5. Cấu trúc khóa luận
3.3. Đại số Boole con
C C C
………..
. Tổng quát E có n phần tử thì số các tập con khác rỗng của E là
1 2 ... n 1 n n n n n C C C C (P(E), , ) có 1 2 ... n 1 n n n n n C C C C dàn con .
Vậy dàn (P(E), , ) có tính chất mà mọi tập con khác rỗng của nó đều là một dàn con của nó, do đó các dàn con của nó đều là dàn con liên thông. Để dàn con này là cực đại thì tập con này của E không thực sự chứa trong một dàn con liên thông khác của P(E), nên tập con này phải có n-1 phần tử mà E có n phần tử nên số dàn con liên thông cực đại của dàn (P(E), , ) là n.
Bài 2. Hãy liệt kê tất cả các dàn con liên thông cực đại của dàn (U24, u) ?
Giải
Các dàn con của dàn (U24, u) là:
1 2 3 4 6 8 12 24
Khóa luận tốt nghiệp
liên thông và chỉ có dàn (U24, u) không thực sự chứa trong một dàn con liên thông khác của dàn (U24, u).
Vậy dàn con liên thông cực đại của dàn đã cho là dàn (U24, u).
2.5. Đồng cấu
Định nghĩa 7. (L, , ) và (M, , ) là hai dàn cho trước và f là một ánh xạ từ L đến M. Ta nói rằng:
i) f là một đồng cấu nếu như:
f x y( ) f x( ) f y f x y( ); ( ) f x( ) f y( ), ,x y L
ii) Nếu f là một đơn ánh thì đồng cấu f được gọi là một đơn cấụ iii) Nếu f là một toàn ánh thì đồng cấu f được gọi là một toàn cấụ iv) Nếu f là song ánh thì đồng cấu f được gọi là một đẳng cấụ
v) Hai dàn được gọi là một đẳng cấu nếu tồn tại một đẳng cấu giữa hai dàn.
Ví dụ:
i) A là một dàn thì ánh xạ đồng nhất trên A là một đẳng cấu trong A, gọi là một tự đẳng cấu đồng nhất của Ạ
ii) B là một dàn con của A thì ánh xạ : B A x x là một đồng cấu dàn và cũng là một đơn cấụ
Định lí 6. Nếu f là một đồng cấu từ dàn L đến dàn M, khi đó ta có: i) Nếu A là một dàn con của L thì f(A) là một dàn con của M.
ii) Nếu B là một dàn con của M và f1(B) không rỗng thì f1(B) cũng là một dàn con của L.
iii) Nếu x,y L và x y thì f(x) f(y).
Khóa luận tốt nghiệp
Chứng minh:
i) x,y f(A) khi đó tồn tại a,b A để x=f(a); y=f(b) x y f a ( ) f b( ) f a b( ) f(A) và x y f a ( ) f b( ) f a b( ) f(A). Vậy f(A) là một dàn con của M.
ii) x,y f1(B) thì f x y( ) f x( ) f y( )B
Do đóx y f B f x y 1( ); ( ) f x( ) f y( )B nên x y f 1(B). Vậy f1(B) là một dàn con của L.
iii) xy nên : x y x f x( ) f x y( ) f x( ) f y( ) f x( ) f y( ). iv) a=maxA thì a A và , ( ) ( ), , ( ) ( ) x a x A f x f a x A f a f A
Vậy f(a)=max f(A).
Nếu b=min B thì bB b y y B; , f b( )f B f b( ); ( ) f y( ), y B Vậy f(b)=min f(B).
Định lí 7. Cho f là một toàn cấu từ dàn L đến dàn M. Khi đó nếu a=sup A và b=inf B với A,B L thì f(a)=sup[f(A)], f(b)= inf[f(B)].
Chứng minh:
Giả sử a=sup A, có nghĩa là x a x , A và a=min {y | y là chặn trên của A}.
Khóa luận tốt nghiệp
Từ các điều trên rút ra f x( ) f a( ), x A hay y f(a) với mọi y f(A) và f(a)=min{f(y) | y là chặn trên của A}=min {z | z là chặn trên của f(A)} vì f là toàn ánh.
Vậy f(a)=sup [f(A)].
Chứng minh tương tự ta được f(b)=inf [f(B)]
Định nghĩa 8. (A,A);( , )B B là các tập với quan hệ thứ tự. Một ánh xạ f từ A đến B được gọi là một đẳng cấu giữa hai quan hệ này nếu như f là một song ánh, đồng thời xAy nếu và chỉ nếu f(x)Bf(y).
Đẳng cấu dàn và đẳng cấu quan hệ gắn bó với nhau, bởi ta có định lí sau đây:
Định lí 8. Cho các dàn A và B cùng các quan hệ (A, );( , )A B B cảm sinh bởi chúng, thì f là một đẳng cấu dàn từ A đến B khi và chỉ khi f là một đẳng cấu quan hệ thứ tự từ (A,A) đến (B,B) .
Chứng minh:
() Nếu xAy thì f(x) B f(y)
Ngược lại từ f(x) Bf(y) ta rút ra f(x)=f x( ) f y( ) f x y( ) Vì f là song ánh nên x=xy hay xỵ
Vậy f là một đẳng cấu quan hệ.
() xy=sup{x,y}, bởi f là một toàn cấu, nên f(xy)=sup{f(x), f(y)}=f(x) f(y), tương tự f x y( ) f x( ) f y( ).
Điều này chứng tỏ f là một toàn cấu dàn và do đó nó là một đẳng cấu Do đó ta có điều phải chứng minh.
E là một tập khác rỗng, khi đó mỗi tập con A của E ta có một hàm trên E
Khóa luận tốt nghiệp
1, xA A( )x
0, x A
được gọi là hàm đặc trưng của Ạ Ta ký hiệu 2E là tập tất cả các hàm đặc trưng trên Ẹ Quan hệ thứ tự trên 2E là một quan hệ thông thường, tức là f
g nếu f(x) g(x) , x Ẹ
Định lí 9. Tương ứng P(E) 2E A A
là một đẳng cấu giữa hai tập thứ tự (P(E), ) và (2 ,E ) .
Chứng minh:
. Tương ứng trên là đơn ánh vì : A,B P E( ),A B A=B . Tương ứng trên là toàn ánh vì : ( ) : 2 ,E
A A
A P E
là ảnh của Ạ Vậy tương ứng trên là song ánh.
Với A1A2 E thì A1 A2.
Nếu A1 A2 thì A11(1)A21(1) hay A1A2. Vậy tương ứng trên là một đẳng cấụ
Nếu f,g2E thì f g=min{f,g}, fg=max{f,g}. Từ kết quả vừa rồi ta suy ra định lí sau đây:
Định lí 10 . Tương ứng giữa A và A chính là một đẳng cấu giữa các dàn (P(E), , ) và (2 , ,E ).
Hệ quả. A,B là hai tập con của E, thì :
A B AB max A, B; A B AB min A, B 2.6. Bài tập về đồng cấu
Khóa luận tốt nghiệp
Bài 1. Song ánh từ (A,) đến (B, ) giữa hai tập hợp với quan hệ thứ tự toàn phần là đẳng cấu khi và chỉ khi x y thì f(x) f(y)
Giải
() Giả sử song ánh f : ( , )A ( , )B là đẳng cấu và x y x y A , , thế thì ta có:
x y x x y y ; f x( ) f x y( ) f x( ) f y( )
f x( ) f y( ) f y( ) f x y( ) f x( ) f y( )
() Giả sử song ánh f : ( , )A ( , )B thỏa mãn x y thì f(x) f(y) ta chứng minh f là đẳng cấụ
. f là song ánh (theo giả thiết). . f là đồng cấu: Thật vậy : x y x y x x y y, f x y( ) f x f x y( ), ( ) f y( ) Do f(x) f(y) nên ta có: ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ), , f x y f x f y f x y f x f y x y A Vậy f là đẳng cấu .
Khóa luận tốt nghiệp
Chương 3. Đại số Boole 3.1. Định nghĩa đại số Boole và các ví dụ
Định nghĩa 1. Một đại số Boole A là một tập khác rỗng cùng với hai phép toán , thỏa mãn các tiên đề sau đây:
i) Luật giao hoán : x y, A thì : x y y x x y y x ,
ii) Luật kết hợp: x y z, , A
x(y z ) ( x y )z x, (y z ) ( x y )z iii)Luật phân phối: x y z, , A thì:
x(y z ) ( x y ) ( x z x), (y z ) (x y ) ( x z) iv) Phần tử trung hòa: x A, 0,1A x: 0 x 1 x
v) Phần tử bù: Với mỗi x A x A x x , : 1;x x 0;x được gọi là bù của x.
Ví dụ:
i) Tập số nguyên Z với x y=min{x,y}; x y=max{x,y} thì (Z, , ) lập thành một dàn. Tuy nhiên (Z, , ) không phải là một đại số Boole vì nó không có phần tử trung hòạ
ii) (P(E), , ) là một đại số Boole với là phần tử trung hòa của , còn E là phần tử trung hòa của . Bù của X P(E) là X E \ X.
iii) Tập A={0,1} là một đại số Boole đối với các phép toán: x y xy x y x y xy ,
Khóa luận tốt nghiệp 3.2. Đại số Boole và dàn
Ta biết rằng, một dàn thỏa mãn thêm luật phân phối được gọi là một dàn phân phốị Một dàn có các phần tử trung hòa và mỗi phần tử đều có phần tử bù được gọi là một dàn bù.
Vậy một dàn bù và phân phối sẽ là một đại số Boolẹ
Ngược lại, một đại số Boole có phải là một dàn bù và phân phối hay không. Nếu thế thì ta cần phải kiểm tra hai luật của dàn đó là: luật lũy đẳng, luật hút. Với mọi phần tử x của một đại số Boole ta có:
x x (x x ) 0 (x x ) (x x) x (x x) x 1 x và x x (x x ) 1 ( x x ) ( x x) x (x x) x 0 x Vậy luật lũy đẳng đã đúng.
Xét quan hệ trên một đại số Boole như sau: xy nếu xy=x.
Bởi luật lũy đẳng đã đúng trên đại số Boole nên quan hệ đã có tính chất phản xạ. Vì xy và y x thì x y=x và y x=y, lại do luật giao hoán nên x=y, quan hệ đã có tính phản xạ.
Với xy và y z ta có: x y=x và y z=ỵ Từ điều này suy ra:
( ) ( )
x z x y z x y z x y x có nghĩa là xz và quan hệ có tính bắc cầụ
Vậy là một quan hệ thứ tự trên đại số Boole đã chọ
Bây giờ ta kiểm tra rằng: Với quan hệ trên một đại số Boole thì với mọi x, y, inf{x,y} và sup{x,y} luôn tồn tạị
Ta có: (x y ) x (x x ) y x y nên x y x , tương tự x y y . Gọi z là chặn dưới chung bất kỳ của x và y, ta thấy z x z z y . Do đó z (x y) ( z x) y z y z tức là z x y .
Khóa luận tốt nghiệp
Tương tự ta cũng chứng minh được rằng sup{x,y}=xỵ Như vậy, ta có định lí sau:
Định lí 1. Một đại số Boole chính là một dàn bù phân phốị
Vì một đại số Boole cũng là một dàn, cho nên nó cũng cảm sinh ra một quan hệ thứ tự trên dàn và quan hệ này cũng gọi là quan hệ cảm sinh trên đại số Boolẹ
Định lí 2. A là một đại số Boole, còn (A,) là một quan hệ thứ tự cảm sinh trên A thì 0 là phần tử bé nhất, còn 1 là phần tử lớn nhất của Ạ
Chứng minh
Với mọi x ta có: 00=0 và 1x=1 nên 0 x 1
Định lí 3. Trong một đại số Boole (A, , ) thì:
i) Các phần tử trung hòa của các phép toán là duy nhất. ii) Phần tử bù của mỗi phần tử là duy nhất.
iii) Nếu a A có a x=a và a x=x với mọi x, thì a=0. iv) Nếu b B có b x=b và b x=x với mọi x, thì b=1. v) x y x y x y x y x y A , , , .
vi) 1 0;0 1 .
Chứng minh:
i) Vì 0=minA và 1=maxA, nên các phần tử trung hòa là duy nhất. ii) Giả sử x’ và x’’ cùng là bù của x thì ta có :
x' x' 0 x' (x x'') ( ' ) ( ' x x x x '') 1 ( ' x x '') x x' '' Tương tự ta cũng có x'' x x' ''. Vậy x’=x’’.
iii) a x=a và a x=x với mọi x nên a x x A , và a=min A=0. iv) Từ giả thiết suy ra b=maxA=1. Vậy b=1.
Khóa luận tốt nghiệp
v) (x y ) ( x y ) ( x y x ) ( x y y )
(x x y ) ( x y y ) (0 y) ( x0) 0 0 0
Bởi ii) nên x y x y . Tương tự ta có x y x y . vi) Hiển nhiên.
3.3. Đại số Boole con
Định nghĩa 2. Một tập B được gọi là một đại số Boole con của một đại số Boole (A, , ) nếu B là một tập con khác rỗng của A và với các phép toán của A thu hẹp trên B, thì (B, , ) cũng là một đại số Boolẹ
Định lí 4. Một tập con B A là một đại số Boole con của một đại số Boole (A, , ) nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
i) Các phần tử trung hòa trong B tồn tạị ii) x y B x y B x y B ; , , .
iii) Với mọi x B đều có phần tử bù x trong B.
Chứng minh:
() Hiển nhiên.
() Luật phân phối, giao hoán, lũy đẳng đã được kế thừa từ A, cùng với i), ii), iii) suy ra (B, , ) là một đại số Boolẹ
Nhận xét. (A, , ) là một đại số Boole, thì bản thân A cũng là một đại số Boole con của A và ({0,1}, , ) cũng là một đại số Boole con của Ạ Người ta gọi chúng là hai đại số Boole con tầm thường của Ạ
Chú ý. E là một tập nhiều hơn hai phần tử và E’ là một tập con thực sự của E thì (P(E’), , ) là một đại số Boole con của đại số Boole (P(E), , ). Tuy nhiên ta thấy rằng:
Khóa luận tốt nghiệp
i) E’ là phần tử 1 của (P(E’), , ) còn E mới là phần tử 1 của (P(E), , ) ii) X P(E’) thì bù của X trong (P(E’), , ) là E’ \ X, còn bù của X trong (P(E), , ) thì lại là E \ X.
Từ đó ta nên cảnh giác rằng: Nếu B là một đại số Boole con thực sự của một đại số Boole A thì :
i) Các phần tử trung hòa của A và B có thể không giống nhaụ
ii) xB thì phần tử bù của x trong B có thể không giống như phần tử bù của x trong Ạ
Đặc điểm trên là đặc điểm khác biệt với nhiều cấu trúc đại số khác như : nhóm, vành, trường,…