bài tập khảo sát hàm số luyện thi đại học

Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 1 I. BÀI TẬP VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số a) 3 2 3 1 y x x = − + ; b) 3 2 3 2011 5 y x x x= − + + ; c) 4 2 2 3 y x x = − + ; d) 2 1 y x x = + − ; e) 100 y x x = + ; f) 3 1 4 x y x + = − g) 2 4 3 2 x x y x − + = − ; h) 2 2 3 y x x = − − ; i) [ ] 2sin cos2 , x 0; y x x π = + ∈ ; j) 2 1 x y x = + ; k) 4 4 1 1 y x x x x = + − + + − . Dạng 2: Tìm m để hàm số ( ) , y f x m = đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I. 1) Cho hàm s ố : ( ) 3 2 4 3 y x m x mx = + + + . Tìm m để a) Hàm s ố đồ ng bi ế n trên ℝ b) Hàm s ố đồ ng bi ế n trên kho ả ng [ ) 0; +∞ c) Hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên đ o ạ n 1 1 ; 2 2   −     d) Hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên đ o ạ n có độ dài 1 l = . 2) Tìm m để hàm s ố : ( ) ( ) 3 2 1 1 1 3 2 3 3 y mx m x m x= − − + − + đồ ng bi ế n trên kho ả ng [ ) 2; +∞ . 3) Tìm m để hàm s ố : ( ) 3 2 3 1 4 y x x m x m = + + + + ngh ị ch bi ế n trên kho ả ng ( ) 1;1 − . 4) Tìm m để hàm s ố : ( ) 3 2 1 3 2 3 m y x mx m x − = + + − đồ ng bi ế n trên ℝ . 5) Tìm m để hàm s ố : ( ) ( ) 3 2 1 2 1 1 3 y mx m x m x m = + − + − + đồ ng bi ế n trên ( ) [ ) ;0 2; −∞ ∪ +∞ . 6) Cho hàm s ố : 4 2 2 2 y x mx m = − + − . Tìm m để a) Hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên ( ) 1; +∞ b) Hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên ( ) ( ) 1;0 , 2;3 − . 7) Cho hàm s ố : 1 x y x m − = − . Tìm m để a) Hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên m ỗ i kho ả ng xác đị nh c ủ a nó b) Hàm s ố đồ ng bi ế n trên kho ả ng ( ) 0; +∞ . 8) Cho hàm s ố 2 2 1 x x m y x − + = − . Tìm m để : a) Hàm s ố đồ ng bi ế n trên m ỗ i kho ả ng xác đị nh c ủ a nó. b) Hàm s ố ngh ị ch bi ế n trên các kho ả ng ( ) ( ) 0;1 , 2;4 . Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 2 Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1) Giải các phương trình sau: a) 2 2 15 3 2 8 x x x + = − + + ; b) 2 3 1 6 3 14 8 0 x x x x + − − + − − = (B-2010). 2) Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình: 3 2 3 2 6 7 0 x x x x − − + + − > . 3) Giải hệ các hệ phương trình sau: a) cot cot 5 7 2 0 , x y x y x y x y π π − = −   + =   < <  ; b) ( ) ( ) 2 2 2 4 1 3 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x  + + − − =   + + − =   (A-2010). Dạng 4: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh một số bất đẳng thức. Hãy chứng minh các bất đẳng thức sau: a) sin x > 0 x x < ∀ ; b) sin x < 0 x x < ∀ ; c) tan x > 0 x x > ∀ d) 3 sin x > 0 6 x x x> − ∀ ; e) 3 sin x < 0 6 x x x< − ∀ ; f) 2sin tan 3 x x x + > 0; 2 x π   ∀ ∈     g) ( ) ( ) cos sin sin cos xx x > ∀ ∈ ℝ ; h) 3 x 0; 2 2 cot sin x x x π   < ∀ ∈     + i) sin sin 2 a a a b b b π < < với 0 2 a b π < < < ; j) 2 2 4 1 cos 1 0 2 2 24 x x x x x − < < − + ∀ ≠ II. BÀI TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số a) 2 4 y x = − ; b) 3 2 1 2 3 3 3 y x x x = − + − ; c) 4 2 2 1 y x x = − − d) 2 3 3 1 x x y x − + = − ; e) 2 4 x y x = + ; f) 2 2 2 y x x = − + g) sin 2 2 y x x = − + ; h) 3 2cos cos2 y x x = − − ; i) [ ] 2 sin 3cos , x 0; y x x π = − ∈ Dạng 2: Tìm m để hàm số ( ) , y f x m = có cực trị ( thoả mãn điều kiện nào đó) 1) Chứng minh rằng với mọi m hàm số: ( ) 2 3 1 1 x m m x m y x m − + + + = − luôn đạt cực đại và cực tiểu. 2) Tìm m để các hàm số sau có cực trị: a) ( ) 3 2 2 1 2 3 2 8 3 y x mx m m x = − + − + + ; b) sin y x mx = − 3) Tìm m để hàm số: ( ) 4 2 2 9 10 y mx m x = + − + có ba cực trị. (B-2002). 4) Tìm m để hàm số: ( ) 3 3 y x m x = − − đạt cực tiểu tại điểm 0 x = . 5) Tìm m để hàm số: ( ) ( ) 3 2 2 2 1 2 3 1 5 3 y x m m x m x m = + − + + + + − đạt cực tiểu tại 2. x = − Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 3 6) Tìm m để hàm số: 2 1 x mx y x + = − để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10 . 7) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị ( ) m C của hàm số ( ) 2 1 1 1 x m x m y x + + + + = + luôn luôn có đ i ể m c ự c đạ i, đ i ể m c ự c ti ể u và kho ả ng cách gi ữ a hai đ i ể m đ ó b ằ ng 20 . (B-2005) 8) Tìm m để hàm s ố : ( ) 2 2 2 1 4 2 x m x m m y x + + + + = + có c ự c đạ i c ự c ti ể u, đồ ng th ờ i các đ i ể m c ự c tr ị c ủ a đồ th ị cùng v ớ i g ố c to ạ độ O t ạ o thành m ộ t tam giác vuông t ạ i O.(A-2007) 9) Cho hàm s ố : 4 2 2 2 y x mx m = − + . Xác đị nh m để hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u l ậ p thành: a) M ộ t tam giác đề u b) M ộ t tam giác vuông c) M ộ t tam giác có di ệ n tích b ằ ng 16. 10) Tìm m để hàm s ố : ( ) ( ) 3 2 2 3 1 6 1 2 y x m x m m x = + − + − có cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng 4 0. x y + = 11) Tìm m để hàm số: 3 2 7 3 y x mx x = + + + có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng 3 7 0. x y − − = 12) Tìm m để hàm s ố : ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 2 3 2 1 y x m x m m x m m = − − + − + − − có đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng 4 20 0 x y + − = một góc 0 45 . 13) Tìm m để hàm số: 3 2 2 3 y x x m x m = − + + có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng 2 5 0 x y − − = . 14) Cho hàm số: ( ) ( ) 3 2 2 os 3sin 8 1 os2 1 3 y x c m m x c m x = + − − + + a) Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. b) Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại 1 2 , x x . Chứng minh: 2 2 1 2 18 x x + ≤ . 15) Tìm m để hàm số: 3 2 1 1 3 y x mx x m = − − + + có khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất 16) Tìm m để hàm số: 3 2 3 2 m y x x m = − + có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng 0 x y − = . 17) Tìm m để hàm số: 4 2 1 3 4 2 y x mx = − + chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. 18) Tìm m để hàm số: 2 3 2 1 1 mx mx m y x + + + = − có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục Ox. 19) Tìm m để hàm số: ( ) 2 2 3 2 2 x m x m y x + + + + = + có cực đại, cực tiểu đồng thời thoả mãn 2 2 1 2 CD CT y y+ > . Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 4 20) Tìm m để hàm số: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 1 4 1 2 2011 y x m x m m x m= + − + − + − + đạ t c ự c tr ị t ạ i hai đ i ể m có hoành độ 1 2 , x x sao cho ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 x x x x + = + . 21) Tìm m để hàm s ố ( ) 1 : m C y mx x = + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên bằng 1 2 . (A-2005). 22) Tìm m để hàm số: ( ) ( ) 3 2 1 1 1 3 2 3 3 y mx m x m x = − − + − + đạt cực trị tại 1 2 , x x thoả 1 2 2 1 x x + = . 23) Tìm m để hàm số: ( ) ( ) 3 2 2 2 5 1 4 3 3 2011 y x m x m m x= + + + + + + đạt cực trị tại hai điểm 1 2 , x x sao cho ( ) 1 2 1 2 2 A x x x x = − + đạt giá trị lớn nhất. 24) Tìm m để hàm số: 3 2 1 5 4 4 3 2 = − − − y x mx mx đạt cực trị tại 1 2 , x x sao cho biểu thức 2 2 2 1 2 2 1 2 5 12 5 12 x mx m m A x mx m m + + = + + + đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. III. BÀI TẬP VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) 3 2 3 9 1 y x x x = + − + , [ ] 4;4 x∈ − ; b) [ ] 4 2 8 16 , 1;3 y x x x= − + ∈ − c) ( ] , 2;4 2 x y x x = ∈ − + ; d) ( ) 1 2 , 1; 1 y x x x = + + ∈ +∞ − ; e) 2 y x x = + − f) 3 2 cos 6cos 9cos 5 y x x x = − + + ; g) 3 sin cos2 sin 2 y x x x = − + + h) 2 2 2 7 23 2 10 x x y x x + + = + + ; i) [ ] 2 1 , 1;2 1 x y x x + = ∈ − + ; j) ( ) [ ] 3 6 2 4 1 , 1;1 y x x x= + − ∈ − k) 6 6 4 4 1 sin cos 1 sin cos x x y x x + + = + + ; l ) 5 sin 3 cos y x x = + ; m) 2012 2012 sin cos y x x = + n) 2 2 2 4 y x x x = − + − − − ; o) ( ) 2 cos , 0; sin 2cos sin 3 x y x x x x π   = ∈   −   ; p) 3 2 5sin 9sin 4 y x x = − + ; q) ( ) 4 2 2 1 1 + = + x y x ; r) ( ) ( ) 4 5 4 = + − − − − y x x x x x t) 2 2 1 1 = − + + + + y x x x x ; u) ( ) 8 2 2 1 256 1 4 + = + x y x ; v) 2 2 4 3 2 4 = − + − + y x x x x w) ( )( ) 2 2 5 6 9 2 1 , 4; 4   = + + + + + ∈ − −     y x x x x x x ; x) 2 1 1 3 1 + +     = + +         x x y x x Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 5 y) 2 11 1 4 tan cos4 2 2 1 tan = − − + x y x x ; z) 2 2 1 1 cos cos 1 cos cos = + + + + y x x x x Dạng 2: Ứng dụng giá trị lớn nhất vào những bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình có chứa tham số: 1) Tìm m để phương trình: ( ) ( ) 1 8 1 8 x x x x m − + − − − − = có nghiệm thực. 2) Tìm m để phương trình: 4 3 1 1 2 1 x m x x − + + = − có nghiệm thực. (A-2007) 3) Tìm m để phương trình: ( ) 4 4 2 sin cos cos4 2sin 2 0 x x x x m + + + + = có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0; 2 π       . 4) Tìm m để phương trình : ( ) 2 2 2 4 5 10 3 0 x m x m x − + + + + − = có nghiệm thực. 5) Tìm m để hệ phương trình: 3 3 3 3 1 1 5 1 1 15 10 x y x y x y m x y  + + + =     + + + = −   có nghi ệ m th ự c. ( D-2007). 6) Tìm m để ph ươ ng trình: ( ) 2 2 10 8 4 2 1 1 x x m x x + + = + + có hai nghi ệ m th ự c phân bi ệ t. 7) Tìm m để BPT: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0 m x x x x − + + + − ≤ có nghiệm trên 0;1 3   +   . 8) V ớ i giá tr ị nào c ủ a m thì h ệ 2 2 2 7 3 0 0 x x x mx m  − + ≤   − + ≤   có nghi ệ m th ự c. 9) Tìm m để h ệ : ( ) ( ) 2 2 3 2 3 4 5 2011 0 3 15 0 x x x x x x x m m  − − − + ≤   − − − ≥   có nghiệm thực. 10) Tìm m để hệ: ( ) ( ) ( ) 2012 2012 2 1 5 1 0 2 2 3 0 x x x m x m  − + ≥   − + + + ≥   có nghiệm thực. 11) Tìm m để phương trình: 4 4 2 2 2. 6 2 6 x x x x m + + − + − = có đúng hai nghiệm phân biệt. (A-2008). 12) Tìm m để phương trình ( ) 2 2 4 2 2 4 1 1 2 2 1 1 1 m x x x x x + − − + = − + + − − có nghiệm thực. (B-2004). IV. BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ Dạng 1: Phép tịnh tiến hệ toạ độ 1) Cho hàm số: ( ) 3 2 6 12 y x x x C = + + − Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 6 a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số có hoành độ là nghiệm của phương trình 0 y ′′ = . b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI  và viết phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C). 2) Cho hàm số: 1 2 2 y x = − + và điểm ( ) 2;2 I − . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI  và viết phương trình của (C) đối với hệ toạ độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C). Dạng 2: Tìm tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị. 1) Xác định tâm đối xứng của các đồ thị hàm số sau: a) 3 2 6 4 9 y x x x = − + − ; b) 4 3 10 6 x y x + = − ; c) 2 3 5 8 2 1 x x y x − + = − . 2) Cho hàm số: 4 3 2 4 2 12 y x mx x mx = + − − . Xác định m để hàm số có trục đối xứng song song với Oy. V. BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số Tìm các loại tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a) 1 2 1 x y x + = + ; b) 2 1 x x y x + = − ; c) 3 1 x y x + = + ; d) 2 2 1 x x y x − + = e) 2 1 y x x = − + ; f) 2 2 y x x x = + + ; g) 3 2 2 2 1 x x y x − = + ; h) 2 1 x y x = − i) 2 4 x y x = − ; j) 2 2 6 5 7 2 3 1 x x y x x + − = + + ; k) 2 1 y x x x = − + − ; l) 2 1 4 x y x + = − . Dạng 2: Tiệm cận có chứa tham số 1) Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số: 2 6 2 2 mx x y x + − = + . 2) Tuỳ theo tham số m, hãy tìm tiệm cận đối với đồ thị của hàm số: 2 2 4 x y x x m + = − + . 3) Tìm m để đồ thị hàm số: 2 3 2 x y x mx m − = + + chỉ có đúng một tiệm cận đứng. 4) Tìm m để đồ thị hàm số: 2 1 1 x y x mx + = + + có hai tiệm cận đứng là 1 2 , x x x x = = sao cho 2 2 1 2 2 2 2 1 7 x x x x + > . 5) Cho hàm số: 2 x x m y x m − + + = + . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm ( ) 2;0 A . Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 7 6) Cho họ đồ thị ( ) 2 1 : 1 m x mx C y x + − = − . Tìm m để tiệm cận xiên của ( ) m C tạo với hai trục tạo độ một tam giác có diện tích bằng 8. 7) Tìm các giá trị của m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị hàm số: ( ) 2 2 3 2 2 3 mx m x y x m + − − = + bằng 0 45 . (A-2008). 8) Cho h ọ đồ th ị ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 : 0 m mx m m x m m C y m x m − + − + − + = ≠ − . Ch ứ ng minh r ằ ng kho ả ng cách t ừ g ố c to ạ độ O đế n hai ti ệ m c ậ n xiên không l ớ n h ơ n 2 . VI. BÀI TẬP VỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN, VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Dạng 1: Các bài toán về hàm số dạng đa thức Loại 1: Các bài toán thuần tuý về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 3 2 1 2 3 3 y x x x = − + 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 4 2 8 10 y x x = − + Loại 2: Các bài toán thường gắn liền với bài toán khảo sát hàm số 1) Tìm m để ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 2 4 1 4 1 m C y x m x m m m m = − + + + + − + cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. 2) Biện luận theo m số giao điểm của Ox với đường cong ( ) ( ) 3 2 : 3 3 1 1 3 m C y x x m x m = − + − + + . 3) Tìm m để ( ) ( ) 3 2 2 : 3 2 4 9 C y x mx m m x m m = − + − + − cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt sao cho ba điểm này lập thành cấp số cộng. 4) Tìm m để ( ) ( ) 3 2 : 2 2 7 1 54 m C y x mx m x = + − − − cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân. 5) Cho ( ) ( ) 4 2 : 2 1 2 1 m C y x m x m = − + + + . Tìm m để ( ) m C cắt Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng. 6) Tìm m để đồ thị hàm số: ( ) 3 2 2 1 y x x m x m = − + − + cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3 , , x x x thoả mãn điều kiện: 2 2 2 1 2 3 4 x x x + + < (A-2010). 7) Tìm m để đường thẳng y m = cắt đồ thị (C): 4 2 2 3 = − − y x x tại bốn điểm phân biệt M, N, P, Q ( sắp thứ tự từ trái sang phải) sao cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ được giả sử là độ dài 3 cạnh của một tam giác bất kỳ. 8) Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 : 3 3 3 6 1 1 m C y m x m x m x m = + − + − + + + có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó. 9) Tìm điểm cố định của ( ) ( ) ( ) 3 2 : 4 4 m C y x m m x x m m = + + − − + . Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 8 10) Tìm m để ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 : 3 1 2 3 2 1 m C y x m x m m x m m = − − + − + − − tiếp xúc với Ox. 11) Tìm m để hai đồ thị sau đây tiếp xúc với nhau: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 2 : 1 2 2 ; : 3 3 1 2 4 2 C y mx m x mx C y mx m x m = + − + = + − + − 12) Cho hàm số: 3 2 1 2 1 3 y x x x = − + − , có đồ thị ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) C a) Tạo với chiều dương Ox góc 0 60 . b) T ạ o v ớ i chi ề u d ươ ng Ox góc 0 15 . c) T ạ o v ớ i tr ụ c hoành Ox góc 0 75 . d) Có h ệ s ố góc 2 k = − . e) Song song v ớ i đườ ng th ẳ ng 2 y x = − + . f) Vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng 2 3 y x = − . g) T ạ o v ớ i đườ ng th ẳ ng 3 7 y x = + góc 0 45 . h) T ạ o v ớ i đườ ng th ẳ ng 1 3 2 y x = − + góc 0 30 . 13) Cho hàm số: 3 3 2 y x x = − + + (C). Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( ) C . 14) Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( ) 3 2 : 3 C y x x = + trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau. 15)Tìm trên đường thẳng 2 y = các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( ) 3 : 3 C y x x = − . 16) Tìm trên trục tung các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( ) 4 2 : 1. C y x x = − + 17) a) Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị ( ) C : 3 4 3 y x x = − . b)Tìm m để 3 4 3 0 x x m − − = có 4 nghi ệ m phân bi ệ t. c) Ch ứ ng minh r ằ ng ph ươ ng trình: 3 2 4 3 1 x x x − = − có ba nghi ệ m. 18) a) Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị c ủ a hàm s ố : 3 2 2 9 12 4 y x x x = − + − b) Tìm m để ph ươ ng trình sau có 6 nghi ệ m phân bi ệ t: 3 2 2 9 12 x x x m − + = . (A-2006) 19) Cho hàm số: 4 2 2 4 y x x = − (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Với giá trị nào của m, phương trình 2 2 2 x x m − = có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. (B-2009). 20) Cho hàm số: ( ) 3 2 2 3 3 18 8 y x m x mx = − + + − a) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành. b) Chứng minh rằng tồn tại điểm có hoành độ 0 x sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại đó song song nhau với mọi m. Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 9 c) Chứng minh rằng trên Parabol ( ) 2 : P y x = có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số với mọi m. Dạng 2: Các bài toán về hàm số dạng phân thức hữu tỉ Loại 1: Các bài toán thuần tuý về khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số 1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 2 1 1 x y x + = − b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau: 2 1 2 1 ; 1 1 x x y y x x + + = = − − . 2) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 2 2 2 1 x x y x − + = − b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị: 2 2 2 1 x x y x − + = − 3) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 2 1 1 x x y x − − + = + b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy suy ra đồ thị: 2 1 1 x x y x − − + = + . Loại 2: Một số bài toán hay gặp đối với hàm phân thức 1) Cho hàm số: 2 1 1 x y x − = − (C) và điểm M bất kỳ thuộc ( ) C . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. a) Chứng minh: M là trung điểm AB. b) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. 2) Tìm trên đường thẳng 2 1 y x = + các điểm kẻ được đúng một tiếp tuyến đến ( ) 3 : 1 x C y x + = − . 3) Cho hàm số: ( ) 2 3 4 2 1 x x y x − + = − (C) và điểm M bất kỳ thuộc ( ) C . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B. a) Chứng minh: M là trung điểm AB. b) Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là không đổi. c) Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi. d) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. 4) Tìm các điểm trên đồ thị ( ) 10 4 : 3 2 x C y x − = + có toạ độ là số nguyên. 5) Tìm các điểm trên đồ thị ( ) 2 5 15 : 3 x x C y x + + = + có toạ độ là số nguyên. Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 10 6) Cho ( ) 3 5 : 2 x C y x − = − . Tìm M thuộc ( ) C để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 7) Cho ( ) 1 : 1 x C y x − = + . Tìm M thuộc ( ) C để tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất. 8) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 2 2 3 x y x + = + , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O. ( A-2009). 9) Tìm toạ độ điểm M thuộc ( ) 2 : 1 x C y x = + , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 4 . (D-2007) 10) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị ( ) 4 9 : 3 x C y x − = − các điểm A, B để độ dài AB nhỏ nhất. 11) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị ( ) 2 2 5 : 1 x x C y x − + − = − các điểm A, B để độ dài AB nhỏ nhất. 11) Cho hàm số: 2 3 2 x y x − = − (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại J và K sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK có diện tích nhỏ nhất. 12) Cho hàm số: 2 1 1 x y x + = − và điểm ( ) 2;5 A − . Xác đị nh đườ ng th ẳ ng d c ắ t ( ) C t ạ i hai đ i ể m B, C sao cho tam giác ABC đề u. 13) a) Kh ả o sát s ự bi ế n thiên và v ẽ đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố : ( ) 2 2 4 3 2 1 x x y x − − = − . b) Tìm m để phương trình: 2 2 4 3 2 1 0 x x m x − − + − = có hai nghiệm phân biệt. 14) Tìm m để đường thẳng y m = cắt đồ thị hàm số: ( ) 2 3 3 2 1 x x y x − + − = − tại hai điểm A, B sao cho 1 AB = . (A-2004). 15) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 2 2 5 1 x x y x + + = + b) Dựa vào đồ thị (C) hãy tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: ( ) ( ) 2 2 2 5 2 5 1 x x m m x + + = + + + . 16) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 2 3 3 2 x x y x + + = + (C) [...].. .Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com b) Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d : y = mx − m cắt (C) tại hai điểm A và B thuộc hai nhánh của nó c) Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB khi m biến thi n ( m + 1) x + m luôn tiếp 17) Chứng minh rằng với mọi m ≠ 0 , đồ thị của hàm số y = x+m xúc với một đường thẳng cố định VII BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HÀM SỐ 2x... y = x+3 tại hai điểm phân biệt A, x−2 B sao cho AOB nhọn Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 11 Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học 12) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = www.MATHVN.com x biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm x −1 cận một tam giác có chu vi bằng 4 + 2 2 2x − m 13) Cho hàm số y = ( Cm ) Chứng minh rằng với mọi m ≠ 0 , ( Cm ) cắt mx + 1 d : y = 2... 2 có điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường tròn ( Cm ) : x 2 + y 2 − 2mx − 4my + 5m 2 − 1 = 0 50) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị 1 8 ( C ) : y = x3 − x 2 − 3x + tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại gốc 3 3 toạ độ O Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 14 Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com... tại duy nhất một điểm 37) Gọi d là đường thẳng đi qua M ( 2; 0 ) và có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C ) : y = x − 3 x − 2 tại bốn điểm phân biệt 3 Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 13 Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com 38) Tìm m để điểm A ( 3;5 ) nằm trên đường thẳng nối hai điểm cực trị của ( Cm ) : y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m + 6 ) x + 1 39) Viết phương trình tiếp... C) 1 23) Tìm m để đồ thị ( Cm ) : y = x 4 − ( 3m + 1) x 2 + 2 ( m + 1) có ba điểm cực trị tạo thành 4 một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ O Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 12 Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com 1 24) Tìm m để ( Cm ) : y = mx3 + ( m − 1) x 2 + ( 3m − 4 ) x + 1 có điểm chung mà tiếp tuyến tại 3 đó vuông góc với đường thẳng d : y = x + 2011... phương trình tiếp tuyến của d với ( C ) biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt 20) Cho hàm số: y = 5 26 26 21) Tìm m để ( Cm ) : y = x 4 − 2mx 2 + 2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tại A và B sao cho cos BAI = 3 9 tròn ngoại tiếp đi qua điểm D  ;  5 5 1 5 22) Cho hàm số: y = x 4 − 3 x 2 + ( C ) và điểm A ∈ ( C ) với xA = a Tìm các giá trị thực 2 2 của a biết tiếp... 45) Tìm m để ( Cm ) : y = x3 − 3 ( 2m 2 − 1) x 2 + 3 ( m2 − 1) x + 1 − m3 có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ O m2 − 1 3 46) Tìm m để hàm số: y = x + ( m + 1) x 2 + 3 x + 2011m 2 + 2012m + 2013 đồng biến 3 trên ℝ x2 + x −1 47) Cho hàm số: y = (C) Giả sử d : y = − x + m cắt ( C ) tại hai điểm A, B phân x −1 biệt a) Tìm m để trung điểm M của đoạn AB cách điểm I (1;3) một đoạn là 10 b)... Tìm trên ( C ) : y = các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A x+2 song song với tiếp tuyến tại B và AB = 2 2 28) Gọi d là đường thẳng đi qua A (1; 0 ) và có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị x+2 tại hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và x −1 AM = 2AN 29) Tìm m để đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu của ( Cm ) : y = x3 − 3mx + 2 cắt (C ) : y = đường... -2011) 52) Cho hàm số y = 53) Tìm m để ( Cm ) : y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC với O là gốc toạ độ, A là điểm thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại (B-2011) 2x +1 54) Tìm k để d : y = kx + 2k + 1 cắt ( C ) : y = tại hai điểm phân biệt A, B sao cho x +1 khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau (D-2011) Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM... toạ độ O Văn Phú Quốc - GV Đại học Quảng Nam WWW.MATHVN.COM 14 Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com 51) Cho hàm số: y = x3 − 2mx 2 + ( m + 3) x + 4 có đồ thị là ( Cm ) , đường thẳng d : y = x + 4 và điểm E (1;3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho d cắt ( Cm ) tại ba điểm phân biệt A ( 0; 4 ) , B, C sao cho tam giác EBC có diện tích bằng 4 −x +1 có đồ thị ( C ) Chứng . + + . 16) a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số: 2 3 3 2 x x y x + + = + (C) Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Văn Phú Quốc - GV. Đại học Quảng Nam. IV. BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ Dạng 1: Phép tịnh tiến hệ toạ độ 1) Cho hàm số: ( ) 3 2 6 12 y x x x C = + + − Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học. Cho hàm số: 2 x x m y x m − + + = + . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm ( ) 2;0 A . Bài tập về Khảo sát Hàm số- Luyện thi Đại học www.MATHVN.com Văn Phú Quốc - GV. Đại học