2.5. Định nghĩa (xem [ ]4 ).
Một tập con H của nhóm Lie G được gọi là nhóm Lie con của G nếu và
chỉ nếu H thỏa mãn:
i, H là nhóm con của G (theo nghĩa đại số).
ii, H là một đa tạp con đóng của G với cấu trúc khả vi cảm sinh từ G.
2.6. Ví dụ.
Ta có ¡ là nhóm Lie với phép cộng thông thường. Khi đó X = { z.x | x∈¡ ; z∈¢} là nhóm Lie con của ¡ .
Chứng minh:
i, X là nhóm con của ¡ .
Ta có 0 = z.0, ∀ ∈z ¢ ⇒ 0∈X ⇒ X ≠ ∅.
Ta có: -(z.x) = z(-x) ∈ X, với mọi x∈ X, mọi z∈¢. Vậy: X là nhóm con của ¡ .
ii, Xét hàm số:
f : X → ¡
z.x a x
f là đơn ánh vì với bất kì z.x; z.y ∈ X mà f (z.x) = f (z.y) ⇒ x = y ⇒ z.x = z.y
f là toàn ánh vì với bất kì x∈¡ , tồn tại z.x ∈ X sao cho f (z.x) = x. Vậy: f là song ánh.
Dễ thấy f khả vi và f -1 : ¡ → X
x a z.x là khả vi.
Vậy : f là vi phôi. Mà ¡ là một đa tạp khả vi ⇒ X là một đa tạp khả vi. Vậy: X là nhóm Lie con của ¡ .
2.7. Định lí (xem [ ]4 ) .
Giả sử H là một nhóm con của G và H mở trong G. Khi đó H cũng đóng trong G.
Chứng minh:
Giả sử H là một nhóm con của G và H mở trong G.
Kí hiệu: G/H = { xH | x∈G } là các lớp ghép của G theo nhóm con H. Vì H là tập mở trong G ⇒ xH cũng là tập mở trong G ⇒ G/H = ( ) x GxH x e ∈U ≠ cũng là tập mở trong G. ⇒ H đóng trong G Hệ quả.
a, H là nhóm Lie con trong G, H mở thì H cũng đóng trong G.
b, Nếu G là một nhóm Lie biến thông, V là một lân cận mở của điểm đơn vị e ∈ G. Khi đó G = Ve = V .