Bài tập về hàm Boole

5. Cấu trúc khóa luận

5.4. Bài tập về hàm Boole

Bài 1. Chứng minh rằng một hàm Boole 3 biến

1 2 3 1 2 1 3 2 3

( , , )

f X X X X X X X X X nhận giá trị 1 khi và chỉ khi ít nhất hai trong ba biến nhận giá trị 1 ?

Khóa luận tốt nghiệp

() Giả sử f X X X( ,1 2, )3 X X1 2X X1 3X X2 3 nhận giá trị 1. Dùng phương pháp phản chứng:

Giả sử ngược lại, hai trong ba biến nhận giá trị 0. Không giảm tổng quát ta giả sử : X10,X2 0 X X1 2 0;X X1 30;X X2 30

 f X X X( , , )1 2 3  X X1 2X X1 3X X2 3   0 0 0 0.

Điều giả sử là saị Vậy ít nhất hai trong ba biến X X X1, ,2 3 nhận giá trị 1. () Giả sử ít nhất hai trong ba biến nhận giá trị 1.

+ Nếu có hai biến nhận giá trị 1 thì không giảm tổng quát ta giả sử :

1 1, 2 1, 3 0 1 2 1, 1 3 0, 2 3 0 X  X  X   X X  X X  X X  1 2 3 1 2 1 3 2 3 ( , , ) 1 0 0 1 f X X X X X X X X X        

+ Nếu cả ba biến nhận giá trị 1 tức là: X1 X2 X31 thì ta có: f X X X( ,1 2, )3  X X1 2X X1 3X X2 3=1.

Vậy một hàm Boole ba biến f X X X( ,1 2, )3  X X1 2X X1 3X X2 3 nhận giá trị 1 khi và chỉ khi ít nhất hai trong ba biến nhận giá trị 1.

Bài 2. Trong Fnhãy tìm các hàm có trội trực tiếp là hàm 1 ? Hãy biểu diễn các hàm này qua các biến X X1, 2,...,Xn ? Hãy cho một kết quả đối ngẫu của định lí 4 ?

Giải

Ta biết rằng, Fn là tập tất cả các hàm Boole n biến từ Bn B, mà B={0,1} nên các hàm Boole này là hàm f đồng nhất 0 hoặc 1.

Khi đó, các hàm có trội trực tiếp là hàm 1 là hàm đồng nhất 0. Do đó, ta có thể biểu diễn hàm f đồng nhất 0.

Khóa luận tốt nghiệp

Theo định lí 4. Mỗi f F n đều viết được dưới dạng 1 2

1 2 ... n n f  X X  X . Do đó, một kết quả đối ngẫu của định lí này là:

Mỗi f F n đều viết được dưới dạng : 1 2

1 2 ... n n f  X X  X

Khóa luận tốt nghiệp

Kết luận

Khóa luận “ Dàn và đại số Boole ’’ nghiên cứu tổng quan về các vấn đề: + Quan hệ thứ tự.

+ Dàn (một tiền cấu trúc của đại số Boole). + Đại số Boolẹ

Qua khóa luận này bản thân em không chỉ được lĩnh hội thêm những tri thức mới của Đại số học mà còn có được những hiểu biết nhất định trong nghiên cứu khoa học. Việc nghiên cứu sâu Dàn và đại số Boole góp phần bổ sung thêm những kết quả quan trọng vào trong lí thuyết Đại số học, bộ môn có tầm quan trọng đối với Toán học lí thuyết và Toán học ứng dụng.

Do thời gian nghiên cứu có hạn và khả năng bản thân còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Vì vậy em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo cùng các bạn sinh viên trong khoa để đề tài được hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Khóa luận tốt nghiệp

Tài liệu tham khảo

1. Bùi Huy Hiền (1996), Bài tập đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nộị

2. Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nộị

3. Dương Quốc Việt (2008), Một số cấu trúc cơ bản của đại số hiện đại, Nhà xuất bản ĐHSP, Hà Nộị