − = + Ví dụ 9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 1 2 2 4 x y x − = − Giải Ví. Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số) Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3 2. KHẢO SÁT HÀM TRÙNG