MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC

Header Page of 50 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  BÁO CÁO TỔNG KẾT Đề tài khoa học công nghệ cấp sở MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC Mà SỐ: CS.2011.19.52 CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: TS DƯƠNG MINH THÀNH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2012 Footer Page of 50 Header Page of 50 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Giáo sư Georges Pinczon Giáo sư Rosane Ushirobira, người thầy đáng kính nghiêm khắc dành cho tác giả động viên, giúp đỡ phối hợp công việc nghiên cứu khoa học năm qua thời gian tới Tác giả chân thành cảm ơn Phó Giáo sư Tiến sĩ Lê Anh Vũ Phó Giáo sư Tiến sĩ khoa học Lê Văn Hoàng nhận lời phản biện đề tài Những ý kiến xác đáng họ giúp tác giả hoàn chỉnh báo cáo đề tài Tác giả xin chuyển lời cảm ơn tới anh Nguyễn Vĩnh Khương, Phòng Khoa học Công nghệ Môi trường - Tạp chí Khoa học, người phối hợp thực vai trò thư ký khoa học Xin gửi lời cảm ơn anh Hoàng Đức Tâm, người phụ trách mảng nghiên cứu khoa học Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Lời cảm ơn xin chuyển đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Tổ Toán lý Khoa Vật lý, Phòng Khoa học Công nghệ Môi trường - Tạp chí Khoa học, Phòng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện vật chất tinh thần cho tác giả hoàn thành đề tài khoa học Footer Page of 50 Header Page of 50 DANH SÁCH NHỮNG NGƯỜI THAM GIA THỰC HIỆN ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Cá nhân tham gia thực đề tài Nguyễn Vĩnh Khương, Phòng Khoa học Công nghệ Môi trường - Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh – Thư ký khoa học Đơn vị phối hợp Viện Toán học Bourgogne, Dijon, Pháp (do GS Georges Pinczon đại diện) Footer Page of 50 Header Page of 50 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH SÁCH NHỮNG NGƯỜI THAM GIA THỰC HIỆN ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH MỤC LỤC TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ SUMMARY MỞ ĐẦU Chương CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG 13 1.1 Định nghĩa số kết 13 1.2 Các đại số Lie toàn phương kì dị 17 Chương PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG KÌ DỊ 21 2.1 Các đại số toàn phương kì dị dạng 𝑺𝟑 .21 2.2 Các đại số toàn phương kì dị dạng 𝑺𝟏 .21 2.3 Mở rộng kép đại số Lie toàn phương kì dị 22 2.4 Phân loại đại số Lie toàn phương kì dị 25 Chương KẾT LUẬN 29 3.1 Một số kết khác 29 3.2 Một số hướng nghiên cứu tương lai 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 Footer Page of 50 Header Page of 50 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ Tên đề tài: Một lớp đại số Lie quadratic Mã số: CS.2011.19.52 Chủ nhiệm đề tài: TS Dương Minh Thành Tel: 0908 453 764 E-mail: thanhdmi@hcmup.edu.vn Cơ quan chủ trì đề tài: Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Cơ quan cá nhân phối hợp thực hiện: • Nguyễn Vĩnh Khương, Phòng Khoa học Công nghệ Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh – Thư ký khoa học • Viện Toán học Bourgogne, Dijon, Pháp (do GS Georges Pinczon đại diện) Thời gian thực hiện: Từ tháng 04 năm 2011 đến tháng 04 năm 2012 Mục tiêu: Đề tài nhằm nghiên cứu liệt kê toàn lớp quan trọng đại số Lie quadratic dựa bất biến G Pinczon R Ushirobira Đề tài khởi đầu cho đề tài tác giả việc nghiên cứu đối tượng đại số quadratic khác Đề tài phải đạt sản phẩm khoa học sản phẩm đào tạo Nội dung chính: a) Chúng đề xuất nghiên cứu lớp đại số Lie quadratic (tạm dịch lớp đại số Lie toàn phương) dựa bất biến G Pinczon R Ushirobira đưa vào năm 2007 Lớp đại số đặt tên lớp đại số Lie toàn phương kì dị đối tượng nghiên cứu đề tài b) Áp dụng công cụ mở rộng kép để nghiên cứu lớp đại số Lie toàn phương kì dị c) Nghiên cứu cấu trúc lớp đại số Lie toàn phương kì dị dựa vào công cụ mở rộng kép, Phân tích Fitting khái niệm tích trộn Footer Page of 50 Header Page of 50 d) Từ kết trên, lớp đại số Lie toàn phương kì dị phân loại hoàn toàn Phân loại tương đương với phân loại quỹ đạo phụ hợp không gian xạ ảnh đại số Lie cổ điển o(n) Kết đạt (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế - xã hội): a) Chúng nghiên cứu phân loại toàn đại số Lie toàn phương kì dị Đồng thời tính toán chiều toàn phương chúng đưa bất biến đại số Lie quadratic Các kết đăng công trình : M.T Duong, G Pinczon and R Ushirobira, A new invariant of quadratic Lie algebras, Journal of Algebra and Representation Theory, online first 2011, 41 pages b) Các kết báo cáo phần Seminar nhóm học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học Tôpô, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh c) Các kết đề tài chọn báo cáo Hội nghị toàn quốc Đại số - Hình học – Tôpô tổ chức Đại học Thái nguyên từ ngày đến ngày tháng 11 năm 2011 d) Đề tài làm nảy sinh nhiều vấn đề cần quan tâm nghiên cứu Chúng tiếp tục nghiên cứu vấn đề Đề tài nghiên cứu khoa học cấp năm 2013 dự kiến đăng ký thời gian tới Footer Page of 50 Header Page of 50 SUMMARY Project Title: A subclass of quadratic Lie algebras Code number: CS.2011.19.52 Coordinator: Dr Duong Minh Thanh Implementing Institution: Department of Physics, Ho Chi Minh City University of Pedagogy Cooperating Institution(s): • Nguyen Vinh Khuong, Department of Science, Technology and Journal of Science, Ho Chi Minh City University of Pedagogy • Institute of Bourgogne, Dijon, France (represented by Professor Georges Pinczon) Duration: from April 2011 to April 2012 Objectives: Research and list completely an important subclass of quadratic Lie algebras based on an invariant of G Pinczon and R Ushirobira The project is a foundation for next works in researching other quadratic algebraic objects It must make scientific products and training results Main contents: a) We suggest researching a subclass of quadratic Lie algebras based on an invariant given by G Pinczon and R Ushirobira in 2007 Such algebras are called singular quadratic Lie algebras and they are the main object of our project b) We study singular quadratic Lie algebras by applying the method of double extension given by V Kac, A Medina and P Revoy c) The structure of a singular quadratic Lie algebra can be described by double extensions, the Fitting decomposition and the notion of amalgamated product Footer Page of 50 Header Page of 50 d) By the results above, singular quadratic Lie algebras are completely classified Their classification is equivalent to the classification of adjoint orbits in the projective space of o(n) Results obtained: a) We researched and completely classified singular quadratic Lie algebras Moreover, we also calculated their quadratic dimension and gave a new invariant of quadratic Lie algebras These results can be found in the article: M.T Duong, G Pinczon and R Ushirobira, A new invariant of quadratic Lie algebras, Journal of Algebra and Representation Theory, online first 2011, 41 pages b) The above results are talked in seminars of post-graduate students of geometry and topology at Ho Chi Minh city University of Pedagogy c) The project is talked in the national conference of Algebra – Geometry – Topology organized at Thai Nguyen University from 3rd to 5th November, 2011 d) There are some new problems from the project that we are going to research in a ministry project in the future Footer Page of 50 Header Page of 50 Footer Page of 50 Header Page 10 of 50 MỞ ĐẦU Các không gian vectơ báo cáo xét trường số phức ℂ hữu hạn chiều Như biết, dạng Killing công cụ hữu ích việc nghiên cứu đại số Lie nửa đơn nhờ tính chất đối xứng, bất biến không suy biến Chẳng hạn Tiêu chuẩn Cartan toán phân loại đại số Lie nói g đại số Lie nửa đơn dạng Killing không suy biến Chứng minh Định lý Kostant-Morosov Lý thuyết Lie sử dụng tính chất bất biến không suy biến dạng Killing Nhắc lại Định lý Kostant- Morosov định lý đóng vai trò trung tâm toán phân loại quỹ đạo phụ hợp đại số Lie cổ điển o(m) sp(2n) (xem tài liệu [7] để biết thêm chi tiết) Một câu hỏi đặt liệu có tồn đại số Lie mà có dạng song tuyến tính đối xứng bất biến không suy biến không? Ta gọi đại số Lie đại số Lie toàn phương Tất nhiên theo Tiêu chuẩn Cartan ta xét câu hỏi cho lớp đại số Lie giải câu trả lời có, ví dụ cho chúng đại số Lie kim cương g = span{X, P, Q, Z} với tích Lie xác định: [X, P] = P, [X, Q] = - Q [P,Q]= Z, dạng song tuyến tính đối xứng cho B(X,Z) = B(P,Q) = 1, trường hợp khác Đây đại số Lie giải bốn chiều nghiên cứu nhiều Lý thuyết Lie Một ví dụ khác quen thuộc Lý thuyết đại số Lie sau: cho g đại số Lie g* không gian đối ngẫu g Biểu diễn đối phụ hợp ad*: g → End(g*) định nghĩa ad*(X)(f )(Y) = - f ([X,Y]), với 𝑋, 𝑌 ∈ g 𝑓 ∈g* tương đương: ad*(X)(f ) = −𝑓 ∘ ad(𝑋) Ta xét tích nửa trực tiếp h = g ⊕ g* ánh xạ ad* sau: tương đương: Footer Page 10 of 50 [𝑋, 𝑌]h = [𝑋, 𝑌]g , [𝑋, 𝑓] = ad∗ (𝑋)(𝑓) , [𝑓, 𝑔] = Header Page 19 of 50 Khi adP (Ω) super-đạo hàm có bậc 𝑘 − đại số 𝐴(𝑉 ), tức là: ′ adP (Ω)��Ω′ , Ω′′ �� = �adP (Ω)�Ω′ �, Ω′′ � + (−1)𝑘𝑘 �Ω, adP (Ω)�Ω′′ �� ′ với Ω′ ∈ 𝐴𝑘 (𝑉 ), Ω′′ ∈ 𝐴(𝑉 ) Điều chứng tỏ 𝐴(𝑉 ) đại số Lie phân bậc với tích super-Poisson Mệnh đề 1.12 [13] sau : Cho (g, B ) đại số Lie toàn phương Định nghĩa 3-dạng tuyến tính 𝐼 g Khi ta có : 𝐼(𝑋, 𝑌, 𝑍) = 𝐵([𝑋, 𝑌], 𝑍), ∀𝑋, 𝑌 ∈ g 𝐼 3-dạng phản xứng g (1) Tích super-Poisson {𝐼, 𝐼} = (2) Ngược lại, giả sử g không gian vectơ toàn phương hữu hạn chiều trang bị dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến 𝐵 𝐼 3-dạng phản xứng g thỏa mãn {𝐼, 𝐼} = Ta định nghĩa tích g sau: [𝑋, 𝑌] = 𝜙 −1 (𝜄𝑋∧𝑌 (𝐼)), ∀𝑋, 𝑌 ∈ g Khi tích thỏa mãn Đồng thức Jacobi Trong trường hợp g trở thành đại số Lie toàn phương với 3-dạng liên kết 𝐼 Định nghĩa 1.12 3-dạng 𝐼 mệnh đề gọi 3-dạng liên kết với g Từ kết trên, để nghiên cứu cấu trúc đại số Lie toàn phương không gian vectơ hữu hạn chiều ta tiếp cận theo hướng tìm hiểu tính chất 3dạng liên kết với chúng Chúng ta thấy sau cách tiếp cận 3-dạng 𝐼 dựa khả phân Cho (g, B ) đại số Lie toàn phương 𝐼 3-dạng liên kết với g Đặt 𝑉𝐼 ={α∈g∗ | α ∧ I =0} Mệnh đề 1.13 Nếu g không giao hoán : (1) (2) dim(𝑉𝐼 ) ∈ {0, 1, 3} dim([g, g]) ≥ Footer Page 19 of 50 18 Header Page 20 of 50 (3) I khả phân hoàn toàn dim([g, g]) = Chứng minh Xem [6] [13] Số chiều không gian 𝑉𝐼 dùng để đo độ khả phân 3-dạng 𝐼 Điều dẫn đến định nghĩa số dup đại số Lie toàn phương sau Định nghĩa 1.14 Cho g đại số Lie toàn phương không giao hoán 𝐼 3-dạng liên kết với g Định nghĩa 𝑉𝐼 giống Khi số dup g cho dup(g) = dim(𝑉𝐼 ) Chú ý 1.15 (1) Số dup(g) nhận giá trị 0, g không giao hoán Trường hợp dup(g) = nghiên cứu đại số Lie toàn phương tương ứng phân loại hoàn toàn [13] Do tự nhiên người ta để ý (2) trường hợp dup(g) = ⊥ Nếu g bị phân tích thành g = z⊕l Mệnh đề 1.4 dup(g) = dup(l) Dựa vào giá trị số dup, ta tách tập hợp đại số Lie toàn phương thành lớp sau: Định nghĩa 1.16 Cho g đại số Lie toàn phương không giao hoán (1) (2) g gọi đại số Lie toàn phương thông thường dup(g) = g gọi đại số Lie toàn phương kì dị dup(g) ≠ (i) (ii) g đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆1 dup(g) = g đại số toàn phương kì dị dạng 𝑆3 dup(g) = ⊥ Bổ đề 1.17 Cho g1 g2 đại số Lie toàn phương không giao hoán Khi đó, g1 ⊕ g2 đại số Lie toàn phương thông thường Định nghĩa 1.18 Một đại số Lie toàn phương g gọi bất khả phân có ⊥ g = g1 ⊕ g2 với g1 g2 ideal g g1 g2 = {0} Footer Page 20 of 50 19 Header Page 21 of 50 Nếu cho trước đại số Lie toàn phương g, theo Mệnh đề 1.2 g phân tích thành tổng trực tiếp trực giao ideal bất khả phân Do nghiên cứu đại số Lie toàn phương chuyển nghiên cứu đại số Lie toàn phương bất khả phân Ta có đặc trưng đại số Lie toàn phương kì dị sau: Mệnh đề 1.19 Cho g đại số Lie toàn phương kì dị Khi g rút gọn g bất khả phân Chứng minh Xem phần Phụ lục Footer Page 21 of 50 20 Header Page 22 of 50 Chương PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG KÌ DỊ 2.1 Các đại số toàn phương kì dị dạng 𝑺𝟑 sau : Ta nhắc lại kết phân loại đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆3 [13] ⊥ Mệnh đề 2.1 Cho g đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆3 Khi g = z⊕l với z ideal thuộc tâm không suy biến l đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie toàn phương sau: (1) (2) g3 = sl(2) với dạng song tuyến tính 𝐵 = 𝜆𝜅, 𝜆 ≠ 𝜅 dạng Killing g4 = span{𝑋, 𝑃, 𝑄, 𝑍} với tích Lie xác định [𝑋, 𝑃] = 𝑃, [𝑋, 𝑄] = −𝑄 [𝑃, 𝑄] = 𝑍, tích khác Dạng song tuyến tính đối xứng 𝐵 định (3) nghĩa 𝐵(𝑋, 𝑍) = 𝐵(𝑃, 𝑄) = 1, trường hợp lại g5 = span{𝑋1 , 𝑋2 , 𝑇, 𝑍1 , 𝑍2 } với tích Lie xác định [𝑋1 , 𝑇] = −𝑍2 , [𝑋2 , 𝑇] = 𝑍1 [𝑋1 , 𝑋2 ] = 𝑇, tích khác Dạng song tuyến tính đối xứng 𝐵 (4) định nghĩa 𝐵�𝑋𝑖 , 𝑍𝑗 � = 𝛿𝑖𝑗 , 𝐵(𝑇, 𝑇) = trường hợp lại g6 = span{𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , 𝑍1 , 𝑍2 , 𝑍3 } với tích Lie xác định [𝑋1 , 𝑋2 ] = 𝑍3 , [𝑋2 , 𝑋3 ] = 𝑍1 [𝑋3 , 𝑋1 ] = 𝑍2 , tích khác Dạng song tuyến tính đối xứng 𝐵 định nghĩa 𝐵�𝑋𝑖 , 𝑍𝑗 � = 𝛿𝑖𝑗 , 𝐵(𝑇, 𝑇) = trường hợp lại Nói cách khác, có đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆3 sai khác ideal tâm không suy biến, đại số g4 có tên gọi đại số Lie kim cương nghiên cứu nhiều Toán học Vật lý, đại số g5 g6 lũy linh, xuất nhiều phân loại đại số Lie thấp chiều 2.2 Các đại số toàn phương kì dị dạng 𝑺𝟏 Cho (g, B ) đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆1 𝐼 3-dạng liên kết với g Cố định 𝛼 ∈ 𝑉𝐼 chọn Ω ∈ 𝐴2 (g) cho 𝐼 = 𝛼 ∧ Ω Kí hiệu 𝑋0 = 𝜙 −1 (𝛼) định nghĩa Footer Page 22 of 50 21 Header Page 23 of 50 𝐶: g → g 𝐵(𝐶 (𝑋 ), 𝑌) = Ω(𝑋, 𝑌), với 𝑋, 𝑌 ∈ g Khi 𝐶 ánh xạ phản xứng (tương ứng với 𝐵) Hơn ta có kết sau: Bổ đề 2.2 Các khẳng định sau tương đương : (1) (2) (3) {𝐼, 𝐼} = {𝛼, 𝛼 } = {𝛼, Ω} = 𝐵(𝑋0 , 𝑋0 ) = 𝐶 (𝑋0 ) = Trong trường hợp ta có dim([g, g]) ≥ 4, 𝑍(g) ⊂ ker(𝐶), Im(𝐶) ⊂[g, g] 𝑋0 ∈ 𝑍(g) ∩ [g, g] Chứng minh Sử dụng tính chất tích super-Poisson, chi tiết xem Bổ đề 3.1 , phần Phụ lục Bổ đề 2.3 Tồn phần tử 𝑌0 ∈ g tự đẳng hướng, tức 𝐵(𝑌0 , 𝑌0 ) = 0, cho 𝐵(𝑋0 , 𝑌0 ) = 𝐶 (𝑌0 ) = Cấu trúc đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆1 mô tả qua mệnh đề sau: Mệnh đề 2.4 Giữ định nghĩa kí hiệu ta có khẳng định sau: (1) (2) [𝑋, 𝑌] = 𝐵(𝑋0 , 𝑋 )𝐶 (𝑌) − 𝐵(𝑋0 , 𝑌)𝐶 (𝑋 ) + 𝐵(𝐶 (𝑋 ), 𝑌)𝑋0 cho 𝑋, 𝑌 ∈ g 𝐶 = ad(𝑌0 ) rank(𝐶) số chẳn (3) (4) ker(𝐶) = 𝑍(g) ⊕ C𝑌0 [g, g] = C𝑋0 ⊕Im(𝐶) (5) Chiều [g, g] số lẻ lớn Đại số g giải Hơn nữa, g lũy linh 𝐶 lũy linh Chứng minh mệnh đề sử dụng chủ yếu tính chất tích super-Poisson tính chất 3-dạng 𝐼 2.3 Mở rộng kép đại số Lie toàn phương kì dị Tiếp theo sử dụng công cụ mở rộng kép để phân loại đại số Lie toàn phương kì dị Tuy nhiên, cần sử dụng trường hợp đặc biệt Định nghĩa 1.7, mở rộng kép không gian vectơ toàn phương ánh xạ phản xứng Để người đọc tiện theo dõi, nhắc lại trường hợp đặc biệt Định nghĩa 2.5 Footer Page 23 of 50 22 Header Page 24 of 50 (1) Cho �q, 𝐵q � không gian vectơ toàn phương 𝐶̅ : q → q ánh xạ phản xứng Gọi (t =span{𝑋1 , 𝑌1 }, 𝐵t ) không gian vectơ toàn phương chiều với dạng song tuyến tính đối xứng 𝐵q cho bởi: 𝐵t (𝑋1 , 𝑋1 ) = 𝐵t (𝑌1 , 𝑌1 ) = 0, ⊥ Xét không gian vectơ g = q ⊕ t 𝐵t (𝑋1 , 𝑌1 ) = trang bị dạng song tuyến tính 𝐵 = 𝐵q + 𝐵t định nghĩa g phép toán sau : [𝑋 + 𝜆𝑋1 + 𝜇𝑌1 , 𝑌 + 𝜆′ 𝑋1 + 𝜇′ 𝑌1 ] = 𝜇𝐶̅ (𝑌) − 𝜇′𝐶̅ (𝑋) + 𝐵(𝐶̅ (𝑋), 𝑌)𝑋1 với 𝑋, 𝑌 ∈ q, 𝜆, 𝜇, 𝜆′, 𝜇′ ∈ ℂ Khi (g, 𝐵) đại số Lie toàn phương giải (2) Ta nói g mở rộng kép q 𝐶̅ Cho g𝑖 tương ứng mở rộng kép không gian vectơ toàn phương (q𝑖 , 𝐵𝑖 ) ánh xạ phản xứng 𝐶𝑖̅ : q𝑖 → q𝑖 với ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 Khi tích trộn định nghĩa sau: g = g1 × g2 × … × g𝑘 𝑎 𝑎 𝑎 • Xét không gian vectơ toàn phương (q, 𝐵), q = q1 ⊕ q2 ⊕ … ⊕ q𝑘 𝐵 dạng song tuyến tính cho 𝐵�∑𝑘𝑖=1 𝑋𝑖 , ∑𝑘𝑖=1 𝑌𝑖 � = ∑𝑘𝑖=1 𝐵(𝑋𝑖 , 𝑌𝑖 ), với 𝑋𝑖 , 𝑌𝑖 ∈ q𝑖 , ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 • Ánh xạ phản xứng 𝐶̅ : q → q xác định 𝐶̅ �∑𝑘𝑖=1 𝑋𝑖 � với 𝑋𝑖 ∈ q𝑖 , ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 g mở rộng kép q 𝐶̅ Mệnh đề 2.6 Cho g mở rộng kép q 𝐶̅ theo định nghĩa Khi (1) (2) [𝑋, 𝑌] = 𝐵(𝑋1 , 𝑋 )𝐶 (𝑌) − 𝐵(𝑋1 , 𝑌)𝐶 (𝑋 ) + 𝐵(𝐶 (𝑋 ), 𝑌)𝑋1 , 𝐶 = ad(𝑌1 ) Hơn nữa, 𝑋1 ∈ 𝑍(g) 𝐶 |q = 𝐶̅ ∀𝑋, 𝑌 ∈ g , � = 𝜆𝐶̅ , 𝜆 ∈ ℂ, 𝜆 ≠ Khi g g′ đẳng cấu Giả sử g′ mở rộng kép q 𝐶′ đẳng cự Từ Mệnh đề 2.4 (1) ta dể dàng chứng minh kết sau: Mệnh đề 2.7 Footer Page 24 of 50 23 Header Page 25 of 50 (1) (2) Cho g đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆1 Khi g mở rộng kép q = (ℂ𝑋0 ⊕ ℂ𝑌0 )⊥ 𝐶̅ = ad(𝑌0 )|q Cho g mở rộng kép không gian vectơ toàn phương q ánh xạ 𝐶̅ ≠ Khi g đại số Lie toàn phương giải kì dị Cụ thể hơn, (i) g dạng 𝑆3 rank(𝐶̅ ) = (ii) g dạng 𝑆1 rank(𝐶̅ ) ≥ (iii) g rút gọn ker(𝐶̅ ) ⊂ Im(𝐶̅ ) (iv) g lũy linh 𝐶̅ lũy linh Như vấn đề lại xét trường hợp đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆3 Ở khía cạnh mở rộng kép, ta hoàn toàn mô tả chúng trường hợp giải Tuy nhiên việc chứng minh đòi hỏi phải sử dụng kết phân loại O(𝑛)-quỹ đạo phụ hợp o(𝑛) với 𝑛 nhỏ (xem phần Phụ lục tài liệu [7] để biết thêm chi tiết) Mệnh đề 2.8 Cho g đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆3 Khi g đẳng cấu đẳng ⊥ cự với z⊕l với z ideal thuộc tâm g l đại số Lie toàn phương sau: (1) (2) g3 (𝜆) = o(3) trang bị dạng song tuyến tính 𝐵 = 𝜆𝜅, 𝜆 ∈ ℂ, 𝜆 ≠ 𝜅 dạng Killing g4 , đại số Lie chiều: xét không gian q = ℂ2 , {𝐸1 , 𝐸2 } sở q cho dạng song tuyến tính 𝐵 q cho 𝐵(𝐸1 , 𝐸1 ) = 𝐵(𝐸2 , 𝐸2 ) = 0, 𝐵(𝐸1 , 𝐸2 ) = g4 mở rộng kép q ánh xạ phản xứng : (3) 𝐶̅ = � 0 � −1 g5 , đại số Lie chiều : xét không gian q = ℂ3 , {𝐸1 , 𝐸2 , 𝐸3 } sở q cho dạng song tuyến tính 𝐵 q cho 𝐵(𝐸1 , 𝐸3 ) = 𝐵(𝐸2 , 𝐸2 ) = 1, trường hợp khác 0, g5 mở rộng kép q ánh xạ phản xứng : (4) ̅ 𝐶 = �0 0 −1� g6 , đại số Lie chiều: xét không gian q = ℂ4 , {𝐸1 , 𝐸2 , 𝐸3 , 𝐸4 } sở q cho dạng song tuyến tính 𝐵 q cho 𝐵(𝐸1 , 𝐸3 ) = Footer Page 25 of 50 24 Header Page 26 of 50 𝐵(𝐸2 , 𝐸4 ) = 1, trường hợp khác 0, g6 mở rộng kép q ánh xạ phản xứng : 0 𝐶̅ = � 0 0 0 0 −1 0 � 0 Từ hai mệnh đề ta đưa kết kết luận rằng: cho g đại số Lie toàn phương kì dị Khi g giải g mở rộng kép Điều chứng tỏ rằng, để phân loại đại số Lie toàn phương kì dị ta cần phân loại mở rộng kép ℂ𝑛 2.4 Phân loại đại số Lie toàn phương kì dị Cho (q, 𝐵) không gian vectơ toàn phương Kí hiệu O(q) nhóm ánh xạ trực giao q o(q) đại số Lie O(q), tức đại số Lie chứa ánh xạ phản xứng q (tương ứng với dạng song tuyến tính 𝐵) Nhắc lại rằng, tác động phụ hợp tác động nhóm O(q) lên đại số o(q) phép phụ hợp Trong trường hợp q = ℂ𝑛 , ta dùng kí hiệu O(𝑛) o(𝑛) thay cho O(q) o(q) Ta có định lý phân loại đại số Lie toàn phương kì dị sau: Định lý 2.9 Cho (q, 𝐵) không gian vectơ toàn phương Ta kí hiệu g = (ℂ𝑋1 ⊕ ⊥ ⊥ ′ ′ � Khi đó: ℂ𝑌1 )⊕q g' = (ℂ𝑋1 ⊕ ℂ𝑌1 )⊕q mở rộng kép q 𝐶̅ 𝐶′ (1) Tồn đẳng cấu đại số Lie g g' tồn ánh xạ khả nghịch 𝑃: q → q số 𝜆 ∈ ℂ khác cho � = 𝜆 𝑃𝐶̅ 𝑃 −1 𝑃∗ 𝑃𝐶̅ = 𝐶̅ , 𝐶′ (2) 𝑃∗ ánh xạ phụ hợp với 𝑃 tương ứng với 𝐵 � thuộc O(q)-quỹ đạo Tồn đẳng cấu đẳng cự g g' 𝐶′ phụ hợp qua 𝜆𝐶̅ với 𝜆 ∈ ℂ khác Ta kí hiệu 𝑆𝑠 (𝑛 + 2) tập hợp chứa tất cấu trúc đại số Lie toàn phương kì dị 𝑖 giải ℂ𝑛+2 , 𝑆�𝑠 (𝑛 + 2) 𝑆�𝑠 (𝑛 + 2) tương ứng tập hợp lớp đẳng cấu tập hợp lớp đẳng cấu đẳng cự phần tử 𝑆𝑠 (𝑛 + 2) Cho 𝐶̅ ∈ o(𝑛), có mở rộng kép g𝐶̅ liên kết với 𝐶̅ ta có hệ sau Footer Page 26 of 50 25 Header Page 27 of 50 Hệ 2.10 Ánh xạ 𝐶̅ ↦ g𝐶̅ cảm sinh song ánh từ tập hợp 𝑃1� (o(𝑛)) O(𝑛)-quỹ 𝑖 đạo 𝑃1 (o(𝑛)) vào 𝑆�𝑠 (𝑛 + 2), 𝑃1 (o(𝑛)) không gian xạ ảnh đại số Lie o(𝑛 ) Chú ý rằng, dạng yếu hệ đưa [FS], số điều kiện không cần thiết bỏ Do đó, Hệ 2.10 xem mở rộng kết [9] Ngoài ra, hệ phát biểu tổng quát Định lý 2.14 đây, khái niệm đẳng cấu đẳng cự thay khái niệm đẳng cấu Tuy nhiên để chứng minh kết đòi hỏi phải xét định lý ba trường hợp cụ thể: trường hợp lũy linh, trường hợp chéo hóa trường hợp khả nghịch Kí hiệu 𝑁(𝑛 + 2) tập hợp cấu trúc đại số Lie toàn phương kì dị lũy linh � (𝑛 + 2) 𝑁 � 𝑖 (𝑛 + 2) tương ứng tập hợp lớp đẳng cấu tập hợp lớp ℂ𝑛+2 , 𝑁 đẳng cấu đẳng cự 𝑁(𝑛 + 2) Sử dụng Định lý Jacobson-Morosov, chứng minh kết sau: Định lý 2.11 (1) (2) Cho g g' thuộc 𝑁(𝑛 + 2) Khi g đẳng cấu đẳng cự với g' � (𝑛 + 2) = 𝑁 � 𝑖 (𝑛 + 2) chúng đẳng cấu với Do 𝑁 �(𝑛) tập hợp O(𝑛)-quỹ đạo lũy linh o(𝑛) Khi ánh xạ Kí hiệu 𝑁 �(𝑛) vào 𝑁 � (𝑛 + 2) 𝐶̅ ↦ g𝐶̅ cảm sinh song ánh từ 𝑁 � (𝑛 + 2), Chúng ta sử dụng khái niệm tích trộn để mô tả chi tiết tập hợp 𝑁 đại số g thuộc 𝑁(𝑛 + 2) đẳng cấu đẳng cự cách với tích trộn đại số Lie lũy linh dạng Jordan Chi tiết cách mô tả độc giả xem phần Phụ lục Trong trường hợp 𝐶̅ chéo hóa được, tương đương với 𝐶̅ nửa đơn ta gọi g𝐶̅ đại số Lie toàn phương kì dị chéo hóa Kí hiệu 𝐷(𝑛 + 2) tập hợp cấu trúc � (𝑛 + 2) 𝐷 � 𝑖 (𝑛 + 2) tương ứng tập hợp lớp đẳng cấu tập hợp ℂ𝑛+2 , 𝐷 �𝑟 (𝑛 + 2) 𝐷 �𝑟𝑖 (𝑛 + 2) tương ứng tập lớp đẳng cấu đẳng cự 𝐷(𝑛 + 2), 𝐷 � (𝑛 + 2) 𝐷 � 𝑖 (𝑛 + 2) chứa lớp phần tử rút gọn Khi ta có định lý sau: 𝐷 Định lý 2.12 Footer Page 27 of 50 26 Header Page 28 of 50 (1) � 𝑖 (𝑛 + 2) tập hợp O(𝑛)-quỹ đạo nửa đơn Tồn song ánh 𝐷 (2) khả nghịch 𝑃1 (o(𝑛)) �𝑟𝑖 (𝑛 + 2) song ánh với tập hợp O(𝑛)-quỹ đạo nửa đơn 𝑃1 (o(𝑛)) Hơn 𝐷 Cho g g' rút gọn thuộc 𝐷(𝑛 + 2) Khi 𝑛 phải số chẳn, đồng thời g g' �𝑟 (2𝑝 + 2) = 𝐷 �𝑟𝑖 (2𝑝 + đẳng cấu chúng đẳng cấu đẳng cự Do 𝐷 (3) 2) với 𝑝 ≥ Cho (g, 𝐵) đại số Lie toàn phương kì dị chéo hóa rút gọn Gọi g4 mở rộng kép ℂ2 ánh xạ phản xứng 𝐶̅ = � 0 � Khi g tích trộn −1 đại số Lie toàn phương mà đại số đẳng cấu đẳng cự với g4 Chúng ta tiếp tục với khái niệm đại số Lie toàn phương kì dị khả nghịch (tức 𝐶̅ định nghĩa mở rộng kép khả nghịch) Trong trường hợp số chiều đại số Lie phải số chẳn Kí hiệu 𝑆𝑖𝑛𝑣 (2𝑝 + 2) tập hợp cấu trúc ℂ2𝑝+2 𝑆� 𝚤𝑛𝑣 (2𝑝 + 2) tập hợp lớp đẳng cấu phần tử 𝑆𝑖𝑛𝑣 (2𝑝 + 2) Từ Định lý 2.9, ta dể dàng chứng minh khái niệm đẳng cấu khái niệm đẳng cấu đẳng cự tương đương phần tử tập hợp 𝑆𝑖𝑛𝑣 (2𝑝 + 2) Để phân loại lớp đẳng cấu 𝑆𝑖𝑛𝑣 (2𝑝 + 2) ta tiến hành sau: đặt 𝐼(𝑛) tập hợp phần tử khả nghịch o(𝑛) 𝐼̃(𝑛) tập hợp quỹ đạo phụ hợp phần tử 𝐼(𝑛) Chú ý 𝐼(2𝑝 + 1) = ∅, ta xét 𝑛 = 2𝑝 Định nghĩa tập hợp 𝐷 = � {(𝑑1 , … , 𝑑𝑟 ) ∈ ℕ𝑟 | 𝑑1 ≥ 𝑑2 ≥ ⋯ ≥ 𝑑𝑟 ≥ 1} 𝑟∈ℕ∗ ánh xạ Φ ∶ 𝐷 → ℕ xác định Φ(𝑑1 , … , 𝑑𝑟 ) = ∑𝑟𝑖=1 𝑑𝑖 Ta giới thiệu tập hợp 𝑇𝑝 gồm tất ba (Λ, 𝑚, 𝑑) cho: (1) (2) (3) Λ tập ℂ\{0} với #Λ ≤ 2p 𝜆 ∈ Λ −𝜆 ∈ Λ 𝑚 ∶ Λ → ℕ∗ thỏa mãn 𝑚(𝜆) = 𝑚(−𝜆) với 𝜆 ∈ Λ ∑𝜆∈Λ 𝑚(𝜆) = 2𝑝 𝑑 ∶ Λ → 𝐷 thỏa mãn 𝑑 (𝜆) = 𝑑 (−𝜆) với 𝜆 ∈ Λ Φ ∘ 𝑑 = 𝑚 Khi đó, với 𝐶̅ ∈ 𝐼 (2𝑝), ta liên kết với ba (Λ, 𝑚, 𝑑) 𝑇𝑝 sau: viết 𝐶̅ = 𝑆 + 𝑁 với 𝑆 𝑁 thành phần nửa đơn lũy linh phân tích Jordan 𝐶̅ Khi Λ phổ 𝑆, 𝑚 bội phần tử thuộc Λ 𝑑 kích cỡ khối Jordan 𝑁 Do ta thu ánh xạ 𝑖: 𝐼 (2𝑝) → 𝑇𝑝 ta có định lý sau: Footer Page 28 of 50 27 Header Page 29 of 50 Định lý 2.13 Ánh xạ 𝑖: 𝐼 (2𝑝) → 𝑇𝑝 cảm sinh song ánh từ 𝐼̃(2𝑝) vào 𝑇𝑝 tồn ∗ song ánh tập hợp 𝑆� 𝚤𝑛𝑣 (2𝑝 + 2) tập hợp 𝑇𝑝 /ℂ Sử dụng Phân tích Fitting khái niệm mở rộng kép, ta định nghĩa thành phần Fitting đại số Lie toàn phương kì dị giải sau: cho g đại số Lie toàn phương kì dị giải được, g xem mở rộng kép ℂ𝑛 𝐶̅ ∈ o(𝑛) Xét thành phần khả nghịch 𝐶𝐼̅ thành phần lũy linh 𝐶𝑁̅ 𝐶̅ Phân tích Fitting Khi g𝐼 = g𝐶̅ g𝑁 = g𝐶̅ gọi thành phần Fitting g Chú ý g tích 𝐼 𝑁 trộn g𝐼 g𝑁 , đồng thời g đặc trưng thành phần Fitting nhờ định lý sau Định lý 2.14 Cho g g' hai đại số Lie toàn phương kì dị giải Gọi g𝐼 , g𝑁 g'𝐼 , g'𝑁 thành phần Fitting g g', Khi ta có: (1) g đẳng cấu đẳng cự với g' thành phần Fitting tương ứng đẳng cấu đẳng cự Kết thay khái niệm đẳng cấu đẳng cự khái niệm đẳng cấu (2) g đẳng cấu đẳng cự với g' chúng đẳng cấu với Do 𝑖 𝑆�𝑠 (𝑛 + 2) = 𝑆�𝑠 (𝑛 + 2) Như lớp đại số Lie toàn phương kì dị giải lớp đại số Lie toàn phương đặc biệt, khái niệm đẳng cấu tương đương với khái niệm đẳng cấu đẳng cự Sự phân loại hai trường hợp lũy linh khả nghịch kết hợp với định lý cho ta kết phân loại hoàn toàn lớp đại số Lie toàn phương kì dị Footer Page 29 of 50 28 Header Page 30 of 50 Chương KẾT LUẬN 3.1 Một số kết khác Trong phần trình bày thêm số kết đáng ý khác nằm dự kiến ban đầu đề tài Dự kiến ban đầu phân loại hoàn toàn lớp đại số Lie toàn phương kì dị, nhiên nhờ kết đến việc chứng minh số dup bất biến đại số Lie toàn phương, tức hai đại số Lie toàn phương đẳng cấu với số dup phải Kết lý thú bất biến số, xuất lần nghiên cứu đại số Lie toàn phương có tính chất khác với bất biến quen thuộc Tuy nhiên chứng minh không thực tầm thường, đòi hỏi phải mô tả đầy đủ đồng cấu đại số Lie toàn phương kì dị giao hoán với đạo hàm hệ việc mô tả xác định số chiều không gian dạng song tuyến tính đối xứng bất biến đại số Lie toàn phương kì dị Đây trường hợp hoi (cùng với trường hợp đại số Lie nửa đơn reductive), số chiều không gian tính toán cách tường minh Cho (g, 𝐵) đại số Lie toàn phương Với dạng song tuyến tính đối xứng 𝐵′ g, tồn ánh xạ liên kết 𝐷: g → g thỏa mãn: 𝐵′ (𝑋, 𝑌) = 𝐵(𝐷 (𝑋 ), 𝑌), ∀𝑋, 𝑌 ∈ g Vì 𝐵 𝐵′ đối xứng nên 𝐷 ánh xạ đối xứng (tương ứng với dạng song tuyến tính 𝐵), tức 𝐵 (𝐷 (𝑋 ), 𝑌) = 𝐵(𝑋, 𝐷 (𝑌)) với 𝑋, 𝑌 ∈ g Bổ đề 3.1 (1) (2) 𝐵′ bất biến 𝐷 thỏa mãn tính chất : 𝐷 ([𝑋, 𝑌]) = [𝐷 (𝑋 ), 𝑌] = [𝑋, 𝐷 (𝑌)], 𝐵′ không suy biến 𝐷 khả nghịch ∀𝑋, 𝑌 ∈ g Định nghĩa 3.2 Một ánh xạ đối xứng 𝐷 thỏa mãn tính chất Bổ đề 3.1 (1) gọi centromorphism g Chú ý rằng, đẳng thức Bổ đề 3.1 (1) tương đương với 𝐷 ∘ ad(𝑋 ) = ad(𝑋 ) ∘ 𝐷 = ad�𝐷 (𝑋 )�, ∀𝑋 ∈ g Tức 𝐷 giao hoán với đạo hàm g Footer Page 30 of 50 29 Header Page 31 of 50 Kí hiệu 𝐶(g) không gian centromorphism g 𝐶𝐼 (g) không gian 𝐶(g) sinh centromorphism khả nghịch g Bổ đề 2.1 [4] nói 𝐶(g) = 𝐶𝐼 (g) Do không gian dạng song tuyến tính đối xứng bất biến g không gian sinh phần tử không suy biến trùng nhau, ta kí hiệu không gian 𝐵(g) Chiều 𝐵(g) gọi chiều toàn phương g kí hiệu 𝑑𝑞 (g) Chú ý 𝑑𝑞 (g) = dim(𝐶(g)) Kết sau cho ta công thức mô tả tường minh không gian 𝐶(g) đại số Lie toàn phương kì dị rút gọn chiều toàn phương Mệnh đề 3.3 Cho g đại số Lie toàn phương kì dị rút gọn 𝐷: g → g ánh xạ đối xứng Khi : (1) 𝐷 centromorphism tồn số 𝜇 ∈ ℂ ánh xạ đối xứng 𝒁: g →𝑍(g) cho 𝒁|[g,g ] = 𝐷 = 𝜇Id + 𝒁 Hơn 𝐷 khả nghịch (2) 𝜇 ≠ 𝑑𝑞 (g) = + dim(𝑍(g))(1 + dim(𝑍(g))) Định lý 3.4 Số dup bất biến tác động đẳng cấu, tức g g′ hai đại số Lie toàn phương đẳng cấu dup(g) = dup(g') Chứng minh Chứng minh Định lý 3.4 tóm tắt sau Giả sử g g′ hai đại số Lie toàn phương đẳng cấu Khi ta đồng g g′ đại số Lie trang bị hai dạng song tuyến tính đối xứng bất biến không suy biến 𝐵 𝐵′, tức g có hai số dup dup𝐵 (g) dup𝐵′ (g) Lúc ta cần chứng minh: dup𝐵 (g) = dup𝐵′ (g) ⊥ Dể dàng chứng minh g bị phân tích thành g = z⊕l giống Mệnh đề 1.4 dup(g) = dup(l) Do ta giả sử từ đầu g rút gọn Ta xét trường hợp dup𝐵 (g) = 3, dup𝐵 (g) = dup𝐵 (g) = Khi dup𝐵′ (g) nhận giá trị tương ứng Phần chứng minh độc giả tham khảo phần Phụ lục Footer Page 31 of 50 30 Header Page 32 of 50 3.2 Một số hướng nghiên cứu tương lai Nghiên cứu đại số trang bị dạng song tuyến tính bất biến không suy biến hướng nghiên cứu nhiều vấn đề chưa giải Hướng tập trung tới nhóm thực đề tài tìm cách tổng quát kết đạt cho lớp super-đại số Lie toàn phương Các super-đại số Lie toàn phương lớp đại số tổng quát lớp đại số Lie toàn phương có nhiều ứng dụng Vật lý Để làm điều này, đòi hỏi phải mô tả không gian chứa 3-dạng tuyến tính 𝐼, lúc không 3- dạng phản xứng mà 3-dạng super-phản xứng Đồng thời phải xây dựng tích super-Poisson trường hợp super-đại số Lie Công việc phức tạp phải sử dụng nhiều công cụ sâu sắc lý thuyết đại số Lie phân bậc Tuy nhiên, dựa kết bước đầu, nhóm người thực đề tài giải phần hi vọng giải trọn vẹn toán đặt đề tài tới Một hướng nghiên cứu thứ hai làm áp dụng mở rộng kép cho đại số khác Vật lý, ví dụ đại số Jordan, đại số Novikov mà tổng quát đại số đối xứng trái, … Trường hợp tổng quát S Benayadi cộng giải nhiều báo, chẳng hạn [1] [2], nhiên trường hợp đặc biệt mở rộng kép chiều không vectơ toàn phương trường hợp cần nghiên cứu thêm chúng phân loại Mở rộng kép công cụ mạnh để mô tả cấu trúc đại số toàn phương, tức có trang bị dạng song tuyến tính bất biến không suy biến đáng tiếc mô tả định tính khó phân loại Do nhóm thực đề tài tập trung vào việc tìm kiểu mở rộng kép cho chúng phân loại Đây vấn đề quan tâm nghiên cứu tương lai Hướng nghiên cứu cuối đề cập nghiên cứu cấu trúc đại số toàn phương kèm thêm cấu trúc khác, ví dụ cấu trúc symplectic, cấu trúc bialgebra cấu trúc Manin Nói cách khác, trả lời câu hỏi liệu có tồn nhiều cấu trúc đại số cho trước hay không cấu trúc có tương thích với không Đây câu hỏi khó, túy đại số lý thú Nhóm thực đề tài hi vọng đưa vài câu trả lời thời gian tới Footer Page 32 of 50 31 Header Page 33 of 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Ayadi and S Benayadi (2010), Symmetric Novikov superalgebras, J Math Phys 51, no 2, 023501 A Baklouti and S Benayadi (2008), Pseudo-Euclidean Jordan algebras, arXiv:0811.3702v1 H Benamor and S Benayadi (1999), Double extension of quadratic Lie superalgebras, Comm in Algebra 27, no 1, 67 – 88 S Benayadi (2003), Socle and some invariants of quadratic Lie superalgebras, J of Algebra 261, no 2, 245 – 291 M Bordemann (1997), Nondegenerate invariant bilinear forms on nonassociative algebras, Acta Math Univ Comenianac LXVI, no 2, 151 – 201 N Bourbaki (1959), Éléments de Mathématiques, Algèbre, Formes sesquilinéaires, Vol Fasc XXIV, Livre II, Hermann, Paris D H Collingwood and W M McGovern (1993), Nilpotent Orbits in Semisimple Lie algebras, Van Nostrand Reihnhold Mathematics Series, New York M T Duong, G Pinczon and R Ushirobira, A new invariant of quadratic Lie algebras, Alg Rep Theory (to appear) G Favre and L J Santharoubane (1987), Symmetric, invariant, non-degenerate bilinear form on a Lie algebra, J of Algebra 105, 451 – 464 10 J M Figueroa-O’Farrill and S Stanciu (1996), On the structure of symmetric seltdual Lie algebras, J Math Phys 37 (8), 4121 – 4134 11 V Kac (1985), Infinite-dimensional Lie algebras, Cambrigde University Press, New York 12 A Medina and P Revoy (1985), Algèbres de Lie et produit scalaire invariant, Ann Sci École Norm Sup 4, 533 – 561 13 G Pinczon and R Ushirobira (2007), New applications of graded Lie algebras to Lie algebras, generalized Lie algebras and Cohomology, J Lie Theory 17, no 3, 633 – 668 14 F Zhu and Z Chen (2007), Novikov algebras with associative bilinear forms, J Phys A: Math Theor 40, no 47, 14243 – 14251 Footer Page 33 of 50 32 ... Chương CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG 13 1.1 Định nghĩa số kết 13 1.2 Các đại số Lie toàn phương kì dị 17 Chương PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG KÌ DỊ 21 2.1 Các đại số. .. Chúng đề xuất nghiên cứu lớp đại số Lie quadratic (tạm dịch lớp đại số Lie toàn phương) dựa bất biến G Pinczon R Ushirobira đưa vào năm 2007 Lớp đại số đặt tên lớp đại số Lie toàn phương kì dị đối... minh đại số Lie toàn phương mở rộng kép đại số Lie toàn phương đại số Lie đơn đại số Lie chiều (xem [12]) Do nhiều người xem mở rộng kép kiểu mô tả quy nạp kiểu mở rộng nhiều bước đại số Lie toàn