Ta gọi T là đại số tenxơ trên L. Theo định nghĩa: T = T0 Å T1Å … Å TnÅ ... với T = K, T = L
T = LL…L (n lần)
Các phép toán không gian véctơ (+, o ) trong T bình thường. Ta định nghĩa phép nhân trong T, là phép nhân tenxơ như sau:
(x1 … xi) (y1 … yj) = x1 … xi y1 … yj. Khi đó, (T, +, o ) trở thành một đại số kết hợp, phân bậc, có đơn vị là 1 Î K. (đại số T sinh bởi 1 và một cơ sở tùy ý trong L). Lấy J là iđêan 2 phía sinh bởi các phần tử dạng
x y – y x - [x, y], x, y Î L
(với [x, y] = xy - yx : móc Lie trong L). Gọi U(L) = T/J (đại số thương) và : T U(L) là ánh xạ chính tắc và i: L T là phép nhúng thì ánh xạ :
= o i gọi là ánh xạ chính tắc của L trong U(L). Ta có: (x) (y) - (y) (x) = ([x, y]), x, y Î L.
Vì ([x, y]) - (x) (y) + (y) (x) = ([x, y] - x y + y x) = 0
L U(L)
T
+) là đồng cấu tuyến tính( bảo toàn nhờ ) +) ([x, y]) = (x) (y) - (y) (x).
Suy ra muốn kiểm tra (U(L), ) là đại số bao của L ta chỉ cần kiểm tra tính phổ dụng của (U(L), ).
Bây giờ ta khẳng định tính chất phổ dụng của U(L): Định lý 3.2:
Với mọi đại số Lie L, đại số bao phổ dụng U(L) tồn tại duy nhất, sai khác một đẳng cấu duy nhất.
Chứng minh:
Đại số U(L) được xây dựng như là đại số thương của đại số tenxơ T(L) theo iđêan sinh bởi các phần tử.
a b - b a -[ a, b ] (1)
và ánh xạ i được cảm sinh từ ánh xạ L T(L). Ta có ngay L L(U(L)) là một đồng cấu đại số Lie. Mặt khác, giả thiết j: L L(A) là một đồng cấu đại số Lie. Coi j như một ánh xạ tuyến tính, ánh xạ này cảm sinh một đồng cấu đại số j : T(L) A. Ta có:
j ( a1 … ap ) = j ( a1 ) … j ( ap ) . Vì j là đồng cấu đại số Lie nên:
j ([ a, b ]) = j (a) j(b) -j(b)j(a), nghĩa là:
j ([a, b]) = j (a b - b a ).
Vậy j ánh xạ iđêan sinh bởi các phần tử ở (1) vào O. Từ đó ta có đồng cấu cảm sinh f : U(L) A. Từ cách xây dựng ta thấy các phần tử của L sinh ra U(L) do đó f là duy nhất.Định lý được chứng minh.
Nếu chúng ta ký hiệu HomLie (L,L’) là tập hợp các đồng cấu của đại số Lie từ L vào L’ thì chúng ta có thể biểu thị định lý bởi một song ánh tự nhiên:
HomLie (L, L(A)) HomAlg (U(L), A). Chúng ta suy ra hai hệ quả từ định lý:
Hệ quả 1:
a) Với mỗi đồng cấu của đại số Lie f: L L’, tồn tại duy nhất một đồng cấu của đại số U(f) : U(L) U(L’) sao cho U(f) o iL = iL’ o f. Ta cũng có U(idL) = idU(L)
b) Nếu f’ : L L” là một đồng cấu khác của đại số Lie thì U( f’ o f) = U(f’) o U(f).
Chứng minh:
a) Áp dụng định lý, dựa vào A = U(L’) và từ đồng cấu của đại số Lie iLo f.
b) Ta có: U(f’) o U(f) o iL = U(f’) o iL’o f = iL” o f’ o f = U(f’ o f) o iL Một kết luận từ việc áp dụng tính duy nhất của U(f’ o f) đã được chứng minh trong phần a). Việc khẳng định tính duy nhất cũng kéo theo U(idL) là đồng nhất thức của U(L).
Hệ quả 2:
Gọi L và L’ là những đại số Lie và tổng trực tiếp của chúng là L Å L’. Khi đó:
U(L Å L’) U(L) U(L’). Chứng minh:
Đầu tiên, ta xây dựng một đồng cấu đại số
j : U(L Å L’) U(L) U(L’),). Công thức này định nghĩa một ánh xạ tuyến tính
với mỗi x Î L và x’ Î L’, đặt: f(x, x’) = iL(x) 1 + 1 iL’ (x’). Ta sẽ chỉ ra rằng f là một đồng cấu của đại số Lie. Với x, y Î L và x’, y’ Î L’ ta có:
[f(x, x’), f(y, y’)] = (iL(x) 1 + 1 iL’(x’))(iL(y) 1 + 1 iL’(y’)) - (iL(y) 1 + 1 iL’(y’)) (iL(x) 1 + 1 iL’(x’)) = [ iL(x), iL(y) ] 1 + 1 [iL’(x’), iL’(y’) ]
= iL ([x, y]) 1 + 1 iL’ ([x’, y’ ]) = f( [x, y], [x’, y’])
= f([(x, x’), (y, y’) ])
Áp dụng định lý, ta nhận được một đồng cấu đại số j: U(L Å L’ ) U(L) U(L’).
Ta sử dụng tính phổ dụng của tích tenxơ của hai đại số để xây dựng một đồng cấu đại số : U(L) U(L’) U(L Å L’). Sự hợp thành của hình chiếu chính tắc của L và của L’ vào L Å L’ và của ánh xạ iLÅ L’ là đồng cấu của đại số Lie. Theo định lý, tồn tại đồng cấu của đại số
1 : U(L) U(L Å L’) và 2 : U(L’) U(L Å L’) sao cho với mỗi x Î L và x’ Î L’, ta có:
1(x) = iL Å L’ (x, 0) và 2 (x’) = iL Å L’ (0, x’).
Theo mệnh đề , công thức (a a’) = 1(a) 2(a’) định nghĩa một đồng cấu đại số : U(L) U(L’) U(L Å L’) giúp chúng ta chỉ ra rằng 1(a) 2(a’) = 2(a’) 1(a) với mọi a Î U(L) và a’ Î U(L’). . Sau đây ta chứng minh bằng việc quan sát thấy rằng: có thể kiểm tra được 1(a) và 2(a’) là giao hoán khi a = x Î L và a’ = x’ Î L’. Thật vậy:
[1(x), 2(x’) ] = [ iL Å L’(x, 0), iL Å L’(0, x’) ] = iL Å L’([(x, 0), (0, x)])
Ta phản chứng rằng đồng cấu và j là nghịch đảo của nhau. Ta nhận xét sự hợp thành (tích) o j : Nó là một đồng cấu của đại số U(L Å L’) thu hẹp từ đồng nhất thức trên ảnh của L Å L’. Thật vậy, với mọi x Î L và x’ Î L’:
(j(x, x’)) = (x 1) + (1 x’) = iL Å L’((x, 0) + (0, x’))
= iL Å L’(x, x’).
Do đó, o j = id. Điều này cũng chỉ ra rằng jo = id.
Từ tính phổ dụng của U(L) ta có thể xây dựng một cấu trúc đại số Hopf trên nó như sau: Xét ánh xạ tuyến tính:
D1: L U(L) U(L) a ↦ a 1 + 1 a. ta có:
D([a, b]) = [a, b] 1 + 1 [a, b] = [a 1 + 1 a + b 1 + 1 b] Vậy D1 là đồng cấu Lie từ L tới L(U(L) U(L)). Do đó nó cảm sinh đồng cấu đại số:
U(L) U(L) U(L).
Tính đối kết hợp của D cũng được kiểm tra dễ dàng thông qua tính phổ dụng. Mặt khác, ánh xạ đối đơn vị được định nghĩa bằng cách xét ánh xạ không: L 0 với nhận xét rằng đại số bao phổ dụng của đại số Lie tầm thường 0 chính là đại số K. Cụ thể, ánh xạ đối đơn vị được xác định bởi điều kiện:
e(a) = 0, a Î L.
Vậy U(L) là một đối đại số, hơn nữa dễ thấy nó là đối giao hoán. Cuối cùng, ánh xạ đối thế được cảm sinh từ ánh xạ:
: L L a ↦ - a. đây là một phản đồng cấu đại số Lie:
[(a), (b) ] = [a, b] = [b, a], và do đó nó cảm sinh phản đồng cấu đại số:
S: U(L) U(L), S(a) = - a, a Î L.
Cho V là một L-môđun, từ đồng cấu Lie L L(End(V)) ta thu được đồng cấu đại số U(L) End(V), do đó V là U(L)_môđun. Điều ngược lại cũng hiển nhiên đúng. Từ đó ta có tương ứng 1-1 giữa các L_môđun bảo toàn các đồng cấu. Nhận xét rằng tương ứng này cũng bảo toàn tích tenxơ và đối ngẫu, vì theo định nghĩa ở tích tenxơ của hai đối đại số thì tác động của U(L) lên tích tenxơ của hai môđun V và W được cho bởi:
a(v w) = av w + v aw, và tượng tự
a(j)(v) = j(-av) Ví dụ:
Một không gian véctơ V bất kì có thể được coi như một đại số Lie với tích Lie đồng nhất bằng 0 (Đại số Lie giao hoán). Khi đó, đại số bao phổ dụng của V chính là T(V), đại số đối xứng trên V. Từ đó T(V) là một đại số Hopf với ánh xạ cấu trúc xác định bởi:
D( ) = 1 + 1 v,
e( ) = 0
S( ) = −