Đại số Boole hữu hạn

5. Cấu trúc khóa luận

4.2. Đại số Boole hữu hạn

Định nghĩa 2. Cho (A,) là một tập với quan hệ thứ tự và có phần tử bé nhất. Một trội trực tiếp của phần tử bé nhất được gọi là một nguyên tử của Ạ

Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ:

i) Tập N các số tự nhiên với quan hệ  thông thường, thì 0 chính là phần tử bé nhất còn nguyên tử là 1.

ii) ([0,1], ) có phần tử bé nhất là 0, nhưng không có nguyên tử.

iii) (P(E), ) có phần tử bé nhất là  còn các nguyên tử chính là các tập chỉ có một phần tử.

Định lí 2. A={a a1, ,...,2 an} là tập hữu hạn(n>1) phần tử cùng hai phép toán , : ( , , )A

    là một dàn thì ta có:

i) a a a 1 2 ... an chính là phần tử lớn nhất, b a a 1 2 ... anchính là phần tử bé nhất của Ạ

ii) Tập các nguyên tử của dàn ( , , )A    

Chứng minh:

i) Vì b a a 1 2 ... an nên b a i i, 1,n a a a 1 2 ... an a a ii, 1,n

   b a ai a là phần tử lớn nhất còn b là phần tử bé nhất của Ạ ii) Xét tập B={a a1, ,...,2 an} \ {b} với quan hệ thứ tự cảm sinh .

Vì B hữu hạn nên (B, ) bao giờ cũng có một phần tử tối tiểu c và c chính là một trội trực tiếp của b.

Vậy tập các nguyên tử của A khác .

Định lí 3. Nếu (A,  , ) là một đại số Boole hữu hạn và a a1, ,...,2 an là tất cả các nguyên tử khác nhau của A cùng có trội là x, thì x a a 1 2 ... an và sự phân tích đó là duy nhất( không kể đến thứ tự).

Chứng minh:

Khóa luận tốt nghiệp

xy=0. Vì a a1, ,...,2 an có trội là x nên y a a 1 2 ... anx. Ta có x y 0.

Thật vậy nếu trái lại x y 0 thì tồn tại một nguyên tử a với a x y  . Như vậy x là một trội của a, tức là aa a1, ,...,2 an.

Giả sử a a i đặt b a a 1 2 ... ai1ai1ai2 ... a y a b y a bn;   ;   . Do đó : a a y a a b     0(mâu thuẫn).

Bây giờ ta có: x x (y y ) ( x y ) ( x y) ( x y ) 0  x y tức là xỵ Ta được x=y hay x a a 1 2 ... an.

Tiếp tục giả sử x b b   1 2 ... bm trong đó : b b1, ,...,2 bm là các nguyên tử khác nhaụ Ta cần chứng minh: a a1, ,...,2 an  b b1, ,...,2 bn. 1 2 1 2 ( ... ) ( ) ( ) ... ( ) i i i n i i i m j a a x a    b b  b  a b  a b   a b b với j nào đó.

Định lí Stone. Mỗi đại số Boole hữu hạn cấp m đều tồn tại n để m=2n, đồng thời đại số Boole đó đẳng cấu với đại số Boole (P(E),  , ). Trong đó E là một tập có n phần tử.

Chứng minh:

Giả sử E={a a1, ,...,2 an} là tập tất cả n nguyên tử của một đại số Boole A hữu hạn. Ta biết rằng mỗi x A và x0 có duy nhất một tập XE để

y X

x y



 , quy ước x=0 thì X=. Xét tương ứng f: AP(E)

x X Dễ kiểm tra rằng f là một song ánh.

Khóa luận tốt nghiệp ( ) [( ) ( )] [( )] a X b Y c X Y f x y  f a  b  f  c ( ) [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) c X Yf c c Xf c c Yf c f x f y             . Tương tự ta cũng chỉ ra được f x y(  ) f x( ) f y( ). Vậy f là một đẳng cấụ Vì P E( ) 2 n m 2n.

Trong toán học chúng ta đã biết đến ma trận của các số thực hoặc phức. Vậy thì có tồn tại ma trận trên một dàn hay không ? Và câu trả lời là có, vậy thì ma trận trên một dàn được xác định như thế nào ? Ta chuyển sang phần: