Luận văn sư phạm Dàn và đại số Boole

Khóa luận tốt nghiệp Trường đại học sư phạm hà nội Khoa : Toán *************** Vũ thị lịch Dàn đại số boole Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành : Đại số Người hướng dẫn khoa học Thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền hà nội -2010 Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán Khóa luận tốt nghiệp lời cảm ơn Trong thời gian học tập khoa Toán trường ĐHSPHN dạy dỗ, bảo tận tình thầy, cô giáo em đà tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tập mới, bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đà nhận giúp đỡ, động viên thầy cô bạn bè khoa Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể thầy, cô bạn khoa Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô, thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, người đà hướng dẫn tận tình để giúp em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Lịch Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán Khóa luận tốt nghiệp lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành hướng dẫn cô, thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền với cố gắng thân.Trong trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả (có nêu mục tài liệu tham khảo ) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Lịch Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán Khóa luận tốt nghiệp mục lục Phần mở đầu Trang Lý chọn đề tài Mục ®Ých nghiªn cøu NhiƯm vơ nghiªn cøu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận phần nội dung Chương Quan hệ thứ tự 1.1 Định nghĩa quan hệ thứ tù 1.2 Tréi vµ tréi trùc tiÕp 1.3 Biểu đồ Hasse 1.4 Các phần tử cực trị 10 1.5 Chặn chặn 12 1.6 Quan hệ thứ tự toàn phần 12 1.7 Bài tập quan hệ thứ tự 13 Chương Dàn 17 2.1 Định nghĩa dàn quan hệ thứ tự dµn 17 2.2 Bµi tËp vỊ dµn 19 2.3 Dµn 21 2.4 Bµi tËp vỊ dµn 24 2.5 Đồng cấu 25 2.6 Bài tập đồng cấu 28 Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán Khóa luận tốt nghiệp Chương Đại số Boole 30 3.1 Định nghĩa Đại số Boole ví dụ 30 3.2 Đại số Boole dàn 31 3.3 Đại số Boole 33 3.4 Bài tập Đại số Boole 34 Chương Đồng cấu Đại số Boole hữu hạn 35 4.1 Đồng cấu 35 4.2 Đại số Boole hữu hạn 36 4.3 Ma trận 39 4.4 Bài tập đồng cấu Đại số Boole hữu hạn 40 Chương Hàm Boole 41 5.1 Định nghĩa hàm Boole ví dụ 41 5.2 Đại số Boole hàm Boole 42 5.3 Dạng thu gọn dạng tối tiểu 45 5.4 Bµi tËp vỊ hµm Boole 45 KÕt ln 48 Tài liệu tham khảo 49 Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán Khóa luận tốt nghiệp phần mở đầu Lý chọn đề tài Đại số học ngành chiếm vị trí quan trọng KH Toán học Nó góp phần thúc đẩy phát triển Toán học đại Ngày nhu cầu học hỏi sinh viên khoa Toán, thầy cô giáo dạy Toán nhiều người khác quan tâm đến Toán học nói chung môn Đại Số nói riêng, ngày gia tăng nhằm nâng cao hiểu biết mình.Với mong muốn tìm hiểu sâu môn này, góc độ sinh viên sư phạm Toán ph¹m vi cđa mét khãa ln tèt nghiƯp cïng víi giúp đỡ cô giáo, thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết đề tài : Dàn Đại số Boole George Boole (1815-1864) De Morgan (1806-1871) đà sáng lập ngành Logic Toán độc lập với Triết học Sau Boole đà dành nhiều công sức cho tác phẩm chủ yếu Các định luật tư xuất năm 1854, nguồn gốc đại số Boole ngày Trong đề tài này, em tập trung vào trình bày vấn đề về: Quan hệ thứ tự, Dàn (một tiền cấu trúc đại số Boole), đại số Boole Mục đích nghiên cứu Quá trình thực đề tài đà giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu đại số học, đặc biệt tìm hiểu sâu Dàn đại số Boole Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật đặc trưng Dàn đại số Boole Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán Khóa luận tốt nghiệp Phương pháp nghiên cứu Đề tài hoàn thành dựa kết hợp phương pháp : - Nghiên cứu lý luận - Phân tích -Tổng hợp - Đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm ch­¬ng: Ch­¬ng Quan hƯ thø tù Ch­¬ng Dàn Chương Đại số Boole Chương Đồng cấu đại số Boole hữu hạn Chương Hàm Boole Trong suốt trình nghiên cứu cô, thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền bảo giúp đỡ tận tình em đà hoàn thành khóa luận Một lần cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Em mong thầy, cô giáo bạn sinh viên khoa đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Lịch Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán Khóa luận tốt nghiệp phần nội dung Chương Quan hệ thứ tự 1.1 Định nghĩa quan hệ thứ tự Định nghĩa Cho tập A, quan hệ hai A gọi lµ mét quan hƯ thø tù nÕu nã cã tÝnh phản xạ, phản đối xứng bắc cầu i)Tính phản x¹ : x  x víi mäi x  A ii)Tính phản đối xứng : xy x=y yx iii)Tính bắc cầu : xy x z yz Kí hiÖu quan hÖ thø tù bëi dÊu  hay  A nÕu mn nhÊn m¹nh tËp A.TËp A víi quan hệ thứ tự người ta viết (A,  ) hay (A,  A ) VÝ dô: i) Víi n  N * , gäi U n lµ tập ước nguyên dương n Quan hệ U n cho a b a ước b (U n , ) quan hệ thứ tự Vũ Thị Lịch Líp K32D- To¸n  Khãa ln tèt nghiƯp ii) E lµ mét tËp cho tr­íc, P(E) lµ tËp l thõa bao tất tập E với quan hƯ , ,  , tøc lµ A,B  P(E) A B A B Khi (P(E),  ) lµ mét quan hƯ thø tù 1.2.Tréi trội trực tiếp Định nghĩa (A, ) lµ mét quan hƯ thø tù cho tr­íc i)NÕu x y ta nói y trội x x trội y ii) Nếu y  x vµ y lµ mét tréi cđa x, đồng thời không tồn phần tử z khác x y để x z y y gọi trội x Ví dơ : i) (Q,  ) mét quan hƯ thø tự số hữu tỉ trội trùc tiÕp TÝnh chÊt nµy gäi lµ tÝnh trï mËt cđa Q ii) (U n , u) th× tréi trùc tiếp toàn ước nguyên tố cđa n iii) ( Z, ) lµ mét quan hƯ thứ tự trội trực tiếp n n+1 iv) (P(E),  ) th× tréi trùc tiÕp cđa  tất tập E có phần tử Còn trội trực tiếp tập A P(E) tập E có dạng A  b , b  A 1.3 BiĨu ®å Hasse Định nghĩa Cho A tập hữu hạn phần tử (A, ) quan hệ thứ tự A Một biểu đồ Hasse (A, ) đồ thị hữu hạn định hướng mặt phẳng (V,C) xác định sau: i)Tập đỉnh V có tương ứng 1-1 với phần tử A ii) x,y A tương ứng với a,b V a b nối cung khỏi a tới b nÕu y lµ mét tréi trùc tiÕp cđa x Vị Thị Lịch Lớp K32D- Toán Khóa luận tốt nghiệp VÝ dơ: i) A= 8, 7, , 1, 0 víi quan hệ thông thường, (A ) có biểu đồ Hasse là: | | -8 -3 | | | -2 -1 | | | | ii) BiĨu ®å Hasse cña (U 15 , u) nh­ sau: 15 iii) E={1,3,5} biểu đồ Hasse (P(E), ) cã d¹ng {3}     {1}  {1,3}  {3,5}  {5}  {1,5} Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán {1,3,5} 10 Khóa luận tốt nghiệp Chương Đồng cấu đại số Boole hữu hạn 4.1 Đồng cấu Ta đà biết đến đồng cấu hai dàn Vậy có đồng cấu hai đại số Boole hay không ? Và câu trả lời có Vậy định nghĩa ? Định nghĩa Đồng cấu hai đại số Boole A B đồng cấu dàn từ A vào B Tức là, đồng cấu f từ đại số Boole A đến đại số Boole B ánh xạ thỏa mÃn hai tính chất: f ( x  y )  f ( x)  f ( y ); f ( x  y )  f ( x)  f ( y ), x, y A Tương tự đồng cấu dàn, ta có khái niệm : đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu hai đại số Boole đẳng cấu Định lí Nếu X Y đại số Boole cho trước f đồng cấu từ X đến Y, ta có: i) x,y X x y f(x) f(y) ii) A đại số Boole X f(A) đại số Boole Y Chứng minh: i) Đà chứng minh phần đồng cấu dàn ii) A có phần tử lớn nhất(bé nhất) f(A) có phần tử lớn nhất(bé nhất), ảnh tương ứng chúng( đà chứng minh từ dàn) f(A) dàn Y đà chứng minh Giả sử x  A vµ x lµ bï cđa x A Ta cã x  x =maxA vµ x  x =min A Do ®ã f ( x )  f ( x)  f ( x  x)  max f ( A); f ( x)  f ( x )  f ( x  x)  f ( A) Từ điều suy : y  f ( x)  f ( A) ®Ịu cã phÇn tư bï y  f ( x) f(A) VËy f(A) lµ mét dµn cđa B Vị Thị Lịch Lớp K32D- Toán 36 Khóa luận tốt nghiệp Hệ Nếu f đồng cấu từ đại số Boole X đến đại số Boole Y, ta có: i) f(X) đại số Boole cđa Y ii) f(0)=min f(X) vµ f(1)=max f(X) iii) A đại số Boole X a đối a A A f ( a ) f (a) đối f(a) f(A) Chứng minh: Được suy trực tiếp từ định lí chứng minh Hệ Nếu f toàn cấu từ đại số Boole X đến đại số Boole Y ta cã: i) f (0 X )  0Y ; f (1X )  1Y ii) f ( x)  f ( x), x  X ; x lµ bù x X f ( x) bï cña f(x) Y Chøng minh: i) f (0 X )  f ( X )  Y  y ; f (1X )  max f ( X )  1y ii) f ( x)  f ( x )  1Y  f (1Y )  f ( x  x)  f ( x)  f ( x) f ( x)  f ( x )  0Y  f (0Y )  f ( x  x)  f ( x)  f ( x) VËy f ( x) vµ f( x ) bù f(x) Y nên f ( x) f ( x ) đầu chương có tên đồng cấu đại số Boole hữu hạn Vậy định nghĩa ? Có định lí quan trọng nói tới hay không ? Câu trả lời có, ta vào phần: 4.2 Đại số Boole hữu hạn Định nghĩa Cho (A,  ) lµ mét tËp víi quan hệ thứ tự có phần tử bé Một trội trực tiếp phần tử bé gọi nguyên tử A Vũ Thị Lịch Lớp K32D- To¸n  37 Khãa ln tèt nghiƯp VÝ dơ: i) Tập N số tự nhiên với quan hệ thông thường, phần tử bé nguyên tử ii) ([0,1], ) có phần tử bé 0, nguyên tư iii) (P(E),  ) cã phÇn tư bÐ nhÊt nguyên tử tập có phần tử Định lí A={ a1 , a2 , , an } tập hữu hạn(n>1) phần tử hai phép toán , : ( A, , ) dàn ta có: i) a  a1  a2   an chÝnh phần tử lớn nhất, b a1 a2 an phần tử bé A ii) Tập nguyên tử dàn ( A, ,  )   Chøng minh: i) V× b  a1  a2   an nªn b  , i  1, n a  a1  a2   an  a  , i  1, n  b  a a phần tử lớn b phần tử bé A ii) Xét tËp B={ a1 , a2 , , an } \ {b} víi quan hƯ thø tù c¶m sinh  Vì B hữu hạn nên (B, ) có phần tử tối tiểu c c chÝnh lµ mét tréi trùc tiÕp cđa b VËy tËp nguyên tử A khác Định lí Nếu (A, , ) đại số Boole hữu hạn a1 , a2 , , an tất nguyên tử khác A có trội x, x a1 a2 an phân tích nhất( không kể đến thứ tự) Chứng minh: Tr­íc hÕt ta cã nhËn xÐt r»ng nÕu x,y lµ nguyên tử khác A Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán 38 Khóa luận tốt nghiệp x  y=0 V× a1 , a2 , , an cã trội x nên y a1 a2  an  x Ta cã x  y Thật trái lại x y tồn nguyên tử a víi a  x  y Nh­ vËy x lµ mét tréi cđa a, tøc lµ a  a1 , a2 , , an  Gi¶ sư a đặt b a1 a2  1  1     an ; y  a  b; y  a  b Do ®ã : a  a  y  a  a  b  (m©u thuÉn) B©y giê ta cã: x  x  ( y  y )  ( x  y )  ( x  y )  ( x  y )   x y tức x y Ta x=y hay x  a1  a2   an TiÕp tơc gi¶ sư x  b1  b2   bm ®ã : b1 , b2 , , bm nguyên tử khác Ta cÇn chøng minh: a1 , a2 , , an   b1 , b2 , , bn    x   (b1  b2   bn )  (  b1 )  (ai  b2 )   (ai bm ) b j với j Định lí Stone Mỗi đại số Boole hữu hạn cấp m tồn n để m=2 n , đồng thời đại số Boole đẳng cấu với đại số Boole (P(E), , ) Trong E tập có n phần tử Chứng minh: Giả sử E={ a1 , a2 , , an } lµ tËp tÊt n nguyên tử đại số Boole A hữu hạn Ta biết x A x  cã nhÊt mét tËp X  E ®Ĩ x   y , quy y X ­íc x=0 X= Xét tương ứng f: A  P(E) x X DƠ kiĨm tra r»ng f lµ song ánh Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán 39 Khãa luËn tèt nghiÖp f ( x  y )  f [( a)  (b)]  f [( c )] a X   c X Y bY c X Y f (c)  [  f (c)]  [  f (c)]  f ( x)  f ( y ) c X cY T­¬ng tù ta f ( x y )  f ( x)  f ( y ) Vậy f đẳng cấu Vì P( E )  2n  m  2n Trong to¸n häc đà biết đến ma trận số thực phức Vậy có tồn ma trận dàn hay không ? Và câu trả lời có, ma trận dàn xác định ? Ta chuyển sang phần: 4.3 Ma trận Định nghĩa (X, , ) lµ mét dµn, mét ma trËn A=  aij  mn X cấp m n ma trận với phần tử aij X, i=1,2,,m; j=1,2,,n Tập ma trận cấp m n X kí hiệu M mn (X) Víi A   aij  , B  bij M mn ( X ) ta định nghĩa: A  B   aij  bij  , A  B   aij  bij  , i=1,2,…,m;j=1,2,…,n Víi A   aij   M mn ( X ); B  bij   M n p ( X )  A ฀ B  C  cij  m p Trong ®ã: cij  (ai1  b1 j )    b2 j     ain  bnj  , i  1, m, j  1, p gọi tích Boole hai ma trận đà cho Bạn kiểm tra dễ dàng định lí đây: Định lí i) ( M mn ( X ), ,  ) lµ mét dµn nÕu X lµ mét dµn ii) ( M mn ( X ), , ) đại số Boole X đại số Boole Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán 40 Khóa luận tốt nghiệp 4.4 Bài tập Bài E tập có n phần tử, xét xem đại số Boole (P(E), , ) có đại số Boole hÃy viết dạng đại số Boole ? Giải * Vì P(E) tập lũy thừa bao tất tập E nên với E có n phần tử dùng phương pháp qui nạp ta có: Với E={x } ta có số tập khác rỗng E 1=C 11 Với E={ x1 , x2 } ta có tập khác rỗng E E, E1 x1 , E2   x2   sè c¸c tập khác rỗng E 3= C21 C22   Víi E={ x1 , x2 , x3 } tập khác rỗng E là: E, E1   x1 , E2   x2  , E3   x3  , E4   x1 , x2  , E5   x2 , x3  , E6   x1 , x3 số tập khác rỗng E lµ 7= C31  C32  C33   ………………………………………………………………………………… Tỉng qu¸t E={ x1 , x2 , , xn } số tập khác rỗng E là: k= Cn1  Cn2   Cnn 1  Cnn   ( P  ( E ), , ) cã Cn1  Cn2   Cnn1  Cnn   ®¹i sè Boole * D¹ng ®¹i sè Boole cđa nã lµ : ( E1 , , ), ( E2 , , ), ,( Ek , , ) Vò Thị Lịch Lớp K32D- Toán 41 Khóa luận tốt nghiệp Chương Hàm Boole 5.1 Định nghĩa hàm Boole ví dụ Với số nguyên 0,1 xét tập B={0,1} víi hai phÐp to¸n B nh­ sau: a  b  ab; a  b  a  b  ab, a, b  B, a   a, a lµ bï cđa a B Víi hai phép toán (B, , ) lập thành đại số Boole Định nghĩa Với n số nguyên dương, hàm Boole n biến ánh xạ từ B n đến B Tập tất hàm Boole n biến vừa nêu kí hiệu F n Các hàm Boole gọi hàm lôgic hay hàm nhị phân Các biến độc lập hàm Boole gọi biến Boole Ví dụ: i) f ( X , X , X )  X X X  X1 X hàm Boole với biến Boole X , X , X Ta cã b¶ng chân giá trị hàm là: X1 X2 X3 F 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán 42 Khãa luËn tèt nghiÖp ii) f1 ( X , X )  X X , f ( X1 , X )  X  X , f3 ( X1 , X )  X  X , f ( X , X )  X X hàm Boole có bảng chân giá trị X1 X2 f1 f2 f3 f4 1 1 1 0 0 1 1 0 0 5.2 Đại số Boole hàm Boole Trên F n ta trang bị hai phép toán ,  nh­ sau: ( f  g )(a )  f (a )  g (a );( f  g )(a )  f (a )  g (a ), f , g  Fn , a  B n Khi ta có định lí sau đây: Định lí Cho F n tập tất hàm Boole n biến với hai phép toán , F n , th× ta cã: i) (F n , , ) đại số Boole ii) Quan hệ thứ tự đại số Boole quan hệ thông thường hàm số iii) Bù f Fn f xác định bởi: f (a )  f (a ), a  B n Chøng minh: Ta dƠ dµng suy chøng minh cần lưu ý rằng: Phần tử lớn hàm đồng 1, phần tử nhỏ hàm ®ång nhÊt Víi f,g  Fn th× f  g nÕu vµ chØ nÕu f  g=f hay f(a)  g(a)=f(a), víi mäi a  B n Vị ThÞ Lịch Lớp K32D- Toán 43 Khóa luận tốt nghiệp điều nµy cịng cã nghÜa lµ f (a)  g (a), a B n Ta cần tìm tập nguyên tử F n Với a B n ta xÐt hµm: 1, x=a  a ( x) = F n 0, x  a ThÊy  a  vµ nÕu f<  a f(a)< a (a) =1 f=0, a nguyên tử F n Dễ thấy nguyên tử F n hàm khác điểm Vậy tập nguyên tử F n E={ a a  B n } V× E  B n 2n nên ta có hệ sau: n Hệ Số phần tử tập hàm Boole n biến 2 Định nghĩa Các nguyên tử đại số Boole F n hàm Boole gọi từ tối tiểu F n Như hệ định lí Stone, ta có định lí sau: Định lí Mỗi hàm Boole f viết d¹ng f= T1  T2   Tl , T1 , T2 , , Tl tất từ tối tiểu trội f Sự phân tích không kể đến thứ tự Ta thấy rằng: Nếu a nguyên tử, hay gọi từ tối tiểu, từ a f  g ta sÏ rót mét hai hàm phải a , hàm lại a hàm Điều có nghĩa a phân tích thành tuyển hàm thực Vấn đề lại ta cần viết a dạng tích hàm mà Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán 44 Khãa ln tèt nghiƯp NhËn xÐt r»ng: Hµm Boole n biÕn cã d¹ng f(X) víi X   X , X , , X n  , X i biến độc lập B Xét hàm i , i ( X ) X i , i  1, n; i , i ( X )  X i   X i i : B n  B ( x1 , x2 , , xn )  xi Ta gäi c¸c tõ X i ; X i từ đơn, thấy r»ng F n cã tÊt c¶ 2n tõ đơn Định lí Mỗi từ tối tiểu a , a   a1 , a2 , , an B n viết dạng: a  b1b2 bn ®ã: X i ,  , i=1,2,…,n bi  X i ,  Chøng minh: NhËn xÐt r»ng: X i (a )   1, bi  X i bi (a )  X i (a )    , bi  X i nh­ vËy b i (a)=1 Do ®ã  b1 , b2 , , bn (a)=1 Bây giả sử c (c1 , c2 , , cn )  a  (a1 , a2 , , an ), i :  ci Khi ®ã ta cã: X i (c)  ci  0, bi  X i bi (c)  X i (c)  ci  0, bi  X i Tóm lại b i (c) =0 Vậy là: (b1 , b2 , , bn )(c)  Tõ chøng minh trªn ta rót  a  b1b2 bn Nếu i B ta kí hiệu: Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán 45 Khãa luËn tèt nghiÖp X i , i  X i = i X i , i  Khi ta có định lí sau đây: Định lí Mỗi f Fn viết dạng f=  X1 X 2 X n (*) n 5.3 Dạng thu gọn dạng tối tiểu Ta biết hàm Boole đa thức biến Boole, tạo nên phép toán: , ,- (tích, tuyển, phủ định) Tên gọi : lµ cỉng OR  lµ cỉng AND - lµ cỉng NOT Các vấn đề đặt là: (1) HÃy tìm cách biểu diễn (*) với cổng OR (gọi dạng chuẩn tắc thu gọn) (2) HÃy tìm dạng (*) cho cổng OR AND Các vấn đề đà giải thuật toán: KARNAUGH, Quine-McCluskey mà ta tham khảo nhiều sách toán rời rạc 5.4 Bài tập Bài Chứng minh r»ng mét hµm Boole biÕn f ( X , X , X )  X X  X X  X X nhận giá trị hai ba biến nhận giá trị ? Giải Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán 46 Khóa ln tèt nghiƯp (  ) Gi¶ sư f ( X , X , X )  X X  X X  X X nhận giá trị Dùng phương pháp phản chứng: Giả sử ngược lại, hai ba biến nhận giá trị Không giảm tổng quát ta gi¶ sư : X  0, X   X X  0; X X  0; X X   f ( X1 , X , X )  X1 X  X1 X  X X    Điều giả sử sai Vậy nhÊt hai ba biÕn X , X , X nhận giá trị ( ) Giả sử hai ba biến nhận giá trị + Nếu có hai biến nhận giá trị không giảm tổng quát ta giả sử : X  1, X  1, X   X X  1, X X  0, X X   f ( X1 , X , X )  X1 X  X1 X  X X    + Nếu ba biến nhận giá trị tức là: X X X  th× ta cã: f ( X , X , X )  X X  X X  X X =1 VËy mét hµm Boole ba biÕn f ( X , X , X )  X X  X X X X nhận giá trị vµ chØ Ýt nhÊt hai ba biÕn nhận giá trị Bài Trong F n hÃy tìm hàm có trội trực tiếp hàm ? HÃy biểu diễn hàm qua biến X , X , , X n ? HÃy cho kết đối ngẫu định lí 4? Giải Ta biết rằng, F n tập tất hàm Boole n biến từ B n B , mà B={0,1} nên hàm Boole hàm f đồng Khi đó, hµm cã tréi trùc tiÕp lµ hµm lµ hµm ®ång nhÊt Do ®ã, ta cã thĨ biĨu diƠn hàm f đồng Các hàm biểu diÔn nh­ sau: f ( X , X , , X n )  X X  X X   X X n Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán 47 Khóa luận tốt nghiệp Theo định lí Mỗi f Fn viết dạng f X 1 X 2 X n n Do đó, kết đối ngẫu định lí là: Mỗi f Fn viết d­íi d¹ng : f   X 1 X 2 X n Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán n 48 Khãa luËn tèt nghiÖp KÕt luËn Khãa luận Dàn đại số Boole nghiên cứu tổng quan vấn đề: + Quan hệ thứ tự + Dàn (một tiền cấu trúc đại số Boole) + Đại số Boole Qua khóa luận thân em không lĩnh hội thêm tri thức Đại số học mà có hiểu biết định nghiên cứu khoa học Việc nghiên cứu sâu Dàn đại số Boole góp phần bổ sung thêm kết quan trọng vào lí thuyết Đại số học, môn có tầm quan trọng Toán học lí thuyết Toán học ứng dụng Do thời gian nghiên cứu có hạn khả thân hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót định Vì em mong đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên khoa để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Lịch Vũ Thị Lịch Lớp K32D- Toán 49 Khóa luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo Bùi Huy Hiền (1996), Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội Dương Quốc Việt (2008), Một số cấu trúc đại số đại, Nhà xuất ĐHSP, Hà Nội Vũ Thị Lịch Líp K32D- To¸n  50 ... Chương Đại số Boole 30 3.1 Định nghĩa Đại số Boole ví dụ 30 3.2 Đại số Boole dàn 31 3.3 Đại số Boole 33 3.4 Bài tập Đại số Boole 34 Chương Đồng cấu Đại số Boole hữu hạn 35 4.1 Đồng cấu 35 4.2 Đại số. .. 3.3 Đại số Boole Định nghĩa Một tập B gọi đại số Boole đại số Boole (A, ,  ) nÕu B lµ mét tËp khác rỗng A với phép toán A thu hẹp B, (B, , ) đại số Boole Định lí Một tập B A đại số Boole đại. .. víi i), ii), iii) suy (B, , ) đại số Boole Nhận xét (A, , ) đại số Boole, thân A đại sè Boole cđa A vµ ({0,1}, ,  ) đại số Boole A Người ta gọi chúng hai đại số Boole tầm th­êng cđa A Chó ý