Một trong những định lý cơ sở quan trọng nhất của lý thuyết đại số Lie là định lý mang tên Poincare-Birkhoff-Witt. Sau đây, chúng ta sẽ đi tìm hiểu về định lý.
Các bổ đề cho định lý Poincare-Birkhoff-Witt:
Từ đây ta gọi x1, …, xn là cơ sở của L. Ký hiệu yi = (xi) : ảnh chính tắc của xi trong U(L)
Xét dãy hữu hạn I = (i1, …, ip), 1£ ij£ n, đặt yI = … Î U(L). Ta ký hiệu Uq(L) là ảnh qua của T0 + T1 + … + Tq.
Bổ đề 1:
Giả sử a1, …, ap Î L, là ánh xạ chính tắc L U(L), là một phép hoán vị của 1, …, p, thì
(a1)… (ap) - (a(1)) … )a(p)) Î Up-1(L). Khi là phép chuyển vị của j và j+1 ta có:
(aj). (aj+1) - (aj+1). (aj) = ([aj, aj+1]). Bổ đề 2:
Với mọi dãy I, các yI, mà chiều dài I nhỏ hơn hoặc bằng p, sinh ra không gian véctơ Up(L).
Bổ đề 3:
Các yI, với tất cả các dãy chỉ số có thứ tự I, hình thành nên một không gian véc tơ U(L).
U(L) T L i T L i
Bổ đề 4:
Ánh xạ chính tắc của L trong U(L) là đơn ánh. Do đó từ giờ trở đi ta đồng nhất các phần tử của L với ảnh chính tắc của nó trong U(L) [L được nhúng trong U(L)].
Định lý Poincare-Birkhoff-Witt:
Gọi (x1, …, xn) là một cơ sở của không gian véc tơ L. Khi đó, các phần tử có dạng … với 1, …, n Î N, hình thành nên một cơ sở của U(L).
(Chứng minh của nó khá phức tạp và ta sẽ không đưa ra ở đây. Bạn đọc quan tâm có thể tìm thấy chứng minh trong bài giảng của Serre ).
Phép lọc của đại số bao: Đại số phân bậc:
Lấy n 0, L là đại số Lie, U(L) là đại số bao của L. Gọi Un(L) là không gian con của U(L) sinh bởi các tích x1x2…xp mà x1, …, xp Î L và p £ n.
+) Nếu U(L) = KD[x, y] : đại số các đa thức theo 2 biến x, y thì Un(L) chính là tập các đa thức có bậc £ n.
+) Ta còn có thể xem Un(L) là ảnh chính tắc của T0 + T1 + … + Tn trong U(L). Khi đó, dãy (Un(L))n 0 là một dãy tăng và phủ U(L), ở đây:
U0(L) = K, U1(L) = K Å L Un(L) . Up(L) Un+p (L) Do đó, U(L) là một đại số lọc.
Định nghĩa 3.3:
Ta gọi dãy (Un(L))n 0 là lọc chính tắc của U(L). Xét u Î U(L), u 0, ta gọi chỉ số lọc của U là số n mà u Î Un(L)
Nhận xét:
1) Các phần tử Î Up(L) có chỉ số lọc £ p.
2) Gọi (e1, …, er) là một cơ sở của L. Khi đó các phần tử … Î U(L)
mà 1 + 2 + … + r£ n, hình thành nên một cơ sở của Un(L).
Kết Luận
Trên đây là toàn bộ nội dung của đề tài “ Nhập môn đại số Lie”. Khóa luận đã trình bày một số vấn đề cơ bản về đại số Lie bao gồm:
+) Một số kiến thức cơ bản, các khái niệm về đại số Lie +) Nghiên cứu các vấn đề liên quan tới đại số Lie.
Tuy nhiên do thời gian có hạn và vốn kiến thức còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
1) Nguyễn Tiến Quang, Cơ sở lý thuyết trường và lý thuyết Galoa, NXB Đại học sư phạm
2) Phùng Hồ Hải, Đại số đa tuyến tính, NXB Đại học quốc gia Hà Nội
3) Hoàng Xuân Sính (1996), Đại số đại cương, NXB giáo dục.
4) Nguyễn Hữu việt Hưng (2001), Đại số tuyến tính, NXB Đại học quốc gia Hà Nội
LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học_Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng. Thầy đã hết lòng tận tình hướng dẫn em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Trong quá trính làm khóa luận, em nhận được những góp ý, động viên của các thầy cô giáo cùng các bạn. Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo và các bạn vì sự quan tâm giúp đỡ đó.
Em xin trân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ bộ môn đại số, khoa toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và làm khóa luận.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên
LỜI CAM ĐOAN!
Khóa luận là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập, nghiên cứu ở bậc đại học. Bên cạnh đó em cũng được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô trong khoa toán , đặc biệt là sự hướng dẫn nghiêm khắc tận tình của thầy Nguyễn Huy Hưng.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nhập môn đại số Lie ” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên