Đại số Boole các hàm Boole

5. Cấu trúc khóa luận

5.2. Đại số Boole các hàm Boole

Trên Fn ta trang bị hai phép toán  , như sau:

( )( ) ( ) ( );( )( ) ( ) ( ), , , n n

f g a  f a g a f g a  f a g a f g F  a B . Khi đó ta có định lí sau đây:

Định lí 1. Cho Fnlà tập tất cả các hàm Boole n biến với hai phép toán  , trong Fn, thì ta có:

i) (Fn, , ) là một đại số Boolẹ

ii) Quan hệ thứ tự trên đại số Boole này là quan hệ  thông thường của các hàm số.

iii) Bù của fFn là f được xác định bởi: f a( ) f a( ), a Bn

Chứng minh:

Ta dễ dàng suy ra chứng minh chỉ cần lưu ý rằng:

Phần tử lớn nhất là hàm đồng nhất 1, phần tử nhỏ nhất là hàm đồng nhất 0. Với f,gFn thì f g nếu và chỉ nếu fg=f hay f(a)g(a)=f(a), với mọi aBn

Khóa luận tốt nghiệp

điều này cũng có nghĩa là f a( )g a( ), a Bn.

Ta cần tìm tập nguyên tử của Fn. Với mỗi a B n ta xét hàm: 1, x=a

a( )x = trong Fn. 0, xa

Thấy ngay a0 và nếu f<a thì f(a)<a( )a =1 và do đó f=0, a là một nguyên tử của Fn.

Dễ thấy mỗi nguyên tử của Fn đều là một hàm chỉ khác 0 tại đúng một điểm. Vậy tập nguyên tử của Fn là E={ n

a a B

  }. Vì E  Bn 2n nên ta có ngay hệ quả sau:

Hệ quả. Số phần tử của một tập các hàm Boole n biến là 22n .

Định nghĩa 2. Các nguyên tử của một đại số Boole Fn các hàm Boole được gọi là các từ tối tiểu của Fn.

Như một hệ quả của định lí Stone, ta có định lí sau:

Định lí 2. Mỗi hàm Boole f0 đều được viết dưới dạng

f=T T1  2 ... T T Tl, , ,...,1 2 Tl là tất cả các từ tối tiểu được trội bởi f. Sự phân tích trên là duy nhất không kể đến thứ tự.

Ta thấy rằng: Nếu a là một nguyên tử, hay gọi là từ tối tiểu, thì từ a  f g ta sẽ rút ra một trong hai hàm phải là a, hàm còn lại cũng là ahoặc hàm 0 . Điều này có nghĩa là a không thể phân tích thành tuyển các hàm thực sự của nó.

Khóa luận tốt nghiệp

Nhận xét rằng: Hàm Boole n biến có dạng f(X) với X X X1, ,...,2 Xn,Xi là các biến độc lập trên B. Xét các hàm  i, ( )i X  X ii, 1, ; , ( ) n  i i X  Xi  1 Xi : n

i B B

 

( , ,..., )x x1 2 xn xi

Ta gọi các từ X Xi; i là các từ đơn, thấy ngay rằng trong Fncó tất cả 2n từ đơn.

Định lí 3. Mỗi từ tối tiểu ,  1, ,...,2  n

a a a a an B

   đều được viết dưới dạng:

1 2... a b b bn   trong đó: X ai, i1 bi  , i=1,2,…,n X ai, i 0 Chứng minh: Nhận xét rằng: X ai( ) ai 1,b Xi  i b ai( ) X ai( )  ai 1 a b Xi, i i

như vậy bi(a)=1. Do đó b b1, ,...,2 bn(a)=1.

Bây giờ giả sử c( , ,..., )c c1 2 cn  a ( , ,..., ), :a a1 2 an i a ci  i. Khi đó ta có: X ci( ) ci 0,b Xi  i b ci( ) X ci( ) ci 0,b Xi  i Tóm lại bi(c) =0. Vậy là: ( , ,..., )( ) 0b b1 2 b cn  . Từ chứng minh trên ta rút ra a b b b1 2... n. Nếu các iB thì ta kí hiệu:

Khóa luận tốt nghiệp Xi,i 1 X i i  = Xi,i 0 Khi đó ta có định lí sau đây:

Định lí 4. Mỗi fFn đều viết được dưới dạng f= 1 2

1 2 ... n n X X  X

 (*)