Thông tin tài liệu
Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Tốn L IC M N Tơi xin g i l i c m n chân thành t i toàn th th y giáo giáo khoa Tốn, th y cô t i s , nh ng ng i t n tình d y d , giúp đ b n n m h c v a qua c ng nh t o u ki n cho tơi q trình hồn thành khóa lu n c bi t, tơi xin bày t lịng bi t n sâu s c đ n th y giáo : Ths Nguy n Huy H ng, ng i tr c ti p h ng d n, ch b o đóng ghóp nhi u ý ki n q báu tơi th c hi n khóa lu n Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên Nh Thúy Vơn Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán L I CAM OAN Khóa lu n k t qu c a cá nhân tơi q trình h c t p, tìm tịi h c h i nghiên c u Bên c nh đ c s quan tâm t o u ki n c a th y giáo, giáo khoa Tốn, đ c bi t giúp đ nhi t tình c a th y giáo Ths Nguy n Huy H ng Tôi xin cam đoan k t qu khóa lu n t t nghi p c a v i đ tài “Nh p môn đ i s ten x ” không trùng l p hay chép k t qu c a đ tài khác N u sai tơi xin hồn tồn ch u trách nhiêm Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên Nh Thúy Vơn Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán M U LỦ ch n đ tƠi i s tenx , đ i s đ i x ng đ i s ngồi m t cơng c h u hi u toán h c, c h c l ng t , v t lý lý thuy t,…Nhi u k t qu , hay ph pháp nghiên c u c a đ i s tenx nh h ng ng đ n m t s l nh v c khác c a toán h c đ i s ng, nghiên c u khoa h c V i ni m u thích b mơn i s , đ c s giúp đ t n tình c a th y giáo Ths Nguy n Huy H ng, m nh d n th c hi n kháo lu n t t nghi p v i đ tài: “ Nh p môn đ i s ten x ” M c đích nghiên c u Cung c p nghiên c u v tích tenx c a khơng gian véct i t + ng vƠ ph m vi nghiên c u it ng: Các ki n th c c b n v tính ch t ph d ng c a không gian véct + Ph m vi: N i dung ki n th c ph m vi c a đ i s n tính 4.Nhi m v nghiên c u: Tìm hi u lý thuy t v tích tenx Ph ng pháp nghiên c u Phân tích tài li u có liên quan t ng h p kinh nghi m c a b n thân C u trúc khóa lu n Ch ng 1, tơi trình bày m t s ki n th c c b n nh khơng gian véct , ánh x n tính, ánh x song n tính Ch ng 2, n i dung c a khóa lu n Các khái ni m nh tích tenx c a hai khơng gian, hai không gian con, hai không gian th Ch ng, tích tenx c a hai ánh x đ ng 3, tơi trình bày nh ng k t qu m r ng c a ch gian c trình bày chi ti t ng cho nhi u không Khóa lu n t t nghi p CH ch Nh Thúy Vân K32E SP-Toán NG I M T S KI N TH C B TR ng này, tơi trình bày m t s ki n th c c b n nh khái ni m không gian véct , ánh x n tính, ánh x song n tính đ dùng ch ng 1.1 Không gian véct 1.1.1 nh ngh a : Cho V m t t p khác r ng mà ph n t kí hi u , , , K m t tr ng Gi s V đ c trang b hai phép toán, g m: a) Phép c ng: + : V x V V, ( , ) + , b) Phép nhân: : K x V V, ( , ) , th a mãn nh ng u ki n (ho c tiên đ ) sau đây: (V1) ( + ) + = + ( + ), , , V (V2) V : + = + = , V V, ' V : + ' = ' + = (V3) (V4) + = + , , V (V5) ( + ) = + , , K, V (V6) ( + ) = + , K, , V (V7) ( ( )) = ( ) , , K, V (V8) = , V Khi đó, V v i hai phép tốn cho đ tr c g i m t không gian véct ng K hay K – không gian véct (g i t t không gian véct ) Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Tốn 1.1.2 Ví d T p X t p khác r ng, V m t K - không gian véct T p g m t t c ánh x : X V v i phép toán: ( + )(x) = (x) + (x), ( )(x) = (x) V i , , K m t K - không gian véct 1.1.3 C s , chi u T p SV đ h n ph n t c g i đ c l p n tính n u v i m i b ph n h u s1, s2, s3….,sn thu c S, t u ki n n i 1 i si = i =0, i= 1, n T p S V c s c a không gian V n u: (i) S đ c l p n tính (ii) S sinh V nh lỦ : Trong không gian véct t n t i c s , hai c s b t k ln có l c l ng L c l ng c a đ c g i s chi u c a không gian véct T ng tr c ti p c a không gian véct : Cho V, W hai không gian véct tr ng : T ng tr c ti p c a V W đ w W v i phép toán đ c t o thành t c p (v , w) ,v V, c đ nh ngh a theo t ng thành ph n: (v, w) +(v’, w’) = (v+v’, w+w’), = ( , w) (v, w) N u e = {ei}i I c s c a V, h = {hi}j J c s W e h c s c a V W Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Tốn Khơng gian con: W V đ c g i khơng gian n u W nhóm kW W M nh đ : N u W V khơng gian U V không gian cho W U V Không gian th ng: cho V không gian véct tr ng , W không gian véct c a V T p V/W = { [ v ]=v+W,v+W,v V} th a mãn: [v1]+[v2] = (v1 + v2) + W , v1 ,v2 V [v] = v+W, m t không gian véct tr v V ng , đ c g i không gian véct th ng c a V theo không gian véct W Không gian n tính c a ánh x n tính: Xét t p h p t t c ánh x n tính: V W ( gi thi t V, W h u h n chi u), ký hi u là: L(V, W) L(V, W) c ng m t không gian véct K, v i phép toán : (f + f’)(v) = f(v) + f’(v) ( f)(v) = f(v) Không gian đ i ng u : cho V không gian véct , không gian đ i ng u c a V L(V, ), ký hi u V* 1.2 Ánh x n tính 1.2.1 nh ngh a ng V, W Ánh x f: V W đ Cho hai không gian véct tr c g i ánh x - n tính n u f (v w) f (v) f (w) Ánh x - n tính f đ ng c u n u t n t i ánh x f 1 - n tính ff-1 = idv , f-1 = idw Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Tốn 1.2.2 Ví d Ánh x : R R, x (x) = 2010x ánh x n tính gi a R không gian Th t v y, r, s R, x, y R, ta có (r.x + s.y) = 2010(r.x + s.y) = 2020r.x + 2010s.y = r (x) + s (x) 1.2.3 Ánh x song n tính Gi s E, F, G ba không gian véct b t k , xét ánh x :E F G đ c g i ánh x song n tính n u th a mãn: ( x1 x2 , y) ( x2 , y) , x1, x2 E; y1, y2 F ( x, y1 y2 ) ( x, y1 ) ( x, y2 ) , x E; y F ; , Khi G= đ c g i hàm song n tính Ta có th ký hi u Im không gian véct c a G b i Bây gi , ta xét B(E,F;G) g m t t c ánh x song n tính t E F đ n G B ng cách đ nh ngh a phép c ng ánh x 1 2 : (1 2 )( x; y) 1 ( x; y) 2 ( x; y), ánh x ( ) : ( x, y) ( x, y), x E, y F , , ta có th đ a c u trúc không gian véct t p B(E,E;G) Không gian B(E, F; ) g m t t c hàm song n tính đ c vi t g i là: B(E, F) 1.2.4 Ví d Ánh x f: R2 R, (x, y) f(x, y) = x.y m t ánh x song n tính c a R- khơng gian Th t v y, , R , x1, x2, y1, y2 R , ta có f( x1+ x2, y1) = ( x1+ x2) y1 = x1y1 + x2y1 = f(x1, y1) + f(x2 + y1) T ng t ta có f(x1, y1 + y2) = f(x1, y1) + f(x1, y2) Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán 1.2.5 Ánh x song n tính c a khơng gian không gian th ng Cho ánh x song n tính : E x F G c p không gian E1 E F1 F Ánh x : E1 x F1 G xác đ nh b i 1 (x1, y1) = 1 (x1, y1), 1 đ c g i h n ch c a lên E1 x F1 Cho E E F F l n l t hai phân tích tr c ti p c a E F, gi s v i m i c p ( , ) t n t i ánh x song n tính : : E x F G Khi đó, t n t i nh t m t ánh x song n tính cho có h n ch lên E x F Th t v y: n u : E xác đ nh b i: (x, y) = E P : F F hai phép chi u ( x , P y), x E , y F , có h n ch lên , E x F ( 2)( x , y ) = 1( x , y ) 2( x , y ) = ( x , P y) = Do 1= N u E1 E F1 F hai không gian véct 1: E1 x F1 G m t ánh x song n tính : E x F G, có h n ch lên E1 x F1 Ta gi s ánh x : E x F G song n tính, v i không gian E1 E G G , ( x 1, y ) G 1, v i m i x E1 , y F1 Xét : E E / E1 : G G Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán Ta đ nh ngh a ánh x song n tính : ( E / E1 ) )x F G / G1 b i: ( x , y ) = ( x, y) , x E / E1 , y F Rõ ràng xác đ nh b i Gi s v i không gian F1 F , ( x, y1 ) G1 , x E , y1 F , thì: ( x , y1 ) =0, x E / E1 , y1 F F lên F / F1 , c m sinh m t ánh x song G i phép chi u t c t n tính : ( E / E1 ) )x F / F1 G / G1 th a mãn : ( x , y ) = ( x, y) , x E / E1 , y F / F1 1.2.6 Ánh x đa n tính Cho p + không gian véct Ei (i 1, p ), G Ánh x : E1 x…x E p G đ c g i p - n tính n u v i m i i( i p) : ( x1, , xi1, xi yi , xi1, , xp ) = ( x1, , xi1, xi , xi1, , xp ) ( x1, , xi1, yi , xi1, , xp ) , xi , yi Ei , , N u G đ c g i hàm p - n tính Trong tr gian c a G g m nh ng véct có d ng ( x1, , xp ) Im ng h p p , không xi Ei s đ c bi u di n t L( E1, , E p ; G) t p c a m i ánh x n tính : E1 x…x E p G , ta xác đ nh phép tốn n tính: ( )( x1, , xp ) ( x1, , xp ) ( x1, , xp ) ( )( x1, , xp ) ( x1, , xp ) ta có đ c c u trúc không gian véct t p L( E1, , E p ; G) Không gian g m t t c hàm - n tính t E1 x…x E p đ L( E1, , E p ; G) c vi t g n Khóa lu n t t nghi p CH Nh Thúy Vân K32E SP-Toán NG TệCH TENX ây ch C A HAI KHÔNG GIAN VÉCT ng ch a khái ni m tích tenx c a hai khơng gian véct , tích tenx c a hai khơng gian con, hai khơng gian th ng, tích tenx c a ánh x n tính tính ch t c a chúng 2.1 Tính ch t ph d ng Cho E F hai không gian véct ánh x song n tính t E x F vào không gian véct T Ta nói có tính ch t ph d ng n u th a mãn hai u ki n sau: 1: véct x y( x y, y F ) sinh T, ho c t ng đ ng Im T 2: n u m t ánh x song n tính t E x F vào m t khơng gian b t k H, t n t i m t ánh x n tính f: T H cho bi u đ sau giao hoán: ExF H (2.1) f T Hai u ki n t ng đ ng v i u ki n sau: : V i m i ánh x song n tính :E x F H t n t i nh t m t ánh x song n tính f: T H cho (2.1) giao hoán Th t v y gi s th a mãn, cho hai ánh x n tính: f : T H f2 : T H cho: ( x , y ) = f ( x y ); ( x , y ) = f2 ( x y ) thì: f ( x y ) = f2 ( x y ) x E , y F Ta áp d ng tính ch t f = f2 , f xác đ nh nh t b i 10 Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán =f(x x’) (y y’), = (x, x’) (y, y’) Do đó, ta có th bi u di n b i 3.3 HƠm song n tính c bi t v i m i c p hàm song n tính E xE’ F x F’ c m sinh hàm song n tính t (E F) (E’ F’) cho: ( )(x y, x’ y’) = (x, x’) (y, y’) Ta ch đ c: không suy bi n ch c đ u không suy bi n Xét ánh x n tính :E L(E’); :F L(F’); : E E’ L(E’ F’ xác đ nh b i: a x' a , x' , b y ' b, y ' , c z ' c, z ' (3.7) (Kí hi u a , b , c a , b , c ) Ta có : E F L( E ') L( F ') M t khác L( E ') L( F ') không gian c a L( E ' F ') (H qu c a m nh đ 2.14) Khi i (3.8) v i i đ n ánh c a L( E ') L( F ') lên L( E ' F ') T đ nh ngh a ta có: a b a b , a E, b F Do i a b x ' y ' a x '. b y ' a , x ' b, y ' T (3.1) ta có: a b ( x' y ') ( )(a b, x' y ') (a , x')(b, y ') Suy i( )a b a b a E, b F 40 Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Tốn Vì i đ n ánh nên t (2.17), ta đ c: Ker = ker( ) = ker F + F ker Các không gian không NE( ), NF( ) NEF ( ) liên h v i b i công th c: NEF ( ) = NE( ) F + E NF( ) T ng t : (3.9) NE'F' ( ) = NE’( ) F’ + E’ NF’( ) (3.10) Công th c (3.9), (3.10) ch r ng ch , không suy bi n Gi s E * , E F*, F hai c p không gian đ i ng u hai tich vô h ng xác đ nh b i < , > T k t qu suy t n t i nh t m t hàm song n tính < , > E* F*, E F cho < x* y* ,x y > = < x*, x > (3.11) Và hàm song n tính c ng khơng suy bi n N u E * , E F*, F c p khơng gian đ i ng u tính đ i ng u gi a E * , F* E F c m sinh N u F = E* F* = E tích vơ h ng c a E* E, F* F xác đ nh b i: < x* x, y y* > = < x*, y> Do đó, ánh x x* x x x* m t đ ng c u c a E* E lên E E*, tích vơ h ng c a c p E E* E E* là: < x x*, y y* > = < x*, y> Do đó, ta có th coi E E* khơng gian đ i ng u c a nó, h n n a tích vơ h ng có tính ch t đ i x ng Bây gi , gi s h Ei* , Ei c p không gian đ i ng u, m i tích vơ ng xác đ nh b i < , > T ng t v i p = 2, ta có tích vơ h E1* E*p E1 … Ep cho: = < x*1, x1 >…< x*p , xp > 41 ng c m sinh gi a Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán 3.4 Ánh x đ i ng u Cho Ei, Ei* Fi, Fi* ( i = 1, 2) hai c p không gian đ i ng u cho : E1 E2 * : E1* E2* , : F1 F2 *: F1* F2* hai ánh x đ i ng u Th ánh x : : E1 F1 E2 ng u c a v i t F2 * *: E1* F1* E2* F2* Là đ i ng ng c m sinh tích vơ h ng Th t v y, n u x1 E1, y1 F1, x2* E2* , y2* F2* véct tùy ý: < x2* y2* , x1 y 1> = < x2* , x1 > < y2* , y 1> = < * x2* , x1 > < * y2* , y > = < * x2* * y2* , x1 y > Do ( )* = * * 3.5 Ví d Xét không gian đ i ng u E* = L(E), F* = L(F) C m sinh tích vơ h ng L(E) L(F) E F, cho b i : < f g, x y > = f(x).g(y) M t khác, không gian L(E F) không gian đ i ng u đ n E F v i tích vơ h ng: h L(E F) < h, x y > = h(x y) Xét đ n ánh 42 (3.13) Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán i: L(E) L(F) L(E F) xác đ nh b i: i(f g), (x y ) = f(x).g(y) T (3.11), (3.13), (3.14) ta đ (3.14) c h th c < i(f g), (x y ) > = f(x).g(y) = < f g, x y > Do đ n ánh i b o tồn tích vơ h 3.6 ng Khơng gian tích M t khơng gian tích c a không gian véct E m t hàm song n tính đ i x ng khơng suy bi n E, ký hi u ( , ) c bi t, m i không gian Euclide đ u có m t khơng gian tích Gi s E F khơng gian tích ký hi u c hai ( , ) T (3.2) suy có nh t m t ánh x n tính ( , ) E F th a mãn : (x1 y1, x2 y2) = (x1, x2 ) (y1, y2) Rõ ràng hàm song n tính đ i x ng H n n a ánh x khơng suy bi n Khơng gian tích E F tích tenx c a khơng gian tích E F Bây gi , gi s E, F hai không gian Euclide n m chi u Ch n h c s tr c chu n a ( 1,n ) b ( 1,m ) E F, ta có: ( a b , a b ) = , a b c s tr c chu n c a E F Euclide 43 c bi t E F c ng khơng gian Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán is k th p 3.7 Cho E*, E c p không gian véct đ i ng u Ta đ nh ngh a phép nhân không gian E* E : (x* x) ( y* y) = < x*, y > < y* x > D th y r ng, tích t E* E lên m t đ i s k t h p (khơng giao hốn) m t đ i s giao hoán Xét ánh x n tính T: E* E L(E, F), T(a* b)x < a*, a > b, x E T[( a* a1* b1 ) (a 2* b2 ) ] = T( a1* b1 ) T (a 2* b2 ) Th T m t đ ng c u đ i s ta s ch r ng T đ n ánh Th t v y, gi s T(z) = 0, z E* E Ch n c s { e } E, z phân tích thành t ng h u h n : r z a* er , 1 a* E* r a , x e V i m i x E: * 1 suy < a* ,x > = Suy a* = ( 1,r ), z = V y T đ n ánh Chú ý hai tr ng h p sau: Tr ng h p 1: dimE < , gi s dimE = n dim(E* E) = n2 = dimL(E, F) T đ ng c u n tính ( T đ n ánh) Do t = T -1(i) ph n t đ n v c a đ i s giao hoán tenx đ n v c a E * rõ ràng, ta xét tenx đ n v { e } , { e }, ( 1,n ) m t c p c s kép c a E E Xét ph n t * ta có : n T( e* e )(x) = 1 n e , e = x * 1 44 x E n e e , * 1 Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán n e e = t * 1 c bi t, t ng n e e * không ph thu c vào cách ch n c s đ i ng u 1 { e* }, { e }, ( 1,n ) Chú ý r ng không gian E* E không gian L(E, F) đ i ng u c a nó, v i tích vơ h ng cho b i: < x* x, y y* > = < x*, y> , tr ( , ) Và , L(E; E) T phép tính < T(x* x), T(y y*) > = ( x* x, y* y ) Suy T b o tồn tích vơ h Tr ng ng h p 2: dimE = i s h p thành khơng có ph n t đ n v Th t v y , gi s e ph n t đ n v c a E* E L y { e } c s c a E, e phân tích thành t ng h u h n e = r a e * 1 V i x E, x E * * a* E* r e(x x) =( a* e ) ( x* x) * 1 r = a* , x ( x* e ) 1 r = (x* e ) 1 Trong a , x e đ n v nên * Do v y 45 r (x* e ) = x* x 1 Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán r x= 1 e e1,….,er sinh E F h u h n chi u suy vô lý T k t qu ta có :n u dimE = T khơng m t đ ng c u , khơng m t song ánh T nh ng ph n sau ch ng này, ta xét nh ng không gian h u h n chi u Cho E, F khơng gian n m chi u Th dimE F = n.m M nh đ 3.7.1 Cho ánh x song n tính: : E x F T , dim T = n.m Khi th a mãn Ch ng minh: Xét ánh x c m sinh f : E x F T +) N u f th a mãn f song ánh Khi dimT = n.m = dim(E F), suy f đ ng c u nên th a mãn M t khác, n u th a mãn 2thì đ n ánh (m nh đ 2.61) suy f đ ng c u suy th a mãn +) N u : E E’; : F F’ ánh x n tính; dimE’ = n’; dimF’ = m’ Thì t (1.14), ánh x song n tính : : L(E; E’) x L(F; F’) L(E F; E’ F’), x , Th a mãn Trong tr ng h p s chi u h u h n : dimL(E F; E’ F’) = (nm).(n’m’) = (nn’).(mm’) = dimL(E; E’).dimL(F; F’) T đ nh lý ta suy th a mãn Do có tính ch t ph d ng Ta có th vi t: L(E F; E’ F’) = L(E; E’) ( F; F’), N u E’ = F’ = L(E F; ) = L(E; ) ( F; ) t c : (E F)* = E* F* 46 Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán Do đó, tích tenx c a hàm n tính f, g t ng ng E, F hàm n tính E F, (f g)(x y) = f(x).g(y), x E, y F 3.8 ng c u T Cho E* không gian đ i ng u c a E xét ánh x n tính T : E* F L(E, F), T(a * b)x = < a *, x > b, x E, T có tính ch t ph d ng Th t v y ta có bi u đ sau: E* F T L(E;F) L(E) L(F; ) Trong : E* L( E ) đ ng c u t c : F L( ; F) đ ng c u th a mãn y ( ) y ; y F, , ánh x xác đ nh ph n (2.14) Khi ánh x song n tính có tính ch t ph d ng ( m nh đ 3.17) suy T có tính ch t ph d ng, ta có th đ ng nh t E* F v i L(E; F) d T nh ng bi u đ ta đ c: T (a * b) , L(F; E) 47 i T Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán T (a * b) T ( a * b) , L(F; E) c bi t, n u a E; a* E*, b F, b F* thì: T (b* a ) T (a * b) b* , b T (a * a ) (3.15) Cu i xét v t tr: L(E, F) x L(F, E) , ( x ) tr(( ) Toán t T th a mãn : Tr(T(b* a) T(a* b)) = < a* b, b* a> = < a*, a> < b*, b > (3.16) Do (3.15) tr thành: tr(T(b* a) T(a* b)) = < b*, b > trT(a*, a) Nh ng ánh x n tính T(a* a) th a mãn T(a* a)x = < a*, x >a nên : Tr T(a* a) = < a*, a>, Công th c (3.16) tr 3.9 (3.17) ng h p đ c bi t v t không suy bi n (ph n 3.3) i s c a bi n đ i n tính đ n gi n, ta dùng đ ng c u T (xác đ nh nh ) đ đ ng nh t a* a t ng ng v i bi n đ i n tính Gi s đ i s k t h p A = A(E; E) c a bi n đ i n tính : E E Ánh x : A A L(A, A) xác đ nh b i ( , ) ( ), ( ) bi n đ i th a mãn ( ) = (3.18) M nh đ 3.9.1 đ ng c u Ch ng minh: Ta bi t A khơng gian đ i ng u c a v i v t t ng ng : < , > = tr< > Gi s F liên h v i b i h th c : = F Q, 48 (3.19) Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Tốn Trong Q t đ ng c u n tính c a L(A A) và: Q((a* a) ( b* b)) = (a* b) ( b* a)) (3.20) L y : E F m t bi n đ i n tính tùy ý T k t qu c a ph n (3.8) ta đ c: Q((a* a) ( b* b)) = (a* a) (b* b) = ((a* a) (b* b) = < a*, b > b* a = < -*a*, b > b* a F((a* b) ( b* a)) = < a* b, > b* a = < *a*, b > b* a Suy (3.20) T ph n (3, 7), F đ ng c u n tính Do Q t đ ng c u n tính c a A A t h th c (3.19) ta có đ ng c u H qu : Gi s i , i ( i 1, r ) ph n t đ ng c u c a A cho { i } đ c l p n tính Khi t bi u th c = 0, A, ta có i i i = i ( i 1, r ) 3.10 T đ ng c u c a A M i t đ ng c u c m sinh c a E c m sinh m t t đ ng c u h c a đ i s A, cho b i: h = i 1 Ng t c l i, v i m i t đ ng c u khác c a đ i s A đ u có đ c b ng cách ng t Nói cách khác, m i t đ ng c u h c a đ i s A có th vi t d d ng: h = i 1 , m t bi n đ i n tính c a E Khi c p (L(A; A), ) tích tenx A A, ta vi t: 49 i Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán h = r , i , i A, i i 1 trongđó { i }, { i } đ c l p n tính T h th c: h( ) = h h , Ta có: i i ( i i j j ) =0 Do { i } đ c l p n tính, tùy ý c a A nên (h qu 3.10.1) : i i j j ) , i 1, r ( i 1, r ij i j ) j j H { i } c ng h đ c l p n tính nên : i j iji , V i i j, t (3.21) ta đ V ii=j c: i, j 1, r (3.21) i j i j i H th c ch r = Thay i b i , ta có: h = i 1 Ph n t xác đ nh nh t b i h lên m t h s không đ i đ ng c u h c a đ i s A b o tồn tích vơ h ng: < h , h > = tr(h h ) = tr h( ) = tr( i 1 = tr( ) = < , > Do đó: < h , h > = < , >, 50 , A c bi t, m i t Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán K T LU N tài khơng ch có ý ngh a v m t lý thuy t mà cịn có ý ngh a c v m t th c ti n Nó cung c p m t ph n lý thuy t v ba đ i s đa n tính m t tr ng, là: i s ten x , đ i s ngoài, đ i s ten x đ i x ng Qua đó, có nh ng ng d ng c a đ i s vào hình h c, gi i tích, c h c v t lý,… Tuy nhiên, th i gian khơng có h n trình đ c a tơi cịn h n ch nên đ tài không th tránh kh i nh ng thi u sót Tơi r t mong đ c s đóng ghps ý ki n c a th y, cô b n sinh viên đ đè tài ngày đ c hịan thi n 51 Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán TÀI LI U THAM KH O Sách ti ng Vi t: is đ ic ng – Nguy n H u Vi t H ng, NXB giáo d c Sách giáo trình đ i s n tính – Phan H ng Tr ng Sách ti ng Anh: Multilinear Algebra – Werner Greub, Springer – Verlag 52 Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Toán M cl c M CH U NG I M T S KI N TH C B TR 1.1 Không gian véct 1.1.1 nh ngh a : 1.1.2 Ví d 1.1.3 C s , chi u 1.2 Ánh x n tính 1.2.1 nh ngh a 1.2.2 Ví d 1.2.3 Ánh x song n tính 1.2.4 Ví d 1.2.5 Ánh x song n tính c a khơng gian không gian th ng 1.2.6 Ánh x đa n tính CH NG TệCH TENX C A HAI KHÔNG GIAN VÉCT 10 2.1 Tính ch t ph d ng 10 2.2 Nh ng tính ch t c b n 11 2.3 Tính nh t 14 2.4 S t n t i 14 2.5 Tích tenx c a hai khơng gian véct 16 2.5.1 nh ngh a 16 2.5.2 Ví d 17 2.6 H n ch c a ánh x song n tính thƠnh ánh x n tính 17 2.7 Tích tenx c a hai khơng gian 19 2.7.1 Ví d 20 53 Khóa lu n t t nghi p Nh Thúy Vân K32E SP-Tốn 2.8 Tích tenx c a hai không gian th 2.9 ng 20 Tích tenx c a t ng tr c ti p 21 2.9.1 Ví d 23 2.10 S phơn tích tr c ti p 23 2.11 Tích tenx c a véct c s 26 2.12 Áp d ng cho ánh x song n tính 26 2.13 Giao c a tích tenx 28 2.14 Tích tenx các ánh x n tính 29 2.15 Ví d 31 2.16 Phép h p c a tích tenx 32 2.17 CH nh vƠ t o nh 33 NG III TệCH TENX C A NHI U KHÔNG GIAN VÉCT 35 3.1 Tính ch t ph d ng 35 3.1.1 nh ngh a 35 3.2 Ánh x song n tính 39 3.3 HƠm song n tính 40 3.4 Ánh x đ i ng u 42 3.5 Ví d 42 3.6 Khơng gian tích 43 3.7 i s k t h p 44 3.8 ng c u T 47 3.9 i s c a bi n đ i n tính 48 3.10 T đ ng c u c a A 49 K T LU N…… ……………………………………………………………49 TÀI LI U THAM KH O…………………………………….………………50 54 ... y giáo Ths Nguy n Huy H ng Tôi xin cam đoan k t qu khóa lu n t t nghi p c a tơi v i đ tài “Nh p môn đ i s ten x ” không trùng l p hay chép k t qu c a đ tài khác N u sai tơi xin hồn tồn ch u trách... tình c a th y giáo Ths Nguy n Huy H ng, m nh d n th c hi n kháo lu n t t nghi p v i đ tài: “ Nh p môn đ i s ten x ” M c đích nghiên c u Cung c p nghiên c u v tích tenx c a khơng gian véct i t +
Ngày đăng: 30/06/2020, 20:19
Xem thêm:
