chuyên đề khảo sát hàm số ôn thi đại học (có lời giải) của nguyễn minh hiếu, giáo viên toán trường thpt phan đình phùng, đồng hới, qb.

Chuyên đề 1Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §1.. Do đó hàm số luôn nghịch biến trên R.. Do đó hàm số luôn đồng biến trên R... Do đó hàm số không có cực trị.. Do đó hàm số không

Trang 1

Chuyên đề 1

Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số

§1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

Bài tập 1.1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau

a) y = 2x3− 3x2+ 1 b) y = −x3− 3x + 2 c) y = x3+ 3x2+ 3x

d) y = x4− 2x2+ 3 e) y = −x4+ 2x3− 2x − 1 f) y =√

x2− 2x − 3

g) y = 2x + 3

x + 2 . h) y =

x + 2 3x − 1. i) y =

x2− 4x + 4

1 − x .

Lời giải

a) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0 = 6x2− 6x; y0 = 0 ⇔

x = 0

x = 1 Bảng biến thiên:

y

− ∞

1

0

+ ∞

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0), (1; +∞) và nghịch biến trên (0; 1)

b) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0 = −3x2− 3 < 0, ∀x ∈ R Do đó hàm số luôn nghịch biến trên R c) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0= 3x2+ 6x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R Do đó hàm số luôn đồng biến trên R d) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0 = 4x3− 4x; y0 = 0 ⇔

x = 0

x = ±1 Bảng biến thiên:

y + ∞

2

3

2

+ ∞

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−1; 0) , (1; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) , (0; 1) e) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0= −4x3+ 6x2− 2; y0= 0 ⇔

x = 1

x = −12 Bảng biến thiên:

x − ∞ −1

2 1 + ∞

y

− ∞

−5 16

−2

− ∞

www.MATHVN.com

Trang 2

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng −∞; −12 và nghịch biến trên khoảng −1

2; +∞

f) Tập xác định: D = (−∞; −1] ∪ [3; +∞) Đạo hàm: y0 =√ x − 1

x2− 2x − 3; y

0 = 0 ⇔ x = 1 Bảng biến thiên:

y + ∞

+ ∞

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (3; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−∞; −1)

g) Tập xác định: D = R\ {−2} Đạo hàm: y0 = 1

(x + 2)2 > 0, ∀x ∈ D

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞)

h) Tập xác định: D = R\13 Đạo hàm: y0 = − 7

(3x − 1)2 < 0, ∀x ∈ D

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1

3) và (1

3; +∞)

i) Tập xác định: D = R\ {1} Đạo hàm: y0=−x2+ 2x

(1 − x)2 ; y0 = 0 ⇔

x = 0

y + ∞

2

+ ∞

− ∞

0

− ∞ Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (0; 1), (1; 2) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0), (2; +∞)

Bài tập 1.2 Tìm m để hàm số y = x3+ (m − 1) x2+ m2− 4 x + 9 luôn đồng biến trên R

Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0 = 3x2+2(m−1)x+m2−4; ∆0= (m−1)2−3(m2−4) = −2m2−2m+13 Hàm số luôn đồng biến trên R ⇔ y0≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆0 ≤ 0 ⇔ −2m2− 2m + 13 ≤ 0 ⇔







m ≤ −1 − 3√3

2

m ≥ −1 + 3√3

2

Vậy với m ∈ −∞;−1 − 3

√ 3 2

#

∪

"

−1 + 3√3

2 ; +∞

! thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R

Bài tập 1.3 Tìm m để hàm số y = −mx3+ (3 − m) x2− 2x + 2 luôn nghịch biến trên R

Lời giải Tập xác định: D = R

• Với m = 0, ta có: y = 3x2− 2x + 2 là một parabol nên không thể nghịch biến trên R

• Với m 6= 0, ta có: y0= −3mx2+ 2(3 − m)x − 2; ∆0 = (3 − m)2− 6m = m2− 12m + 9

Hàm số luôn nghịch biến trên R ⇔ y0≤ 0, ∀x ∈ R

⇔

m < 0

m2− 12m + 9 ≤ 0 ⇔

m < 0

6 − 3√

3 ≤ m ≤ 6 + 3√

3 ⇔ m ∈ ∅ Vậy không có giá trị nào của m để hàm số luôn nghịch biến trên R

Bài tập 1.4 Tìm m để hàm số y = mx − 2

m − x luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Lời giải Tập xác định: D = R\ {m} Đạo hàm: y0= m

2− 2 (m − x)2 Hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y0> 0, ∀x ∈ D ⇔ m2− 2 > 0 ⇔

m ≥√ 2

m ≤ −√

2 . Vậy với m ∈ −∞; −√

2 ∪ √2; +∞ thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định

x + m − 3 luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

www.MATHVN.com

Trang 3

Lời giải Tập xác định: D = R\ {3 − m} Đạo hàm: y0= m

2− 3m + 2 (x + m − 3)2 Hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y0< 0, ∀x ∈ D ⇔ m2− 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2 Vậy với m ∈ (1; 2) thì hàm số đã cho luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định

Bài tập 1.6 Tìm m để hàm số y = x + 2 + m

x − 1 luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Lời giải Tập xác định: D = R\ {1}

Đạo hàm: y0= 1 − m

(x − 1)2 = x

2− 2x + 1 − m (x − 1)2 ; y0 = 0 ⇔ x2− 2x + 1 − m = 0; ∆0= m

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi

y0≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ x2− 2x + 1 − m ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ ∆0 ≤ 0 ⇔ m ≤ 0 Vậy với m ≤ 0 thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định

Bài tập 1.7 Tìm m để hàm số y = mx + 4

x + m nghịch biến trên (−∞; 1).

Lời giải Tập xác định: D = R\ {−m} Đạo hàm: y0 = m

2− 4 (x + m)2 Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) khi và chỉ khi y0< 0, ∀x ∈ (−∞; 1)

⇔

−m /∈ (−∞; 1)

m2− 4 < 0 ⇔

−m ≥ 1

−2 < m < 2 ⇔ −2 < m ≤ −1 Vậy với m ∈ (−2; −1] thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định

x + m − 3 nghịch biến trên (1; +∞).

Lời giải Tập xác định: D = R\ {3 − m} Đạo hàm: y0= m

2− 3m + 2 (x + m − 3)2 Hàm số nghịch biến trên (1; +∞) ⇔ y0< 0, ∀x ∈ (1; +∞)

⇔

3 − m /∈ (1; +∞)

m2− 3m + 2 < 0 ⇔

3 − m ≤ 1

1 < m < 2 ⇔ m ∈ ∅ Vậy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch biến trên (1; +∞)

Bài tập 1.9 Tìm a để hàm số y = x3+ 3x2+ ax + a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0= 3x2+ 6x + a; ∆0= 9 − 3a

• ∆0 ≤ 0 ⇔ a ≥ 3 ⇒ y0≥ 0, ∀x ∈ R: Hàm số đồng biến trên R nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán

• ∆0 > 0 ⇔ a < 0, y0 có hai nghiệm x1, x2 (x1< x2) Theo định lý vi-ét có x1+ x2= −2; x1x2= a

3 Bảng biến thiên:

y

− ∞

y(x1)

y(x2)

+ ∞

Từ bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên [x1; x2]

Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi

|x1− x2| = 1 ⇔ (x1− x2)2= 1 ⇔ (x1+ x2)2− 4x1x2= 1 ⇔ 4 −4a

3 = 1 ⇔ a =

9

4 (thỏa mãn) Vậy với a = 94 thì hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

Bài tập 1.10 Tìm m để hàm số y = −x3+ 3x2+ mx + 2 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3

Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0= −3x2+ 6x + m; ∆0= 9 + 3m

• ∆0 ≤ 0 ⇔ m ≤ −3 ⇒ y0 ≤ 0, ∀x ∈ R: Hàm số nghịch biến trên R nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán

• ∆0 > 0 ⇔ m < −3, y0 có hai nghiệm x1, x2 (x1< x2) Theo định lý vi-ét có x1+ x2= 2; x1x2= −m

www.MATHVN.com

Trang 4

x − ∞ x1 x2 + ∞

y + ∞

y(x1)

y(x2)

− ∞

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên [x1; x2]

Do đó hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi

|x1− x2| = 3 ⇔ (x1− x2)2= 9 ⇔ (x1+ x2)2− 4x1x2= 9 ⇔ 4 +4m

3 = 9 ⇔ m =

15

4 (thỏa mãn)

Vậy với m =15

4 thì hàm số đã cho đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3

§2 Cực Trị Của Hàm Số

Bài tập 1.11 Tìm cực trị của các hàm số sau

a) y = 2x3− 3x2+ 1 b) y = −x3− 3x + 2 c) y = x3+ 3x2+ 3x

d) y = x4− 2x2+ 3 e) y = −x4+ 2x3− 2x − 1 f) y =√

x2− 2x − 3

g) y =2x + 3

x + 2 . h) y =

x + 2 3x − 1. i) y =

x2− 4x + 4

1 − x .

Lời giải

a) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0 = 6x2− 6x; y0= 0 ⇔

x = 0

y

− ∞

1

0

+ ∞

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ= 1 và đạt cực tiểu tại x = 1; yCT= 0

b) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0 = −3x2− 3 < 0, ∀x ∈ R Do đó hàm số không có cực trị

c) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0= 3x2+ 6x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ R Do đó hàm số không có cực trị

d) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0 = 4x3− 4x; y0 = 0 ⇔

x = 0

x = ±1 Bảng biến thiên:

y + ∞

2

3

2

+ ∞

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ= 3 và đạt cực tiểu tại x = ±1; yCT= 2

e) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0= −4x3+ 6x2− 2; y0= 0 ⇔

x = 1

x = −12 Bảng biến thiên:

x − ∞ −1

2 1 + ∞

y

− ∞

−5 16

−2

− ∞ Vậy hàm số đạt cực đại tại x = −1

2; yCĐ= − 5

16 f) Tập xác định: D = (−∞; −1] ∪ [3; +∞) Đạo hàm: y0 =√ x − 1

x2− 2x − 3; y

0 = 0 ⇔ x = 1 Bảng biến thiên:

www.MATHVN.com

Trang 5

x − ∞ −1 3 + ∞

y + ∞

+ ∞

Vậy hàm số không có cực trị

g) Tập xác định: D = R\ {−2} Đạo hàm: y0 = 1

(x + 2)2 > 0, ∀x ∈ D Do đó hàm số không có cực trị

h) Tập xác định: D = R\1

3 Đạo hàm: y0= − 7

(3x − 1)2 < 0, ∀x ∈ D Do đó hàm số không có cực trị

i) Tập xác định: D = R\ {1} Đạo hàm: y0 =−x2+ 2x

(1 − x)2 ; y0 = 0 ⇔

x = 0

y + ∞

2

+ ∞

− ∞

0

− ∞ Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 2; yCĐ= 0 và đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = 2

Bài tập 1.12 Tìm m để hàm số y = x3− 3mx2+ 3 (2m − 1) x − 2

a) Có cực trị b) Đạt cực trị tại x = 0 c) Đạt cực đại tại x = 1

Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0= 3x2− 6mx + 3(2m − 1); ∆0 = 9m2− 18m + 9

a) Hàm số có cực trị ⇔ y0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 9m2− 18m + 9 > 0 ⇔ m 6= 1

b) Hàm số đạt cực trị tại x = 0 ⇒ y0(0) = 0 ⇔ 3(2m − 1) = 0 ⇔ m =12

Với m = 12 ⇒ y0= 3x2− 3x; y00= 6x − 3; y00(0) = −3 < 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇒ m =12 thỏa mãn Vậy với m = 12 thì hàm số đã cho đạt cực trị tại x = 0

c) Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒ y0(1) = 0 ⇔ 3 − 6m + 3(2m − 1) = 0 ⇔ 0 = 0 (đúng ∀m ∈ R)

Lại có: y00= 6x − 6m; y00(1) = 6 − 6m

Với y00(1) > 0 ⇔ m < 1 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m < 1 không thỏa mãn

Với y00(1) < 0 ⇔ m > 1 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒ m > 1 thỏa mãn

Với y00(1) = 0 ⇔ m = 1, ta có y0= 3x2− 6x + 3 = 3(x − 1)2≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số không có cực trị

Vậy với m > 1 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1

Bài tập 1.13 Cho hàm số y = 13x3− mx2+ m2− m + 1 x + 1 Với giá trị nào của m thì hàm số

a) Đạt cực đại tại x = 1 b) Có cực đại, cực tiểu c) Không có cực trị

Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0= x2− 2mx + m2− m + 1; ∆0 = m − 1

a) Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒ y0(1) = 0 ⇔ 1 − 2m + m2− m + 1 = 0 ⇔ m2− 3m + 2 = 0 ⇔

m = 1

m = 2 .

• Với m = 1 ⇒ y0= x2− 2x + 1 = (x − 1)2

≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số không có cực trị

• Với m = 2 ⇒ y00= x2− 4x + 3; y00= 2x − 4; y00(1) = −2 < 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 1

Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1

b) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0 > 0 ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1

c) Hàm số không có cực trị ⇔ y0 không có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0≤ 0 ⇔ m − 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ 1

Bài tập 1.14 Cho hàm số y = x4− 2 (m + 1) x2+ 2m + 1 Với giá trị nào của m thì hàm số

a) Có ba điểm cực trị b) Đạt cực tiểu tại x = 0 c) Đạt cực trị tại x = 1

Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0= 4x3− 4(m + 1)x

a) y0= 0 ⇔

x = 0

x2= m + 1 Hàm số có ba điểm cực trị ⇔ y

0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1 b) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ y0(0) = 0 ⇔ 0 = 0 (đúng ∀m ∈ R)

Lại có: y00= 12x2− 4(m + 1); y00(0) = −4(m + 1)

Với y00(0) > 0 ⇔ m < −1 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇒ m < −1 thỏa mãn

Với y00(0) < 0 ⇔ m > −1 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇒ m > −1 không thỏa mãn

Với y00(0) = 0 ⇔ m = −1, ta có y0= 4x3; y0= 0 ⇔ x = 0

www.MATHVN.com

Trang 6

x − ∞ 0 + ∞

y + ∞

−1

+ ∞

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 Vậy với m ≤ −1 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0

c) Hàm số đạt cực trị tại x = 1 ⇒ y0(1) = 0 ⇔ 4 − 4(m + 1) = 0 ⇔ m = 0

Với m = 0 ⇒ y0= 4x3− 4x; y00= 12x2− 4; y00(1) = 8 > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m = 0 thỏa mãn Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực trị tại x = 1

Bài tập 1.15 Tìm m để hàm số y = −x4+ 2 (2m − 1) x2+ 3 có đúng một cực trị

Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0= −4x3+ 4(2m − 1)x = 4x(−x2+ 2m − 1) y0= 0 ⇔

x = 0

x2= 2m − 1 . Hàm số có đúng một cực trị ⇔ y0 có đúng một nghiệm ⇔ 2m − 1 ≤ 0 ⇔ m ≤ 12

Bài tập 1.16 (B-02) Tìm m để hàm số y = mx4+ m2− 9 x2+ 10 có ba điểm cực trị

Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y0= 4mx3+ 2(m2− 9)x = 2x(2mx2+ m2− 9)

• Với m = 0, ta có y0 = −18x có một nghiệm nên hàm số không thể có ba cực trị

• Với m 6= 0, ta có y0 = 0 ⇔

x = 0

x2= 9−m2 2m

Hàm số có ba cực trị ⇔ y0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ 9 − m

2

2m > 0 Bảng xét dấu:

9 − m2 − 0 + | + 0 − 2m − | − 0 + | +

VT + 0 − || + 0 −

Từ bảng xét dấu ta có m ∈ (−∞; −3) ∪ (0; 3)

Bài tập 1.17 Xác định giá trị của m để hàm số y = x

2+ mx + 1

x + m a) Không có cực trị b) Đạt cực tiểu tại x = 1 c) Đạt cực đại tại x = 2

Lời giải Tập xác định: D = R\{−m}

a) Đạo hàm: y0 =x

2+ 2mx + m2− 1 (x + m)2 ; y0= 0 ⇔ x = −m ± 1 ⇒ hàm số luôn có cực trị

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số không có cực trị

b) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y0(1) = 0 ⇔m

2+ 2m (m + 1)2 = 0 ⇔

m = 0

m = −2 .

• Với m = 0 ⇒ y0 =x

2− 1

x2 ; y0= 0 ⇔ x = ±1

y

− ∞

−2

− ∞

+ ∞

2

+ ∞

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m = 0 thỏa mãn

• Với m = −2 ⇒ y0= x

2− 4x + 3 (x − 2)2 ; y0= 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3

y

− ∞

0

− ∞

+ ∞

4

+ ∞

www.MATHVN.com

Trang 7

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒ m = −2 không thỏa mãn.

Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1

c) Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ y0(2) = 0 ⇔ m

2+ 4m + 3 (m + 2)2 = 0 ⇔

m = −1

m = −3 .

• Với m = −1 ⇒ y0= x

2− 2x (x − 1)2; y0= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

y

− ∞

−1

− ∞

+ ∞

3

+ ∞

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒ m = −1 không thỏa mãn

• Với m = −3 ⇒ y0= x

2− 6x + 8 (x − 3)2 ; y0= 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 4

y

− ∞

1

− ∞

+ ∞

5

+ ∞

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇒ m = −3 thỏa mãn

Vậy với m = −3 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

§3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số

Bài tập 1.18 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) y = 1 + 8x − 2x2trên [−1; 3] b) y = x3− 3x2+ 1 trên [−2; 3] c) y = 1 + 4x3− 3x4 trên [−2; 1] d) y = x3− 3x2+ 1 trên (1; 4) e) y = x − 5 + 1

x trên (0; +∞) f) y = x − 1

x trên (0; 2]

g) y = 4

1 + x2 h) y = x4+ 2x2− 1 i) y = x +√

4 − x2 Lời giải

a) Ta có: y0= 8 − 4x; y0= 0 ⇔ x = 2; y(−1) = −9, y(2) = 9, y(3) = 7

Vậy max

[−1;3]y = y(2) = 9; min

[−1;3]y = y(−1) = −9

b) Ta có: y0= 3x2− 6x; y0= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2; y(−2) = −19, y(0) = 1, y(2) = −3, y(3) = 1

Vậy max

[−2;3]

y = y(0) = y(3) = 1; min

[−2;3]

y = y(−2) = −19

c) Ta có: y0= 12x2− 12x3; y0= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1; y(−2) = −79, y(0) = 1, y(1) = 2

Vậy max

[−2;1]

y = y(1) = 2; min

[−2;1]

y = y(−2) = −79

d) Ta có: y0= 3x2− 6x; y0= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

y

−1

−3

17

Vậy min

(1;4)y = y(2) = −3; hàm số không có giá trị lớn nhất

e) Ta có: y0= 1 − x12; y0= 0 ⇔ x = ±1

y + ∞

−3

+ ∞

www.MATHVN.com

Trang 8

Vậy min

(0;+∞)

y = y(1) = −3; hàm số không có giá trị lớn nhất

f) Ta có: y0= 1 + x12 > 0, ∀x ∈ (0; 2]

y

− ∞

3 2

Vậy max

(0;2]y = y(2) =32; hàm số không có giá trị nhỏ nhất

g) Tập xác định: D = R Ta có: y0= − 8x

(1 + x2)2; y0= 0 ⇔ x = 0

y

0

4

0

Vậy max

R

y = y(0) = 4; hàm số không có giá trị nhỏ nhất

h) Tập xác định: D = R Ta có: y0= 4x3+ 4x; y0= 0 ⇔ x = 0

y + ∞

−1

+ ∞

Vậy min

R

y = y(0) = −1; hàm số không có giá trị lớn nhất

i) Tập xác định: D = [−2; 2] Ta có: y0 = 1 −√ x

4 − x2; y0 = 0 ⇔ x =√

2; y(−2) = 0, y(√

2) = 2√

2, y(2) = 0

Vậy max

[−2;2]y = y(√

2) = 2√

2; min

[−2;2]y = y(±2) = 0

Bài tập 1.19 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau

a) y = x +√

2 cos x trên0;π

2 b) y = 2 sin x −43sin3x trên [0; π] c) y = sin4x − 4sin2x + 5

d) y = sin4x + cos4x e) y = 5 sin x − 12 cos x − 5 f) y = sin2x + sin 2x + 2cos2x Lời giải

a) Ta có: y0= 1 −√

2 sin x; y0= 0 ⇔ sin x = √ 1

2 ⇔ x = π

4; y(0) =√

2, y(π

4) =π

4 + 1, y(π

2) =π

2 Vậy max

[0; π

2]

y = y(π4) = π4 + 1; min

[0; π

2]

y = y(0) =√

2

b) Đặt sin x = t, t ∈ [0; 1] Hàm số trở thành y = f (t) = 2t −43t3

Ta có: f0(t) = 2 − 4t2; f0(t) = 0 ⇔ t = √1

2; f (0) = 0, f (√1

2) = 2

√ 2

3 , y(1) = 23 Vậy max

[0;π]y = max

[0;1] f (t) = f (√1

2) =2

√ 2

3 ; min

[0;π]y = min

[0;1]f (t) = f (0) = 0

c) Tập xác định: D = R Đặt sin x = t, t ∈ [−1; 1] Hàm số trở thành y = f (t) = t4− 4t2+ 5

Ta có: f0(t) = 4t3− 8t; f0(t) = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = ±√

2 (loại); f (0) = 5, f (±1) = 2

Vậy max

R

y = max

[−1;1]

f (t) = f (0) = 5; min

R

y = min

[−1;1]

f (t) = f (±1) = 2

d) Tập xác định: D = R

Ta có: y = sin4x + cos4x = 1 −12sin22x Đặt sin 2x = t, t ∈ [−1; 1] Hàm số trở thành y = f (t) = 1 −12t2 Đạo hàm: f0(t) = −t; f0(t) = 0 ⇔ t = 0; f (±1) = 12, f (0) = 1

Vậy max

R

y = max

[−1;1]f (t) = f (0) = 1; min

R

y = min

[−1;1]f (t) = f (±1) = 12 e) Ta có: y = 5 sin x − 12 cos x − 5 ⇔ 5 sin x − 12 cos x = y + 5

Phương trình có nghiệm ⇔ 52+ 122≥ (y + 5)2⇔ y2+ 10y − 144 ≤ 0 ⇔ −18 ≤ y ≤ 8

www.MATHVN.com

Trang 9

Vậy max

R

y = 8; min

R

y = −18

f) Ta có: y = 1 − cos 2x

2 + sin 2x + 1 + cos 2x = sin 2x +

1

2cos 2x +

3

2 ⇔ 2 sin 2x + cos 2x = 2y − 3

Phương trình có nghiệm ⇔ 22+ 12≥ (2y − 3)2⇔ 4y2− 12y + 4 ≤ 0 ⇔ 3− √

5

2 ≤ y ≤ 3+ √

5

2 Vậy max

R

y =3+

√ 5

2 ; min

R

y = 3−

√ 5

2 Bài tập 1.20 Cho parabol (P ) : y = x2 và điểm A (−3; 0) Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho khoảng cách AM ngắn nhất và tính khoảng cách đó

Lời giải Ta có: M ∈ (P ) ⇒ M (t; t2) ⇒−−→

AM = (t + 3; t2) ⇒ AM =p(t + 3)2+ t4=√

t4+ t2+ 6t + 9

Xét hàm số f (t) = t4+ t2+ 6t + 9 trên R; f0(t) = 4t3+ 2t + 6; f0(t) = 0 ⇔ t = −1 Bảng biến thiên:

f0(t) − 0 +

f (t) + ∞

5

+ ∞

Từ bảng biến thiên ta có min

R

f (t) = f (−1) = 5

Suy ra AM đạt giá trị nhỏ nhất bằng√

5 khi t = −1 ⇒ M (−1; 1) Vậy M (−1; 1)

Bài tập 1.21 Tìm m để hàm số y = x3+ 3x2− mx − 4 đồng biến trên (−∞; 0)

Lời giải Ta có: y0 = 3x2+ 6x − m

Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) ⇔ 3x2+ 6x − m ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; 0) ⇔ m ≤ 3x2+ 6x, ∀x ∈ (−∞; 0) (1) Xét hàm số f (x) = 3x2+ 6x trên (−∞; 0] có f0(x) = 6x + 6; f0(x) = 0 ⇔ x = −1 Bảng biến thiên:

f0(x) − 0 +

f (x) + ∞

−3

0

(−∞;0]f (x) = f (−1) = −3 Do đó (1) ⇔ m ≤ min

(−∞;0]f (x) ⇔ m ≤ −3

Bài tập 1.22 (BĐT-79) Tìm m để hàm số y = −13x3+ (m − 1) x2+ (m + 3) x − 4 đồng biến trên (0; 3)

Lời giải Ta có: y0 = −x2+ 2(m − 1)x + m + 3 = m(2x + 1) − x2− 2x + 3

Hàm số đồng biến trên (0; 3) ⇔ m(2x + 1) − x2− 2x + 3 ≥ 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ m ≥ x

2+ 2x − 3 2x + 1 , ∀x ∈ (0; 3) (2). Xét hàm số f (x) = x

2+ 2x − 3 2x + 1 trên [0; 3] có f

0(x) = 2x

2+ 2x + 8 (2x + 1)2 > 0, ∀x ∈ [0; 3] Bảng biến thiên:

f0(x) +

f (x)

−3

12 7

Từ bảng biến thiên ta có max

[0;3]f (x) = f (3) = 12

7 Do đó (2) ⇔ m ≥ max[0;3]f (x) ⇔ m ≥ 12

7 . Bài tập 1.23 Tìm m để hàm số y = mx3− 3 (m − 1) x2+ 9 (m − 2) x + 1 đồng biến trên [2; +∞)

Lời giải Ta có: y0 = 3mx2− 6(m − 1)x + 9(m − 2) = 3m(x2− 2x + 3) + 6x − 18

Hàm số đồng biến trên [2; +∞) khi và chỉ khi

3m(x2− 2x + 3) + 6x − 18 ≥ 0, ∀x ∈ [2; +∞) ⇔ m ≥ 6 − 2x

x2− 2x + 3, ∀x ∈ [2; +∞) (3) Xét hàm số f (x) = 6 − 2x

x2− 2x + 3 trên [2; +∞) có f

0(x) = 2x

2− 12x + 6 (x2− 2x + 3)2; f0(x) = 0 ⇔ x = 3 ±√

6

Bảng biến thiên:

www.MATHVN.com

Trang 10

x 2 3 +√

f0(x) − 0 +

f (x)

2 3

f (3 +√

6)

0

[2;+∞)

f (x) = f (2) = 2

3 Do đó (3) ⇔ m ≥ max[2;+∞)

f (x) ⇔ m ≥ 2

3.

Bài tập 1.24 Tìm m để hàm số y = x3+ 3x2+ (m + 1) x + 4m đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞)

Lời giải Ta có: y0 = 3x2+ 6x + m + 1

Hàm số đồng biến trên (−∞; −2) và (2; +∞) khi và chỉ khi

3x2+ 6x + m + 1 ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) ⇔ m ≥ −3x2− 6x − 1, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) (4) Xét hàm số f (x) = −3x2− 6x − 1 trên (−∞; −2] ∪ [2; +∞) có f0(x) = −6x − 6; f0(x) = 0 ⇔ x = −1

Bảng biến thiên:

f (x)

− ∞

(−∞;−2]∪[2;+∞)

f (x) = f (−2) = −1 Do đó (4) ⇔ m ≥ max

(−∞;−2]∪[2;+∞)

f (x) ⇔ m ≥ −1

Bài tập 1.25 (BĐT-50) Tìm m để hàm số y = mx

2+ 6x − 2

x + 2 nghịch biến trên [1; +∞).

Lời giải Hàm số xác định trên [1; +∞) Đạo hàm: y0= mx

2+ 4mx + 14 (x + 2)2 = m(x