3 Biểu diễn của nhóm hữu hạn và công thức Frobenius
3.3Hệ trực chuẩn các đặc trưng và số các biểu diễn bất khả quy
i) Ph i=1n2i = m. ii) Nếu t ∈ G, t 6= e thì Ph i=1niχπi(t) = 0. Chứng minh. Theo Mệnh đề 3.2.3 ta có χλ(t) =Xniχi(t), ∀ t ∈ G cho t= e, suy ra X n2i = m. Cho t6= e , suy ra X niχi(t) = 0.
3.3 Hệ trực chuẩn các đặc trưng và số các biểu diễn bấtkhả quy khả quy
Nhắc lại rằng hàm f trong G được gọi là hàm lớp nếu f(g) = f(tgt−1)
với mọig, t ∈ G.
Mệnh đề 3.3.1 ([4], Mệnh đề 2.6). Cho f là một hàm lớp trong Gvà (π, V)
là phép biểu diễn của G. Cho πf là tự đẳng cấu của V xác định bởi:
πf := X t∈G
30
Nếu π là bất khả quy với dimV = n và đặc trưng χ, thì πf là bội của ánh xạ đồng nhất, nghĩa là πf = λidV, với
λ = (1/n)X t∈G χ(t)f(t) = (m/n) < χ, f > . Chứng minh. Ta có π(s)−1πfπ(s) = X t∈G f(t)π(s)−1π(t)π(s) =X t∈G f(t)π(s−1ts). Vìf là hàm lớp, ta có ánh xạ t7→ s−1ts= t0, suy ra π(s)−1πfπ(s) =X t0∈G f(t0)π(t0) =πf.
Theo Bổ đề Schur's ta có πf = λid là bội của ánh xạ đồng nhất . Ta có
T rλid= nλ và
T rπf = Xf(t)T rπ(t) =Xf(t)χ(t)
suy ra
λ = (1/n)Xf(t)χ(t) = (m/n) < χ, f >
là đặc trưng của lớp hàm, đó là phần tử của H0.
Định lý 3.3.2 ([4], Định lý 2.2). Đặc trưngχ1, ..., χh xác định một cơ sở trực chuẩn của H0.
Chứng minh. Cần chứng minh (χi) là hệ sinh của H0.
Lấy tuỳ ý f ∈ H0 trực giao tới tất cả χi là bằng 0. Với mỗi phép biểu diễn π của G, đặt πf = P
f(t)π(t). Theo Bổ đề 3.3.1. πf = 0 nếu π là bất khả quy. Vì mỗi π phân tích được thành các phép biểu diễn bất khả quy,
πf = 0 suy ra đó là phép biểu diễn chính quy, nghĩa là π = λ và xác định một cơ sở véc tơ của không gian biểu diễn cho λ
πfe1 = X t
f(t)λ(t)e1 = X t
f(t)et.
Hệ quả 3.3.3 ([4], Hệ quả 1). Số các biểu diễn bất khả quy của G bằng số lớp liên hợp.
Hệ quả 3.3.4 ([4], Hệ quả 2). Cho g ∈ G và c(g) := #{g0;g0 ∼ g} là số các phần tử trong lớp liên hợp củag, thì
i) Ph
i=1χi(g)χi(g0) = m/c(g) nếu g0 = g. ii) Ph
i=1χi(g)χi(g0) = 0 nếu g0 6∼g.
Chứng minh. Chofg là hàm đặc trưng của lớp của g, nghĩa làfg(g0) = 1nếu
g0 ∼ g và fg(g0) = 0 nếu g0 6∼ g. Vì fg ∈ H0, theo định lý trên ta có thể viết: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
fg = h X i=1 λiχi với λi =< χi, fg >= (c(g)/m)χi(g). Với mỗi t ∈ G thì fg(t) = (c(g)/m) h X i=1 χi(g)χi(t).
Vìfg(t) = 1 với t ∼ g suy ra (i) và fg(t) = 0 với t6∼ g suy ra (ii).
Chú ý: Cho π1, ..., πh là các phép biểu diễn bất khả quy, (π, V) là phép biểu diễn. ChoV = U1⊕...⊕Uk là tổng trực tiếp phân tích của V thành các phép biểu diễn bất khả quy. Cho i = 1, ..., h , xác định Wi là tổng trực tiếp của U1, ..., Uk , mỗi Ui là đẳng cấu với Vi. Thì
V = W1 ⊕...⊕Wh.
Định lý 3.3.5 ([4], Định lý 2.3). Phân tích V = W1 ⊕...⊕Wh không phụ thuộc vào cách chọn phân tích củaV thành các không gian con bất khả quy. Định lý 3.3.6 ([5], Định lý A.1.5). Cho Glà nhóm hữu hạn thì tồn tại đẳng cấu đại số đẳng biến GìG chính tắc
C[G] =∼ M i∈I
32
[g] 7−→ (πi)i∈I
trong đó πi là ánh xạ tuyến tínhπi(g) : Vi −→Vi.
3.4 ứng dụng
Như ta đã biếtN(G, C1, ..., Ck) := #{(c1, ..., ck) ∈ C1ì...Ck | c1...ck = 1}
trong đó C1, ..., Ck là các lớp liên hợp tuỳ ý thuộc G trong hệ số đặc trưng của một phép biểu diễn bất khả quy.
Chú ý rằng N(G, C1, ..., Ck) không phụ thuộc vào thứ tự của Ci vàCi+1, vì ta có thể đồng nhấtCiCi+1 = Ci+1(Ci−+11CiCi+1). Do đó ta được phép hoán vị Ci và Ci+1.
Định lý 3.4.1 ((Công thức Frobenius), [5], Định lý A.1.9). Cho G là một nhóm hữu hạn vàC1, ..., Ck là lớp liên hợp trong Gthì
N(G, C1, ..., Ck) = | C1 | ...| Ck | |G | X χ χ(C1)...χ(Ck) χ(1)k−2
χ chạy khắp tập đặc trưng của phép biểu diễn bất khả quy của G.
Chứng minh. Nếu C là lớp liên hợp của G thì với phần tử eG = P g∈G
[g] là tâm. Theo bổ đề Schur các tác động trong phép biến đổi bất khả quy π của
G là bội bởi một vô hướng vπ(G). Vì mỗi g ∈ C có vết là giống nhau, suy ra χπ(g) =χπ(C), ta tìm
|C | χπ(C) =X g∈C
χπ(g) = tr(π(eC), V) = tr(vπ(C).Id, V) =vπ(C) dimπ.
vπ(C) = | C | dimπχπ(C) = χπ(C) χπ(1) | C | . Với Ng(G, C1, ..., Ck) := #{(a1, ..., ag, b1, ..., bg, c1, ..., ck) ∈ G2gìC1ì...Ck | [a1, b1]...[ag, bg]c1...ck = 1}
Định lý 3.4.2 ([5], Định lý A.1.10). Với những ký hiệu như định lý trên với mọi g ≥ 0ta có Ng(G, C1, ..., Ck) =| G |2g−1 . |C1 | ...| Ck | X χ χ(C1)...χ(Ck) χ(1)g−2
Chứng minh. Ta có [a1, b1]...[ay, by] = a1(b1a1b1−1)...ag(bgagb−g1)−1. Cho
Ng(G;C1, ..., Ck) = X A1,...,Ag∈C G A1... G Ag.N(G;A1, A−11, ..., Ag, A−g1, C1, ..., Ck). áp dụng công thức Frobenius ta có Ng(G;C1, ..., Ck) =| G |g−1| C1 | ... | Ck | X A1,...,Ag∈C | A1 | ... | Ag | X χ
χ(A1)χ(A1)...χ(Ag).χ(Ag)χ(C1)...χ(Ck) χ(1)k+2g−2 =| G |g−1| C1 |... | Ck | X χ χ(C1)...χ(Ck) χ(1)k+2g−2 X A∈C | A | χ(A)χ(A) g .
34
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã hoàn thành công việc chính là đọc hiểu và trình bày lại một số kết quả cơ bản của lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn. Chúng tôi cũng trình bày lại một số chứng minh của công thức Frobenius thông qua lý thuyết biểu diễn nhóm.
Tài liệu tham khảo (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất bản Đại học quốc gia, Hà nội, 1999.
[2] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục, Hà nội, 1999.
[3] Ngô Việt Trung, Đại số tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học quốc gia, Hà nội, 2002.
[4] Berndt, Rolf Representations of linear groups. An introduction based on examples from physics and number theory. Vieweg, Wiesbaden, 2007. [5] Don B. Zagier, Applications of the Representation Theory of Finite Groups, an appendix in Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. Graphs on surfaces and their applications, Encyclopaedia of Mathe- matical Sciences, 141. Low-Dimensional Topology, II. Springer-Verlag, Berlin, 2004.