Hình học cầu n chiều luận văn thạc sỹ toán học

1 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH NGUYN THANH TNG HèNH HC CU N CHIU Chuyờn ngnh: HèNH HC TễPễ Mó s: 60.46.10 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS NGUYN DUY BèNH VINH, 2011 MC LC M u Chng KHễNG GIAN CU n CHIU Đ1 Khụng gian cu n chiu Đ2 Phộp ng c cu Đ3 Trc a cu Đ4 di cung trờn mt cu Đ5 Th tớch cu Chng MT S TNH CHT CA TAM GIC CU Đ1 Tam giỏc cu Đ2 Mt s tớnh cht ca tam giỏc cu Đ3 Cỏc trng hp bng ca hai tam giỏc cu Kt lun Ti liu tham kho Trang 4 10 14 23 27 31 31 34 37 40 41 LI NểI U Hỡnh hc phi clit c c bt u bng nhng cụng trỡnh nghiờn cu ca Lobachevsky (c Lobachevsky gi l hỡnh hc tru tng) v phỏt trin bi Bolyai, Gauss, RiemannTrong cỏc hỡnh hc ú hỡnh hc cu c xem nh l s phỏt trin song song ca hỡnh hc hyperbolic Mc ớch ca bn lun ny nghiờn cu cỏc tớnh cht chung, c bn nht ca hỡnh hc cu n chiu Vi mc ớch ú, chỳng tụi ó xõy dng khỏi nim khụng gian cu n chiu vi metric ni ti trờn ú T ú, chỳng tụi nghiờn cu cỏc tớnh cht hỡnh hc trờn mt cu, ng thi trỡnh by mt cỏch chi tit v cú h thng cỏc kin thc v cỏc phộp bin i trờn mt cu, ng trc a trờn mt cu v mt s yu t hỡnh hc trờn mt cu n chiu Lun ny cng cp n mt yu t c bn ca hỡnh hc cu l tam giỏc cu trờn mt cu chiu Ni dung chớnh ca lun c trỡnh by hai chng: Chng 1: KHễNG GIAN CU n CHIU Trong chng ny chỳng tụi xõy dng khụng gian cu n - chiu, trỡnh by cỏc tớnh cht tụpụ trờn mt cu n - chiu mc Đ1 Khụng gian cu n chiu Trỡnh by phộp ng c trờn khụng gian clit, t ú xõy dng phộp ng c trờn mt cu v xem xột mi quan h gia chỳng mc Đ2 Phộp ng c cu mc Đ3 Trc a cu, chỳng tụi a cỏc khỏi nim v cung trc a, ng trc a khụng gian clit v khụng gian cu, khng nh ng trc a trờn mt cu l ng trũn ln Chỳng tụi trỡnh by cỏc yu t di cung trờn mt cu theo metric cu v th tớch cu hai mc Đ4 di cung trờn mt cu v Đ5 Th tớch cu Chng 2: MT S TNH CHT CA TAM GIC CU Chng ny gm cỏc mc sau: Đ1 Tam giỏc cu Trong mc ny chỳng tụi xõy dng mt cỏch chi tit khỏi nim tam giỏc cu Đ2 Mt s tớnh cht ca tam giỏc cu Trỡnh by cỏc tớnh cht v gúc, cnh ca tam giỏc cu, cỏc nh lớ sin, nh lớ cosin ca tam giỏc cu mc ny chỳng tụi cng xột din tớch ca tam giỏc cu Đ3 Cỏc trng hp bng ca hai tam giỏc cu Trong mc ny chỳng tụi a khỏi nim hai hỡnh bng thụng qua phộp ng c T ú xột cỏc trng hp bng ca hai tam giỏc cu trờn Sn Lun c hon thnh vo thỏng 11 nm 2011 Tỏc gi chõn thnh by t lũng bit n sõu sc ti thy giỏo, TS Nguyn Duy Bỡnh, ngi ó t ti v hng dn tỏc gi sut quỏ trỡnh lm lun Tỏc gi chõn thnh cm n cỏc thy cụ khoa Sau i hc, cỏc thy cụ khoa Toỏn, c bit cỏc thy t b mụn Hỡnh hc Tụpụ trng i hc Vinh, cỏc thy cụ Phũng Qun lớ khoa hc trng i hc Hi Phũng, gia ỡnh, ng nghip cựng cỏc bn hc viờn K17 chuyờn ngnh Hỡnh hc Tụpụ ó nhit tỡnh giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc Mc dự ó c gng song lun khụng th trỏnh nhng thiu sút Chỳng tụi mong nhn c nhng gúp ý ca quý thy cụ v cỏc bn lun c hon thin hn Chỳng tụi xin chõn thnh cm n! Hi Phũng, thỏng 12 nm 2011 Tỏc gi Chng KHễNG GIAN CU n - CHIU Đ1 KHễNG GIAN CU n CHIU Khong cỏch trờn khụng gian clit Ă n+1 c xỏc nh bi d E ( x, y ) = x y , vi " x,y ẻ Ă Mt cu tõm I, bỏn kớnh r khụng gian clit Ă { S( I,r) = x ẻ Ă n+1 n+1 n+1 c nh ngha l } : dE ( I,x) = r Bng phộp ng dng ta d dng chuyn mt cu S ( I,r ) v mt cu n v { Sn = x ẻ Ă n+1 } : x =1 Do ú, nghiờn cu cỏc tớnh cht liờn quan n khong cỏch trờn mt cu tng quỏt S ( I,r ) ta ch cn nghiờn cu trờn mt cu Sn Khong cỏch clit trờn Sn c cho bi cụng thc: d E ( x, y ) = x y , vi x, y Sn Khong cỏch ny tho cỏc mc tiờu cn thit nhng khụng cú sn S n, vỡ nú c nh ngha t cỏc phn t ca cu trỳc khụng gian vộct Ă n+1 Ta s xỏc nh mt khong cỏch ni ti trờn Sn, nhng trc tiờn ta xem xột li tớch cú hng Ă 1.1 Tớch cú hng ca hai vộc t 1.1.1 nh ngha Cho x = (x1; x2; x3) v y = (y1; y2; y3) l cỏc vộct Ă Tớch cú hng ca x v y l mt vộc t, kớ hiu l x ì y v c xỏc nh bi: x xìy = y2 x3 x3 ; y3 y3 x1 x1 ; y1 y1 x2 y2 ữ Khi ú bng tớnh toỏn trc tip ta cú nh lớ sau 1.1.2 nh lớ Cho x, y, z l cỏc vộct Ă Khi ú ta cú: (1) x ì y = y ì x, (2) x1 x (x ì y).z = y1 y z1 z (3) (x ì y) ì z = (x z)y (y z)x, (4) (x ì y) (z ì w) = x3 y3 , z3 x.z x.w y.z y.w Cho x, y, z l cỏc vộct Ă S thc (x ì y).z c gi l tớch hn ca x, y, z T nh lớ 1.1.2 (2) ta cú (x ì y).z = (y ì z ).x = (z ì x) y Nờn giỏ tr ca tớch hn ca ba vộc t x, y, z khụng i cỏc vộc t c hoỏn v mt cỏch tun hon Do ú, ta cú (xìy).x = (xìx).y = v (xìy).y = (yìy).x = Hn na, t nh lớ 1.1.2 (4), x 0, y ta cú (x ì y).(x ì y) = x.x x.y 2 2 = x y ( x y cos ( x, y ) ) = ( x y sin ( x, y ) ) x.y y.y Vỡ vy, ta cú h qu 1.1.3 H qu Vi mi x, y thuc Ă , ta cú: a) x ì y vuụng gúc vi c x v y b) Nu x 0, y thỡ |x ì y| = |x|.|y|.sin(x,y), õy (x, y) l gúc clit gia x v y 1.2 Metric cu Cho x, y l hai vộc t Sn v ( x, y ) l gúc clit gia x v y t dS ( x, y ) = ( x, y ) (rad) Ta d thy dS ( x, y ) v dS ( x, y ) = x = y Vi x, y thuc Sn, x = y ta núi x v y l xuyờn tõm i 1.2.1 nh lớ Hm dS l mt metric trờn Sn Chng minh Ta cú dS l mt hm khụng õm, khụng suy bin v i xng vi mi x, y thuc Sn Tht vy: n + dS ( x, y ) = ( x, y ) 0, x, y S , x, y Sn + dS ( x, y ) = x, y cựng hng x = y, + dS ( x, y ) = ( x, y ) = ( y, x ) = d S ( y, x ) Hn na dS tho bt ng thc tam giỏc, tc l: dS ( x,z ) d ( x, y ) + d ( y,z ) , x, y,z Sn Tht vy, vỡ vi ba vộc t x, y, z to nờn mt khụng gian ca Ă n+1 cú s chiu ln nht bng nờn ta cú th gi s x, y, z nm mt khụng gian ca Ă n+1 sinh bi e1, e2, e3 Núi cỏch khỏc ta cú th gi s n = Do ú ta xột cỏc trng hp sau: x, y ( ) Nu thỡ hin nhiờn ( x, y ) + ( y,z ) ( x,z ) ( y,z ) Nu ( x, y ) + ( y,z ) < thỡ cos ( ( x, y ) + ( y,z ) ) = cos ( x, y ) cos ( y,z ) sin ( x, y ) sin ( y,z ) = (x y)(y z) |x ì y|.|y ì z| (x y)(y z) (x ì y).(y ì z) = (x y)(y z) ((x y)(y z) (x z)(y y)) = x.z = cos ( x,z ) Suy ( x, y ) + ( y,z ) ( x,z ) Vỡ vy: dS ( x,z ) d ( x, y ) + d ( y,z ) 1.2.2 nh ngha Cho x, y l hai vộc t Sn v ( x, y ) l gúc clit gia x v y Metric dS xỏc nh bi dS ( x, y ) = ( x, y ) , c gi l metric cu n 1.2.3 Mnh Vi mi x, y ẻ S ta cú d E ( x, y ) d ( x, y ) = sin S 2 Chng minh Vi mi x, y ẻ Sn ta cú x.y = x y cosq( x, y) = cosq( x, y) Li cú ( d E ( x, y) ) = x - y = x + y - 2xy = - 2xy Do ú ( d E ( x, y) ) = 2( - xy) = 2( - cosq(x, y) ) = 4sin M Ê q(x, y) q( x, y) p q( x, y) Ê ị sin 2 Vy d E ( x, y ) ( x, y ) d ( x, y ) = sin = sin S 2 1.3 Khụng gian cu 1.3.1 nh ngha Khụng gian metric Sn vi mờtric cu dS c gi l n khụng gian cu n chiu ( S ,d S ) , ta kớ hiu l Sn 1.3.2 nh ngha ng trũn ln ca Sn l giao ca Sn v mt khụng gian hai chiu ca Ă n+1 Do Mnh 1.2.3, ta cú tụpụ ca Sn xỏc nh bi mờtric dS trựng vi tụpụ ca Sn xỏc nh bi metric dE 1.3.3 Mnh Sn l mt khụng gian tụpụ compact Chng minh Ta cú Sn l mt khụng gian ca khụng gian tụ pụ Ă Vi M bt kỡ thuc Ă n+1 n+1 \ Sn , O l tõm mt cu Sn, gi N l giao im ca ng thng OM v mt cu S n t = d ( M , N ) ổ eử ỡùù ữ Bỗ M, ữ = ỗ ữ ớù X ẻ Ă ỗ ữ ố 2ứ ợù B M , ữ Ă n+1 n+1 ù eỹ : d( M, X ) < ùý D thy B M , ữ l m cha M v 2ùỵ ù \ Sn Do ú Ă n+1 \ Sn l m hay Sn l úng Ă Hn na, d thy Sn l b chn Ă Ă > Gi n+1 n Do ú S l compact khụng gian n+1 n+1 Vy Sn l mt khụng gian tụpụ compact 1.3.4 Mnh Sn l khụng gian liờn thụng tuyn tớnh Chng minh Vi hai im tựy ý p, q Sn ta luụn cú mt ng trũn ln ca S n cha p v q Do ú Sn l khụng gian liờn thụng tuyn tớnh 1.3.5 nh ngha a kh vi Cho M l khụng gian Hausdoff a Nu U l m M, U* l m Ă n+1 v : U U * l ng phụi thỡ ( U, ) c gi l mt bn ca M n b Vi p U thỡ ( p ) R , nờn ( p ) = ( x1; x ; ; x n ) Khi ú ( x1; x ; ; x n ) c gi l ta ca p i vi ( U, ) v ( U, ) gi l h ta a phng c Hai bn ( U1 ,1 ) v ( U ,2 ) ca M vi U1 U , c gi l phự hp nu ỏnh x o1 l vi phụi Khi U1 U = ta quy c ( U1 ,1 ) v ( U ,2 ) l phự hp { d H cỏc bn A = ( U i , i ) iI } ca M nu tha món: Ui = M, iI ( Ui ,i ) v ( U j , j ) l phự hp vi mi i khỏc j, thỡ c gi l mt Atlat ca M Mt atlat nu khụng b cha thc s mt atlat no thỡ c gi l atlat ti i Nu A l mt atlat ti i trờn M thỡ A c gi l mt cu trỳc kh vi trờn M e Mt khụng gian Hausdoff M cú cu trỳc kh vi c gi l a kh vi 1.3.6 Mnh Sn l a kh vi Chng minh Trong khụng gian Ă n+1 mt cu Sn cú phng trỡnh: x12 + x 22 + + x n2 + x n2 +1 = Ta cú Sn l khụng gian Hausdoff 10 Ta xột h { U i } i =1 xỏc nh nh sau: 2n + U i = { ( x1 , x , , x n +1 ) Sn : x i > 0} ,i = 1,2, , n + U i+n +1 = { ( x1 , x , , x n +1 ) Sn : x i < 0} ,i = 1, 2, , n + Ta chng minh { U i } i =1 l mt Atlat trờn Sn 2n + n Xột ỏnh x i : ( 1;1) Ui = { (x1 , x , , x i , , x n +1 ) S : x i > 0} xỏc nh bi n j=1 ( i (x1 , x , , x i1 , x i+1 , , x n +1 ) = x1, x , , x12 x i21 x i2+1 x n2 +1 , , x n +1 ) Khi ú d thy i l mt song ỏnh v i l hm liờn tc n Li cú: i : Ui ( 1;1) vi j=1 ( ) i x1 , x , , x12 x i21 x i2+1 x n2 +1 , , x n +1 = (x1 , x , , x i 1, x i +1, , x n +1 ) cng l hm liờn tc Vy i l ỏnh x ng phụi, hay ( U i ,i ) l bn trờn Sn Mt khỏc ta cng cú Ui phự hp vi Uj vi mi i, j = 1, 2, , n+1 Vy { Ui , i } i=1 2n + l mt Atlat trờn Sn, t ú xỏc nh mt Atlat ti i (cu trỳc kh vi) nờn Sn l mt a kh vi 1.3.7 nh ngha a kh vi S c gi l nh hng nu tn ti mt atlat kh vi { Ui , i } iI trờn S cho tt c cỏc nh thc Jacobi ca cỏc hm chuyn u dng Mt atlat nh vy c gi l mt atlat nh hng 1.3.8 nh lớ a kh vi i chiu khụng gian clit l nh hng c v ch tn ti trng vộc t phỏp tuyn n v kh vi Chng minh Xem [6] 1.3.9 Mnh Sn l nh hng c Chng minh Trong khụng gian Ă n+1 mt cu Sn cú phng trỡnh: x12 + x 22 + + x n2 + x n2 +1 = 28 Cho x(x1, x2, , xn+1) l mt vộc t Ă n+1 cho xn, xn+1 u khỏc To cu ( , , , , n ) ca x c xỏc nh nh sau: (1) = x = x12 + x 22 + + x 2n +1 , (2) i = ( ei , x i ei + x i +1ei+1 + + x n +1e n +1 ) vi i < n, (3) n l gúc cc t en n x n en + x n +1en +1 To cu ca x tho h phng trỡnh: x1 = .cos1 , x = .sin 1cos2 , (1.5.1) x n = .sin sin n 1cosn , x n +1 = .sin sin n sin n Tớnh toỏn trc tip ta thu c: (1) x x = , x (2) x = sin sin i1 , i (1.5.3) (3) x x x x , , , , l trc giao n (1.5.4) (1.5.2) Hn na, cỏc vộc t (1.5.4) to thnh h to nh hng dng, vỡ nh thc Jacobi ca phộp bin i to cu ( , , , , n ) a ( x1, x , , x n +1 ) l n sin n 1 sin n 2 sin n > Phộp tham s hoỏ to cu l ỏnh x: g : [ 0, ] n x [ 0, 2] Sn 29 xỏc nh bi g ( , , , n ) = ( x1 , x , , x n +1 ) , ú xi biu th qua 1, , , n theo cỏc phng trỡnh (1.5.1) vi = nh x g l ton ỏnh v l n ỏnh trờn m ( 0; ) n x ( 0;2 ) Tp X ca Sn c gi l o c Sn nu v ch nu g ( X ) l o c Rn c bit, cỏc Borel ca Sn l o c Sn Cho X l o c Sn Chia nh hp [ 0, ] n x [ 0,2] thnh cỏc li hp Khi li hp 12 n giao vi g ( X ) tng ng to thnh mt Sn Min ny c xp x bng li hp sinh bi cỏc vộc t g g g 1, , , n (thuc khụng gian tip xỳc ca S n) Th n tớch ca nú c tớnh bi g g g n = sin n 1 sin n 2 sin n 12 n n Khi nh ca phộp chia tin ti 0, tng th tớch ca X trờn cỏc hp xp x ti th tớch ca X Do ú th tớch cu ca X xỏc nh bi: Vol ( X ) = g (X) sin n 1 sin n 2 sin n 1d1d2 dn (1.5.5) 5.1 Mnh Th tớch cu l o bt bin ng c trờn Sn, tc th tớch ca X trờn Sn khụng thay i ta tỏc ng lờn nú mt phộp ng c Chng minh Gi s X l mt o c ca S n v l mt phộp bin i trc giao ca Ă n+1 Khi ú ( X ) l o c Sn v th tớch ca ( X ) o c vi tham s mi g ca Sn Vỡ bin cỏc hp sinh bi cỏc vộc t g g g 1, , , n n thnh cỏc hp sinh bi cỏc vộc t 30 (g) (g) (g) 1, , , n Do ú theo cỏch xõy dng th tớch trờn ta n cú Vol ( (X) ) = Vol ( X ) 5.2 nh lớ Yu t th tớch cu i vi na cu trờn xn+1 > 0, vi h to clit x1, , xn l dx1dx dx n ( ) x12 + x 22 + + x n2 (1.5.6) Chng minh S thun li hn ta chng minh yu t th tớch cu i vi na cu x1 > , vi h to x2, , xn+1, l ( dx 2dx dx n +1 ) x 22 + x 32 + + x 2n +1 Sau ú dựng phộp bin i to n gin ta s thu c (1.5.6) n n Xột phộp bin i g : 0, ữx ( 0, ) x ( 0,2 ) R , xỏc nh bi g ( , , n ) = ( x , , x n +1 ) , ú xi, i = 1,n l biu th ca 1, , , n theo (1.5.1) vi = Theo (1.5.4) cỏc vec t g g g , , , l trc giao Do ú nh thc n Jacobi ca phộp bin i g l Jg ( , , n ) = g g = cos1 sin n 1 sin n 2 sin n n Bng cỏch bin i qua g ta cú g 1( X ) sin n 1 sin n 2 sin n 1d1d2 dn = dx dx n +1 x1 gg 1( X ) 31 = vi p : Sn đ Ă ( dx dx n +1 ) x 22 + x 32 + + x 2n +1 p( X ) n+1 l phộp chiu, p ( x1, x , , x n +1 ) = ( x , , x n +1 ) 5.3 Vớ d Cho B ( x, r ) l mt a cu trờn S2 vi tõm l mt im x v bỏn kớnh r Khi ú chu vi, din tớch ca B ( x, r ) ln lt l sin r v ( cos r ) Chng minh Theo nh lớ 4.2.1 di cung cu ca mt cung bng di clit ca cung ú nờn chu vi ca a cu bng chu vi ca ng trũn clit, l biờn ca B ( x, r ) , cú bỏn kớnh sin r Do ú chu vi ca a cu x B ( x, r ) l: sin r sin r p dng (1.5.5) ta cú din tớch ca B ( x, r ) l: S B( x ,r ) = g ( B( x ,r ) ) r r O sin 1d 1d = sin 1d 1d = cos = ( cos r ) r 0 Chng 2: MT S TNH CHT CA TAM GIC CU Đ1 TAM GIC CU Gi s x, y, z l ba im khụng cng tuyn cu ca S 2, ú khụng cú hai im no ba im x, y, z l xuyờn tõm i Gi S(x, y) l ng trũn ln nht ca S2 cha c x v y, v gi H(x, y, z) l na cu úng ca S vi biờn S(x, y) nhn z lm im Tam giỏc cu vi cỏc nh x, y, z c nh ngha l T ( x, y,z ) = H ( x, y,z ) H ( y,z, x ) H ( z, x, y ) 32 T bõy gi ta luụn gi s rng cỏc nh ca tam giỏc cu T ( x, y,z ) c kớ hiu theo th t dng nh hỡnh v y a z c x b Gi [x, y] l cung nh ca S(x, y) ni x ti y Cỏc cnh ca tam giỏc cu T ( x, y,z ) c nh ngha l [x, y], [y, z], [z, x] t a = ( y,z ) , b = ( z, x ) , c = ( x, y ) thỡ a, b, c l di cỏc cnh [x, y], [y, z], [z, x] Gi f :[0,a] S2 , g :[0,b] S2 , h :[0,c] S2 tng ng l cỏc cung trc a t y n z, t z n x v t x n y Gúc gia cnh [z, x] v [x, y] c nh ngha l gúc gia g(b) v h(0) Tng t gúc gia cnh [x, y] v [y, z] c nh ngha l gúc gia h(c) v f(0), v gúc gia cnh [y, z] v [z, x] c nh ngha l gúc gia f(a) v g(0) Cỏc gúc , , gi l cỏc gúc ca tam giỏc cu T ( x, y,z ) Cỏc cnh [x, y], [y, z], [z, x] tng ng gi l cỏc cnh i din vi cỏc gúc , , Nhn xột: Cho tam giỏc cu T ( x, y,z ) Khi ú: a) < a < 2, < b < 2, < c < b) < < , < < , < < Đ2 MT S TNH CHT CA TAM GIC CU 2.1 B Nu , , l cỏc gúc ca tam giỏc cu T ( x, y,z ) , thỡ: ( z ì x, x ì y ) = , 33 ( x ì y, y ì z ) = , ( y ì z,z ì x ) = Chng minh Xem [7] 2.2 nh lớ Nu , , l cỏc gúc ca mt tam giỏc cu T ( x, y,z ) thỡ ++ > Chng minh Gi , , l cỏc gúc ca tam giỏc cu T ( x, y,z ) Khi ú ( x ì y,z ì y ) z ì x = ( ( x.( z ì y ) ) y ( y.( z ì y ) ) x ) z ì x = ( x.(z ì y) ) ( y.(z ì x) ) = ( y.(z ì x) ) < Do ú cỏc vộc t x ì y,z ì y,z ì x l c lp tuyn tớnh Vỡ vy cỏc vộc t n v ca chỳng khụng cng tuyn cu Suy ( x ì y,z ì x ) < ( x ì y,z ì y ) + ( z ì y,z ì x ) Hay < + + + > 2.3 nh lớ Nu a, b, c l cỏc cnh ca mt tam giỏc cu T ( x, y,z ) thỡ a + b + c < Chng minh Cho tam giỏc cu T(x, y, z) Ta cú tng di cỏc cnh a, b, c l a + b + c = ( y,z ) + ( z, x ) + ( x, y ) v cng l tng s o cỏc gúc tam din nh O l tõm mt cu vi cỏc cnh Ox, Oy, Oz Do ú a + b + c < 2.4 nh lớ sin tam giỏc cu 2.4.1 nh lớ (nh lớ sin) Nu , , l cỏc gúc ca mt tam giỏc cu T ( x, y,z ) v a, b, c tng ng l di cỏc cnh i din, thỡ: sin a sin b sin c = = sin sin sin 34 Chng minh Ta cú ( z ì x ) ì ( x ì y ) = ( z.( x ì y ) ) x ( x ( x ì y ) ) z = ( z ( x ì y ) ) x ( z ì x ) ì ( x ì y ) = ( z.( x ì y ) ) x ( z ì x ) ( x ì y ) sin ( ( z ì x ) , ( x ì y ) ) = ( z.( x ì y ) ) x sin ( z, x ) sin ( x, y ) sin ( x ì z, x ì y ) = ( z.[ x, y ] ) sin bsin csin = ( z.( x ì y ) ) Tng t t ( x ì y ) ì ( y ì z ) = ( x.( y ì z ) ) y ( y.( y ì z ) ) x = ( x.( y ì z ) ) y sin csin a sin = ( x.( y ì z ) ) = ( z.( x ì y ) ) V t ( y ì z ) ì ( z ì x ) = ( y.( z ì x ) ) z ( z ( z ì x ) ) y = ( y ( z ì x ) ) z sin a sin bsin = ( y.( z ì x ) ) = ( z ( x ì y ) ) Do ú sin bsin csin = sin csin a sin = sin a sin bsin Vy 2.5 sin a sin b sin c = = sin sin sin nh lớ cosin tam giỏc cu 2.5.1 nh lớ (nh lớ cosin th nht) Nu , , l cỏc gúc ca mt tam giỏc cu T ( x, y,z ) v a, b, c tng ng l di cỏc cnh i din, thỡ: cos = cos c cos a.cos b sin a.sin b Chng minh Ta cú ( y ì z ) ( x ì z ) = ( y.x ) ( z.z ) ( y.z ) ( z.x ) y ì z x ì z cos ( y ì z, x ì z ) = ( y.x ) ( z.z ) ( y.z ) ( z.x ) sin ( y,z ) sin ( x,z ) cos = cos ( y, x ) cos ( y,z ) cos ( z, x ) sin a sin bcos = cosc cos a cos b 35 cos = cos c cosa.cos b sin a.sin b 2.5.2 H qu Nu , , l cỏc gúc ca mt tam giỏc cu T ( x, y,z ) v a, b, c tng ng l di cỏc cnh i din, thỡ cosc = sin a sin bcos + cosa cos b Cho T ( x, y,z ) l mt tam giỏc cu Theo cỏch chng minh nh lớ 2.2 cỏc vộc t x ì y, y ì z, z ì x l c lp tuyn tớnh v vỡ vy cỏc vộc t n v tng ng ca chỳng khụng cng tuyn cu Tam giỏc cu yìz zì x xì y T' = T , , ữ y ì z z ì x xìy c gi l tam giỏc cc ca tam giỏc cu T ( x, y,z ) Gi a, b, c l di cỏc cnh ca T v ', ', ' l cỏc gúc i din tng ng Theo B 2.1, ta cú: a ' = , b' = , c' = Khi T(x, y, z) l tam giỏc cc ca T, ta cú: ' = a, ' = b, ' = c p dng nh lớ cosin th nht cho tam giỏc cc, ta cú cos ( c ) = cos ( ) cos ( ) cos ( ) sin ( ) sin ( ) cos c = cos cos .cos sin .sin cosc = cos + cos .cos sin .sin Do ú ta cú nh lớ 2.5.3 nh lớ (nh lớ cosin th hai) Nu , , l cỏc gúc ca mt tam giỏc cu T ( x, y,z ) v a, b, c tng ng l di cỏc cnh i din, thỡ: cosc = cos + cos .cos sin .sin 36 2.5.4 H qu Nu , , l cỏc gúc ca mt tam giỏc cu T ( x, y,z ) v a, b, c tng ng l di cỏc cnh i din, thỡ: cos = sin .sin cosc cos .cos 2.6 Din tớch tam giỏc cu Hỡnh trng ca S2 c nh ngha l giao ca hai na cu phõn bit khụng i din ca S2 Mi hỡnh trng ca S2 sai khỏc phộp ng c vi mt hỡnh trng L ( ) c nh ngha h to cc ( , ) , vi , õy l gúc to bi hai cnh ca L ( ) ti mi hai nh ca nú L( ) Theo cụng thc (1.5.5) ta cú Area ( L( ) ) = sin d d = 0 Vỡ L ( / ) l mt phn t mt cu, ú din tớch mt cu S2 l 2.6.1 nh lớ Nu , , l cỏc gúc ca mt tam giỏc cu T ( x, y,z ) thỡ Area(T) = ( + + ) Chng minh Ba ng trũn ln l m rng cỏc cnh ca T chia nh S thnh tam giỏc m tng cp i xng tõm Hai s cỏc ny l T v T, v sỏu cũn li c t tờn l: A, A, B, B, C, C A B C B T A C 37 C hai s cỏc cnh ca T to thnh mt hỡnh trng vi cỏc gúc l , hoc Hỡnh trng vi gúc l hp thnh ca T v A Do ú ta cú: Area ( T ) + Area ( A ) = Tng t, ta cú Area ( T ) + Area ( B ) = , Area ( T ) + Area ( C ) = Do ú 3Area ( T ) + Area ( A ) + Area ( B ) + Area ( C ) = + + M Area ( T ) + Area ( A ) + Area ( B ) + Area ( C ) = Vỡ vy Area ( T ) = ( + + ) Đ3 CC TRNG HP BNG NHAU CA HAI TAM GIC CU 3.1 nh ngha hai hỡnh bng 3.1.1 nh ngha Hai hỡnh c gi l bng nu chỳng l nh ca qua mt phộp ng c ' ' ' 3.1.2 B Cho hai n hỡnh S(A0, A1,, An ) v S' ( A , A1 , , A n ) khụng gian En vi cỏc nh tng ng A0, A1,, An v A '0 , A1' , , A 'n tho d ( A i ,A j ) = d ( A i' ,A 'j ) , i,j = 0, n Khi ú cú mt phộp ng c nht ' f : E n E n cho f ( A i ) = f ( A i ) , i = 0,n Chng minh Xem [5] 3.2 Cỏc trng hp bng ca hai tam giỏc cu 3.2.1 Mnh (Trng hp bng cnh-cnh-cnh) 38 Cho tam giỏc cu T1(x1, y1, z1) cú cỏc cnh a1, b1, c1, cỏc gúc i din tng ng l , , v tam giỏc cu T2(x2, y2, z2) cú cỏc cnh a2, b2, c2, cỏc gúc i din tng ng l , , Khi ú tam giỏc T1(x1, y1, z1) bng tam giỏc T2(x2, y2, z2) v ch a1 = a2 , b1 = b2 , c1 = c2 Chng minh iu kin cn: Hin nhiờn iu kin : Gi s tam giỏc T1(x1, y1, z1) v tam giỏc T2(x2, y2, z2) cú a1 = a2 , b1 = b2 , c1 = c2 Khi ú d E ( y1 , z1 ) = d E ( y2 , z2 ) , d E ( z1 , x1 ) = d E ( z2 , x2 ) , d E ( x1 , y1 ) = d E ( x2 , y2 ) Do ú theo B 3.2 ta cú mt phộp ng c F : E E , tho F(O) = O, F(x1) = x2, F(y1) = y2, F(z1) = z2 Do ú F bin cỏc cnh [x1, y1], [y1, z1], [z1, x1] ln lt thnh cỏc cnh [x 2, y2], [y2, z2], [z2, x2] Vy tn ti phộp ng c f = F S : S S bin tam giỏc T1(x1, y1, z1) thnh tam giỏc T2(x2, y2, z2), hay tam giỏc T1(x1, y1, z1) bng tam giỏc T2(x2, y2, z2) 3.2.2 Mnh (Trng hp bng gúc gúc - gúc) Cho tam giỏc cu T1(x1, y1, z1) cú cỏc cnh a1, b1, c1, cỏc gúc i din tng ng l , , v tam giỏc cu T2(x2, y2, z2) cú cỏc cnh a2, b2, c2, cỏc gúc i din tng ng l , , Khi ú tam giỏc T1(x1, y1, z1) bng tam giỏc T2(x2, y2, z2) v ch = , = , = Chng minh iu kin cn: Hin nhiờn iu kin : Gi s tam giỏc T1(x1, y1, z1) v tam giỏc T2(x2, y2, z2) cú = , = , = Khi ú ỏp dng nh lớ cosin th hai ta suy c a1 = a2 , b1 = b2 , c1 = c2 p dng Mnh 3.3 ta cú pcm Lu ý: Trng hp ny khụng xy hỡnh hc clit 3.2.3 Mnh (Trng hp bng cnh - gúc - cnh) 39 Cho tam giỏc cu T1(x1, y1, z1) cú cỏc cnh a1, b1, c1, cỏc gúc i din tng ng l , , v tam giỏc cu T2(x2, y2, z2) cú cỏc cnh a2, b2, c2, cỏc gúc i din tng ng l , , Khi ú tam giỏc T1(x1, y1, z1) bng tam giỏc T2(x2, y2, z2) v ch a1 = a2 , = , b1 = b2 Chng minh: iu kin cn: Hin nhiờn iu kin : Gi s tam giỏc T1(x1, y1, z1) v tam giỏc T2(x2, y2, z2) cú a1 = a2 , = , b1 = b2 p dng H qu 2.3.2 ta cú cosc1 = sin a1 sin b1cos1 + cosa1 cos b1 , cosc = sin a sin b 2cos + cos a cos b Do ú cosc1 = cosc2 => c1 = c2 T ú ỏp dng Mnh 3.3 ta cú pcm 3.2.4 Mnh (Trng hp bng gúc - cnh - gúc) Cho tam giỏc cu T1(x1, y1, z1) cú cỏc cnh a1, b1, c1, cỏc gúc i din tng ng l , , v tam giỏc cu T2(x2, y2, z2) cú cỏc cnh a2, b2, c2, cỏc gúc i din tng ng l , , Khi ú tam giỏc T1(x1, y1, z1) bng tam giỏc T2(x2, y2, z2) v ch = , c1 = c2 , = Chng minh iu kin cn: Hin nhiờn iu kin : Gi s tam giỏc T1(x1, y1, z1) v tam giỏc T2(x2, y2, z2) cú = , c1 = c2 , = p dng H qu 2.3.4 ta cú cos = sin 1.sin cosc1 cos 1.cos , cos = sin sin cos c cos cos Do ú cos = cos = T ú ỏp dng Mnh 3.4 ta cú pcm 40 KT LUN Trong lun ny chỳng tụi ó t c nhng kt qu sau: 1) Trỡnh by mt cỏch h thng cỏc khỏi nim v tớnh cht ca khụng gian cu n chiu ú l: Khỏi nim metric cu (nh ngha 1.2.2), khụng gian cu n chiu (nh ngha 1.3.1), khng nh S n l a kh vi (Mnh 1.3.6) v nh hng c (Mnh 1.3.9) 2) Trỡnh by cỏc khỏi nim v phộp bin i trc giao, phộp ng c khụng gian clit Rn+1, t ú a khỏi nim phộp ng c cu (nh 41 ngha 2.3.1), ng thi a mi liờn h gia phộp ng c cu v phộp bin i trc giao (nh lớ 2.3.2) 3) Trỡnh by h thng cỏc khỏi nim v cung trc a, ng trc a (nh ngha 3.1.2, nh ngha 3.1.10) v mt s nh lớ v cung trc a Khng nh ng trũn ln l ng trc a ca Sn (H qu 3.2.5) v Sn l khụng gian trc a hon ton v y (Mnh 3.2.6) 4) Trỡnh by cỏc khỏi nim v tớnh cht ca di cung trờn mt cu, th tớch cu v cú mt s vớ d c th (Vớ d 5.3) 5) a khỏi nim chi tit v tam giỏc cu trờn trờn mt cu S Xột cỏc tớnh cht v gúc (nh lớ 2.2), cnh (nh lớ 2.3), nghiờn cu cỏc nh lớ sin (nh lớ 2.4.1) v cosin (nh lớ 2.5.1 v 2.5.3) ca tam giỏc cu v xột c cỏc trng hp bng ca hai tam giỏc cu Cỏc kt qu ca lun c trỡnh by ri rỏc cỏc ti liu tham kho Tỏc gi ó hp cỏc ú theo mt h thng phự hp vi ch ó chn; chng minh chi tit mt s tớnh cht, nh lớ, h qu m cỏc ti liu tham kho a m b qua chng minh, chng minh tt hoc nờu di dng bi TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Th Thu Nga, Hỡnh hc vi phõn ca mt cu E 3, Lun Thc s Toỏn hc, Vinh 2007 [2] Nguyn Hu Quang, M u Hỡnh hc Riemann, Vinh 2005 [3] on Qunh, Hỡnh hc vi phõn, NXB HSP, 2008 [4] Nguyn Cnh Ton, Hỡnh hc cao cp (dch), NXB Giỏo dc, 1962 42 [5] H Trm, Bi Hỡnh hc Afin v Hỡnh hc clit, NXB i hc s phm, 2008 [6] Hong Ty, Nguyn Xuõn My, Nguyn Vn Khuờ, H Huy Khoỏi, M u mt s lý thuyt hin i ca tụpụ v i s, NXB i hc v Trung hc chuyờn nghip, 1979 [7] John G Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds, 2006 [...]... y') n n hm :Sn Sn l mt phộp ng c tr n Sn vi metric dS khi v ch khi n l mt phộp ng c tr n Sn vi metric dE 2.3.2 nh lý Mi phộp bin i trc giao ca Ă n+ 1 hn ch thnh mt phộp ng c tr n Sn v ngc li mi phộp ng c ca Sn u m rng duy nht thnh mt phộp bin i trc giao tr n Ă n+ 1 Chng minh T nh ngha dS suy ra mi phộp bin i trc giao ca Ă n+ 1 thu hp tr n Sn l mt phộp ng c tr n Sn Ngc li, gi s : Sn Sn l mt phộp ng... , khi n > 1 thỡ cú mt tp m c ng tr n ln ca S n cha c x v x, do ú mi ng tr n ln ca Sn ó cha x thỡ cha c x 3.2.1 nh ngha Ba im x, y, z ca Sn gi l cng tuyn cu nu v ch nu cú mt ng tr n ln ca Sn cha c x, y, z 3.2.2 B Nu x, y, z Sn v ( x, y ) + ( y,z ) = ( x,z ) thỡ x, y, z cng tuyn cu Chng minh Gi s x, y, z Sn Vỡ khụng gian con sinh bi x, y, z trong Ă n+ 1 cú s chiu ln nht bng 3, n n thun li cho... khụng gian metric c gi l bo ton khong cỏch a phng nu vi mi im a trong X cú mt s thc r > 0 sao cho f bo ton khong cỏch gia hai im bt kỡ trong B( a;r ) Hm f : X đ Y bo ton khong cỏch a phng thỡ li n tc ti mi im thuc X, do ú n l hm li n tc 3.1.10 nh ngha Mt ng trc a trong khụng gian metric X l mt ng cong bo ton khong cỏch a phng g: J đ X Nhn xột + Cỏc ng trc a trong khụng gian clit En l cỏc ng thng... bo ton khong cỏch nu v ch nu d Y ( (x), (y) ) = d X ( x, y ) vi mi x, y X Nhn xột: nh x : X Y bo ton khong cỏch gia hai khụng gian metric l mt n ỏnh, li n tc 2.1.2 nh ngha Song ỏnh : X Y gi l phộp ng c gia hai khụng gian metric X v Y nu n l mt ỏnh x bo ton khong cỏch Ta cú nghch nh ca mt phộp ng c l mt phộp ng c v tớch ca hai phộp ng c l phộp ng c Hai khụng gian metric X, Y c gi l ng c nu cú... ca Sn v mt khụng gian con hai chiu ca Ă n+ 1 , hay l l ng tr n ln ca Sn Ngc li, cho S l ng ng tr n ln ca S n Theo phn chng minh nh lý 3.2.3, ta cú th gi s rng n = 1 Khi ú S = S 1 xỏc nh bi l : Ă đ S1 vi (t) = (cos t)e1 + (sin t)e2 Suy ra l ng trc a ca S 1 Vỡ vy S l ng trc a. T h qu tr n ta suy ra mnh 3.2.6 Mnh Khụng gian metric Sn l trc a hon ton v trc a y Đ4 DI CUNG TR N MT CU 4.1 di cung clit... ng c tr n Sn Khi ú n c s trc chun { e1 , e 2 , , e n+ 1 } ' ' ' chun { e1 , e 2 , , e n +1 } ca Ă n+ 1 ca Ă n+ 1 , ei S n ,i = 1 ,n + 1 thnh c s trc , ei' S n ,i = 1 ,n + 1 Xột ỏnh x f : Ă n+ 1 đĂ n+ 1 xỏc nh bi f ( ei ) = ei' , " i =1 ,n +1 D thy f l m rng duy nht ca 2.3.3 H qu Nhúm ng c cu I(S n) ng cu vi nhúm trc giao O (n+ 1) Đ3 TRC A CU 3.1 ng trc a 3.1.1 nh ngha Mt ng cong trong khụng gian X l mt... m n h phng trỡnh: x1 = .cos1 , x 2 = .sin 1cos2 , (1.5.1) x n = .sin 1 sin n 1cosn , x n +1 = .sin 1 sin n 1 sin n Tớnh to n trc tip ta thu c: (1) x x = , x (2) x = sin 1 sin i1 , i (1.5.3) (3) x x x x , , , , l trc giao 1 2 n (1.5.4) (1.5.2) Hn na, cỏc vộc t (1.5.4) to thnh h to nh hng dng, vỡ nh thc Jacobi ca phộp bin i to cu ( , 1 , 2 , , n ) a ( x1, x 2 , , x n +1 ) l n sin n 1 1 sin n. .. Cho X l tp con o c trong Sn Chia nh khi hp [ 0, ] n 1 x [ 0,2] thnh cỏc khi li hp Khi li hp 12 n giao vi g 1 ( X ) tng ng to thnh mt min trong Sn Min ny c xp x bng khi li hp sinh bi cỏc vộc t g g g 1, 2 , , n (thuc khụng gian tip xỳc ca S n) Th 1 2 n tớch ca n c tớnh bi g g g 1 2 n = sin n 1 1 sin n 2 2 sin n 12 n 1 2 n Khi nh ca phộp chia tin ti 0, tng th tớch ca X tr n cỏc khi hp xp x ti th tớch... y Vớ d Khụng gian clit n chiu En l trc a hon ton, vỡ vi hai im x, y ph n bit ca En thỡ ng thng xy l ng trc a ca En cha c x v y 3.2 Trc a cu Cho x, y l hai im ph n bit ca Sn Nu x, y l c lp tuyn tớnh thỡ khụng gian sinh bi hai phn t x, y l mt khụng gian con hai chiu V(x, y) ca Ă n+ 1 n v vỡ vy tp S ( x, y ) = S V ( x, y ) l mt ng tr n ln duy nht ca S n 20 cha c x v y Nu x, y ph thuc tuyn tớnh thỡ x =... tuyn tớnh tng ng A: Ă n đ Ă n , A(x) = Ax, l ỏnh x trc giao Tp hp cỏc ma trn trc giao cp n cựng vi phộp nh n ma trn to thnh mt nhúm O (n) , gi l nhúm ma trn trc giao 14 2.3 Phộp ng c cu 2.3.1 nh ngha Phộp ng c t Sn vo chớnh n c gi l phộp ng c cu Vớ d: Phộp i xng xuy n tõm ca Sn, xỏc nh bi ( x ) = x l mt phộp ng c cu Theo Mnh 1.2.3 ta cú d E ( x, y) = d E ( x ', y') dS ( x, y ) = d S ( x ', y') n n ... cỏc bn lun c hon thin hn Chỳng tụi xin ch n thnh cm n! Hi Phũng, thỏng 12 nm 2011 Tỏc gi Chng KHễNG GIAN CU n - CHIU Đ1 KHễNG GIAN CU n CHIU Khong cỏch tr n khụng gian clit Ă n+ 1 c xỏc nh bi... khụng gian tụpụ compact 1.3.4 Mnh Sn l khụng gian li n thụng tuyn tớnh Chng minh Vi hai im tựy ý p, q Sn ta lu n cú mt ng tr n ln ca S n cha p v q Do ú Sn l khụng gian li n thụng tuyn tớnh... lun c trỡnh by hai chng: Chng 1: KHễNG GIAN CU n CHIU Trong chng ny chỳng tụi xõy dng khụng gian cu n - chiu, trỡnh by cỏc tớnh cht tụpụ tr n mt cu n - chiu mc Đ1 Khụng gian cu n chiu Trỡnh