Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu biểu diễn liên hợp đại số Lie, thể hiện qua một số đại số Lie cụ thể như đại số Lie giải được, đại số Lie lũy linh và ứng dụng để khảo sát cấu trúc của các đại số Lie nửa đơn. Mời các bạn cùng tham khảo.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ PHƯƠNG LY BIỂU DIỄN LIÊN HỢP VÀ CẤU TRÚC CỦA ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN Chuyên ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng - Năm 2011 Công trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ ngành Phương pháp toán sơ cấp họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nghiên cứu cấu trúc đại số Lie nửa đơn tốn quan trọng mang tính thời lý thuyết Lie lý thuyết cấu trúc Đóng vai trị quan trọng cho việc khảo sát cấu trúc đại số Lie biểu diễn liên hợp, đồng cấu đại số Lie cảm sinh từ tích Lie tương ứng Với mong muốn tìm hiểu thêm đại số Lie biểu diễn liên hợp với gợi ý PGS TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài "Biểu diễn liên hợp cấu trúc đại số Lie nửa đơn" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu biểu diễn liên hợp đại số Lie, thể qua số đại số Lie cụ thể đại số Lie giải được, đại số Lie luỹ linh ứng dụng để khảo sát cấu trúc đại số Lie nửa đơn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khảo sát biểu diễn liên hợp đại số Lie thể biểu diễn liên hợp cho trường hợp đại số Lie Heisenberg, đại số Lie Symplectic, Từ ứng dụng để xác định đại số Cartan, phân tích không gian nghiệm số đại số Lie nửa đơn cụ thể Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu - Tổng quan tài liệu thể tường minh kết đạt - Trao đổi, thảo luận kết nghiên cứu với giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tổng quan số kết liên quan đến biểu diễn liên hợp đại số Lie nửa đơn Góp phần làm rõ cấu trúc đại số Lie nửa đơn qua số đặc trưng ví dụ minh họa Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: Chương Kiến thức sở Chương Biểu diễn liên hợp đại số Lie Chương Cấu trúc đại số Lie nửa đơn Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tơi giới thiệu số khái niệm, tính chất đại số Lie khái niệm liên quan Các khái niệm tính chất chủ yếu trích dẫn tài liệu [1], [9] 1.1 Đại số Lie 1.1.1 Định nghĩa đại số Lie Một không gian vector g trường K gọi đại số Lie tồn phép toán: [ , ] : g×g→g (X, Y ) → [X, Y ] cho: a) [ , ] tuyến tính theo biến b) Tính phản xứng: [X, X] = 0, ∀X ∈ g c) Đồng thức Jacobi: [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0, ∀X, Y, Z ∈ g Phần tử [X,Y] gọi tích Lie X Y Ví dụ 1) Xét g = gl(n, K) đại số kết hợp tất ma trận vng cấp n trường K với tích Lie định nghĩa sau: [X, Y ] = XY − Y X, ∀X, Y ∈ g Khi g đại số Lie 2) g = {X ∈ gl(n, K) | T r(X) = 0} đại số Lie với tích Lie: [X, Y ] = XY − Y X, ∀X, Y ∈ g kí hiệu sl(n, K) 1.1.2 Đại số Lie Định nghĩa Cho g đại số Lie h tập g Khi đó, h gọi đại số Lie g nếu: a) h không gian vector g; b) ∀X, Y ∈ h, [X, Y ] ∈ h Ví dụ Các đại số Lie sau: h = sl(n, K) = {X ∈ gl(n, K) | T r(X) = 0} k = so(n, K) = {X ∈ gl(n, K) | X + X t = 0} t = b(n, K) = {X ∈ gl(n, K) |X ma trận tam giác trên} đại số Lie đại số Lie g = gl(n, K) 1.1.3 Iđêan đại số Lie thương Định nghĩa Cho g đại số Lie Khi đó, tập h ⊆ g gọi iđêan g nếu: a) h không gian vector g b) ∀H ∈ h , ∀X ∈ g, [H, X] ∈ h Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.2.2] Nếu a , b iđêan đại số Lie g a + b, a ∩ b, [a, b] iđêan g Hệ Ta có [g, g] iđêan g Ví dụ sl(n, K) = {X ∈ gl(n, K) | T r(X) = 0} iđêan gl(n, K) Định nghĩa Cho g đại số Lie h iđêan g Khi đó, ta có khơng gian vector thương g/h = {X + h | X ∈ g} đại số Lie với tích Lie xác định sau: [, ] : g/h × g/h −→ g/h (X + h, Y + h) −→ [X, Y ] + h gọi đại số Lie thương 1.2 Đồng cấu đại số Lie Định nghĩa Cho g h hai đại số Lie trường K Một đồng cấu đại số Lie ánh xạ tuyến tính ϕ : g −→ h X −→ ϕ(X) bảo tồn tích Lie, tức là: ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )], ∀X, Y ∈ g Ví dụ Cho g đại số Lie trường k Xét ad : g −→ gl(g) X −→ adX : g −→ g Y −→ adX(Y ) = [X, Y ] đồng cấu đại số Lie Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.3.3] Cho ϕ : g −→ h đồng cấu đại số Lie Khi đó, a) Nếu a đại số Lie g ϕ(a) đại số Lie h b) Nếu b iđêan h ϕ−1 (b) iđêan g Hệ [1, Hệ 1.3.4] a) Kerϕ iđêan g b) Imϕ đại số Lie h Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.3.5] Cho g h đại số Lie a) Giả sử ϕ : g −→ h đồng cấu đại số Lie Khi đó, g/kerϕ ∼ = Imϕ b) Nếu a, b iđêan g (a + b)/a ∼ = b/(a ∩ b) 1.3 1.3.1 Đại số Lie giải đại số Lie lũy linh Đại số Lie giải Định nghĩa Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Xét dãy giảm sau: g0 = g, g1 = [g, g], g2 = [g1 , g1 ], , gk+1 = [gk , gk ], Khi đó, dãy giảm g = g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ⊇ gk+1 ⊇ gọi chuỗi dẫn xuất g Định nghĩa Đại số Lie g gọi giải tồn k ∈ N cho gk = Ví dụ 1) Đại số Lie g = b(n, K) = { A ∈ gl(n, K) | A ma trận tam giác } đại số Lie giải 2) Đại số Lie g = a b a c 0 | a, b, c ∈ R đại số Lie giải 3) Đại số Lie g = a b −a c 0 | a, b, c ∈ R đại số Lie giải Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.4.4] Bất kỳ đại số Lie đại số Lie thương đại số Lie giải giải Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.4.5] Cho g đại số Lie a iđêan g Khi đó, g đại số Lie giải a g/a giải Mệnh đề [9, Proposition 1.23] Mọi đại số Lie n-chiều g giải tồn dãy đại số Lie g = a0 ⊇ a1 ⊇ a2 ⊇ ⊇ an = cho ai+1 iđêan , ∀i = 0, n − dim(ai /ai+1 ) = 1.3.2 Đại số Lie lũy linh Định nghĩa Cho g đại số Lie hữu hạn chiều Xét dãy giảm: g0 = g, g1 = [g0 , g], g2 = [g1 , g], gk+1 = [gk , g], Khi đó, dãy giảm g = g0 ⊇ g1 ⊇ g2 ⊇ ⊇ gk+1 ⊇ gọi chuỗi tâm g Định nghĩa Đại số Lie g gọi lũy linh tồn k ∈ N cho gk = Ví dụ 1) Mọi đại số Lie g giao hoán lũy linh 2) Đại số Lie Heisenberg (3-chiều) g = a b 0 c 0 | a, b, c ∈ R lũy linh Tổng quát, đại số Lie Heisenberg (2n + 1)-chiều đại số Lie lũy linh 3) Xét n(k, K) đại số Lie gl(k, K) bao gồm ma trận tam giác ngặt Khi đó, n(k, K) đại số Lie lũy linh Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.5.3] Cho g đại số Lie Khi điều kiện sau tương đương: 1) g đại số Lie lũy linh 2) Tồn số nguyên dương l thỏa mãn: [[ [[X0 , X1 ], X2 ] , Xl−1 ], Xl ] = 0, ∀X0 , X1 , , Xl ∈ g 3) Tồn dãy giảm C g, C g, , C l g iđêan g thỏa mãn: C g = g, C l g = 0, [C i g, g] ⊆ C i+1 g, i < l Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.5.5] Cho g đại số Lie lũy linh Khi đó, đại số đại số thương g lũy linh Mệnh đề 10 [1, Mệnh đề 1.5.6] Cho g đại số Lie Khi đó, 1) Nếu g đại số Lie lũy linh khác Z(g) khác 2) Nếu g/Z(g) đại số Lie lũy linh g đại số Lie lũy linh Định nghĩa Một tự đồng cấu f ∈ End V gọi lũy linh tồn n ∈ N cho f n = f ◦ f ◦ ◦ f = 10 Định lý 2.1.1 [9, Theorem 1.25] Cho g đại số Lie giải được, V = không gian vector hữu hạn chiều trường K π : g −→ EndK V biểu diễn g V Nếu K đóng đại số, tồn vector riêng v = cho phần tử π(g) Trong trường hợp tổng quát (đối với K), tồn vector riêng cho phần tử π(g) giá trị riêng π(X) với X ∈ g thuộc vào K Hệ [9, Corollary 1.29] Cho g, V, π K giả thiết định lý Lie Khi tồn dãy không gian con: V = V0 ⊇ V1 ⊇ ⊇ Vm = cho Vi ổn định qua tác động π(g) dim(Vi /Vi+1 ) = Từ suy V có sở cho ma trận tương ứng phần tử thuộc π(g) có dạng tam giác 2.2 Biểu diễn liên hợp đại số Lie lũy linh Định nghĩa 11 1) Xét ánh xạ ad : g −→ gl(g) X −→ ad X : g −→ g Y −→ ad X(Y ) = [X, Y ] Khi ad đồng cấu đại số Lie nên biểu diễn g gọi biểu diễn liên hợp g 2) Mỗi phần tử D thuộc EndK g cho D[X, Y ] = [X, DY ] + [DX, Y ], ∀X, Y ∈ g gọi đạo hàm 11 Từ định nghĩa suy ∀X ∈ g, ad X đạo hàm 3) Cho V không gian vector, π biểu diễn g V W không gian vector V Khi W gọi ổn định π π(x)(W ) ⊂ W, ∀x ∈ g Mệnh đề 11 [9, Proposition 1.32] Cho g đại số Lie hữu hạn chiều ad : g → End g biểu diễn liên hợp g Khi mệnh đề sau tương đương: a) g lũy linh b) ad g = {ad X|X ∈ g} lũy linh Bây khảo sát kết quan trọng đại số Lie lũy linh thể Định lý Engel Định lý 2.2.1 [9, Theorem 1.35] Cho V = không gian vector hữu hạn chiều trường F, g đại số Lie gồm tự đồng cấu lũy linh V Khi đó, a) g đại số Lie lũy linh b) Tồn v = 0, v ∈ V thỏa X(v) = 0, ∀X ∈ g c) Trong sở thích hợp V , phần tử X ∈ g có dạng tam giác ngặt Hệ [9, Corollary 1.38] Cho g đại số Lie hữu hạn chiều ad : g → End(g) biểu diễn liên hợp g Khi mệnh đề sau tương đương a) g lũy linh b) ad X lũy linh với X thuộc g Mệnh đề 12 [5, Proposition 1.41] Cho g đại số Lie hữu hạn chiều, số iđêan giải g, tồn iđêan chứa tất iđêan giải khác Định nghĩa 12 Trong đại số Lie g , iđêan giải lớn g chứa tất iđêan giải khác gọi (radical) g 12 Căn đại số Lie có tính chất sau: Mệnh đề 13 [5, Proposition 1.4.3] Iđêan a đại số Lie g a iđêan nhỏ g cho đại số Lie thương g/a có tầm thường Định nghĩa 13 Cho π biểu diễn g V Dãy (V0 , V1 , , Vn ) g-modun V cho V = V0 ⊃ V1 ⊃ ⊃ Vn = gọi dãy hợp thành π Một dãy hợp thành (V0 , V1 , , Vn ) cho g- modun Vi /Vi+1 (0 ≤ i < n) đơn gọi dãy Jordan-Holder Đối với biểu diễn đơn đại số Lie g, ta có tính chất: Bổ đề [5, Lemma 1.4.5] Cho a iđêan g, V không gian vector hữu hạn chiều, π biểu diễn đơn g V cho phần tử π(a) lũy linh Khi đó, π(a) = Bổ đề [5, Lemma 1.4.6] Cho a iđêan g, V không gian vector hữu hạn chiều, π biểu diễn g V (V0 , V1 , , Vn ) dãy Jordan-Holder g-modun V Khi điều kiện sau tương đương: a) Với x ∈ a, π(x) lũy linh b) Với x ∈ a, ta có: π(x)(V0 ) ⊂ V1 , π(x)(V1 ) ⊂ V2 , , π(x)(Vn−1 ) ⊂ Vn Mệnh đề 16 ([5] Proposition 1.4.7) Cho V không gian vector hữu hạn chiều, π biểu diễn g V , b dạng song tuyến tính kết hợp với π Khi đó: a) Trong số iđêan a g cho phần tử π(a) lũy linh, tồn iđêan n chứa tất iđêan lại 13 b) Nếu (V0 , V1 , , Vn ) dãy Jordan-Holder g-modun V πi biểu diễn g Vi /Vi+1 cảm sinh từ π, ta có n = Ker π0 ∩ Ker π1 ∩ ∩ Ker πn−1 Định nghĩa 15 Iđêan n Mệnh đề gọi iđêan có tính lũy linh lớn π Mệnh đề 17 [5, Proposition 1.4.9] Cho n iđêan có tính lũy linh lớn biểu diễn liên hợp đại số Lie g Khi n iđêan lũy linh lớn g 2.3 2.3.1 Biểu diễn liên hợp số đại số Lie cụ thể Biểu diễn liên hợp đại số Lie Heisenberg Xét đại số Lie Heisenberg (2n + 1)-chiều a1 a2 0 0 g = 0 0 0 · · · an c · · · b1 | a , b , c ∈ R i = 1, n i i · · · bn ··· 0 Lấy {Ei , Fi , C | i = 1, n sở g, đó: Ei ma trận vị trí vị trí cịn lại Fi ma trận vị trí bi vị trí cịn lại C ma trận vị trí c vị trí cịn lại Khi ta có: [Ei , Ej ] = [Fi , Fj ] = [Ei , C] = [Fi , C] = [C, C] = 0, ∀i, j = 1, n C i = j Và [Ei , Fj ] = i = j n ∀X ∈ g, X = n βi Fi + γC αi , βi , γ ∈ R ∀i, j = 1, n αi Ei + i=0 i=0 14 n n Suy βi [Fi , E1 ] + γ[C, E1 ] = −β1 C αi [Ei , E1 ] + adX(E1 ) = i=0 adX(E2 ) n adX(F1 ) = i=0 = −β2 C, , adX(En ) = −βn C n βi [Fi , F1 ] + γ[C, F1 ] = α1 C αi [Ei , F1 ] + i=0 i=0 Tương tự, adX(E adX(C) = ) = α2 C, , adX(En ) = αn C ··· 0 ··· 0 ··· 0 · · · 0 · · · 0 · · · 0 Từ đó, adX = ··· 0 · · · 0 −β1 · · · −βn α1 · · · αn 2.3.2 Biểu diễn liên hợp đại số Lie so(n, R) g = so(3, R) = b −b −c −f c f | b, c, f ∈ R Lấy sở {E1 , E2 , E3 } g sau: E1 = −1 0 , E2 = 0 0 0 , E3 = −1 0 0 0 −1 Khi [E1 , E2 ] = E1 E2 − E2 E1 = −E3 [E1 , E3 ] = E1 E3 − E3 E1 = E2 [E2 , E3 ] = E2 E3 − E3 E2 = −E1 Suy ∀X ∈ g, X = α1 E1 +α2 E2 +α3 E3 ; αi ∈ R, i = 1, 2, ta có adX(E1 ) = α1 [E1 , E1 ] + α2 [E2 , E1 ] + α3 [E3 , E1 ] = α2 E3 − α3 E2 , adX(E2 ) = α1 [E1 , E2 ] + α2 [E2 , E2 ] + α3 [E3 , E2 ] = −α1 E3 + α3 E1 , adX(E3 ) = α1 [E1 , E3 ] + α2 [E2 , E3 ] + α3 [E3 , E3 ] = α1 E2 − α2 E1 Vậy adX = −α3 −α2 −α3 α1 α2 −α1 15 Chương CẤU TRÚC CỦA ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN Trong chương tập trung khảo sát cấu trúc đại số Lie nửa đơn thể qua việc xác định đại số Cartan, phân tích không gian nghiệm ứng dụng cho số đại số Lie nửa đơn Các khái niệm kết chủ yếu tham khảo tài liệu [5], [9] 3.1 Đại số Lie nửa đơn Định nghĩa 16 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường k a) g gọi đơn g khơng giao hốn khơng tồn iđean khác không thực g b) g gọi nửa đơn g khơng có iđêan giải khác khơng nào, tức rad(g) = Ví dụ 13 1) Đại số Lie g = R3 với tích Lie tích vector có sở i, j, k thỏa mãn: [i, j] = k, [j, k] = i, [k, i] = j Khi ta có g = [g, g] nên g đại số Lie đơn Các ví dụ sau có tính chất tương tự Ví dụ 1) 16 2) Đại số Lie g = so(3, R) = a b −a c −b −c | a, b, c ∈ R đại số Lie đơn Tổng quát, so(2n + 1, R) đại số Lie đơn với n ≥ a b 3) Đại số Lie g = sl(2, R) = c −a | a, b ∈ R đại số Lie đơn Tổng quát, g = sl(n, R) đại số Lie đơn với n ≥ Định nghĩa 17 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K Xét ánh xạ: B: g × g −→ K (X, Y ) −→ B(X, Y ) = T r(adX.adY ) Khi B song tuyến tính K gọi dạng Killing g Định lý 3.1.1 [5, Theorem 1.5.2] Các điều kiện sau tương đương: (a) g đại số Lie nửa đơn (b) Mọi iđêan giao hoán g triệt tiêu (c) Dạng Killing g không suy biến Định lý 3.1.2 [5, Proposition 1.5.5] Đại số Lie g nửa đơn g tích đại số Lie đơn 3.2 Đại số Cartan đại số Lie Định nghĩa 18 Cho h đại số Lie hữu hạn chiều trường C , π biểu diễn h không gian vector phức V h∗ = {α : h −→ C} không gian đối ngẫu h Với α ∈ h∗ ta xét Vα = v ∈ V | (π(H) − α(H).1)n v = 0, ∀H ∈ h n = n(H, v) 17 Nếu Vα = Vα gọi không gian trọng tổng quát α gọi trọng , phần tử v ∈ Vα gọi vector trọng tổng quát Ta xét trường hợp V hữu hạn chiều Trong trường hợp này, phần tử π(H) − α(H).1 có giá trị riêng tổng quát Vα lũy linh khơng gian Vì vậy, n(H, v) = dimV Mệnh đề 19 [9, Proposition 2.4] Cho h đại số Lie lũy linh C π biểu diễn h không gian vector phức hữu hạn chiều V Khi đó, tồn số hữu hạn trọng tổng quát không gian trọng tổng quát ổn định qua π(h) Ngoài ra, phân tích V thành tổng trực tiếp tất không gian trọng tổng quát Sự phân tích gọi phân tích khơng gian trọng V Mệnh đề 20 [9, Proposition 2.5] Cho g đại số Lie hữu hạn chiều C h đại số Lie lũy linh g Khi đó, khơng gian trọng tổng qt g ứng với adg h có tính chất sau: (a) g = ⊕gα , với gα xác định gα = X ∈ g | (adH − α(H).1)n X = 0, ∀H ∈ h n = n(H, X) (b) h ⊆ g0 (c) [gα , gβ ] ⊆ gα+β (với gα+β = α + β không trọng tổng quát) Hệ [9, Corollary 2.6] g0 đại số đại số Lie g Định nghĩa 19 (Đại số Cartan) Cho g đại số Lie phức hữu hạn chiều h đại số Lie lũy linh g Khi h gọi đại số Lie Cartan h = g0 18 Mệnh đề 21 [9, Proposition 2.7] Cho g đại số Lie phức hữu hạn chiều h đại số Lie lũy linh g Khi h đại số Cartan ta có h = Ng (h) = {X ∈ g | [X, h] ⊆ h} Định lý 3.2.1 [5, Theorem 2.9] Bất kỳ đại số Lie phức hữu hạn chiều có đại số Cartan Định lý 3.2.2 [9, Theorem 2.9’] Nếu X phần tử quy đại số Lie phức g hữu hạn chiều đại số Lie g0,X đại số Cartan g Để xét tính đại số Cartan, ký hiệu Int g nhóm tự đẳng cấu đại số Lie g Ta có kết sau Định lý 3.2.3 [9, Theorem 2.15] Cho h1 h2 đại số Cartan đại số Lie phức hữu hạn chiều g Khi tồn phần tử ϕ ∈ Int g cho ϕ(h1 ) = h2 3.3 Phân tích khơng gian nghiệm Cho g đại số Lie phức nửa đơn Khi đại số Cartan có đặc trưng riêng thể kết sau Mệnh đề 22 [5, Proposition 2.10] Nếu g đại số Lie phức nửa đơn h đại số Cartan g h Abel Định nghĩa 21 Cho g đại số Lie phức nửa đơn h đại số Cartan g Khi trọng tổng quát khác ad h g gọi nghiệm g h Ta kí hiệu tập tất 19 nghiệm ∆ ∆(g, h) Suy Mệnh đề 20a viết lại sau: g=h⊕ gα α∈∆ Sự phân tích gọi phân tích không gian nghiệm g h Với α ∈ ∆, phần tử gα gọi vector nghiệm 3.4 Cấu trúc số đại số Lie nửa đơn cụ thể 3.4.1 Đại số Lie sl(n, C) Ta khảo sát cấu trúc đại số Lie nửa đơn g = sl(n, C), n ≥ thơng qua sựphân tích khơng gian cănnghiệm tương ứng h | hi ∈ C đại số Lie sl(n, C) Gọi h = hn gồm tất ma trận chéo với hệ số phức Xét phần tử Eij ∈ g ma trận lấy giá trị vị trí thứ (i, j) vị trí cịn lại Ta định nghĩa phần tử ei ∈ h∗ xác định sau: h1 ei = hi , ∀i = 1, n hn Khi với H ∈ h, ad H có ma trận dạng chéo sở g bao gồm phần tử h Eij (i = j ) Ta có (ad H)Eij = [H, Eij ] = (hi − hj )Eij = (ei (H) − ej (H))Eij Suy Eij (i = j) vector riêng cho tất phần tử ad H (H ∈ h) ứng với giá trị riêng ei (H) − ej (H) Do tính khơng phụ thuộc vào H , 20 giá trị riêng tuyến tính Suy giá trị riêng phiếm hàm tuyến tính ei − ej h Khi ta có sl(n, C) = h ⊕ CEij i=j Với α ∈ h∗ , đặt gα = {X ∈ g|(ad H)X = α(H)X, ∀H ∈ h} Suy gei −ej = CEij , ∀i = j h = g0 , tức h đại số Cartan sln (C) Như ta có phân tích khơng gian nghiệm sau: sl(n, C) = h ⊕ gei −ej , i=j với tập nghiệm ∆ = {ei − ej ∈ h∗ | i = j, i, j = 1, n} 3.4.2 Đại số Lie so(2n + 1, C) Xét đại số Lie nửa đơn g = so(2n + 1, C), n ≥ 1, ta a12 a13 ··· −a a · ·· 12 23 −a13 −a · · · 23 so(2n+1, C) = −a1,2n+1 −a2,2n+1 −a3,2n+1 · · · A1 A2 Gọi h = An với Ai = có a1,2n+1 a2,2n+1 a3,2n+1 | a ∈ C ij ··· 0 −ai đại số Lie g Ta định nghĩa phần tử ej ∈ h∗ sau: ej (H) = hj , ∀H ∈ h, ∀j = 1, n Xét sở so(2n + 1, C) bao gồm phần tử sau, với i = j : Eij − Ej+n,i+n ma trận tất lấy giá trị vị trí 21 (i, j) -1 vị trí (j + n, i + n) Ei,j+n − Ej,i+n ma trận tất lấy giá trị hai vị trí (i, j + n) -1 vị trí (j, i + n) Ei+n,j − Ej+n,i ma trận tất lấy giá trị hai vị trí (i + n, j) -1 vị trí (j + n, i) Ei,2n+1 − E2n+1,n+i ma trận tất lấy giá trị hai vị trí (i, 2n + 1) -1 vị trí (2n + 1, n + i) En+i,2n+1 − E2n+1,i ma trận tất lấy giá trị hai vị trí (n + i, 2n + 1) -1 vị trí (2n + 1, i) Khi ∀H ∈ h ta có (adH)(Eij − Ej+n,i+n ) = (ei (H) − ej (H))(Eij − Ej+n,i+n ) (adH)(Ei,j+n − Ej,i+n ) = (ei (H) + ej (H))(Ei,j+n − Ej,i+n ) (adH)(Ei+n,j − Ej+n,i ) = (−ei (H) − ej (H))(Ei+n,j − Ej+n,i ) (adH)(Ei,2n+1 − E2n+1,n+i ) = ei (H)(Ei,2n+1 − E2n+1,n+i ) (adH)(En+i,2n+1 − E2n+1,i ) = −ei (H)(En+i,2n+1 − E2n+1,i ) Suy Eij − Ej+n,i+n , Ei,j+n − Ej,i+n , Ei+n,j − Ej+n,i , Ei,2n+1 − E2n+1,n+i , En+i,2n+1 − E2n+1,i vector riêng cho ad H (H ∈ h) ứng với giá trị riêng ei − ej , ei + ej , −ei − ej , ei , −ei Bây với α ∈ h∗ , ký hiệu gα = {X ∈ g|(adH)X = α(H)X, ∀H ∈ h} Khi ta có gα = CEα h = g0 , tức h đại số Cartan so(2n + 1, C) ta có phân tích khơng gian nghiệm sau: so(2n + 1, C) = h ⊕ gα , α∈∆ với tập nghiệm ∆ = {±ei ± ej với i = j} ∪ {±ek } 22 3.4.3 Đại số Lie so(2n, C) a12 a13 −a a23 12 −a13 −a 23 g = so(2n, C) = −a1,2n −a2,2n −a3,2n đại số Lie nửa đơn với n ≥ A1 A2 Gọi h = An · · · a1,2n · · · a2,2n · · · a3,2n | a ∈ C ij ··· ··· với Ai = −ai đại số Lie g Khi đó, tương tự trường hợp so(2n+1, C), ta chứng minh h h đại số Cartan so(2n, C) thu phân tích khơng gian nghiệm so(2n, C) sau: so(2n, C) = h ⊕ gα , α∈∆ gα = CEα tập nghiệm ∆ = {±ei ±ej với i = j} 3.4.4 Đại số Lie Symplectic sp(n, C) a11 · · · a1n an1 · · · ann Ta có g = sp(n, C) = c · · · c1n 11 c1n · · · cnn đại sốLie nửa đơn với n ≥ h1 hn Gọi h = H = −h1 b11 b1n −a11 −a1n · · · b1n · · · bnn · · · −an1 · · · −ann −hn | hi ∈ C 23 đại số Lie g Ta định nghĩa phần tử ej ∈ h∗ sau: ei (H) = hi , ∀H ∈ h, ∀i = 1, n Xét sở sp(n, C) bao gồm phần tử sau, với i = j : Eij − Ej+n,i+n ma trận tất lấy giá trị vị trí (i, j) -1 vị trí (j + n, i + n) Ei,j+n + Ej,i+n ma trận tất lấy giá trị hai vị trí (i, j + n) (j, i + n) Ei+n,j + Ej+n,i ma trận tất lấy giá trị hai vị trí (i + n, j) (j + n, i) Ek,k+n ma trận tất lấy giá trị vị trí (k, k+n) Ek+n,k ma trận tất vị trí (k + n, k) Khi với phần tử H ∈ h ta có (ad H)(Eii − Ei+n,i+n ) = (ad H)(Eij − Ej+n,i+n ) = (ei (H) − ej (H))(Eij − Ej+n,i+n ) (ad H)(Ei,j+n + Ej,i+n ) = (ei (H) + ej (H))(Ei,j+n + Ej,i+n ) (ad H)(Ei+n,j + Ej+n,i ) = (−ei (H) − ej (H))(Ei+n,j + Ej+n,i ) (ad H)(Ek,k+n ) = 2hk Ek,k+n = 2ek (H)Ek,k+n (ad H)(Ek+n,k ) = −2hk Ek+n,k = −2ek (H)Ek+n,k Với α ∈ h∗ , ký hiệu gα = {X ∈ g|(adH)X = α(H)X, ∀H ∈ h} Tương tự trường hợp trên, ta có h = g0 , tức h đại số Cartan sp(n, C) thu phân tích khơng gian nghiệm sau: sp(n, C) = h ⊕ gα , α∈∆ tập nghiệm ∆ = {±ei ± ej với i = j} ∪ {±2ek } 24 KẾT LUẬN Qua luận văn này, tổng quan số kết đại số Lie biểu diễn liên hợp, thể đại số Lie cụ thể ứng dụng để khảo sát cấu trúc đại số Lie nửa đơn Kết đạt chủ yếu luận văn thể Chương Chương cụ thể sau: 1) Trong chương 2, khảo sát biểu diễn liên hợp đại số Lie mối tương quan với đại số Lie lũy linh ứng dụng để xác định biểu diễn liên hợp số đại số Lie cụ thể đại số Lie Heisenberg, đại số Lie so(n, R), 2) Trong Chương 3, khảo sát cấu trúc đại số Lie nửa đơn thể qua việc xác định đại số Cartan, phân tích khơng gian nghiệm ứng dụng cho số đại số Lie nửa đơn xét Chương Các kết đạt luận văn khiêm tốn giúp cho thân hiểu biết thêm cấu trúc đại số Lie biểu diễn liên hợp mối liên hệ với đại số Lie nửa đơn Trong thời gian đến, chúng tơi mong muốn có điều kiện tiếp tục phát triển kết đạt được, khảo sát sâu cấu trúc đại số Lie nửa đơn lớp đại số Lie liên quan ... đề tài "Biểu diễn liên hợp cấu trúc đại số Lie nửa đơn" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu biểu diễn liên hợp đại số Lie, thể qua số đại số Lie cụ thể đại số Lie giải được, đại số Lie luỹ linh ứng... dụng để khảo sát cấu trúc đại số Lie nửa đơn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khảo sát biểu diễn liên hợp đại số Lie thể biểu diễn liên hợp cho trường hợp đại số Lie Heisenberg, đại số Lie Symplectic,... tính lũy linh lớn biểu diễn liên hợp đại số Lie g Khi n iđêan lũy linh lớn g 2.3 2.3.1 Biểu diễn liên hợp số đại số Lie cụ thể Biểu diễn liên hợp đại số Lie Heisenberg Xét đại số Lie Heisenberg