chuyên đề khảo sát hàm số ôn thi đại học (có lời giải) của nguyễn minh hiếu, giáo viên toán trường thpt phan đình phùng, đồng hới, qb.

www.MATHVN.com Chuyên đề Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số §1 Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Bài tập 1.1 Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau a) y = 2x3 − 3x2 + b) y = −x3 − 3x + d) y = x4 − 2x2 + e) y = −x4 + 2x3 − 2x − 2x + x+2 g) y = h) y = x+2 3x − c) y = √3 + 3x2 + 3x x f) y = x2 − 2x − x2 − 4x + i) y = 1−x Lời giải a) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = 6x2 − 6x; y = ⇔ −∞ x + y x=0 Bảng biến thiên: x=1 +∞ − + +∞ y −∞ Vậy hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0), (1; +∞) nghịch biến (0; 1) b) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = −3x2 − < 0, ∀x ∈ R Do hàm số ln nghịch biến R c) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = 3x2 + 6x + ≥ 0, ∀x ∈ R Do hàm số ln đồng biến R x=0 d) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = 4x3 − 4x; y = ⇔ Bảng biến thiên: x = ±1 x −∞ −1 − y 0 + +∞ +∞ − + +∞ y 2 Vậy hàm số đồng biến khoảng (−1; 0) , (1; +∞) nghịch biến khoảng (−∞; −1) , (0; 1) x=1 e) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = −4x3 + 6x2 − 2; y = ⇔ Bảng biến thiên: x = −2 x −1 −∞ + y +∞ − 0 − − 16 y −2 −∞ −∞ www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu 1 Vậy hàm số đồng biến khoảng −∞; − nghịch biến khoảng − ; +∞ x−1 f) Tập xác định: D = (−∞; −1] ∪ [3; +∞) Đạo hàm: y = √ ; y = ⇔ x = Bảng biến thiên: − 2x − x x −∞ −1 +∞ − y + +∞ +∞ y 0 Vậy hàm số đồng biến khoảng (3; +∞) nghịch biến khoảng (−∞; −1) g) Tập xác định: D = R\ {−2} Đạo hàm: y = > 0, ∀x ∈ D (x + 2)2 Do hàm số đồng biến khoảng (−∞; −2) (−2; +∞) h) Tập xác định: D = R\ Đạo hàm: y = − < 0, ∀x ∈ D (3x − 1)2 Do hàm số nghịch biến khoảng (−∞; ) ( ; +∞) −x + 2x x=0 i) Tập xác định: D = R\ {1} Đạo hàm: y = ;y =0⇔ Bảng biến thiên: x=2 (1 − x)2 x −∞ − y + +∞ +∞ + +∞ 0 − y −∞ −∞ Vậy hàm số đồng biến khoảng (0; 1), (1; 2) nghịch biến khoảng (−∞; 0), (2; +∞) Bài tập 1.2 Tìm m để hàm số y = x3 + (m − 1) x2 + m2 − x + đồng biến R Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = 3x2 +2(m−1)x+m2 −4; ∆ = (m−1)2 −3(m2 −4) = −2m2√ −2m+13  −1 − 3  m≤ √ Hàm số đồng biến R ⇔ y ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ ⇔ −2m2 − 2m + 13 ≤ ⇔  −1 + 3 m≥ √ √ −1 − 3 −1 + 3 Vậy với m ∈ −∞; ∪ ; +∞ hàm số cho đồng biến R 2 Bài tập 1.3 Tìm m để hàm số y = −mx3 + (3 − m) x2 − 2x + nghịch biến R Lời giải Tập xác định: D = R • Với m = 0, ta có: y = 3x2 − 2x + parabol nên khơng thể nghịch biến R • Với m = 0, ta có: y = −3mx2 + 2(3 − m)x − 2; ∆ = (3 − m)2 − 6m = m2 − 12m + Hàm số nghịch biến R ⇔ y ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ m ⇔ m≤− √ √ Vậy với m ∈ −∞; − ∪ 2; +∞ hàm số cho đồng biến khoảng xác định Bài tập 1.5 Tìm m để hàm số y = mx − nghịch biến khoảng xác định x+m−3 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Chuyên đề Khảo m2 − 3m + (x + m − 3)2 Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y < 0, ∀x ∈ D ⇔ m2 − 3m + < ⇔ < m < Vậy với m ∈ (1; 2) hàm số cho ln nghịch biến khoảng xác định m Bài tập 1.6 Tìm m để hàm số y = x + + đồng biến khoảng xác định x−1 Lời giải Tập xác định: D = R\ {3 − m} Đạo hàm: y = Lời giải Tập xác định: D = R\ {1} x2 − 2x + − m m = ; y = ⇔ x2 − 2x + − m = 0; ∆ = m Đạo hàm: y = − (x − 1) (x − 1)2 Hàm số đồng biến khoảng xác định y ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ x2 − 2x + − m ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ ∆ ≤ ⇔ m ≤ Vậy với m ≤ hàm số cho đồng biến khoảng xác định Bài tập 1.7 Tìm m để hàm số y = mx + nghịch biến (−∞; 1) x+m m2 − (x + m)2 Hàm số nghịch biến (−∞; 1) y < 0, ∀x ∈ (−∞; 1) Lời giải Tập xác định: D = R\ {−m} Đạo hàm: y = ⇔ −m ∈ (−∞; 1) / ⇔ m2 − < −m ≥ ⇔ −2 < m ≤ −1 −2 < m < Vậy với m ∈ (−2; −1] hàm số cho đồng biến khoảng xác định Bài tập 1.8 Tìm m để hàm số y = mx − nghịch biến (1; +∞) x+m−3 m2 − 3m + (x + m − 3)2 Hàm số nghịch biến (1; +∞) ⇔ y < 0, ∀x ∈ (1; +∞) Lời giải Tập xác định: D = R\ {3 − m} Đạo hàm: y = ⇔ − m ∈ (1; +∞) / ⇔ m2 − 3m + < 3−m≤1 ⇔m∈∅ 1 ⇔ m < −3, y có hai nghiệm x1 , x2 (x1 < x2 ) Theo định lý vi-ét có x1 + x2 = 2; x1 x2 = − m Bảng biến thiên: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu x1 −∞ x − y x2 + +∞ +∞ − y(x2 ) y −∞ y(x1 ) Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến [x1 ; x2 ] Do hàm số đồng biến đoạn có độ dài 15 4m =9⇔m= (thỏa mãn) |x1 − x2 | = ⇔ (x1 − x2 )2 = ⇔ (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = ⇔ + Vậy với m = 15 hàm số cho đồng biến đoạn có độ dài §2 Cực Trị Của Hàm Số Bài tập 1.11 Tìm cực trị hàm số sau a) y = 2x3 − 3x2 + b) y = −x3 − 3x + d) y = x − 2x + e) y = −x4 + 2x3 − 2x − 2x + x+2 g) y = h) y = x+2 3x − c) y = √3 + 3x2 + 3x x f) y = x2 − 2x − x2 − 4x + i) y = 1−x Lời giải a) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = 6x2 − 6x; y = ⇔ −∞ x + y x=0 Bảng biến thiên: x=1 +∞ − + +∞ y −∞ Vậy hàm số đạt cực đại x = 0; yCĐ = đạt cực tiểu x = 1; yCT = b) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = −3x2 − < 0, ∀x ∈ R Do hàm số khơng có cực trị c) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = 3x2 + 6x + ≥ 0, ∀x ∈ R Do hàm số khơng có cực trị x=0 d) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = 4x3 − 4x; y = ⇔ Bảng biến thiên: x = ±1 x −∞ −1 − y + 0 +∞ +∞ − + +∞ y 2 Vậy hàm số đạt cực đại x = 0; yCĐ = đạt cực tiểu x = ±1; yCT = x=1 e) Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = −4x3 + 6x2 − 2; y = ⇔ Bảng biến thiên: x = −2 x −1 −∞ + y +∞ − 0 − − 16 y −2 −∞ −∞ Vậy hàm số đạt cực đại x = − ; yCĐ = − 16 f) Tập xác định: D = (−∞; −1] ∪ [3; +∞) Đạo hàm: y = √ x−1 ; y = ⇔ x = Bảng biến thiên: x2 − 2x − www.MATHVN.com www.MATHVN.com Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Chuyên đề Khảo x −∞ −1 +∞ − y + +∞ +∞ y 0 Vậy hàm số khơng có cực trị > 0, ∀x ∈ D Do hàm số khơng có cực trị (x + 2)2 < 0, ∀x ∈ D Do hàm số khơng có cực trị h) Tập xác định: D = R\ Đạo hàm: y = − (3x − 1)2 −x2 + 2x x=0 i) Tập xác định: D = R\ {1} Đạo hàm: y = ;y =0⇔ Bảng biến thiên: x=2 (1 − x)2 g) Tập xác định: D = R\ {−2} Đạo hàm: y = x −∞ − y +∞ + +∞ + +∞ − 0 y −∞ −∞ Vậy hàm số đạt cực đại x = 2; yCĐ = đạt cực tiểu x = 0; yCT = Bài tập 1.12 Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + (2m − 1) x − b) Đạt cực trị x = a) Có cực trị c) Đạt cực đại x = Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = 3x2 − 6mx + 3(2m − 1); ∆ = 9m2 − 18m + a) Hàm số có cực trị ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ 9m2 − 18m + > ⇔ m = 1 b) Hàm số đạt cực trị x = ⇒ y (0) = ⇔ 3(2m − 1) = ⇔ m = Với m = ⇒ y = 3x − 3x; y = 6x − 3; y (0) = −3 < ⇒ hàm số đạt cực đại x = ⇒ m = thỏa mãn Vậy với m = hàm số cho đạt cực trị x = c) Hàm số đạt cực đại x = ⇒ y (1) = ⇔ − 6m + 3(2m − 1) = ⇔ = (đúng ∀m ∈ R) Lại có: y = 6x − 6m; y (1) = − 6m Với y (1) > ⇔ m < ⇒ hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ m < không thỏa mãn Với y (1) < ⇔ m > ⇒ hàm số đạt cực đại x = ⇒ m > thỏa mãn Với y (1) = ⇔ m = 1, ta có y = 3x2 − 6x + = 3(x − 1)2 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số khơng có cực trị Vậy với m > hàm số cho đạt cực đại x = 1 Bài tập 1.13 Cho hàm số y = x3 − mx2 + m2 − m + x + Với giá trị m hàm số a) Đạt cực đại x = b) Có cực đại, cực tiểu c) Khơng có cực trị Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = x2 − 2mx + m2 − m + 1; ∆ = m − a) Hàm số đạt cực đại x = ⇒ y (1) = ⇔ − 2m + m2 − m + = ⇔ m2 − 3m + = ⇔ m=1 m=2 • Với m = ⇒ y = x2 − 2x + = (x − 1)2 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số khơng có cực trị • Với m = ⇒ y = x2 − 4x + 3; y = 2x − 4; y (1) = −2 < ⇒ hàm số đạt cực đại x = Vậy với m = hàm số cho đạt cực đại x = b) Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ m − > ⇔ m > c) Hàm số khơng có cực trị ⇔ y khơng có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ≤ ⇔ m − ≤ ⇔ m ≤ Bài tập 1.14 Cho hàm số y = x4 − (m + 1) x2 + 2m + Với giá trị m hàm số c) Đạt cực trị x = a) Có ba điểm cực trị b) Đạt cực tiểu x = Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = 4x3 − 4(m + 1)x x=0 a) y = ⇔ Hàm số có ba điểm cực trị ⇔ y có ba nghiệm phân biệt ⇔ m + > ⇔ m > −1 x2 = m + b) Hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ y (0) = ⇔ = (đúng ∀m ∈ R) Lại có: y = 12x2 − 4(m + 1); y (0) = −4(m + 1) Với y (0) > ⇔ m < −1 ⇒ hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ m < −1 thỏa mãn Với y (0) < ⇔ m > −1 ⇒ hàm số đạt cực đại x = ⇒ m > −1 không thỏa mãn Với y (0) = ⇔ m = −1, ta có y = 4x3 ; y = ⇔ x = www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu x −∞ +∞ − y + +∞ +∞ y −1 Suy hàm số đạt cực tiểu x = Vậy với m ≤ −1 hàm số cho đạt cực tiểu x = c) Hàm số đạt cực trị x = ⇒ y (1) = ⇔ − 4(m + 1) = ⇔ m = Với m = ⇒ y = 4x3 − 4x; y = 12x2 − 4; y (1) = > ⇒ hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ m = thỏa mãn Vậy với m = hàm số cho đạt cực trị x = Bài tập 1.15 Tìm m để hàm số y = −x4 + (2m − 1) x2 + có cực trị Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = −4x3 + 4(2m − 1)x = 4x(−x2 + 2m − 1) y = ⇔ x=0 x2 = 2m − 1 Hàm số có cực trị ⇔ y có nghiệm ⇔ 2m − ≤ ⇔ m ≤ Bài tập 1.16 (B-02) Tìm m để hàm số y = mx4 + m2 − x2 + 10 có ba điểm cực trị Lời giải Tập xác định: D = R Đạo hàm: y = 4mx3 + 2(m2 − 9)x = 2x(2mx2 + m2 − 9) • Với m = 0, ta có y = −18x có nghiệm nên hàm số khơng thể có ba cực trị x=0 • Với m = 0, ta có y = ⇔ x2 = 9−m 2m − m2 > Bảng xét dấu: Hàm số có ba cực trị ⇔ y có ba nghiệm phân biệt ⇔ 2m m − m2 2m VT −∞ −3 | − − + | || + − − + + + | +∞ − + − Từ bảng xét dấu ta có m ∈ (−∞; −3) ∪ (0; 3) x2 + mx + x+m b) Đạt cực tiểu x = Bài tập 1.17 Xác định giá trị m để hàm số y = a) Khơng có cực trị c) Đạt cực đại x = Lời giải Tập xác định: D = R\{−m} x2 + 2mx + m2 − a) Đạo hàm: y = ; y = ⇔ x = −m ± ⇒ hàm số có cực trị (x + m)2 Vậy khơng có giá trị m để hàm số khơng có cực trị m2 + 2m m=0 b) Hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ y (1) = ⇔ =0⇔ m = −2 (m + 1)2 x2 − • Với m = ⇒ y = ; y = ⇔ x = ±1 x2 x −∞ −1 + y −2 − +∞ − + +∞ +∞ y −∞ −∞ Từ bảng biến thiên suy hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ m = thỏa mãn x2 − 4x + • Với m = −2 ⇒ y = ; y = ⇔ x = x = (x − 2)2 x −∞ + y 0 − − +∞ −∞ www.MATHVN.com + +∞ y −∞ +∞ www.MATHVN.com Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Chuyên đề Khảo Từ bảng biến thiên suy hàm số đạt cực đại x = ⇒ m = −2 không thỏa mãn Vậy với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = m2 + 4m + m = −1 =0⇔ c) Hàm số đạt cực đại x = ⇒ y (2) = ⇔ m = −3 (m + 2)2 x − 2x • Với m = −1 ⇒ y = ; y = ⇔ x = x = (x − 1)2 x −∞ + y − −1 +∞ − + +∞ +∞ y −∞ −∞ Từ bảng biến thiên suy hàm số đạt cực tiểu x = ⇒ m = −1 không thỏa mãn x2 − 6x + ; y = ⇔ x = x = • Với m = −3 ⇒ y = (x − 3)2 x −∞ + y − +∞ − + +∞ +∞ y −∞ −∞ Từ bảng biến thiên suy hàm số đạt cực đại x = ⇒ m = −3 thỏa mãn Vậy với m = −3 hàm số cho đạt cực đại x = §3 Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Bài tập 1.18 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau: a) y = + 8x − 2x2 [−1; 3] b) y = x3 − 3x2 + [−2; 3] c) y = + 4x3 − 3x4 [−2; 1] 1 e) y = x − + x (0; +∞) f) y = x − x (0; 2] d) y = x − 3x + (1; 4) √ g) y = h) y = x4 + 2x2 − i) y = x + − x2 + x2 Lời giải a) Ta có: y = − 4x; y = ⇔ x = 2; y(−1) = −9, y(2) = 9, y(3) = Vậy max y = y(2) = 9; y = y(−1) = −9 [−1;3] [−1;3] b) Ta có: y = 3x2 − 6x; y = ⇔ x = x = 2; y(−2) = −19, y(0) = 1, y(2) = −3, y(3) = Vậy max y = y(0) = y(3) = 1; y = y(−2) = −19 [−2;3] [−2;3] c) Ta có: y = 12x2 − 12x3 ; y = ⇔ x = x = 1; y(−2) = −79, y(0) = 1, y(1) = Vậy max y = y(1) = 2; y = y(−2) = −79 [−2;1] [−2;1] d) Ta có: y = 3x − 6x; y = ⇔ x = x = x − y + −1 17 y −3 Vậy y = y(2) = −3; hàm số khơng có giá trị lớn (1;4) e) Ta có: y = − x2 ; y = ⇔ x = ±1 x − y +∞ + +∞ +∞ y −3 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu Vậy y = y(1) = −3; hàm số khơng có giá trị lớn (0;+∞) f) Ta có: y = + x2 > 0, ∀x ∈ (0; 2] x + y y −∞ Vậy max y = y(2) = ; hàm số khơng có giá trị nhỏ (0;2] g) Tập xác định: D = R Ta có: y = − x 8x ; y = ⇔ x = (1 + x2 )2 −∞ + y +∞ 0 − y 0 Vậy max y = y(0) = 4; hàm số khơng có giá trị nhỏ R h) Tập xác định: D = R Ta có: y = 4x3 + 4x; y = ⇔ x = −∞ x +∞ − y + +∞ +∞ y −1 Vậy y = y(0) = −1; hàm số khơng có giá trị lớn R √ √ √ x i) Tập xác định: D = [−2; 2] Ta có: y = − √ ; y = ⇔ x = 2; y(−2) = 0, y( 2) = 2, y(2) = 4−x √ √ Vậy max y = y( 2) = 2; y = y(±2) = [−2;2] [−2;2] Bài tập 1.19.√ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) hàm số sau b) y = sin x − sin3 x [0; π] a) y = x + cos x 0; π c) y = sin4 x − 4sin2 x + 4 e) y = sin x − 12 cos x − d) y = sin x + cos x f) y = sin2 x + sin 2x + 2cos2 x Lời giải √ √ a) Ta có: y = − sin x; y = ⇔ sin x = √2 ⇔ x = π ; y(0) = 2, y( π ) = 4 √ Vậy max y = y( π ) = π + 1; y = y(0) = 4 [0; π ] [0; π ] 2 b) Đặt sin x = t, t ∈ [0; 1] Hàm số trở thành y = f (t) = 2t − t3 Ta có: f (t) = − 4t2 ; f (t) = ⇔ t = Vậy max y = max f (t) = f ( √2 ) = [0;π] [0;1] √ √ ; f (0) = 0, f ( √2 ) = 2 ; y [0;π] √ 2 , y(1) π + 1, y( π ) = π 2 = = f (t) = f (0) = [0;1] c) Tập xác định: D = R Đặt sin x = t, t ∈ [−1; 1] Hàm số trở thành y = f (t) = t4 − 4t2 + √ Ta có: f (t) = 4t3 − 8t; f (t) = ⇔ t = t = ± (loại); f (0) = 5, f (±1) = Vậy max y = max f (t) = f (0) = 5; y = f (t) = f (±1) = R [−1;1] R [−1;1] d) Tập xác định: D = R Ta có: y = sin4 x + cos4 x = − sin2 2x Đặt sin 2x = t, t ∈ [−1; 1] Hàm số trở thành y = f (t) = − t2 Đạo hàm: f (t) = −t; f (t) = ⇔ t = 0; f (±1) = , f (0) = 1 Vậy max y = max f (t) = f (0) = 1; y = f (t) = f (±1) = R [−1;1] R [−1;1] e) Ta có: y = sin x − 12 cos x − ⇔ sin x − 12 cos x = y + Phương trình có nghiệm ⇔ 52 + 122 ≥ (y + 5)2 ⇔ y + 10y − 144 ≤ ⇔ −18 ≤ y ≤ www.MATHVN.com www.MATHVN.com Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Chuyên đề Khảo Vậy max y = 8; y = −18 R R − cos 2x f) Ta có: y = + sin 2x + + cos 2x = sin 2x + cos 2x + ⇔ sin 2x + cos 2x = 2y − 2 √ √ Phương trình có nghiệm ⇔ 22 + 12 ≥ (2y − 3)2 ⇔ 4y − 12y + ≤ ⇔ 3−2 ≤ y ≤ 3+2 √ √ Vậy max y = 3+2 ; y = 3−2 R R Bài tập 1.20 Cho parabol (P ) : y = x2 điểm A (−3; 0) Tìm điểm M ∈ (P ) cho khoảng cách AM ngắn tính khoảng cách √ −→ − Lời giải Ta có: M ∈ (P ) ⇒ M (t; t2 ) ⇒ AM = (t + 3; t2 ) ⇒ AM = (t + 3)2 + t4 = t4 + t2 + 6t + Xét hàm số f (t) = t4 + t2 + 6t + R; f (t) = 4t3 + 2t + 6; f (t) = ⇔ t = −1 Bảng biến thiên: −∞ t +∞ −1 − f (t) + +∞ +∞ f (t) Từ bảng biến thiên ta có f (t) = f (−1) = R √ Suy AM đạt giá trị nhỏ t = −1 ⇒ M (−1; 1) Vậy M (−1; 1) Bài tập 1.21 Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 − mx − đồng biến (−∞; 0) Lời giải Ta có: y = 3x2 + 6x − m Hàm số đồng biến (−∞; 0) ⇔ 3x2 + 6x − m ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; 0) ⇔ m ≤ 3x2 + 6x, ∀x ∈ (−∞; 0) Xét hàm số f (x) = 3x2 + 6x (−∞; 0] có f (x) = 6x + 6; f (x) = ⇔ x = −1 Bảng biến thiên: x −∞ −1 − f (x) (1) + +∞ f (x) −3 Từ bảng biến thiên ta có f (x) = f (−1) = −3 Do (1) ⇔ m ≤ f (x) ⇔ m ≤ −3 (−∞;0] (−∞;0] Bài tập 1.22 (BĐT-79) Tìm m để hàm số y = − x3 + (m − 1) x2 + (m + 3) x − đồng biến (0; 3) Lời giải Ta có: y = −x2 + 2(m − 1)x + m + = m(2x + 1) − x2 − 2x + Hàm số đồng biến (0; 3) ⇔ m(2x + 1) − x2 − 2x + ≥ 0, ∀x ∈ (0; 3) ⇔ m ≥ Xét hàm số f (x) = x2 + 2x − , ∀x ∈ (0; 3) (2) 2x + x2 + 2x − 2x2 + 2x + [0; 3] có f (x) = > 0, ∀x ∈ [0; 3] Bảng biến thiên: 2x + (2x + 1)2 x + f (x) 12 f (x) −3 Từ bảng biến thiên ta có max f (x) = f (3) = [0;3] 12 12 Do (2) ⇔ m ≥ max f (x) ⇔ m ≥ 7 [0;3] Bài tập 1.23 Tìm m để hàm số y = mx3 − (m − 1) x2 + (m − 2) x + đồng biến [2; +∞) Lời giải Ta có: y = 3mx2 − 6(m − 1)x + 9(m − 2) = 3m(x2 − 2x + 3) + 6x − 18 Hàm số đồng biến [2; +∞) 3m(x2 − 2x + 3) + 6x − 18 ≥ 0, ∀x ∈ [2; +∞) ⇔ m ≥ Xét hàm số f (x) = x2 − 2x , ∀x ∈ [2; +∞) − 2x + (3) √ 2x2 − 12x + 6 − 2x [2; +∞) có f (x) = ; f (x) = ⇔ x = ± x2 − 2x + (x − 2x + 3)2 Bảng biến thiên: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu x 3+ − f (x) √ +∞ + 0 f (x) f (3 + Từ bảng biến thiên ta có max f (x) = f (2) = [2;+∞) √ 6) 2 Do (3) ⇔ m ≥ max f (x) ⇔ m ≥ 3 [2;+∞) Bài tập 1.24 Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m + 1) x + 4m đồng biến (−∞; −2) (2; +∞) Lời giải Ta có: y = 3x2 + 6x + m + Hàm số đồng biến (−∞; −2) (2; +∞) 3x2 + 6x + m + ≥ 0, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) ⇔ m ≥ −3x2 − 6x − 1, ∀x ∈ (−∞; −2) ∪ (2; +∞) (4) Xét hàm số f (x) = −3x2 − 6x − (−∞; −2] ∪ [2; +∞) có f (x) = −6x − 6; f (x) = ⇔ x = −1 Bảng biến thiên: −∞ x −2 +∞ − + f (x) −1 −25 f (x) −∞ Từ bảng biến thiên ta có −∞ f (x) = f (−2) = −1 Do (4) ⇔ m ≥ max (−∞;−2]∪[2;+∞) max f (x) ⇔ m ≥ −1 (−∞;−2]∪[2;+∞) Bài tập 1.25 (BĐT-50) Tìm m để hàm số y = mx2 + 6x − nghịch biến [1; +∞) x+2 mx2 + 4mx + 14 m(x2 + 4x) + 14 = (x + 2)2 (x + 2)2 −14 m(x2 + 4x) + 14 ≤ 0, ∀x ∈ [1; +∞) ⇔ m ≤ , ∀x ∈ [1; +∞) Hàm số nghịch biến [1; +∞) ⇔ (x + 2)2 x + 4x −14 28x + 56 Xét hàm số f (x) = [1; +∞) có f (x) = > 0, ∀x ∈ [1; +∞) Bảng biến thiên: x + 4x (x + 4x)2 Lời giải Hàm số xác định [1; +∞) Đạo hàm: y = x +∞ + f (x) f (x) − Từ bảng biến thiên ta có f (x) = f (1) = − [1;+∞) Bài tập 1.26 Tìm m để hàm số y = 14 14 14 Do (5) ⇔ m ≤ f (x) ⇔ m ≤ − 5 [1;+∞) x2 − 2mx + 2m2 − đồng biến (1; +∞) x−m Lời giải Tập xác định: D = R\ {m} Đạo hàm: y = x2 − 2mx + 2 (x − m) Hàm số đồng biến (1; +∞) ⇔ y ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) ⇔ Xét hàm số f (x) = m ∈ (1; +∞) / ⇔ x2 − 2mx + ≥ 0, ∀x ∈ (1; +∞) m≤1 +2 m ≤ x 2x , ∀x ∈ (1; +∞) (1) √ x2 + x2 − (1; +∞) có f (x) = ; f (x) = ⇔ x = Bảng biến thiên: 2x 2x www.MATHVN.com 10 (5) www.MATHVN.com Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Chuyên đề Khảo x √ − f (x) +∞ + +∞ f (x) √ m≤1 √ ⇔ m ≤ Vậy với m ≤ hàm số đồng biến (1; +∞) m≤ Do (1) ⇔ Bài tập 1.27 Tìm a để hàm số y = x2 − 2ax + 4a2 đồng biến (2; +∞) x − 2a Lời giải Tập xác định: D = R\ {2a} Đạo hàm: y = x2 − 4ax (x − 2a) Hàm số đồng biến (2; +∞) ⇔ y ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ Vậy với m ≤ 2a ∈ (2; +∞) / ⇔ x2 − 4ax ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞) 2a ≤ ⇔ a ≤ x , ∀x ∈ (2; +∞) a≤1 a≤ ⇔a≤ hàm số đồng biến (2; +∞) §4 Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số Bài tập 1.28 Tìm tiệm cận (nếu có) hàm số sau x−3 2x − b) y = a) y = x−2 −x + √ √ x+3 x2 + x e) y = d) y = x+1 x−1 x − 4x + g) y = h) y = x2 + x − 1−x c) y = − 4x x+1 f) y = 2x − + i) y = x + x x2 + 2x Lời giải a) Tập xác định: D = R\ {2} Ta có lim y = ⇒ TCN y = 2; lim+ y = +∞, lim− y = −∞ ⇒ TCĐ x = x→±∞ x→2 x→2 Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = tiệm cận đứng x = b) Tập xác định: D = R\ {2} Ta có lim y = −1 ⇒ TCN y = −1; lim y = +∞, lim y = −∞ ⇒ TCĐ x = x→±∞ x→2+ x→2− Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = −1 tiệm cận đứng x = c) Tập xác định: D = R\ {−1} Ta có lim y = −4 ⇒ TCN y = −4; lim + y = +∞, lim − y = −∞ ⇒ TCĐ x = −1 x→±∞ x→−1 x→−1 Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = −4 tiệm cận đứng x = −1 d) Tập xác định: D = R\ {1} Ta có lim y = ±1 ⇒ TCN y = ±1; lim+ y = +∞, lim− y = −∞ ⇒ TCĐ x = x→±∞ x→1 x→1 Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang y = ±1 tiệm cận đứng x = e) Tập xác định: D = R\ {−1} Ta có lim y = ⇒ TCN y = 0; lim + y = +∞, lim − y = −∞ ⇒ TCĐ x = −1 x→±∞ x→−1 x→−1 Vậy hàm số có tiệm cận ngang y = tiệm cận đứng x = −1 2x2 − x + f) Tập xác định: D = R\ {0} Hàm số viết thành y = x Ta có lim [y − (2x − 1)] = ⇒ TCX y = 2x − 1; lim y = +∞, lim y = −∞ ⇒ TCĐ x = x→±∞ x→0+ x→0− Vậy hàm số có tiệm cận xiên y = 2x − tiệm cận đứng x = 1−x Ta có lim [y − (−x + 3)] = ⇒ TCX y = −x + 3; lim+ y = −∞, lim− y = +∞ ⇒ TCĐ x = g) Tập xác định: D = R\ {0} Hàm số viết thành y = −x + + x→±∞ x→1 Vậy hàm số có tiệm cận xiên y = −x + tiệm cận đứng x = √ √ −1 − −1 + h) Tập xác định: D = −∞; ∪ ; +∞ Ta có 2 www.MATHVN.com 11 x→1 www.MATHVN.com Nguyễn Minh Hiếu √ x2 + x − 1 = 1; lim x2 + x − − x = ⇒ TCX y = x + x→+∞ x→+∞ x 2 √ x2 + x − 1 x2 + x − + x = − ⇒ TCX y = −x − • lim = −1; lim x→−∞ x→−∞ x 2 Vậy hàm số có hai tiệm cận xiên y = x + y = −x − 2 i) Tập xác định: D = (−∞; −2] ∪ [0; +∞) Ta có √ x + x2 + 1 • lim = 2; lim x + x2 + − 2x = ⇒ TCX y = 2x + x→+∞ x→+∞ x 2 x2 − x2 + 2x √ = −1 ⇒ TCN y = −1 • lim x + x2 + 2x = lim x→−∞ x − x→−∞ x2 + 2x Vậy hàm số có tiệm cận xiên y = 2x + tiệm cận ngang y = −1 • lim Bài tập 1.29 Tìm m để đồ thị hàm số y = mx2 − 2m (m − 1) x − 3m2 + m − có tiệm cận xiên qua A (−1; −3) x+2 m2 + m − x+2 Do với m = 0, m = 1, m = −2 hàm số có tiệm cận xiên y = mx − 2m m = (loại) Khi tiệm cận xiên qua A(−1; −3) ⇔ −3 = −m − 2m2 ⇔ m = −2 Vậy với m = − tiệm cận xiên hàm số cho qua A(−1; −3) Lời giải Tập xác định: D = R\ {−2} Hàm số viết thành y = mx − 2m2 + Bài tập 1.30 Tìm m để hàm số y = 2x2 + (m + 1) x − có giao hai tiệm cận nằm parabol (P ) : y = x2 +2x−1 x+m m2 − m − x+m √ Do với m = 1±2 hàm số có tiệm cận xiên y = 2x − m + tiệm cận đứng x = −m Suy giao hai tiệm cận I(−m; − 3m) m=1 Khi I ∈ (P ) ⇔ − 3m = m2 − 2m − ⇔ (thỏa mãn) m = −2 Vậy với m = m = −2 hàm số có giao hai tiệm cận thuộc (P ) Lời giải Tập xác định: D = R\ {−m} Hàm số viết thành y = 2x − m + + mx2 + 3m2 − x − 450 x + 3m 6m − Lời giải Tập xác định: D = R\ {−3m} Hàm số viết thành y = mx − + x + 3m • Với m = hàm số khơng có tiệm cận nên khơng thỏa mãn u cầu tốn • Với m = hàm số có tiệm cận ngang y = −2 tiệm cận đứng x = −3m Khi góc hai tiệm cận 900 nên khơng thỏa mãn u cầu tốn • Với m = , m = hàm số có tiệm cận xiên y = mx − tiệm cận đứng x = −3m Khi góc hai tiệm cận 450 ⇔ góc tiệm cận xiên tia Ox 450 1350 ⇔ m = ±1 Vậy với m = ±1 hàm số có góc hai tiệm cận 450 Bài tập 1.31 (A-08) Tìm m để góc hai tiệm cận hàm số y = Bài tập 1.32 Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 + mx − có tiệm cận xiên tạo với trục toạ độ tam giác có x−1 diện tích Lời giải Tập xác định: D = R\ {1} Hàm số viết thành y = x + m + + m x−1 Do với m = hàm số có tiệm cận xiên y = x + m + Tiệm cận xiên cắt Ox A(−m − 1; 0) ⇒ OA = |m + 1| cắt Oy B(0; m + 1) ⇒ OB = |m + 1| √ 2 1 Khi S∆OAB = OA.OB = (m + 1) ⇒ (m + 1) = ⇔ m = −1 ± 2 √ Vậy với m = −1 ± 2 tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Bài tập 1.33 Tìm m để đồ thị hàm số y = 2x2 − (5m − 1) x + 4m2 − m − có tiệm cận xiên tạo với trục toạ x−m độ tam giác có diện tích Lời giải Tập xác định: D = R\ {m} Hàm số viết thành y = 2x − 3m + + m2 − x−1 Do với m = ±1 hàm số có tiệm cận xiên y = 2x − 3m + Tiệm cận xiên cắt Ox A( 3m−1 ; 0) ⇒ OA = |3m−1| cắt Oy B(0; −3m + 1) ⇒ OB = |3m − 1| 2 m = −1 (loại) 2 1 Khi S∆OAB = OA.OB = (3m − 1) ⇒ (3m − 1) = ⇔ m= Vậy với m = tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích www.MATHVN.com 12 www.MATHVN.com Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Chuyên đề Khảo Bài tập 1.34 Cho hàm số y = 3x − Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M nằm đồ thị hàm số đến x−2 hai tiệm cận không đổi Lời giải Tập xác định: D = R\ {2} Hàm số có tiệm cận ngang y = ⇔ y−3 = tiệm cận đứng x = ⇔ x−2 = −1 Lấy M (x0 ; 3x00−2 ) thuộc đồ thị ta có x d (M, TCN) = ; d (M, TCĐ) = |x0 − 2| ⇒ d (M, TCN) d (M, TCĐ) = |x0 − 2| Vậy tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận số (đpcm) −x2 + 4x − Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M nằm đồ thị hàm x−2 số đến hai tiệm cận số Lời giải Tập xác định: D = R\ {2} Hàm số viết thành y = −x + + x−2 Do hàm số có tiệm cận xiên y = −x + ⇔ x + y − = tiệm cận đứng x = ⇔ x − = Lấy M (x0 ; −x0 + + x01 ) thuộc đồ thị ta có −2 Bài tập 1.35 Cho hàm số y = d (M, TCN) = ; d (M, TCĐ) = |x0 − 2| ⇒ d (M, TCN) d (M, TCĐ) = |x0 − 2| Vậy tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận số (đpcm) 3x − Bài tập 1.36 Tìm M thuộc đồ thị hàm số y = để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ x−2 Lời giải Tập xác định: D = R\ {2} Hàm số có tiệm cận ngang y = ⇔ y−3 = tiệm cận đứng x = ⇔ x−2 = −1 Lấy M (x0 ; 3x00−2 ) thuộc đồ thị ta có d (M, TCN) = |x01 ; d (M, TCĐ) = |x0 − 2| x −2| x0 = Khi d (M, TCN) + d (M, TCĐ) = |x01 + |x0 − 2| ≥ Dấu xảy ⇔ |x01 = |x0 − 2| ⇔ −2| −2| x0 = Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ M (1; 2) M (3; 4) Bài tập 1.37 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x2 + 2x − để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận x−1 nhỏ x−1 Do hàm số có tiệm cận xiên y = x + ⇔ x − y + = tiệm cận đứng x = ⇔ x − = Lấy M (x0 ; x0 + + x01 ) thuộc đồ thị ta có d (M, TCN) = |x01 ; d (M, TCĐ) = |x0 − 1| −1 −1| Lời giải Tập xác định: D = R\ {1} Hàm số viết thành y = x + + Khi d (M, TCN) + d (M, TCĐ) = |x0 −1| + |x0 − 1| ≥ Dấu xảy ⇔ |x0 −1| = |x0 − 1| ⇔ x0 = x0 = Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ M (0; 2) M (2; 6) §5 Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Bài tập 1.38 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau a) y = x3 + 3x2 − b) y = −x3 + 3x − c) y = −x3 + 3 e) y = x + x − f) y = −2x − x − g) y = −x3 + 3x2 − d) y = x3 + 3x2 + 3x + 1 h) y = x3 − x2 − 3x − Bài tập 1.39 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau c) y = x4 + x2 − a) y = x4 − 2x2 − b) y = x4 + 2x2 − 4 e) y = −x + 2x − f) y = 2x − 4x + g) y = −2x4 − 4x2 + d) y = − 2x2 − x4 h) y = x4 − 4x2 + Bài tập 1.40 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau x−3 x+3 a) y = b) y = c) y = 2−x 2−x x−1 x−2 x+2 2−x e) y = f) y = g) y = x+1 x−1 x+1 −x + 2x + x+3 h) y = x−2 Bài tập 1.41 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau x2 + 2x + x2 − 2x − 2x2 + 5x + a) y = b) y = c) y = x+1 x−2 x+2 x2 − 2x 2x2 − x + g) y = −x + + e) y = f) y = x−1 x−1 1−x Học sinh tự giải www.MATHVN.com 13 d) y = −x2 − 2x x+1 h) y = x − + x+1 d) y = ... Đồ Thị Hàm Số Chuyên đề Khảo Từ bảng biến thi? ?n suy hàm số đạt cực đại x = ⇒ m = −2 không thỏa mãn Vậy với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = m2 + 4m + m = −1 =0⇔ c) Hàm số đạt cực đại x = ⇒ y... www.MATHVN.com Sát Sự Biến Thi? ?n Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Chuyên đề Khảo Bài tập 1.34 Cho hàm số y = 3x − Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M nằm đồ thị hàm số đến x−2 hai tiệm cận không đổi Lời giải... Sát Sự Biến Thi? ?n Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số Chuyên đề Khảo x √ − f (x) +∞ + +∞ f (x) √ m≤1 √ ⇔ m ≤ Vậy với m ≤ hàm số đồng biến (1; +∞) m≤ Do (1) ⇔ Bài tập 1.27 Tìm a để hàm số y = x2 − 2ax + 4a2 đồng