Một lớp con các đại số lie quadratic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT Đề tài khoa học công nghệ cấp sở MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC MÃ SỐ: CS.2011.19.52 CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: TS DƯƠNG MINH THÀNH THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2012 DANH SÁCH NHỮNG NGƯỜI THAM GIA THỰC HIỆN ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH Cá nhân tham gia thực đề tài Nguyễn Vĩnh Khương, Phịng Khoa học Cơng nghệ Mơi trường - Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh – Thư ký khoa học Đơn vị phối hợp Viện Toán học Bourgogne, Dijon, Pháp (do GS Georges Pinczon đại diện) MỤC LỤC Trang Tóm tắt kết nghiên cứu ………………………………………………………… Summary …………………………………………………………………………… Lời cảm ơn ………………………………………………………………………… Mở đầu …………………………………………………………………………… Chương Các đại số Lie toàn phương 1.1 Định nghĩa kết ……………………………………… 14 1.2 Các đại số Lie tồn phương kì dị ……………………………………… 18 Chương Phân loại đại số Lie tồn phương kì dị 2.1 Các đại số Lie tồn phương kì dị dạng S3 ……………………………… 22 2.2 Các đại số Lie tồn phương kì dị dạng S1 ……………………………… 23 2.3 Mở rộng kép đại số Lie tồn phương kì dị ………………………24 2.4 Phân loại đại số Lie tồn phương kì dị ……………………………27 Chương Kết luận 3.1 Một số kết khác …………………… ………………………………31 3.2 Một số hướng nghiên cứu tương lai……………………………… 33 Tài liệu tham khảo …………………………………………………………………35 Phụ lục ……………………………………………………………………………37 TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ Tên đề tài: Một lớp đại số Lie quadratic Mã số: CS.2011.19.52 Chủ nhiệm đề tài: TS Dương Minh Thành Tel: 0908 453 764 E-mail: thanhdmi@hcmup.edu.vn Cơ quan chủ trì đề tài: Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM Cơ quan cá nhân phối hợp thực hiện: • Nguyễn Vĩnh Khương, Phịng Khoa học Cơng nghệ Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh – Thư ký khoa học • Viện Toán học Bourgogne, Dijon, Pháp (do GS Georges Pinczon đại diện) Thời gian thực hiện: Từ tháng 04 năm 2011 đến tháng 04 năm 2012 Mục tiêu: Đề tài nhằm nghiên cứu liệt kê toàn lớp quan trọng đại số Lie quadratic dựa bất biến G Pinczon R Ushirobira Đề tài khởi đầu cho đề tài tác giả việc nghiên cứu đối tượng đại số quadratic khác Đề tài phải đạt sản phẩm khoa học sản phẩm đào tạo Nội dung chính: a) Chúng tơi đề xuất nghiên cứu lớp đại số Lie quadratic (tạm dịch lớp đại số Lie toàn phương) dựa bất biến G Pinczon R Ushirobira đưa vào năm 2007 Lớp đại số đặt tên lớp đại số Lie tồn phương kì dị đối tượng nghiên cứu đề tài b) Áp dụng công cụ mở rộng kép để nghiên cứu lớp đại số Lie toàn phương kì dị c) Nghiên cứu cấu trúc lớp đại số Lie tồn phương kì dị dựa vào cơng cụ mở rộng kép, Phân tích Fitting khái niệm tích trộn d) Từ kết trên, lớp đại số Lie tồn phương kì dị phân loại hoàn toàn Phân loại tương đương với phân loại quỹ đạo phụ hợp không gian xạ ảnh đại số Lie cổ điển o(n) Kết đạt (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế - xã hội): a) Chúng nghiên cứu phân loại toàn đại số Lie tồn phương kì dị Đồng thời chúng tơi tính tốn chiều tồn phương chúng đưa bất biến đại số Lie quadratic Các kết đăng cơng trình : M.T Duong, G Pinczon and R Ushirobira, A new invariant of quadratic Lie algebras, Journal of Algebra and Representation Theory, online first 2011, 41 pages b) Các kết báo cáo phần Seminar nhóm học viên cao học nghiên cứu sinh chun ngành Hình học Tơpơ, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh c) Các kết đề tài chọn báo cáo Hội nghị toàn quốc Đại số - Hình học – Tơpơ tổ chức Đại học Thái nguyên từ ngày đến ngày tháng 11 năm 2011 d) Đề tài làm nảy sinh nhiều vấn đề cần quan tâm nghiên cứu Chúng tiếp tục nghiên cứu vấn đề Đề tài nghiên cứu khoa học cấp năm 2013 dự kiến đăng ký thời gian tới SUMMARY Project Title: A subclass of quadratic Lie algebras Code number: CS.2011.19.52 Coordinator: Dr Duong Minh Thanh Implementing Institution: Department of Physics, Ho Chi Minh City University of Pedagogy Cooperating Institution(s): • Nguyen Vinh Khuong, Department of Science, Technology and Journal of Science, Ho Chi Minh City University of Pedagogy • Institute of Bourgogne, Dijon, France (represented by Professor Georges Pinczon) Duration: from April 2011 to April 2012 Objectives: Research and list completely an important subclass of quadratic Lie algebras based on an invariant of G Pinczon and R Ushirobira The project is a foundation for next works in researching other quadratic algebraic objects It must make scientific products and training results Main contents: a) We suggest researching a subclass of quadratic Lie algebras based on an invariant given by G Pinczon and R Ushirobira in 2007 Such algebras are called singular quadratic Lie algebras and they are the main object of our project b) We study singular quadratic Lie algebras by applying the method of double extension given by V Kac, A Medina and P Revoy c) The structure of a singular quadratic Lie algebra can be described by double extensions, the Fitting decomposition and the notion of amalgamated product d) By the results above, singular quadratic Lie algebras are completely classified Their classification is equivalent to the classification of adjoint orbits in the projective space of o(n) Results obtained: a) We researched and completely classified singular quadratic Lie algebras Moreover, we also calculated their quadratic dimension and gave a new invariant of quadratic Lie algebras These results can be found in the article: M.T Duong, G Pinczon and R Ushirobira, A new invariant of quadratic Lie algebras, Journal of Algebra and Representation Theory, online first 2011, 41 pages b) The above results are talked in seminars of post-graduate students of geometry and topology at Ho Chi Minh city University of Pedagogy c) The project is talked in the national conference of Algebra – Geometry – Topology organized at Thai Nguyen University from 3rd to 5th November, 2011 d) There are some new problems from the project that we are going to research in a ministry project in the future LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Giáo sư Georges Pinczon Giáo sư Rosane Ushirobira, người thầy đáng kính nghiêm khắc dành cho tác giả động viên, giúp đỡ phối hợp công việc nghiên cứu khoa học năm qua thời gian tới Tác giả chân thành cảm ơn Phó Giáo sư Tiến sĩ Lê Anh Vũ Phó Giáo sư Tiến sĩ khoa học Lê Văn Hoàng nhận lời phản biện đề tài Những ý kiến xác đáng họ giúp tác giả hoàn chỉnh báo cáo đề tài Tác giả xin chuyển lời cảm ơn tới anh Nguyễn Vĩnh Khương, Phịng Khoa học Cơng nghệ Mơi trường - Tạp chí Khoa học, người phối hợp thực vai trò thư ký khoa học Xin gửi lời cảm ơn anh Hoàng Đức Tâm, người phụ trách mảng nghiên cứu khoa học Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Lời cảm ơn xin chuyển đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Tổ Tốn lý Khoa Vật lý, Phịng Khoa học Cơng nghệ Mơi trường - Tạp chí Khoa học, Phịng Kế hoạch – Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện vật chất tinh thần cho tác giả hoàn thành đề tài khoa học MỞ ĐẦU Các không gian vectơ báo cáo xét trường số phức ℂ hữu hạn chiều Như biết, dạng Killing công cụ hữu ích việc nghiên cứu đại số Lie nửa đơn nhờ tính chất đối xứng, bất biến khơng suy biến Chẳng hạn Tiêu chuẩn Cartan tốn phân loại đại số Lie nói g đại số Lie nửa đơn dạng Killing không suy biến Chứng minh Định lý KostantMorosov Lý thuyết Lie sử dụng tính chất bất biến khơng suy biến dạng Killing Nhắc lại Định lý Kostant- Morosov định lý đóng vai trị trung tâm tốn phân loại quỹ đạo phụ hợp đại số Lie cổ điển o(m) sp(2n) (xem tài liệu [7] để biết thêm chi tiết) Một câu hỏi đặt liệu có tồn đại số Lie mà có dạng song tuyến tính đối xứng bất biến khơng suy biến khơng? Ta gọi đại số Lie đại số Lie toàn phương Tất nhiên theo Tiêu chuẩn Cartan ta xét câu hỏi cho lớp đại số Lie giải câu trả lời có, ví dụ cho chúng đại số Lie kim cương g = span{X, P, Q, Z} với tích Lie xác định: [X, P] = P, [X, Q] = - Q [P,Q]= Z, dạng song tuyến tính đối xứng cho B(X,Z) = B(P,Q) = 1, trường hợp khác Đây đại số Lie giải bốn chiều nghiên cứu nhiều Lý thuyết Lie Một ví dụ khác quen thuộc Lý thuyết đại số Lie sau: cho g đại số Lie g* không gian đối ngẫu g Biểu diễn đối phụ hợp ad*: g → End(g*) định nghĩa ad*(X)(f )(Y) = - f ([X,Y]), với I, I ∈ g ˦ ∈g* tương đương: ad*(X)(f ) = −˦ ∘ ad(I) Ta xét tích nửa trực tiếp h = g ⊕ g* ánh xạ ad* sau: I, IÒh = I, IÒg , I, ˦Ò = ad∗ (I)(˦) , ˦, ˧Ò = tương đương: I + ˦, I + ˧Ò = I, IÒg + ˦ ∘ ad(I) − ˧ ∘ ad(I) Khi h trở thành đại số Lie tồn phương với dạng song tuyến tính bất biến ˔ định nghĩa ˔ (I + ˦, I + ˧) = ˦ (I) + ˧(I) với I, I ∈ g ˦, ˧ ∈g* Lưu ý rằng, có đại số Lie khơng có tính chất thế, ví dụ đại số Lie giải chiều g = span{X, Y} với [X,Y] = Y , đại số Lie Hersenberg chiều kiểu tổng quát 2n+1 chiều, đại số Lie filiform Những câu hỏi xoay quanh đại số Lie toàn phương đặt từ lâu gần quan tâm nghiên cứu xuất nhiều công cụ dành cho chúng ([5], [11], [12] [13]) người ta thấy mối liên hệ đại số Lie toàn phương với số toán vật lý (xem [10] tài liệu trích dẫn đó) Bản thân khái niệm đại số Lie tồn phương cơng cụ hồn tồn tổng qt lên cho trường hợp super-đại số Lie toàn phương (xem [3]) áp dụng cho nhiều đại số khác đại số Jordan giả Euclide, đại số Novikov đối xứng, đại số Hom-Lie toàn phương, … (xem [1], [14] tài liệu trích dẫn đó) Chú ý rằng, đại số Lie toàn phương xem xét trường hợp vơ hạn chiều [11] Với kết đó, hình thành mảng nghiên cứu lý thú, nghiên cứu đại số trang bị dạng song tuyến tính bất biến khơng suy biến ứng dụng chúng Công cụ sử dụng nhiều để nghiên cứu cấu trúc đại số Lie toàn phương phương pháp mở rộng kép, đưa sách chuyên khảo [11] V Kac Đây kết hợp mở rộng tâm tích nửa trực tiếp đại số Lie 10 2.2 Các đại số tồn phương kì dị dạng W Cho (g, B ) đại số Lie tồn phương kì dị dạng ˟# H 3-dạng liên kết với g ∈ ˢ chọn Ω ∈ ˓$ (g) cho H = ∧ Ω Kí hiệu I" = # ( ) định nghĩa ˕: g → g ˔ (˕ (I ), I) = Ω(I, I), với I, I ∈ g Khi ˕ ánh xạ phản Cố định xứng (tương ứng với ˔) Hơn ta có kết sau: Bổ đề 2.2 Các khẳng định sau tương đương : (1) (2) (3) {H, H{ = { , { = { , Ω{ = ˔ (I" , I" ) = ˕ (I" ) = Trong trường hợp ta có dim({g, g{) ≥ 4, I(g) ⊂ ker(˕), Im(˕) ⊂{g, g{ I" ∈ I(g) ∩ {g, g{ Chứng minh Sử dụng tính chất tích super-Poisson, chi tiết xem Bổ đề 3.1 , phần Phụ lục Bổ đề 2.3 Tồn phần tử I" ∈ g tự đẳng hướng, tức ˔ (I" , I" ) = 0, cho ˔ (I" , I" ) = ˕ (I" ) = Cấu trúc đại số Lie tồn phương kì dị dạng ˟# mô tả qua mệnh đề sau: Mệnh đề 2.4 Giữ định nghĩa kí hiệu ta có khẳng định sau: (1) (2) (3) (4) (5) {I, I{ = ˔ (I" , I )˕ (I) − ˔ (I" , I)˕ (I ) + ˔ (˕ (I ), I)I" I, I ∈ g cho ˕ = ad(I" ) rank(˕) số chẳn ker(˕) = I(g) ⊕ CI" {g, g{ = CI" ⊕Im(˕) Đại số g giải Hơn nữa, g lũy linh ˕ lũy linh Chiều {g, g{ số lẻ lớn tính chất 3-dạng H Chứng minh mệnh đề sử dụng chủ yếu tính chất tích super-Poisson 23 2.3 Mở rộng kép đại số Lie tồn phương kì dị Tiếp theo sử dụng công cụ mở rộng kép để phân loại đại số Lie toàn phương kì dị Tuy nhiên, cần sử dụng trường hợp đặc biệt Định nghĩa 1.7, mở rộng kép khơng gian vectơ tồn phương ánh xạ phản xứng Để người đọc tiện theo dõi, nhắc lại trường hợp đặc biệt Định nghĩa 2.5 (1) Cho q, ˔q khơng gian vectơ tồn phương ˕ : q → q ánh xạ phản xứng Gọi (t =span{I# , I# }, ˔t ) không gian vectơ tồn phương chiều với dạng song tuyến tính đối xứng ˔q cho bởi: ˔t (I# , I# ) = ˔t (I# , I# ) = 0, ˔t (I# , I# ) = ⊥ Xét không gian vectơ g = q ⊕ t trang bị dạng song tuyến tính ˔ = ˔q + ˔t định nghĩa g phép toán sau : {I + I# + I# , I + (2) I# + I# { = ˕ (I) − ′˕ (I) + ˔(˕ (I), I)I# với I, I ∈ q, , , ′, ′ ∈ ℂ Khi (g, ˔) đại số Lie toàn phương giải Ta nói g mở rộng kép q ˕ Cho g tương ứng mở rộng kép khơng gian vectơ tồn phương (q , ˔ ) ánh xạ phản xứng ˕ : q → q với ≤ ˩ ≤ ˫ Khi tích trộn định nghĩa sau: g = g# × g$ × … × g I I I • Xét khơng gian vectơ tồn phương (q, ˔ ), q = q# ⊕ q$ ⊕ … ⊕ q ˔ dạng song tuyến tính cho ˔ (# ˔(I , I ), với I , I ∈ q , ≤ ˩ ≤ ˫ • Ánh xạ phản xứng ˕ : q → q xác định ˕ ≤ ˩ ≤ ˫ (# I (# I , (# I = với I ∈ q , 24 g mở rộng kép q ˕ Mệnh đề 2.6 Cho g mở rộng kép q ˕ theo định nghĩa Khi (1) (2) {I, I{ = ˔ (I# , I )˕ (I) − ˔ (I# , I)˕ (I ) + ˔ (˕ (I ), I)I# , ∀I, I ∈ g , ˕ = ad(I# ) Hơn nữa, I# ∈ I(g) ˕ |q = ˕  = ˕ , ∈ ℂ, ≠ Khi g g′ đẳng Giả sử g′ mở rộng kép q ˕′ cấu đẳng cự Từ Mệnh đề 2.4 (1) ta dể dàng chứng minh kết sau: Mệnh đề 2.7 (1) (2) Cho g đại số Lie toàn phương kì dị dạng ˟# Khi g mở rộng kép q = (ℂI" ⊕ ℂI" ), ˕ = ad(I" )|q Cho g mở rộng kép khơng gian vectơ tồn phương q ánh xạ ˕ ≠ (i) g dạng ˟% rank(˕ ) = Khi g đại số Lie tồn phương giải kì dị Cụ thể hơn, (ii) g dạng ˟# rank(˕ ) ≥ (iii) g rút gọn ker(˕ ) ⊂ Im(˕ ) (iv) g lũy linh ˕ lũy linh dạng ˟% Ở khía cạnh mở rộng kép, ta hồn tồn mơ tả chúng trường Như vấn đề lại xét trường hợp đại số Lie toàn phương kì dị O(J)-quỹ đạo phụ hợp o(J) với J nhỏ (xem phần Phụ lục tài liệu [7] để biết hợp giải Tuy nhiên việc chứng minh đòi hỏi phải sử dụng kết phân loại thêm chi tiết) Mệnh đề 2.8 Cho g đại số Lie tồn phương kì dị dạng ˟% Khi g đẳng cấu ⊥ đẳng cự với z⊕l với z ideal thuộc tâm g l đại số Lie toàn phương sau: 25 (1) g% ( ) = o(3) trang bị dạng song tuyến tính ˔ = (2) dạng Killing , ∈ ℂ, ≠0 g& , đại số Lie chiều: xét không gian q = ℂ$ , {˗# , ˗$ { sở q cho dạng song tuyến tính ˔ q cho ˔ (˗# , ˗# ) = ˔ (˗$ , ˗$ ) = 0, ˔ (˗# , ˗$ ) = g& mở rộng kép q ánh xạ phản xứng : (3) ˕=Ә 0 ә −1 g' , đại số Lie chiều : xét không gian q = ℂ% , {˗# , ˗$ , ˗% { sở q cho dạng song tuyến tính ˔ q cho ˔ (˗# , ˗% ) = ˔ (˗$ , ˗$ ) = 1, trường hợp khác 0, g' mở rộng kép q ánh xạ phản xứng : (4) ˕= 0 0 −1G g , đại số Lie chiều: xét không gian q = ℂ& , {˗# , ˗$ , ˗% , ˗& { sở q cho dạng song tuyến tính ˔ q cho ˔ (˗# , ˗% ) = ˔ (˗$ , ˗& ) = 1, trường hợp khác 0, g mở rộng kép q ánh xạ phản xứng : ˕= 0 0 0 0 0 −1 0 H 0 Từ hai mệnh đề ta đưa kết kết luận rằng: cho g đại số Lie tồn phương kì dị Khi g giải g mở rộng kép Điều rộng kép ℂ chứng tỏ rằng, để phân loại đại số Lie tồn phương kì dị ta cần phân loại mở 26 2.4 Phân loại đại số Lie tồn phương kì dị Cho (q, ˔ ) khơng gian vectơ tồn phương Kí hiệu O(q) nhóm ánh xạ trực giao q o(q) đại số Lie O(q), tức đại số Lie chứa ánh xạ phản xứng q (tương ứng với dạng song tuyến tính ˔) Nhắc lại rằng, tác động phụ hợp tác động nhóm O(q) lên đại số o(q) phép phụ hợp Trong trường hợp q = ℂ , ta dùng kí hiệu O(J) o(J) thay cho O(q) o(q) Ta có định lý phân loại đại số Lie tồn phương kì dị sau: Định lý 2.9 Cho (q, ˔ ) khơng gian vectơ tồn phương Ta kí hiệu g = (ℂI# ⊕ ⊥ ⊥  Khi đó: ℂI# )⊕q g' = (ℂI# ⊕ ℂI# )⊕q mở rộng kép q ˕ ˕′ (1) Tồn đẳng cấu đại số Lie g g' tồn ánh xạ khả nghịch ˜: q → q số = ˕′ (2) ∈ ℂ khác cho ˜˕ ˜ # ˜∗ ˜˕ = ˕ , ˜∗ ánh xạ phụ hợp với ˜ tương ứng với ˔  thuộc O(q)-quỹ Tồn đẳng cấu đẳng cự g g' ˕′ đạo phụ hợp qua ˕ với ∈ ℂ khác Ta kí hiệu ˟ (J + 2) tập hợp chứa tất cấu trúc đại số Lie toàn phương kì dị giải ℂ $ , ˟ (J + 2) ˟ (J + 2) tương ứng tập hợp lớp đẳng cấu tập hợp lớp đẳng cấu đẳng cự phần tử ˟ (J + 2) Cho ˕ ∈ o(J), có mở rộng kép g liên kết với ˕ ta có hệ sau Hệ 2.10 Ánh xạ ˕ ↦ g cảm sinh song ánh từ tập hợp ˜# (o(J)) O(J)-quỹ đạo ˜# (o(J)) vào ˟ (J + 2), ˜# (o(J)) không gian xạ ảnh đại số Lie o(J ) Chú ý rằng, dạng yếu hệ đưa [FS], số điều kiện khơng cần thiết bỏ Do đó, Hệ 2.10 xem mở rộng kết [9] Ngoài ra, hệ phát biểu tổng quát 27 Định lý 2.14 đây, khái niệm đẳng cấu đẳng cự thay khái niệm đẳng cấu Tuy nhiên để chứng minh kết đòi hỏi phải xét định lý ba trường hợp cụ thể: trường hợp lũy linh, trường hợp chéo hóa trường hợp khả nghịch ℂ $ Kí hiệu ˚(J + 2) tập hợp cấu trúc đại số Lie toàn phương kì dị lũy linh , ˚(J + 2) ˚ (J + 2) tương ứng tập hợp lớp đẳng cấu tập hợp lớp đẳng cấu đẳng cự ˚(J + 2) Sử dụng Định lý Jacobson-Morosov, chứng minh kết sau: Định lý 2.11 2.11 (1) (2) Cho g g' thuộc ˚(J + 2) Khi g đẳng cấu đẳng cự với g' chúng đẳng cấu với Do ˚(J + 2) = ˚ (J + 2) Kí hiệu ˚(J) tập hợp O(J)-quỹ đạo lũy linh o(J) Khi ánh xạ ˕ ↦ g cảm sinh song ánh từ ˚(J) vào ˚(J + 2) Chúng ta sử dụng khái niệm tích trộn để mơ tả chi tiết tập hợp ˚(J + 2), đại số g thuộc ˚(J + 2) đẳng cấu đẳng cự cách với tích trộn đại số Lie lũy linh dạng Jordan Chi tiết cách mô tả độc giả xem phần Phụ lục Trong trường hợp ˕ chéo hóa được, tương đương với ˕ nửa đơn ta gọi g đại số Lie tồn phương kì dị chéo hóa Kí hiệu ˖(J + 2) tập hợp cấu trúc ℂ $ , ˖ (J + 2) ˖ (J + 2) tương ứng tập hợp lớp đẳng cấu tập hợp lớp đẳng cấu đẳng cự ˖(J + 2), ˖ (J + 2) ˖ (J + 2) tương ứng tập ˖ (J + 2) ˖ (J + 2) chứa lớp phần tử rút gọn Khi ta có định lý sau: Định lý 2.12 28 (1) (2) (3) Tồn song ánh ˖ (J + 2) tập hợp O(J)-quỹ đạo nửa đơn ˜# (o(J)) Hơn ˖ (J + 2) song ánh với tập hợp O(J)-quỹ đạo nửa đơn khả nghịch ˜# (o(J)) Cho g g' rút gọn thuộc ˖(J + 2) Khi J phải số chẳn, đồng thời g g' đẳng cấu chúng đẳng cấu đẳng cự Do ˖ (2J + 2) = ˖ (2J + 2) với J ≥ Cho (g, ˔ ) đại số Lie tồn phương kì dị chéo hóa rút gọn Gọi g& mở rộng kép ℂ$ ánh xạ phản xứng ˕ = Ә 0 ә Khi g tích trộn −1 đại số Lie tồn phương mà đại số đẳng cấu đẳng cự với g& Chúng ta tiếp tục với khái niệm đại số Lie tồn phương kì dị khả nghịch (tức ˕ Lie phải số chẳn Kí hiệu ˟ (2J + 2) tập hợp cấu trúc ℂ$ định nghĩa mở rộng kép khả nghịch) Trong trường hợp số chiều đại số ˟ (2J + 2) tập hợp lớp đẳng cấu phần tử ˟ đẳng cự tương đương phần tử tập hợp ˟ $ (2J + 2) Từ (2J + 2) Để phân loại Định lý 2.9, ta dể dàng chứng minh khái niệm đẳng cấu khái niệm đẳng cấu lớp đẳng cấu ˟ (2J + 2) ta tiến hành sau: đặt H(J) tập hợp phần tử khả nghịch o(J) Hy(J) tập hợp quỹ đạo phụ hợp phần tử H(J) Chú ý H(2J + 1) = ∅, ta xét J = 2J Định nghĩa tập hợp ˖ = z {(ˤ# , … , ˤ ) ∈ ℕ | ˤ# ≥ ˤ$ ≥ ⋯ ≥ ˤ ≥ 1{ ∈ℕ∗ ánh xạ Φ ∶ ˖ → ℕ xác định Φ(ˤ# , … , ˤ ) = tất ba (Λ, ˭, ˤ) cho: (1) (2) (3) Λ tập ℂ\{0{ với #Λ ≤ 2p (# ˤ Ta giới thiệu tập hợp ˠ gồm ∈ Λ − ∈ Λ ˭ ∶ Λ → ℕ∗ thỏa mãn ˭( ) = ˭(− ) với ˤ ∶ Λ → ˖ thỏa mãn ˤ ( ) = ˤ (− ) với ∈ Λ ∈Λ ˭ ( ∈ Λ Φ ∘ ˤ = ˭ ) = 2J 29 Khi đó, với ˕ ∈ H (2J), ta liên kết với ba (Λ, ˭, ˤ) ˠ sau: viết ˕ = ˟ + ˚ với ˟ ˚ thành phần nửa đơn lũy linh phân tích Jordan ˕ Khi Λ phổ ˟, ˭ bội phần tử thuộc Λ ˤ kích cỡ khối Jordan ˚ Do ta thu ánh xạ ˩: H (2J) → ˠ ta có định lý sau: Định lý 2.13 Ánh xạ ˩: H (2J) → ˠ cảm sinh song ánh từ Hy(2J) vào ˠ tồn song ánh tập hợp ˟ (2J + 2) tập hợp ˠ /ℂ∗ Sử dụng Phân tích Fitting khái niệm mở rộng kép, ta định nghĩa thành phần Fitting đại số Lie tồn phương kì dị giải sau: cho g đại số Lie tồn phương kì dị giải được, g xem mở rộng kép ℂ ˕ ∈ o(J) Xét thành phần khả nghịch ˕ thành phần lũy linh ˕ ˕ Phân tích Fitting Khi g = g g = g gọi thành phần Fitting g Chú ý g tích trộn g g , đồng thời g đặc trưng thành phần Fitting nhờ định lý sau Định lý 2.14 Cho g g' hai đại số Lie tồn phương kì dị giải Gọi g , g g' , g' thành phần Fitting g g', Khi ta có: (1) g đẳng cấu đẳng cự với g' thành phần Fitting tương ứng đẳng cấu đẳng cự Kết thay khái niệm đẳng cấu đẳng cự (2) khái niệm đẳng cấu g đẳng cấu đẳng cự với g' chúng đẳng cấu với Do ˟ (J + 2) = ˟ (J + 2) Như lớp đại số Lie toàn phương kì dị giải lớp đại số Lie tồn phương đặc biệt, khái niệm đẳng cấu tương đương với khái niệm đẳng cấu đẳng cự Sự phân loại hai trường hợp lũy linh khả nghịch kết hợp với định lý cho ta kết phân loại hoàn toàn lớp đại số Lie tồn phương kì dị 30 Chương KẾT LUẬN 3.1 Một số kết khác Trong phần chúng tơi trình bày thêm số kết đáng ý khác nằm dự kiến ban đầu đề tài Dự kiến ban đầu phân loại hoàn toàn lớp đại số Lie toàn phương kì dị, nhiên nhờ kết đến việc chứng minh số dup bất biến đại số Lie toàn phương, tức hai đại số Lie toàn phương đẳng cấu với số dup phải Kết lý thú bất biến số, xuất lần nghiên cứu đại số Lie toàn phương có tính chất khác với bất biến quen thuộc Tuy nhiên chứng minh khơng thực tầm thường, địi hỏi phải mơ tả đầy đủ đồng cấu đại số Lie tồn phương kì dị giao hoán với đạo hàm hệ việc mô tả xác định số chiều khơng gian dạng song tuyến tính đối xứng bất biến đại số Lie toàn phương kì dị Đây trường hợp hoi (cùng với trường hợp đại số Lie nửa đơn reductive), số chiều không gian tính tốn cách tường minh Cho (g, ˔) đại số Lie toàn phương Với dạng song tuyến tính đối xứng ˔′ g, tồn ánh xạ liên kết ˖: g → g thỏa mãn: ˔ (I, I) = ˔ (˖ (I ), I), ∀I, I ∈ g Vì ˔ ˔ ′ đối xứng nên ˖ ánh xạ đối xứng (tương ứng với dạng song tuyến tính ˔), tức ˔ (˖ (I ), I) = ˔(I, ˖ (I)) với I, I ∈ g Bổ đề 3.1 (1) (2) ˔ ′ bất biến ˖ thỏa mãn tính chất : ˖ ({I, I{) = {˖ (I ), I{ = {I, ˖ (I){, ˔ ′ không suy biến ˖ khả nghịch ∀I, I ∈ g Định nghĩa 3.2 Một ánh xạ đối xứng ˖ thỏa mãn tính chất Bổ đề 3.1 (1) gọi centromorphism g 31 Chú ý rằng, đẳng thức Bổ đề 3.1 (1) tương đương với ˖ ∘ ad(I ) = ad(I ) ∘ ˖ = ad ˖ (I ) , ∀I ∈ g Tức ˖ giao hốn với đạo hàm g Kí hiệu ˕(g) không gian centromorphism g ˕ (g) không gian ˕(g) sinh centromorphism khả nghịch g Bổ đề 2.1 [4] nói ˕(g) = ˕ (g) Do khơng gian dạng song tuyến tính đối xứng bất biến g không gian ˔(g) Chiều ˔(g) gọi chiều toàn phương g kí khơng gian sinh phần tử khơng suy biến trùng nhau, ta kí hiệu hiệu ˤ (g) Chú ý ˤ (g) = dim(˕(g)) Kết sau cho ta công thức mô tả tường minh không gian ˕(g) đại số Lie tồn phương kì dị rút gọn chiều tồn phương Mệnh đề 3.3 Cho g đại số Lie tồn phương kì dị rút gọn ˖: g → g ánh xạ đối xứng Khi : (1) (2) ˖ centromorphism tồn số ∈ ℂ ánh xạ đối xứng Ͷ: g →I(g) cho Ͷ|{g,g { = ˖ = Id + Ͷ Hơn ˖ khả nghịch ≠ ˤ (g) = + dim(I(g))(1 + dim(I(g))) Định lý 3.4 Số dup bất biến tác động đẳng cấu, tức g g′ hai đại số Lie tồn phương đẳng cấu dup(g) = dup(g') Chứng minh Chứng minh Định lý 3.4 tóm tắt sau Giả sử g g′ hai đại số Lie tồn phương đẳng cấu Khi ta đồng g g′ đại số Lie trang bị hai dạng song tuyến tính đối xứng bất biến khơng suy biến ˔ ˔′, tức g có hai số dup dup (g) dup (g) Lúc ta cần chứng minh: dup (g) = dup (g) 32 ⊥ Dể dàng chứng minh g bị phân tích thành g = z⊕l giống Mệnh đề 1.4 dup(g) = dup(l) Do ta giả sử từ đầu g rút gọn Ta xét trường hợp dup (g) = 3, dup (g) = dup (g) = Khi dup (g) nhận giá trị tương ứng Phần chứng minh độc giả tham khảo phần Phụ lục 3.2 Một số hướng nghiên cứu tương lai Nghiên cứu đại số trang bị dạng song tuyến tính bất biến khơng suy biến hướng nghiên cứu nhiều vấn đề chưa giải Hướng tập trung tới nhóm thực đề tài tìm cách tổng qt kết đạt cho lớp super-đại số Lie toàn phương Các super-đại số Lie toàn phương lớp đại số tổng quát lớp đại số Lie tồn phương có nhiều ứng dụng Vật lý Để làm điều này, địi hỏi phải mơ tả khơng gian chứa 3-dạng tuyến tính H, lúc khơng cịn 3-dạng phản xứng mà 3-dạng super-phản xứng Đồng thời phải xây dựng tích super-Poisson trường hợp super-đại số Lie Cơng việc phức tạp phải sử dụng nhiều công cụ sâu sắc lý thuyết đại số Lie phân bậc Tuy nhiên, dựa kết bước đầu, nhóm người thực đề tài giải phần hi vọng giải trọn vẹn toán đặt đề tài tới Một hướng nghiên cứu thứ hai làm áp dụng mở rộng kép cho đại số khác Vật lý, ví dụ đại số Jordan, đại số Novikov mà tổng quát đại số đối xứng trái, … Trường hợp tổng quát S Benayadi cộng giải nhiều báo, chẳng hạn [1] [2], nhiên trường hợp đặc biệt mở rộng kép chiều khơng vectơ tồn phương trường hợp cần nghiên cứu thêm chúng phân loại Mở rộng kép công cụ mạnh để mô tả cấu trúc đại số tồn phương, tức có trang bị dạng song tuyến tính bất biến khơng suy biến đáng tiếc mơ tả định tính khó phân loại Do nhóm thực đề tài tập trung vào việc tìm kiểu mở rộng kép cho chúng phân loại Đây vấn đề quan tâm nghiên cứu tương lai Hướng nghiên cứu cuối đề cập nghiên cứu cấu trúc đại số toàn phương kèm thêm cấu trúc khác, ví dụ cấu trúc symplectic, cấu trúc bialgebra cấu trúc Manin Nói cách khác, trả lời câu hỏi liệu có 33 tồn nhiều cấu trúc đại số cho trước hay không cấu trúc có tương thích với khơng Đây câu hỏi khó, túy đại số lý thú Nhóm thực đề tài hi vọng đưa vài câu trả lời thời gian tới 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Ayadi and S Benayadi (2010), Symmetric Novikov superalgebras, J Math Phys 51, no 2, 023501 A Baklouti and S Benayadi (2008), Pseudo-Euclidean Jordan algebras, arXiv:0811.3702v1 H Benamor and S Benayadi (1999), Double extension of quadratic Lie superalgebras, Comm in Algebra 27, no 1, 67 – 88 S Benayadi (2003), Socle and some invariants of quadratic Lie superalgebras, J of Algebra 261, no 2, 245 – 291 M Bordemann (1997), Nondegenerate invariant bilinear forms on nonassociative algebras, Acta Math Univ Comenianac LXVI, no 2, 151 – 201 N Bourbaki (1959), Éléments de Mathématiques, Algèbre, Formes sesquilinéaires, Vol Fasc XXIV, Livre II, Hermann, Paris D H Collingwood and W M McGovern (1993), Nilpotent Orbits in Semisimple Lie algebras, Van Nostrand Reihnhold Mathematics Series, New York M T Duong, G Pinczon and R Ushirobira, A new invariant of quadratic Lie algebras, Alg Rep Theory (to appear) G Favre and L J Santharoubane (1987), Symmetric, invariant, non-degenerate bilinear form on a Lie algebra, J of Algebra 105, 451 – 464 10 J M Figueroa-O’Farrill and S Stanciu (1996), On the structure of symmetric seltdual Lie algebras, J Math Phys 37 (8), 4121 – 4134 11 V Kac (1985), Infinite-dimensional Lie algebras, Cambrigde University Press, New York 12 A Medina and P Revoy (1985), Algèbres de Lie et produit scalaire invariant, Ann Sci École Norm Sup 4, 533 – 561 35 13 G Pinczon and R Ushirobira (2007), New applications of graded Lie algebras to Lie algebras, generalized Lie algebras and Cohomology, J Lie Theory 17, no 3, 633 – 668 14 F Zhu and Z Chen (2007), Novikov algebras with associative bilinear forms, J Phys A: Math Theor 40, no 47, 14243 – 14251 36 ... tơi đề xuất nghiên cứu lớp đại số Lie quadratic (tạm dịch lớp đại số Lie toàn phương) dựa bất biến G Pinczon R Ushirobira đưa vào năm 2007 Lớp đại số đặt tên lớp đại số Lie tồn phương kì dị đối... Chương Các đại số Lie toàn phương 1.1 Định nghĩa kết ……………………………………… 14 1.2 Các đại số Lie tồn phương kì dị ……………………………………… 18 Chương Phân loại đại số Lie toàn phương kì dị 2.1 Các đại số Lie tồn... minh đại số Lie toàn phương mở rộng kép đại số Lie toàn phương đại số Lie đơn đại số Lie chiều (xem [12]) Do nhiều người xem mở rộng kép kiểu mô tả quy nạp kiểu mở rộng nhiều bước đại số Lie toàn