R; trong đó U là lân cận mở của p.
4.10.Chú ý Giả sử ∇là một liên thông tuyến tính và n
1 i i
E = là trờng mục tiêu tự nhiên trong Rn. Khi đó ta có sự biểu diễn:∇EjEi = ∑
=n n 1 k k k ijE C ở đây k ij C ∈ F(Rn). Các hằng số k ij
C đợc gọi là hằng số cấu trúc của ∇.Trong trờng hợp ∇
= D thì ta có: k ij
Kết luận
Nhìn lại một cách tổng thể khoá luận chúng tôi đã đạt đợc những kết quả chính nh sau:
- Nhắc lại một số định nghĩa liên quan nh về ánh xạ khả vi, vi phôi, đờng cong lớp Cr, véc tơ tiếp xúc (định nghĩa 1.1.1, định nghĩa 1.1.4, định nghĩa 1.2.1, định nghĩa 1.2.2).
- Kiểm tra đợc F(M) là R-đại số (mệnh đề 1.1.3).
- Chứng minh chi tiết một số tính chất liên quan (mệnh đề 1.2.3).
- Trình bày về định nghĩa ánh xạ tiếp xúc khá chi tiết, cụ thể (định nghĩa 1.2.5).
- Chứng minh rõ ràng các tính chất quan trọng về ánh xạ tiếp xúc (mệnh đề 1.2.6, mệnh đề 1.2.7, hệ quả 1.2.8, mệnh đề 1.2.10). Từ đó ta kết luận đợc f là vi phôi thì f*P là đẳng cấu tuyến tính.
- Chỉ ra đợc 2 ví dụ minh họa cho khái niệm liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi (mệnh đề 2.4, mệnh đề 2.5).
- Nêu đợc cách tìm ánh xạ tiếp xúc dựa vào định nghĩa, dựa vào ma trận Jacobi (ví dụ 3.3, mệnh đề 3.4). Đồng thời đã chứng tỏ đợc ánh xạ tiếp xúc bảo toàn tích Lie (Mệnh đề 3.7).
- Trình bày định nghĩa và một số tính chất của trờng vectơ bất biến trái (mệnh đề 3.9, nhận xét 3.10).
- Chỉ ra đợc hai ví dụ minh hoạ cho khái niệm liên thông tuyến tính trên
Rn(mệnh đề 4.1, mệnh đề 4.6).
- Chứng minh đợc ∆XYp phụ thuộc vào giá trị X và phụ thuộc vào giá trị của trờng vectơ Y trong lân cận điểm p. (mệnh đề 4.3, mệnh đề 4.4).
- Tìm đợc điều kiện để tổng của hai liên thông tuyến tính là một liên thông tuyến tính (mệnh đề 4.5) và chứng minh đợc một số tính chất của liên thông tuyến tính D trên Rn (mệnh đề 4.9).
- Đa ra điều kiện cần và đủ để vi phôi bảo toàn D (Mệnh đề 4.8).
Với những hạn chế về mặt thời gian và năng lực nên có một số vấn đề liên quan đến liên thông tuyến tính và ánh xạ tiếp xúc chúng tôi cha trình bày trong khoá luận này.