Một số vấn đề về dàn và đại số boole

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - NGUYỄN TRÍ HẠNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÀN VÀ ĐẠI SỐ BOOLE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - NGUYỄN TRÍ HẠNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÀN VÀ ĐẠI SỐ BOOLE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60 46 05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG VINH 2010 MỤC LỤC Trang 1.1 MỞ ĐẦU CHƯƠNG DÀN Quan hệ thứ tự 1.2 Dàn ……………………………………………… 1.3 13 …………………………………… Đồng cấu dàn ……………………………………… CHƯƠNG ĐẠI SỐ BOOLE 16 2.1.Đại số Boole Dàn ……………………………… 16 2.2 hạn 21 dụng 25 2.4 Ứng dụng đại số Boole mạch kỹ thuật 29 Đồng cấu đại số Boole hữu ………………… 2.3 Hàm Boole Ứng ………………………… số KẾT LUẬN 43 KHẢO 44 …………………………………………… TÀI LIỆU …………………………… THAM MỞ ĐẦU Tốn học hình thức (Symbolic computation), hay cịn gọi Đại số máy tính (Computer Algebra), xuất khoảng ba chục năm gần trở thành chuyên ngành độc lập Nó kết hợp chặt chẽ tốn học khoa học máy tính Sự phát triển máy tính địi hỏi phải xây dựng lý thuyết toán học làm sở thiết lập thuật toán phần mền tin học Mặt khác, biết hoạt động thuật toán phần mền máy tính dụng cụ điện tử khác mạch điện có đầu vào, đầu vào số số 0, tạo đầu số số Các mạch điện mạch điện kỹ thuật số Năm 1938, Claude Shannon chứng tỏ dùng quy tắc lơgic để thiết lập thuật tốn Một yêu cầu xử lý mạch kỹ thuật số tìm cách để làm cho biểu thức đơn giản tốt Điều liên tục yêu cầu biểu thức lôgic phức tạp giảm đến biểu thức đơn giản mà tạo kết điều kiện Một công cụ để làm giảm biểu thức lôgic biểu thức tốn học lơgic George Boole (1815 - 1864) giới thiệu tác phẩm mình: “Các định luật tư duy” xuất 1854 biết đến ngày hôm Đại số Boole Đại số Boole mơn tốn học dùng hệ thống số nhị phân, gồm quy tắc lôgic Trong cấu trúc đại số Boole có liên hệ mật thiết với cấu trúc thứ tự Một đại số Boole không thiết phải có thứ tự nó, ta định nghĩa thứ tự đại số Boole Từ có liên hệ Dàn đại số Boole Đại số Boole có nhiều ứng dụng khác bao gồm lý thuyết tập hợp, thống kê lơgic tốn, lơgic kỹ thuật số, máy tính Trong luận văn tập trung vào việc trình bày số cấu trúc Dàn Đại số Boole số ứng dụng cấu trúc tin học mạch kỹ thuật số Luận văn chia làm hai chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày khái niệm sở Dàn Ở trình bày khái niệm quan hệ thứ tự, xuất phát điểm khái niệm đại số Boole Sau đó, trình bày khái niệm Dàn tiền cấu trúc đại số Boole, từ khái niệm tính chất Dàn đưa định nghĩa đồng cấu Dàn Trong chương 2, chúng tơi trình bày khái niệm đại số Boole, đồng cấu đại số Boole hữu hạn Cuối luận văn chúng tơi trình bày hàm số Boole ứng dụng vào Tin học, mạch kỹ thuật số Luận văn thực hướng dẫn PGS TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới PGS TS Ngơ Sỹ Tùng, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Mai Văn Tư, TS Nguyễn Thị Hồng Loan thầy cô giáo Bộ mơn Đại số Khoa Tốn, Khoa Đào tạo Sau Đại học tận tâm dạy bảo chúng em thời gian học tập vừa qua, mái trường Đại học Vinh thân yêu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới người bạn học viên cao học 16 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số tận tình giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo thầy cô giáo bạn học viên Tác giả CHƯƠNG DÀN Trong chương này, chúng tơi tập trung vào trình bày số vấn đề bản: Quan hệ thứ tự, Dàn (một tiền cấu trúc đại số Boole), đồng cấu Dàn 1.1 Quan hệ thứ tự 1.1.1 Định nghĩa quan hệ thứ tự Một quan hệ hai tập hợp A gọi quan hệ thứ tự có tính phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Người ta kí hiệu quan hệ thứ tự , hay A Ví dụ (i) Tập hợp số tự nhiên N với quan hệ  quan hệ thứ tự, (N, ) (ii) E tập cho trước, Ã (E) tập luỹ thừa bao tất tập E với quan hệ   , tức A, B Ã (E) A  B A  B Khi ( Ã (E), ) quan hệ thứ tự (iii) n số nguyên dương cho trước, kí hiệu Un tập ước nguyên dương n Quan hệ u Un cho a u b a ước b, (Un, u) quan hệ thứ tự Tập A với quan hệ thứ tự , viết (A, ) hay (A, A) 1.1.2 Định nghĩa trội trội trực tiếp Cho (A, ) thứ tự (i) Nếu x  y ta nói y trội x cịn x gọi trội y (ii) y gọi trội trực tiếp x x ≠ y y trội x, đồng thời không tồn phần tử z khác x y để x  z  y Ví dụ (i) Xét tập số nguyên Z với quan hệ thứ tự thơng thường: , trội trực tiếp n n + (ii) ( Ã (E), ) trội trực tiếp  tất tập E có phần tử Còn trội trực tiếp tập A  Ã (E) tập E có dạng A  {b} với b  A (iii) (Un, u) trội trực tiếp toàn ước nguyên tố n (iv) Tập số hữu tỷ Q với quan hệ  thơng thường, số hữu tỉ khơng có trội trực tiếp Tính chất gọi tính trù mật Q 1.1.3 Định nghĩa biểu đồ Hasse Cho (A, ) tập thứ tự hữu hạn Một biểu đồ Hasse (A, ) đồ thị hữu hạn định hướng mặt phẳng (V, C) xác định sau: (i) Tập đỉnh V có tương ứng - với phần tử A (ii) x, y  A tương ứng với a, b  V a b nối cung từ a tới b y trội trực triếp x Ví dụ (i) A = {6, 5, …, 1, 0} với quan hệ  thông thường, (A, ) có biểu đồ Hassen là: | | | | | | | | -6 … -3 -2 -1 3… (ii) Biểu đồ Hassen (U12, u) sau: 12 (iv) Nếu E = {1, 2, 3}thì biểu đồ Hassen (Ã (E), ) |  {2} {1} {3} {1,2} {2,3} {1,3} {1,2,3} 1.1.4 Định nghĩa phần tử cực trị Với tập thứ tự (A, ) cho trước, ta nói rằng: (i) a  A phần tử tối đại A a khơng có trội thực (ii) b  A phần tử tối tiểu A b không trội thực phần tử (iii) m  A gọi phần tử lớn x  m với x  A, nói cách khác m trội tất phần tử A (iv) n  A gọi phần tử nhỏ a n  x với x  A, hay phần tử a trội n (v) Các phần tử tối đại hay tối tiểu A gọi chung phần tử cực trị 1.1.5 Định lý Với (A ) quan hệ thứ tự cho trước, ta có: (i) Phần tử lớn tồn tại, phần tử tối đại (ii) Phần tử nhỏ tồn tại, phần tử tối tiểu Chứng minh (i) Giả sử m phần tử lớn (A, ), m  x, x  m nên x = m Điều suy (i) (ii) Giả sử n phần tử nhỏ (A, ), x  n, n  x nên x = n Điều suy (ii)  1.1.6 Định lý Cho (A, ) tập thứ tự hữu hạn, ta có: (i) (A,) có phần tử tối đại phần tử tối tiểu phần tử A trội phần tử tối tiểu trội phần tử tối đại (ii) Nếu A có phần tử tối đại, phần tử lớn A (iii) Nếu A có phần tử tối tiểu, phần tử nhỏ A Chứng minh (i) Với a  A, a khơng tối đại a có trội thực a1 a1 tối đại có nghĩa A tồn phần tử tối đại trội a Nếu a1 phần tử tối đại, tồn a2 trội a1, , lặp lại lập luận này, ta dãy tăng a  a1  a2 …  an  … mà phần tử sau trội thực phần tử trước Vì A hữu hạn sau hữu hạn bước phải kết thúc Ta gọi b phần tử cuối trình b trội a Và phần tử b phần tử tối đại Tương tự ta tồn phần tử tối tiểu trội a (ii) Giả sử m phần tử tối đại A Với x  A bất kì, theo (i) tồn y tối đại trội x Bởi tính phần tử tối đại A, nên y = m Do m trội x với x  A Vậy m phần tử lớn (iii) Chứng minh tương tự (ii)  1.1.7 Định nghĩa chặn chặn Cho B tập A  quan hệ thứ tự A Khi ta nói rằng: (i) c  A gọi chặn B b  c với b  B (ii) d  A gọi chặn B d  b với b  B 10 (iii) Phần tử c  A gọi phần tử lớn B kí hiệu maxB c  B c chặn B (iv) Phần tử d  A gọi phần tử nhỏ B kí hiệu minB d  B d chặn B (v) Phần tử bé tập {c  A | c chặn B} gọi chặn B kí hiệu supB (vi) Phần tử lớn tập {d  A | d chặn B} gọi chặn B kí hiệu infB 1.1.8 Ví dụ (i) Tập số thực R với quan hệ  thơng thường B = (0,1), maxB minB không tồn tại, supB = 1, infB = (ii) (A, ) với A hữu hạn biểu đồ Hassen A liên thông đồng thời mạng, điểm xuất phát ứng với phần tử nhỏ tức minA điểm thu ứng với phần tử lớn A tức maxA 1.1.9 Định nghĩa quan hệ thứ tự toàn phần Một quan hệ thứ tự tập (A, ) quan hệ thứ tự toàn phần hai phần tử A ln so sánh với nhau, tức x, y  A x  y y  x Nhận xét A tập hữu hạn (A, ) quan hệ thứ tự, (A, ) quan hệ toàn phần biểu đồ Hassen đồ thị liên thơng Ví dụ (i) (Z, ) quan hệ thứ tự toàn phần (ii) Cho n hợp số lớn quan hệ ước (ký hiệu u) khơng phải quan hệ thứ tự toàn phần tập Un, gọi p, q ước nguyên tố khác n p, q khơng so sánh (iii) (Ã (E), ) với E nhiều phần tử quan hệ thứ tự tồn phần, a, b hai phần tử khác E, A = {a}, B = {b} không so sánh 34 2.4.4 Các định lý đại số Boole Một biến số Giao hoán AB = BA ; A+B=B+A Phối hợp ABC = A(BC) = (AB)C; A + (B + C) = (A + B) + C Phân phối A(B + C) = AB + AC; (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD Một số đẳng thức hữu dụng 35 A(A + B) = A A + AB = A AB + A B = A A+ AB=A+B A( A + B) = AB (A + B)(A + B ) = A (A + B)(A + C) = A + BC AB + A C + BC = AB + A C (A + B)( A + C)(B + C) = (A + B)( A + C) Định lý De Morgan ABC = A + B + C + … A-+-B-+-C-+-… = A B C … Ví dụ Thiết kế mạch dùng hai cổng lôgic thỏa mãn bảng thật sau Hình 4.3 Ví dụ Giải: Vì ngõ trường hợp nên ta viết hệ thức lôgic 36 trường hợp Y= A= VÀ B = nên Y = A B Để có Y ta đảo Y , nên Y = Y = A B Mạch thực cổng NOT để tạo A đảo, cổng NAND A B (hình 4.3 a) Mặt khác ta dựa vào bảng thật để viết hàm lôgic cho Y kết là: Y = A B + A B + AB sử dụng định lý đại số Boole ta biến đổi kết cuối Y = A + B (hình 4.3 b) Ví dụ Chứng tỏ (A + B)( A + C ) = A B + A C Giải: (A + B)( A + C ) = A A + A C + B A + B C =0+AC + AB+BC =AC + AB+BC Vận dụng công thức ta dễ dàng biến đổi được: (A + B)( A + C ) = A C + A B + B C = A C + A B Một cách chứng minh khác ta dùng bảng thật để chứng minh biểu thức 2.4.5 Sử chuyển đổi loại cổng lơgic Các cổng lơgic chuyển đổi qua lại lẫn từ cổng thành cổng khác Để thuận tiện cho việc thiết kế mạch lôgic nên phải chuyển đổi cổng với nhau, chủ yếu chuyển đổi AND thành OR ngược lại, chuyển đổi AND – OR thành NAND – NAND Đa số tốn thiết kế lơgic u cầu sử dụng cổng NAND (việc chế tạo cổng NAND đơn giản cổng khác) Để thuận lợi cho việc chuyển đổi cần phải nắm vững định lý đại số Boole đặc biệt Định lý De Morgan 37 Sau số chuyển đổi cổng với nhau: 38 Hình 4.4 Chuyển đổi số cổng lôgic 2.4.6 Áp dụng định lý đại số Boole để rút gọn biểu thức lôgic Các định lý Boole giúp đơn giản biểu thức lôgic Việc đơn giản cần thiết để mạch thiết kế thực đơn giản kinh tế Rút gọn biểu thức vận dụng định lý từ hàm biến hàm nhiều biến đẳng thức hữu dụng Đặt biệt hai Định lý De Morgan giúp ích cho nhiều việc rút gọn biểu thức lơgic cơng cụ để chuyển đổi dạng mạch Để việc rút gọn biểu thức lôgic chuyển đổi mạch dể dàng cần phải nắm vững định lý đại số Boole phải thông thạo chuyển đổi cổng lôgic Ví dụ Rút gọn biểu thức sau: a) A B C + A B C b) ABC + ABD + AB c) AB( A + C) d) A -+- BC A Giải: a) A B C + A B C = A B (C + C ) = A B = A B 39 b) ABC + ABD + AB = AB(C + D + 1) = AB.1 = AB c) AB( A + C) = A A B + ABC = + ABC = ABC d) A -+- BC A = ( A BC ) A = ABC A = Ví dụ Đơn giản hàm Y = ABC + AB C + A B C Giải: Y = ABC + AB C + A B C = AB(C + C ) + A B C = AB(1) + A B C = A(B + B C ) = A(B + C) Ngồi việc rút gọn biểu thức lơgic đại số Boole, sử dụng đại số Boole để đơn giản mạch lôgic Để đơn giản mạch lôgic ta làm bước sau: - Từ mạch lôgic xác định biểu thức cho ngõ mạch - Sau xác định hàm ngõ ra, tiến hành rút gọn biểu thức cách dùng định lý đại số boole, đặc biệt sử dụng Định lý De Morgan - Sau biểu thức mới, có mạch lôgic tương đương với mạch lôgic cho Ví dụ Đơn giản mạch hình 4.5 (a) 40 Hình 4.5 Ví dụ Giải: Trước tiên ta viết biểu thức lôgic cho ngõ ra: Y = ( A + B)(A + B + C)( C ) Rút gọn biểu thức ta được: Y = ( A + B)(A + B + C)( C ) = A A C + A B C + A C C + AB C + BB C + BC C = + A B C + + AB C + B C + = B C ( A + A + 1) = B C Từ biểu thức vừa rút gọn ta thành lập mạch lôgic 2.4.7 Thiết lập lôgic tổ hợp Khi làm tốn thiết kế lơgic tổ hợp ta cần thực bước sau đây: Bước 1: Dựa vào yêu cầu toán đặt ra, đặt biến cho ngõ vào hàm ngõ tương ứng Bước 2: Thiết lập bảng thật cho ngõ ngõ vào theo yêu cầu toán 41 Bước 3: Từ bảng thật viết biểu thức mô tả liên hệ lôgic ngõ ngõ vào Có hai cách viết biểu thức lôgic cho ngõ ra, cho trường hợp lôgic 1, cho trường hợp lôgic (hai trường hợp tương đương nhau) Cách viết biểu thức thường dạng tổng-các-tích tích-các-tổng Bước 4: Áp dụng định lý đại số Boole để rút gọn biểu thức lơgic ngõ Sau chuyển sang dạng logic khác để thuận lợi cho việc thực mạch lôgic Bước 5: Từ biểu thức lôgic rút gọn ta chuyển sang mạch lôgic tương ứng Ví dụ Một ngơi nhà có cơng tắc, người chủ nhà muốn bóng đèn sáng công tắc hở, công tắc đóng cịn cơng tắc thứ hở Hãy thiết kế mạch lôgic thực cho: a Số cổng b Chỉ dùng cổng NAND ngõ vào Giải: Bước 1: Gọi công tắc A, B, C Bóng đèn Y Trạng thái cơng tắc đóng lơgic 1, hở Trạng thái đèn sáng lôgic tắt Bước 2: Từ u cầu tốn ta có bảng thật: Ngõ vào Ngõ A Y B C 42 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 Sáng  A B C Sáng  AB C Bước 3: Từ bảng thật, ta viết biểu thức ngõ theo trường hợp lôgic ngõ lơgic xuất nhất, biểu thức tính tốn đơn giản nhiều Biểu thức lôgic ngõ Y = A B C + AB C Nếu không rút gọn biểu thức lơgic ta thực mạch lơgic số cổng lơgic sử dụng nhiều hình 4.6 (b) Bước 4: Rút gọn biểu thức lôgic: Y = A B C + AB C = ( A B + AB) C = ( A-  -B ) C Đến ta thấy biểu thức lôgic gọn số cổng lơgic sử dụng Bước 5: Mạch lôgic tương ứng biểu thức: Y = ( A-  -B ) C h.4.6 a 43 Hình 4.6 Ví dụ b Biến đổi mạch lôgic sử dụng loại cổng NAND ngõ vào Xuất phát từ biểu thức ban đầu, ta sử dụng Định lý De Morgan để biến đổi Y = A B C + AB C = ( A B + AB) C Lấy đảo Y ta được: Y = ( A B -+-AB) C = ( A B )-+-AB + C = A B AB C Khơng khai triển A B cổng NAND Biểu thức dạng tổng nên ta đảo lần nữa, ta được: Y = Y = ( A B AB ) C Đến ta thấy thừa số ngoặc chưa NAND với C nên ta cần đảo hai lần để kết tất cổng NAND ngõ vào: Y= Y = A B AB C Từ biểu thức ta có sơ đồ mạch logic hình 4.7 44 Hình 4.7 2.4.8 Ý nghĩa ký hiệu lôgic Mạch lôgic (mạch số) nhận liệu ngõ vào xuất liệu ngõ Dữ liệu tín hiệu nhị phân gồm hai mức: mức cao (lôgic 1) mức thấp (lôgic 0) Để thuận lợi cho việc thiết kế mạch lơgic Khi khơng có vịng trịn nhỏ đường vào hay đường ký hiệu mạch lôgic, đường gọi kích hoạt (tích cực) mức cao (active-HIGH) Cịn có vịng trịn nhỏ đường vào hay đường ra, đường gọi kích hoạt mức thấp (active-LOW) Sự có mặt hay vắng mặt vịng trịn định trạng thái kích hoạt mức cao, kích hoạt mức thấp đầu hay đầu vào, dùng để giải thích hoạt động mạch Sau minh họa cổng NAND (hình 4.8) 45 (b) Hình 4.8 Ý nghĩa hai ký hiệu cổng NAND Trên ký hiệu (hình 4.8 (a)) có vịng trịn đầu ra, khơng có vịng trịn đầu vào Vì đầu tích cực mức thấp đầu vào kích hoạt mức cao Trên ký hiệu hình 4.8 (b) có đầu kích hoạt mức cao đầu vào kích hoạt mức thấp Vì phải tìm hiểu ý nghĩa ký hiệu lôgic? Lý sử dụng ký hiệu thay để biểu vẽ phân tích lơgic theo dạng tác động kích hoạt cách thay ký hiệu lơgic sau: Để có ký hiệu thay cho cổng lôgic, ta lấy ký hiệu chuẩn thay đổi ký hiệu đại số (OR thành AND, AND thành OR ), đổi vòng tròn hai đầu vào lẫn đầu Để giải thích hoạt động cổng lơgic, ta cần ý trạng thái lôgic nào, hay 1, trạng thái kích hoạt đầu vào đầu Ví du Cho ngõ mạch hình 4.9 a, vẽ lại mạch để mơ tả ngõ tác động mức thấp Giải: 46 Vì ngõ tác động mức thấp nên thêm vòng tròn phủ định Do đổi OR thành AND với vòng tròn phủ định ngõ vào Theo quy luật ta thêm vòng tròn phủ định cho ngõ cổng OR NAND cịn cổng NOT khơng có vịng trịn phủ định Tiếp theo chuyển đổi cổng OR NAND để đảm bảo lơgic (hình 4.9 b) Hình 4.9 Ví dụ 47 KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi tập trung vào việc trình bày số cấu trúc Dàn Đại số Boole số ứng dụng cấu trúc tin học mạch kỹ thuật số Nội dung luận văn gồm Giới thiệu khái niệm sở dàn tiền cấu trúc đại số Boole Trình bày khái niệm đại số Boole, đồng cấu đại số Boole hữu hạn Giới thiệu hàm số Boole ứng dụng vào tin học mạch kỹ thuật số Luận văn tiếp tục nghiên cứu sâu ứng dụng Dàn đại số Boole thuật toán tin học 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn lập trình giảng dạy tốn học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [2] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Trường Đại học Vinh [4] Nguyễn Nam Qn (2005), Tốn Lơgic & Kỹ Thuật Số , Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [5] Tống Văn On (2007), Kỹ Thuật Số; Lý thuyết tập , Nhà xuất Lao động Xã hội [6] Huỳnh Đắc Thắng (2006), Kỹ Thuật Số thực hành, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [7] Dương Quốc Việt (2008), Một số cấu trúc Đại số đại, Nhà xuất Đại học Sư phạm TIẾNG ANH [8] Katz anh Boriello (2005), Contemporary Logic Design, Prentice - Hall [9] M Morris Mano anh Charles R.Kime (2004), Logic anh Computer Design Fundamentals, Prentice - Hall [10] F Wakerly (2006), Digital Design Principles anh Pactices, Prentice Hall ... nghĩa đại số Boole Một tập B gọi đại số Boole đại số Boole (A,  ,  ) B tập khác rỗng A với phép toán A thu hẹp B, (B,  ,  ) đại số Boole 2.1.8 Định lí Một tập B  A đại số Boole đại số Boole. .. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - NGUYỄN TRÍ HẠNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÀN VÀ ĐẠI SỐ BOOLE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60 46 05... lí sau: 2.1.4 Định lí Một đại số Boole dàn bù phân phối Vì đại số Boole dàn, cảm sinh quan hệ thứ tự  dàn quan hệ gọi quan hệ cảm sinh đại số Boole 2.1.5 Định lí A đại số Boole, (A, ) quan hệ