luận án đạo hàm lie của dòng và liên thông

B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH BI CAO VN O HM LIE CA DềNG V LIấN THễNG LUN N TIN S TON HC VINH - 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH BI CAO VN O HM LIE CA DềNG V LIấN THễNG LUN N TIN S TON HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc v Tụpụ Mó s: 62 46 01 05 NGI HNG DN KHOA HC: PGS TS NGUYN HU QUANG PGS TS KIU PHNG CHI VINH - 2016 i LI CAM OAN Lun ỏn c hon thnh di s hng dn ca PGS TS Nguyn Hu Quang v PGS TS Kiu Phng Chi Tụi xin cam oan rng cỏc kt qu trỡnh by lun ỏn l hon ton trung thc, c cỏc ng tỏc gi cho phộp s dng v lun ỏn khụng trựng lp vi bt k ti liu no khỏc Tỏc gi Bựi Cao Võn ii LI CM N Lun ỏn c hon thnh di s hng dn khoa hc ca PGS TS Nguyn Hu Quang v PGS TS Kiu Phng Chi Trc ht, tỏc gi xin c by t lũng bit n sõu sc i vi nhng ngi Thy ca mỡnh: PGS TS Nguyn Hu Quang v PGS TS Kiu Phng Chi, nhng ngi ó t bi toỏn v hng nghiờn cu cho tỏc gi Cỏc Thy ó dy bo, ch dn tỏc gi nghiờn cu mt cỏch kiờn trỡ v nghiờm khc Tỏc gi ó hc c rt nhiu kin thc khoa hc, nhn c s chia s, yờu thng ca cỏc Thy quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc n quý thy, cụ giỏo Khoa S phm Toỏn hc, c bit l t Hỡnh hc, Trng i hc Vinh ó trang b cho tỏc gi nhng kin thc cn thit hon thnh chng trỡnh nghiờn cu sinh cng nh hon thin lun ỏn Trong quỏ trỡnh hc v thc hin lun ỏn, tỏc gi ó nhn c s h tr v to iu kin tt nht hon thnh chng trỡnh Tỏc gi xin gi li cm n trõn trng nht n Khoa S phm Toỏn hc, Phũng o to Sau i hc v cỏc Phũng chc nng khỏc ca Trng i hc Vinh vỡ nhng giỳp quý bỏu ú Tỏc gi xin c by t s cm n n Lónh o S Giỏo dc v o to tnh Qung Nam, Trng THPT Thỏi Phiờn - Qung Nam ó quan tõm ng viờn cng nh to mi iu kin thun li cho tỏc gi trung hc v nghiờn cu Cui cựng, tỏc gi xin by t lũng bit n ti gia ỡnh v nhng ngi bn thõn thit ó luụn giỳp v ng viờn tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu./ Bựi Cao Võn MC LC Mc Lc Mt s ký hiu thng dựng lun ỏn M u Chng Kin thc chun b 1.1 Dng vi phõn trờn a Riemann 1.2 Liờn thụng trờn a Riemann 11 1.3 o hm Lie ca dng vi phõn 14 1.4 Phõn b v dũng trờn a Riemann 20 Chng o hm Lie ca dũng trờn a 28 2.1 o hm Lie ca dũng v dng suy rng 28 2.2 o hm Lie ca dũng trờn nhúm Lie 47 2.3 Mt s ng dng ca o hm Lie ca dũng 54 2.4 o hm Lie ca dng v dũng song bc 60 Chng o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng 72 3.1 o hm Lie ca liờn thụng v vi phõn ngoi liờn kt 72 3.2 o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng 83 Kt lun chung v kin ngh 97 Danh mc cụng trỡnh 99 Ti liu tham kho 100 MT S Kí HIU THNG DNG TRONG LUN N Kớ hiu M (U, x) Mc Tp M k (Tp M ) B(M ) F(M ) Fc (U ) Tờn gi a Riemann nchiu Bn ca M hoc M c a phc nchiu Khụng gian tip xỳc vi M ti p M Khụng gian kdng tuyn tớnh, phn xng Khụng gian cỏc trng vộct trn trờn M Khụng gian cỏc hm trn trờn M Khụng gian cỏc hm trn v suppf l compact U D(U ) Khụng gian cỏc phõn b trờn U cú giỏ compact k (M ) Khụng gian cỏc kdng vi phõn trn trờn M k c (M ) Khụng gian kdng vi phõn trn cú giỏ compact k D (M ) Khụng gian cỏc kdũng cú giỏ compact trờn M k (M ) Khụng gian cỏc kdng suy rng trờn M (p,q) c (M , C) Khụng gian cỏc dng vi phõn song bc trờn M c k (M, F ) Khụng gian cỏc kdng vi phõn vi giỏ tr khụng gian nh chun F trờn M c O(M ) Khụng gian cỏc hm chnh hỡnh trờn M c (1,0) Bhol (M c ) Khụng gian cỏc trng vộct chnh hỡnh trờn M c phol (M c ) Khụng gian cỏc pdng chnh hỡnh trờn M c D(p,q) (M, C) Khụng gian cỏc dũng song bc (p, q) trờn M c N(M ) Khụng gian cỏc trng vộct phỏp dng kh vi trờn a Riemann M Liờn thụng Levi-Civita ca M Liờn thụng Levi-Civita caM Liờn thụng phỏp dng ca M R Tenx cong ( cong) ca a Riemann M R Tenx cong ( cong) ca a RiemannM R cong phỏp dng ca a Riemann M ÊX o hm Lie ca dũng LX o hm Lie ca dng vi phõn hoc dng suy rng M U Lý chn ti 1.1 Lý thuyt o hm Lie l mt nhng lnh vc nghiờn cu ca toỏn hc hin i, xut hin t nhng nm 30 ca th k trc cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca Slebodzinski, Dantzig, Schouten v Van Kampen ([47]) õy l lnh vc ó v ang c s quan tõm ca rt nhiu nh toỏn hc v ngoi nc Phộp o hm Lie trờn a l mt cụng c hu hiu nghiờn cu v cỏc bi toỏn a cú th tớch cc tiu a phng, xỏc nh cỏc cong chớnh, cong Ricci ca a Riemann o hm Lie cú nhiu ng dng cỏc lnh vc khỏc ca toỏn hc nh tỡm nghim ca cỏc phng trỡnh vi phõn, h phng trỡnh tuyn tớnh, h ng lc, h Hamilton ([4], [25]) Ngoi ra, o hm Lie cng cú nhiu ng dng cỏc ngnh khoa hc khỏc nh: C hc lng t, khoa hc mỏy tớnh, sinh hc, kinh t 1.2 Lý thuyt dũng l mt lý thuyt ca ngnh Hỡnh hc - Tụpụ T cui nhng nm 60 ca th k XX, cựng vi s hỡnh thnh v phỏt trin ca lý thuyt cỏc khụng gian phc hyperbolic, lý thuyt dũng ó cú nhng bc tin mnh m v c ng dng sõu sc gii tớch phc nhiu bin, hỡnh hc gii tớch, hỡnh hc i s, h ng lc Vic s dng lý thuyt dũng cỏc nghiờn cu v th tớch cc tiu ca kmt trờn a Riemann cú th tỡm thy cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca A T Fomenko, Havey, o Trng Thi, Lờ Hng Võn ([38]) 1.3 Cỏc phộp o hm trờn a Riemann cú nhiu ng dng vic mụ t cỏc c trng hỡnh hc ca a ú Chớnh vỡ vy, m vic nghiờn cu nú ó v ang c nhiu nh toỏn hc v ngoi nc quan tõm Mc dự cho n ó cú nhiu kt qu quan trng nhng õy l c bn v mang tớnh thi s, thu hỳt ngy cng nhiu nh toỏn hc nghiờn cu vỡ tớnh thc tin v ng dng khoa hc k thut Nm 2010, Sultanov ó trỡnh by cỏc tớnh cht c bn ca cỏc o hm Lie v ng dng chỳng vo vic kho sỏt cỏc cong v xon trờn cỏc i s kt hp, giao hoỏn v cú n v ([37]) Trong trng hp riờng, o hm Lie c s dng cỏc nghiờn cu v cỏc tớnh cht hỡnh hc trờn a Trong nhng nm gn õy, o hm Lie ó c nhiu nh toỏn hc quan tõm, chng hn: K Habermann, A Klein ([19]); L Fatibene, M Francaviglia ([16]); R P Singh, S D Singh ([33]); A Ya Sultanov ([37]); J D Pộrez ([28], [29]) Nhm thit lp khỏi nim o hm Lie cho dũng v liờn thụng trờn cỏc a tp, ng thi nghiờn cu cỏc tớnh cht v ng dng ca chỳng, chỳng tụi chn ti nghiờn cu cho lun ỏn ca mỡnh l: "o hm Lie ca dũng v liờn thụng" Mc ớch nghiờn cu Mc ớch ca lun ỏn l nghiờn cu v o hm Lie trờn cỏc a nh: o hm Lie ca dũng v dng suy rng, o hm Lie ca dng v dũng song bc, vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng, o hm Lie ca cỏc liờn thụng nhm b sung mt s tớnh cht hỡnh hc trờn a Riemann, ng thi chỳng tụi cng ch mt s ng dng ca chỳng i tng nghiờn cu i tng nghiờn cu ca lun ỏn l o hm Lie ca dũng v dng suy rng, o hm Lie ca cỏc liờn thụng trờn a Riemann Phm vi nghiờn cu Lun ỏn nghiờn cu cỏc tớnh cht v o hm Lie ca dũng, o hm Lie ca phõn b, o hm Lie ca dng suy rng, o hm Lie ca dng v dũng song bc, vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng, o hm Lie ca cỏc liờn thụng v ng dng ca chỳng Phng phỏp nghiờn cu Chỳng tụi s dng phng phỏp nghiờn cu lý thuyt ca hỡnh hc Riemann, lý thuyt dũng, gii tớch hm, lý thuyt liờn thụng v lý thuyt nhúm Lie quỏ trỡnh thc hin ti í ngha khoa hc v thc tin Lun ỏn ó t c mt s kt qu v o hm Lie trờn a Riemann nh: o hm Lie ca dũng, o hm Lie ca phõn b, o hm Lie ca dng suy rng, o hm Lie ca dng v dũng song bc, vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng, o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng nhm b sung mt s tớnh cht hỡnh hc trờn a ng thi, ỏp dng cỏc kt qu thu c vo vic chng minh nh lý chuyn, cụng thc ng luõn i vi dũng v tỡm iu kin a cc tiu Lun ỏn cú th lm ti liu tham kho cho cỏc sinh viờn, hc viờn cao hc v nghiờn cu sinh chuyờn ngnh Hỡnh hc - Tụpụ Tng quan v cu trỳc ca lun ỏn 7.1 Tng quan mt s liờn quan n lun ỏn a Riemann l khỏi nim c s ca toỏn hc hin i Khỏi nim ny xut hin vo na cui th k 19 Hỡnh hc trờn cỏc a ú cú nhiu ng dng cỏc lnh vc khỏc ca toỏn hc nh: Gii tớch, lý thuyt h ng lc v cỏc ngnh: Vt lý, cỏc ngnh khoa hc k thut Lý thuyt liờn thụng l mt nhng cụng c c bn ca hỡnh hc Riemann v c trỡnh by cỏc ti liu ([22], [24]) n nhng nm cui ca th k 20, cựng vi s phỏt trin ca tụpụ vi nhng cụng trỡnh ni ting ca Hausdorff, Poincarộ thỡ hỡnh hc trờn cỏc a ó phỏt trin mnh m v chớnh tụpụ ó tr thnh mt cụng c hu hiu vic xõy dng cỏc cu trỳc hỡnh hc, chng hn nh: cong, xon, o hm cỏc dng vi phõn trờn cỏc a v c bit l mụ t cỏc tớnh cht hỡnh hc quan trng trờn nhúm Lie compact S Lie l ngi u tiờn a khỏi nim o hm X[f ] ca hm s f theo trng vộct X trờn a kh vi v bõy gi gi l o hm Lie ca hm s theo trng vộct Nm 1920, ẫlie Cartan ([5]) nh ngha mt cỏch t nhiờn toỏn t vi phõn LX ca cỏc dng vi phõn v chng minh c toỏn t vi phõn LX giao hoỏn vi vi phõn ngoi d c bit, ẫlie Cartan ó chng minh c cụng thc sau v gi l cụng thc Cartan LX = d iX + iX d, õy iX l tớch ca trng vộct X i v dng vi phõn Nm 1931, cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca W Slebodzi nski ([35]) cng ó xut hin toỏn t vi phõn LX ca trng tenx theo trng vộct X W Slebodzi nski ó chng minh c cụng thc toỏn t vi phõn LX ca tớch hai trng tenx v ng dng vo vic tỡm nghim ca phng trỡnh Hamilton chớnh tc Vi mi hm s H(p, q), p = (pà ), q = (q ), = 1, 2, , n, W Slebodzi nski nh ngha trng vộct H H XH = pà q q pà v ó chng minh c LXH A = 0; LXH B = 0; vi A = dq dpà , B = qà pà Nm 1932, D V Dantzig ó t tờn cho toỏn t vi phõn LX l o hm Lie mang tờn nh toỏn hc S Lie ([10]) S dng o hm Lie, Dantzig thu c nhiu kt qu thỳ v, ú l khụng gian x nh nchiu c mụ t bi n + ta cong thun nht m cú th xem nh khụng gian (n + 1)chiu vi liờn thụng tuyn tớnh v ụng ó a nhng ng dng ca o hm Lie vo Vt lý K t ú, cỏc phộp bin dng ca ng cong, khụng gian v khụng gian cỏc phộp bin dng cng nh nhúm chuyn ng, chuyn ng affine, chuyn ng x nh, chuyn ng bo giỏc ó c quan tõm nghiờn cu bi nhiu nh toỏn hc ni ting nh: L Berwald, E Cartan, N Coburn, E T Davies, P Dienes, A Duschek, L P Eisenhart, F A Ficken, H A Hayden, V Hlavatý, E R van Kampen, M S Knebelman, T Levi Civita, J Levine, W Mayer, A J McConnel, A D Michal, H P Robertson, S Sasaki, J A Schouten, J L Synge, A H Taub, H C Wang v nhiu tỏc gi khỏc Nm 1948, J A Schouten v D J Struik ([34]) ó phỏt trin thờm mt s tớnh cht v o hm Lie ca dng vi phõn v a mt s k thut tớnh o hm Lie i vi dng vi phõn trờn a Sau ú, nm 1957 K Yano l ngi gii thiu v lý thuyt o hm Lie v cỏc ng dng ca o hm Lie ([47]) Vic nghiờn cu phộp o hm Lie cú nhiu ng dng vic mụ t cỏc c trng hỡnh hc ca a v c bit l ng dng lý thuyt h ng lc, lý thuyt truyn thụng, c hc lng t, ng lc hc Nm 1997, J.-H Kwon v Y J Suh ó nghiờn cu mt s tớnh cht v o hm Lie ca tenx trờn siờu mt thc kiu A khụng gian dng phc ([21]) Nm 2002, B N Shapukov ó trỡnh by mt s kt qu v o hm Lie ca trng tenx trờn a Fiber ([36]) Nm 2008, K Răobenack ó a thut toỏn cho phộp tớnh o hm Lie bc cao bng mỏy tớnh ([31]) Nm 2010, cỏc tỏc gi L S Velimirovic, S M Mincic, M S Stankovic 90 iii) L X Y hN (Z) = L X (hh (Z) )(Y ) LX Y Z N N Y [X,Z] N + Y [X,Z] N, vi mi Y, Z B(M ) Chng minh i) Vi mi X, Y B(M ), N N(M ), ỏp dng nh ngha 3.2.10 v nh ngha 3.2.3, ta c L X hN (Y ) = LX (hN (Y )) hN ([X, Y ]) = L X (Y N ) [X,Y ] N ii) Vi mi X, Y B(M ), N N(M ), ỏp dng Mnh 3.2.11.i), ta c L (Y, N ) = L X X Y N [X,Y ] N Y LX N = L X hN (Y ) + [X,Y ] N [X,Y ] N hL N (Y ) X = L X hN (Y ) h L XN (Y ) iii) Vi mi X, Y B(M ), N N(M ), ỏp dng Mnh 3.2.11.i), ta c L X Y hN (Z) = L X ( Y hN (Z)) Y hN ([X, Z]) = L X Y (hN (Z)) hN (Y Z) Y hN ([X, Z]) + hN (Y ([X, Z])) = L X Y (hN (Z)) LX hN (Y Z) Y hN ([X, Z]) + hN (Y ([X, Z])) = L X (hh (Z) )(Y ) LX Y Z N Y [X,Z] N + Y [X,Z] N N Mnh c chng minh 3.2.12 nh lý Gi s X, Y B(M ), N N(M ) Khi ú R(X, Y, N ) = R (X, Y, N ) X hN (Y ) + Y hN (X) hY N (X) + hX N (Y ) Chng minh Vi mi X, Y B(M ), N N(M ), t cỏc cụng thc (3.9), (3.14) v nh ngha 3.2.1, nh ngha 3.2.2, ta cú R(X, Y, N ) = X (Y N ) Y (X N ) [X,Y ] N = X hN (Y ) + Y N Y hN (X) + X N hN ([X, Y ]) + [X,Y ] N 91 = X hN (Y ) + X Y N + Y hN (X) Y X N + hN ([X, Y ]) [X,Y ] N = X hN (Y ) + Y hN (X) + hN ([X, Y ]) + X YN Y X N [X,Y ] N = X hN (Y ) + Y hN (X) + hN X Y hN Y X (Y ) hY N (X) + Y X N [X,Y ] N X Y N + h XN = X hN (Y ) hN X Y + Y hN (X) hN Y X + (X) + hX N (Y ) + X Y N Y X N [X,Y ] N h YN = X hN (Y ) + Y hN (X) + R (X, Y, N ) hY N (X) + hX N (Y ) = R (X, Y, N ) X hN (Y ) + Y hN (X) hY N (X) + hX N (Y ) nh lý c chng minh Bõy gi, ta xột trng hp M l siờu mt M v N l trng vộct phỏp dng n v trờn M Khi ú, liờn thụng phỏp dng ca siờu mt M l liờn thụng phng Do ú, t nh lý 3.2.12 ta d dng chng minh c h qu sau 3.2.13 H qu Nu M l siờu mt M v N l trng vộct phỏp dng n v trờn M thỡ ta cú R(X, Y, N ) = Y hN (X) X hN (Y ), (3.23) vi mi X, Y B(M ) Chng minh Vỡ N l trng vộct phỏp dng n v trờn siờu mt M nờn ỏp dng cụng thc (3.22) ta c X N = 0, vi mi X B(M ) Suy ra, R (X, Y, N ) = Do ú, ỏp dng nh lý 3.2.12, ta thu c R(X, Y, N ) = R (X, Y, N ) X hN (Y ) + Y hN (X) hY N (X) + hX N (Y ) = Y hN (X) X hN (Y ) H qu c chng minh 92 Mnh sau cho phộp ta tớnh o hm Lie ca tenx cong R trờn M 3.2.14 Mnh Gi s M l siờu mt M v N l trng vộct phỏp dng n v trờn M Khi ú LX R (Y, Z, N ) = LX Z hN (Y ) LX Y hN (Z)+ + [X,Y ] hN (Z) [X,Z] hN (Y ) R(Y, Z, L X N ), vi mi X, Y, Z B(M ) Chng minh Vỡ N l trng vộct phỏp dng trờn siờu mt M nờn ỏp dng H qu 3.2.13, ta c R(X, Y, N ) = Y hN (X) X hN (Y ) Do ú (LX R)(Y, Z, N ) = LX (R(Y, Z, N )) R([X, Y ], Z, N ) R(Y, [X, Z], N ) R(Y, Z, L XN) = LX Z hN (Y ) LX Y hN (Z) Z hN ([X, Y ]) + [X,Y ] hN (Z) [X,Z] hN (Y ) + Y hN ([X, Z]) R(Y, Z, L XN) = LX Z hN (Y ) Z hN ([X, Y ]) LX Y hN (Z) Y hN ([X, Z]) + + [X,Y ] hN (Z) [X,Z] hN (Y ) R(Y, Z, L XN) = LX Z hN (Y ) LX Y hN (Z)+ + [X,Y ] hN (Z) [X,Z] hN (Y ) R(Y, Z, L X N ) Mnh c chng minh T nh lý 3.2.12 ta thu c nh lý sau 3.2.15 nh lý Gi s X, Y B(M ) v N, K N(M ) Khi ú R(X, Y, N, K) = R (X, Y, N, K) hK X, hN Y + hK Y, hN X (3.24) 93 Chng minh Gi s X, Y B(M ) v N, K N(M ), ỏp dng nh lý 3.2.12, nh ngha 3.2.1, v cỏc cụng thc (3.11), ta thu c R(X, Y, N, K) = R(X, Y, N ), K = R (X, Y, N ), K Y hN (X), K X hN (Y ), K + hY N (X) , K + hX N (Y ) , K = R (X, Y, N, K) X hN (Y ), K + Y hN (X), K = R (X, Y, N, K) X (hN (Y )) hN X Y , K + + Y (hN (X)) hN Y X , K = R (X, Y, N, K) X (hN (Y )) + (X, hN (Y )) , K + + hN (X Y ) + hN ( (X, Y )) , K + Y (hN (X)) + (Y, hN (X)) , K hN (Y X) + hN ( (Y, X)) , K = R (X, Y, N, K) (X, hN (Y )) , K + hN ( (X, Y )) , K + + (Y, hN (X)) , K hN ( (Y, X)) , K = R (X, Y, N, K) (X, hN (Y )) , K + (Y, hN (X)) , K = R (X, Y, N, K) hK X, hN Y + hK Y, hN X nh lý c chng minh H qu sau cho phộp ta tớnh tenx cong ca M thụng qua ỏnh x Weingarten trờn siờu mt 3.2.16 H qu Nu M l siờu mt M v N l trng vộct phỏp dng n v trờn M Khi ú R(X, Y, N, K) = hK Y, hN X hK X, hN Y , (3.25) vi mi X, Y B(M ), K N(M ) Chng minh Vỡ N l trng vộct phỏp dng n v trờn siờu mt M nờn ỏp dng cụng thc (3.22), ta c X N = 0, vi mi X B(M ) Suy R (X, Y, N ) = Do ú R (X, Y, N, K) = R (X, Y, N ), K = 94 Mt khỏc, ỏp dng nh lý 3.2.15, ta thu c kt qu R(X, Y, N, K) = hK Y, hN X hK X, hN Y H qu c chng minh Bõy gi chỳng tụi nh ngha o hm liờn kt vi liờn thụng phỏp dng ca mt ng cu mụun T ú chng minh nh lý biu din o hm Lie ca tenx cong phỏp dng qua o hm liờn kt d vi liờn thụng phỏp dng trờn siờu mt M 3.2.17 nh ngha Gi s : B(M ) N(M ) l mt ng cu mụun o hm liờn kt vi ca , ký hiu d v c xỏc nh bi (d ) (X, Y ) = X (Y ) Y (X) ([X, Y ]) , X, Y, Z B(M ) 3.2.18 Mnh Cho : B(M ) N(M ) l mt ng cu mụun Khi ú, ỏnh x d : B(M ) ì B(M ) N(M ) l song tuyn tớnh, phn xng Chng minh Ta chng minh d l mt ỏnh x song tuyn tớnh vi thnh phn th nht v chng minh tng t cho thnh phn th hai Tht vy, vi mi X, X , Y B(M ), ta cú (d ) (X + X , Y ) = X+X (Y ) Y (X + X ) ([X + X , Y ]) = X (Y ) + X (X) Y (X) Y (X ) ([X, Y ]) ([X , Y ]) = (d ) (X, Y ) + (d ) (X , Y ) Mt khỏc, ta cú (d ) (f X, Y ) = f.X (Y ) Y (f.X) ([f.X, Y ]) = f. X (Y ) Y [f ] (X) f Y (X) f. ([X, Y ]) Y [f ] (X) = f X (Y ) Y (X) [X, Y ] = f (d ) (X, Y ) Bõy gi ta chng minh d cú tớnh cht phn xng Tht vy, vi mi X, Y B(M ), ta cú (d ) (X, Y ) = X (Y ) Y (X) ([X, Y ]) = Y (X) X (Y ) ([Y, X]) = (d ) (Y, X) 95 Mnh c chng minh T H qu 3.2.8 ta thu c nhh lý 3.2.19 sau õy 3.2.19 nh lý Gi s M l siờu mt M v N l trng vộct phỏp dng n v trờn M Khi ú L (Y, Z, N ) = d h XR L N (Y, Z) , (3.26) X vi mi X, Y, Z B(M ) Chng minh Vỡ N l trng vộct phỏp dng n v trờn siờu mt M nờn ỏp dng H qu 3.2.8, ta c (L X R )(Y, Z, N ) = R (Y, Z, LX N ) Do ú, vi mi X, Y, Z B(M ), ta cú d h [X,N ] (Y, Z) = Y hL N (Z) Z hL N (Y ) hL N ([Y, Z]) X = Y =R = X Z L XN Z Y, Z, LX N L (Y, Z, N ) XR Y L XN X [Y,Z] L XN Vy L (Y, Z, N ) = d h (Y, Z) nh lý c chng minh XR L N X Sau õy l vớ d v o hm Lie ca tenx cong phỏp dng 3.2.20 Vớ d Cho mt M R3 c xỏc nh bi tham s húa r : R2 R3 (u, v) r(u, v) v phỏp tuyn n v ca M c xỏc nh N= vi Ru = u r (u, v) , Rv = Ru Rv , Ru Rv v r (u, v) Vi mi X B(M ), ta xột ỏnh x h L N : B(M ) N(M ) X Y h L N (Y ) = (f1 + f2 ).N X 96 nu Y = f1 Ru + f2 Rv Khi ú, ta cú LX R (Ru , Rv , N ) = d h L N (Ru , Rv ) X = Ru hL N (Ru ) + Rv hL N (Rv ) + hL N ([Ru , Rv ]) X = Ru N + Rv N X + h L XN X ([Ru , Rv ]) = Kt lun chng Trong chng ny, chỳng tụi thu c nhng kt qu sau a mt s tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng v vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng trờn a Riemann (nh lý 3.1.12, Mnh 3.1.18, Mnh 3.1.22, nh lý 3.1.23) Cỏc kt qu ny c ng trờn cỏc bi bỏo: N H Quang and B C Van (2016), Some properties of the Lie derivative and the conjugate derivative d with the connection, Southeast Asian Bulletin of Mathematics (to appear) B C Van and T T K Ha (2015), Some properties on the Lie derivative of linear connections on Rn , East-West Journal of Mathematics, 17(2), 113 - 124 a nh lý 3.2.9, H qu 3.2.8, nh lý 3.2.12, H qu 3.2.13, Mnh 3.2.14, nh lý 3.2.15, H qu 3.2.16, t ú nghiờn cu cỏc tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng, o hm Lie ca tenx cong phỏp dng trờn a Riemann v ng dng ca nú trng hp a M l siờu mt Cỏc kt qu ny c ng trờn bi bỏo: B C Van (2016), The Lie derivative of normal connections, J Nonlinear Sci Appl., 9(2016), 4247 - 4256 97 KT LUN CHUNG V KIN NGH I Kt lun chung Lun ỏn nghiờn cu v o hm Lie ca dũng v dng suy rng, o hm Lie ca phõn b, o hm Lie ca dng v dũng song bc, o hm Lie ca liờn thụng v vi phõn ngoi liờn kt, o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng ng thi ng dng cỏc kt qu thu c vo vic chng minh nh lý chuyn, cụng thc ng luõn i vi dũng trờn a v tỡm iu kin a cc tiu Cỏc kt qu chớnh ca lun ỏn l: 1) Thit lp khỏi nim o hm Lie ca dũng v dng suy rng T ú phỏt biu cụng thc kiu Cartan v mt s tớnh cht v o hm Lie ca dũng v dng suy rng a cụng thc tớnh o hm Lie ca phõn b, chng minh s hi t ca dóy o hm Lie theo ngha phõn b Phỏt biu nh lý o hm Lie ph thuc thi gian th nht v th hai i vi dũng 2) a mt s tớnh cht v o hm Lie ca dũng v dng suy rng trờn nhúm Lie compact 3) Ch ng dng ca o hm Lie ca dũng trờn a vic chng minh nh lý chuyn, cụng thc ng luõn i vi dũng trờn a v tỡm iu kin a cc tiu 4) a cỏc nh lý khng nh o hm Lie ca dng vi phõn song bc (p, p) cng l dng vi phõn song bc (p, p) trng hp X l trng vộct chnh hỡnh 5) Phỏt biu mt s tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng v vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng trờn a Riemann 6) Thit lp v phỏt biu mt s tớnh cht v o hm Lie ca liờn thụng phỏp dng, o hm Lie ca tenx cong phỏp dng trờn a Riemann 98 II Kin ngh Trong thi gian ti chỳng tụi mong mun tip tc nghiờn cu cỏc sau: 1) Nghiờn cu o hm Lie ca dũng dng, o hm Lie ca hm a iu hũa di v ng dng vo lý thuyt a th v 2) Nghiờn cu o hm Lie trờn siờu mt khụng gian x nh phc 3) Nghiờn cu o hm Lie trờn i s Banach v trờn gi i s Lie 99 DANH MC CễNG TRèNH LIấN QUAN TRC TIP N LUN N K P Chi, N H Quang and B C Van (2012), The Lie derivative of currents on Lie group, Lobachevskii Journal of Mathematics, 33(1), 10 - 21 B C Van and T T K Ha (2015), Some properties on the Lie derivative of linear connections on Rn , East-West Journal of Mathematics, 17(2), 113 - 124 B C Van (2016), The Lie derivative of normal connections, J Nonlinear Sci Appl., 9(2016), 4247 - 4256 (SCIE) B C Van and N H Quang (2016), Some properties of the Lie derivative and the conjugate derivative d with the connection, Southeast Asian Bulletin of Mathematics (to appear) Bui Cao Van (2016), On the Lie derivative of forms of bidegre, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, to appear (ESCI) B C Van (2016), Some note on the Lie derivative of currents of bidegree, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Submitted K P Chi, N H Quang and B C Van (2016), Some properties on the Lie derivative of currents and its applications, Vietnam Journal of Mathematics, Submitted Cỏc kt qu ni dung ca lun ỏn cng ó c bỏo cỏo ti: Seminar ca T Hỡnh hc thuc Khoa S phm Toỏn, Trng i hc Vinh Cỏc Hi ngh NCS ca Trng i hc Vinh (2012 - 2016) Hi ngh i s - Hỡnh hc - Tụpụ, Thỏi Nguyờn, 3-5/11/2011 Hi ngh Toỏn hc Min Trung - Tõy Nguyờn ln th nht, Quy Nhn, 12-14/8/2015 100 TI LIU THAM KHO ting vit [1] Khu Quc Anh, Nguyn Doón Tun (2005), Lý thuyt liờn thụng v hỡnh hc Riemann, NXB i hc s phm [2] Nguyn Quang Diu, Lờ Mu Hi (2009), C s lý thuyt a th v, NXB i hc s phm [3] Nguyn Vn Khuờ, Bựi c Tc, c Thỏi (2001), C s lý thuyt hm v gii tớch hm, Tp II, Nh xut bn Giỏo dc ting anh [4] R Abraham, J E Marsden and T Ratiu (2002), Manifolds, Tensor Analysis and Applications, Springer [5] ẫ Cartan (1958), Leácons sur les invariants intộgraux, based on lectures given in 1920-21 in Paris (Hermann, Paris 1922; reprinted in 1958) [6] K P Chi, N H Quang and B C Van (2012), The Lie derivative of currents on Lie group, Lobachevskii Journal of Mathematics, 33(1), 10 - 21 [7] K P Chi, N H Quang and B C Van (2016), Some properties on the Lie derivative of currents and its applications, Vietnam Journal of Mathematics, Submitted [8] D T Cuong and N Sibony (2005), Introduction to the theory of currents, American Mathematical Society-Providence-Rhode Island, Volume 84 [9] B Csikús (2014), Differential geometry, Eă otvă os Lor and University Faculty of Science, Typotex Publishing House 101 [10] D van Dantzig (1932), Zur allgemeinen projektiven differential geometrie, Proc Roy Acad Amsterdam 35 Part I: pp 524-534; Part II: pp 535-542 [11] J P Demailly (2009), Complex Analytic and Differential Geometry, Universit e de Grenoble I Institut Fourier, UMR 5582 du CNRS, 38402 Saint-Martin dH` eeres, France [12] B K Driver (2003), Analysis Tools with Applications, Springer, NewYork [13] L Falach and R Segev (2015), Reynolds transport theorem for smooth deformations of currents on manifolds, Mathematics and Mechanics of Solids, 20(6), 770 - 786 [14] L Falach and R Segev (2016), On the role of sharp chains in the transport theorem, Continuum Mechanics and Thermodynamics, 28(1), 539 - 559 [15] A Frabetti (2010), Gộomộtrie diffộrentielle appliquộe la physique, Institut Camille Jordan, CNRS UMR 5028, Universit e Lyon 1, 21 avenue Claude Bernard, 69622 Villeurbanne, France [16] L Fatibene and M Francaviglia (2011), General theory of Lie derivative for Lorentz tensors, Communications in Mathematics, The University of Ostrava, 19(2011), 11 - 25 [17] J Gallier and J Quaintance (2016), Notes on differential geometry and Lie groups, Department of Computer and Information Science, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA 19104, USA [18] G Hăormann and R Steinbauer (2009), Lecture notes on the theory of distributions, Fakultăat fă ur Mathematik, Universităat Wien, Summer Term [19] K Habermann, A Klein (2003), Lie derivative of symplectic spinor fields, metaplectic representation, and quantization Rostock Math Kolloq 57(2003), 71 - 91 102 [20] C J Isham (2001), Modern Differential Geometry for Physicists, World Scientific Lecture Notes in Physics, World Scientific Publishing Co Pte Ltd [21] J.-H Kwon and Y J Suh (1997), Lie derivatives on Homogeneous real hypersurfaces of type a in complex space forms Bull Korean Math Soc 34(3), 459 - 468 [22] S Kobayashi and K Nomizu, Foundations of differential geometry, Inter-sience Publishers, New York - London Vol 1, 1963 [23] A G Kovalev (2008), Lecture notes based on the Complex Manifolds course lectured , Cambridge Mathematical Tripos New York London [24] John M Lee (2006), Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer, New York ă Kottaa, Z Bartosiewiczb, and E Pawluszewiczc [25] T Mullari, U (2012), The concepts of Lie derivative for discrete-time systems, Proceedings of the Estonian Academy of Sciences, 61(4), 253 - 265 [26] J E Marsden and T S Ratiu (1998), Introduction to mechanics and symmetry, A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems [27] A D Nicola, I Yudin (2015), Covariant Lie derivatives and Fră olicherNijenhuis bracket on Lie algebroids, International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, 12(9), 1560018 (8 pages) [28] J D Pộrez (2014), Lie and generalized Tanaka - Webster derivatives on real hypersurfaces in complex projective space, Int J Math., 25(12), 1450115 (13 pages) [29] J D Pộrez (2015), Comparing Lie Derivatives on Real Hypersurfaces in Complex Projective Spaces, Mediterr J Math., DOI 10.1007/s00009-015-0601-8, Springer Basel (9 pages) [30] K Panagiotidou and J D Pộrez (2015), On the Lie derivative of real hypersurfaces in CP and CH with respect to the generalized 103 Tanaka -Webster connection, Bull Korean Math Soc., 52(5), 16211630 [31] K Robenack (2008), Computation of multiple Lie derivatives by algorithmic differentiation, Journal of Computational and Applied Mathematics, 213(2008), 454 - 464 [32] J M Sỏnchez and R R Fernỏndez (2007), Small Scale Cavitation Model, UTAM Symposium on Advances in Micro and Nanofluidics, Volume 15 of the series IUTAM Bookseries pp 127-143 [33] R P Singh and S D Singh (2010), Lie Derivatives and Almost Analytic Vector Fields in a Generalised Structure Manifold, Int J Contemp Math Sciences, 5(2), 81 - 90 [34] J A Schouten and D J Struik (1948), Introduction to new methods of differential geometry, [Russian translation], Vol 2, IL, Moscow [35] W Slebodzi nski (1931), Sur les ộquations de Hamilton Bull Acad Roy de Belg 17, 864-870 [36] B N Shapukov (2002), Lie derivatives on fiber manifolds, J Math Sci 108(2), 211-231 [37] A Ya Sultanov (2010), Derivations of linear algebras and linear connections, J Math Sci 169(3), 362-412 [38] Dao Trong Thi and A T Fomenko (1991), Minimal surfaces stratified multivarifolds and the Plateau problem, American Mathematical Society-Providence-Rhode Island [39] L W Tu (2010), An Introduction to Manifolds, Springer, New York, Second Edition [40] B C Van and N H Quang (2016), Some properties of the Lie derivative and the conjugate derivative d with the connection, Southeast Asian Bulletin of Mathematics (to appear) [41] B C Van and T T K Ha (2015), Some properties on the Lie derivative of linear connections on Rn , East-West Journal of Mathematics, 17(2), 113 - 124 104 [42] B C Van (2016), The Lie derivative of normal connections, J Nonlinear Sci Appl., 9(2016), 3472 - 3482 [43] B C Van (2016), On the Lie derivative of forms of bidegre, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications (to appear) [44] B C Van (2016), Some note on the Lie derivative of currents of bidegree, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Submitted [45] L S Velimirovic, S M Mincic, M S Stankovic, (2010), Infinitesimal rigidity and flexibility of a non-symmetric affine connection space, European Journal of Combinatorics, 31(2010), 1148 - 1159 [46] N M J Woodhouse (2009), Introduction to analytical dynamics, Springer Undergraduate Mathematics Series [47] K Yano (1957), The theory of Lie derivatives and its applications, North-Holland Publishing Co., Amsterdam; P Noordhoff Ltd., Groningen; Interscience Publishers Inc., New York [48] Seunghun Yi (2009), Left-invariant minimal unit vector fields on Lie groups, Mathematics - New Series Information Centre for Mathematical Sciences 11(1), 63-70 [...]... số tính chất về đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết với liên thông Trong mục 3.2, chúng tôi trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng và đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann, từ đó nghiên cứu các tính chất về đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng, đạo hàm Lie của tenxơ cong pháp dạng trên đa tạp con Riemann và ứng dụng của nó trong trường... bản về đạo hàm Lie của hàm số, đạo hàm Lie của trường véctơ và đạo hàm Lie của k−dạng vi phân trên đa tạp Riemann Mục 1.4 trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về lý thuyết phân bố và lý thuyết dòng Chương 2 trình bày các nội dung nghiên cứu về đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp Riemann, bao gồm 4 mục Trong mục 2.1, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng và dạng... để đa tạp con cực tiểu là đạo hàm Lie của dòng tích phân triệt tiêu Trong mục 2.4, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất về đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc Đặc biệt, chúng tôi tìm điều kiện của trường véctơ X để đạo hàm Lie của dạng song bậc (p, p) cũng là dạng song bậc (p, p) Việc nghiên cứu đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc nhằm mục đích nghiên cứu đạo hàm Lie của dòng dương trong lý thuyết... nghiên cứu về đạo hàm Lie của liên thông và đạo hàm Lie của tenxơ cong trên không gian với liên thông affine không đối xứng ([45]) Cùng trong thời gian này, A Ya Sultanov đã xây dựng khái niệm đạo hàm Lie trên đại số và nghiên cứu một số tính chất về đạo hàm Lie của liên thông trên đại số, đồng thời ứng dụng chúng vào việc khảo sát các độ cong và độ xoắn trên các đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị... trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc Đồng thời ứng dụng vào việc chứng minh định lý vận chuyển, chứng minh công thức đồng luân đối với dòng trên đa tạp và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu 2.1 Đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng Trong mục này, chúng tôi xây dựng định nghĩa đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng trên đa tạp Riemann... chất về đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng trên nhóm Lie Trong mục 2.3, chúng tôi đưa ra một số ứng dụng đạo hàm Lie của dòng trong việc chứng minh định lý vận chuyển Reynolds và chứng minh công thức đồng luân đối với dòng trên đa tạp Một điều thú vị là toán tử vận chuyển Rϕ (t) (T ) chính là đạo hàm Lie LXt ((ϕt )∗ T ) của k dòng (ϕt )∗ T Mô tả đạo hàm Lie của dòng tích phân trên đa tạp con và tìm... ngoài của các dạng vi phân, vi phân ngoài và ánh xạ kéo lùi của dạng vi phân trên đa tạp Riemann M - Các khái niệm liên thông tuyến tính, liên thông Levi-Civita, tenxơ cong và tenxơ xoắn trên đa tạp Riemann M - Các khái niệm nhóm một tham số, tích trong của trường véctơ đối với k−dạng vi phân, đạo hàm Lie của hàm số, đạo hàm Lie của trường véctơ, đạo hàm Lie của k−dạng vi phân và các tính chất của. .. trình bày chương 2 và chương 3, trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về k−dạng vi phân, liên thông, tenxơ cong và tenxơ xoắn trên đa tạp Riemann n−chiều; đạo hàm Lie của hàm số, đạo hàm Lie của trường véctơ và đạo hàm Lie của k−dạng vi phân; các tính chất cơ bản của lý thuyết phân bố và lý thuyết dòng trên đa tạp Riemann n−chiều Trong suốt luận án, ta luôn giả thiết... trình nghiên cứu của L Fatibene và M Francaviglia đã trình bày một số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ Lorentz và ứng dụng của nó vào việc khảo sát không gian Minkowski ([16]) Năm 2012, trên cơ sở đạo hàm Lie của dạng vi phân, chúng tôi đã xây dựng đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp Riemann và đưa ra một số ứng dụng trên nhóm Lie compact ([6]) Năm 2014, J D Pérez đã nghiên cứu đạo hàm Lie trên siêu mặt... vi phân phụ thuộc thời gian, định lý đạo hàm Lie phụ thuộc thời gian thứ nhất và thứ hai đối với dạng vi phân - Định nghĩa phân bố và một số tính chất cơ bản của phân bố Các khái niệm k dòng trên đa tạp, tích ngoài của dòng và dạng, vi phân ngoài của dòng, ánh xạ tiếp xúc, định lý Stokes và các phép toán của dòng trên đa tap Riemann 28 Chương 2 ĐẠO HÀM LIE CỦA DÒNG TRÊN ĐA TẠP Trong chương này, chúng ... hm Lie ca dũng v dng suy rng, o hm Lie ca cỏc liờn thụng trờn a Riemann Phm vi nghiờn cu Lun ỏn nghiờn cu cỏc tớnh cht v o hm Lie ca dũng, o hm Lie ca phõn b, o hm Lie ca dng suy rng, o hm Lie. .. mt s kt qu v o hm Lie trờn a Riemann nh: o hm Lie ca dũng, o hm Lie ca phõn b, o hm Lie ca dng suy rng, o hm Lie ca dng v dũng song bc, vi phõn ngoi liờn kt vi liờn thụng, o hm Lie ca liờn thụng... 2.2 o hm Lie ca dũng trờn nhúm Lie 47 2.3 Mt s ng dng ca o hm Lie ca dũng 54 2.4 o hm Lie ca dng v dũng song bc 60 Chng o hm Lie ca