Mối liên hệ giữa hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một với phương trình Hyperbolic cấp hai

i LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng.Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng, người đã quan tâm, động viên tác giả và hướng dẫn tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và Tổ Giải tích cùng với các thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả chân thành cảm ơn Sở GD và ĐT Hà Nội, Trường THPT Liên Hà đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân và bạn bè đã động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Bích Liên ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng. Luận văn không hề trùng lặp với đề tài khác. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Bích Liên iii Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị. 4 1.1. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Trung bình hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Không gian W m p (Ω), 1 ≤ p < ∞ . . . . . . . . . . 9 1.1.4. Không gian o W m p (Ω) , 1 ≤ p < ∞ . . . . . . . . . . 12 1.2. Thác triển yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3. Toán tử đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 14 2.1. Định nghĩa hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 14 2.2. Nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 iv 2.3. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyper- bolic đối xứng cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Sự duy nhất nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hy- perbolic đối xứng cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.1. Toán tử tích phân ma trận . . . . . . . . . . . . 22 2.4.2. Sự duy nhất nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . 30 3 Phương trình hyperbolic cấp hai 32 3.1. Định nghĩa phương trình hyperbolic cấp hai . . . . . . . 32 3.2. Mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một và phương trình hyperbolic cấp hai . . . . . . . . . 34 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng là một môn quan trọng của Toán học. Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có hai đặc thù cơ bản. Thứ nhất là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán Vật lý, vì quá trình nghiên cứu các bài toán Vật lý dẫn đến các bài toán phương trình đạo hàm riêng. Những nhà tiên phong trong lĩnh vực này là: J.D’Alembert (1717- 1783), L.Euler (1707-1783), D.Bernoulli (1700-1782), J.Lagrange (1736- 1813), P.Laplace (1749-1827), S.Poisson (1781-1840), J.Fourier (1768- 1830). . . .Thứ hai là mối liên hệ mật thiết của phương trình đạo hàm riêng với các ngành Toán học khác như: Giải tích hàm, Lý thuyết hàm, Tôpô, Đại số, Giải tích phức. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính hiện đại gồm có: phương trình loại eliptic, phương trình loại parabolic, phương trình loại hyperbolic. Không gian nghiệm đối với ba loại phương trình này là một vấn đề cơ bản trong việc nghiên cứu về đạo hàm riêng tuyến tính. Nghiệm cổ điển và nghiệm suy rộng có mối liên hệ mật thiết với nhau.Với mỗi loại phương trình khi nghiên cứu bao giờ cũng đặt ra câu hỏi: nghiệm suy rộng của phương trình có tồn tại không, có duy nhất không, phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện đã cho của bài toán không? Trong phương trình loại hyperbolic cũng có nhiều dạng: hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một, phương trình hyperbolic cấp hai, phương 2 trình hyperborlic mạnh Khi nghiên cứu về loại hyperbolic tuyến tính ta thấy phương trình hyperbolic cấp hai có mối quan hệ mật thiết với hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một. Để làm sáng tỏ mối quan hệ trên và góp phần giúp cho những người học phương trình đạo hàm riêng, những người yêu phương trình đạo hàm riêng hiểu rõ hơn, sâu hơn nên nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài. “Mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài là tìm hiểu sâu hơn về phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, cụ thể là: Mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: - Nghiên cứu về hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một. - Nghiên cứu về nghiệm suy rộng của hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một. -Nghiên cứu phương trình hyperbolic cấp hai. -Nghiên cứu về mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng 3 cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu về hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một, nghiên cứu phương trình hyperbolic cấp hai, nghiên cứu mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp hàm trung bình. - Phương pháp đánh giá bất đẳng thức. - Phương pháp đánh giá hội tụ. 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài Đề tài nghiên cứu về mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị. 1.1. Không gian Sobolev 1.1.1. Trung bình hóa Định nghĩa 1.1.1. Giả sử θ(x) là một hàm không âm thuộc o C ∞ (R n ) sao cho θ(x) = θ(−x), θ(x) = 0 nếu |x| > 1 và  R n θ(x) = 1. Hàm θ(x) được gọi là nhân trung bình hóa. Ví dụ 1.1.1. Hàm θ (x) =    Ce − 1 1−|x| 2 , |x| < 1, 0, |x| ≥ 1. với hằng số C được chọn thích hợp để điều kiện trong định nghĩa1.1.1 được thoả mãn. 5 Với h > 0 , ta đặt θ h (x) = h −n θ  x h  , x ∈ R n . Khi đó θ h ∈ o C ∞ (R n ) , θ h (x) ≥ 0, θ h (x) = 0 nếu |x| ≥ h,  R n θ h (x) dx = 1.Do vậy θ h (x) = h −n θ  x h  gọi là nhân trung bình hóa (có bán kính h) . Định nghĩa 1.1.2. Nếu hàm u ∈ L p (Ω), p ≥ 1, thì hàm u h (x) = h −n  Ω θ  x − y h  u(y)dy được xác định trong R n và trơn vô hạn. Khi đó, hàm u h (x) được gọi là trung bình hóa hay hàm trung bình của hàm u. Định lý 1.1.1. Giả sử hàm u ∈ L p (Ω) với p ≥ 1. Khi đó, lim h→0 u h − u L p (Ω) = 0 . Chứng minh. Đặt u(x) = 0 đối với x ∈ R n /Ω. Khi đó, u h (x) = h −n  Ω θ  x − y h  u(y)dy =  R n θ(z)u(x + hz)dz. Bởi vậy, u h (x) − u(x) =  R n θ(z)[u(x + hz) − u(x)]dz |u h (x) − u(x)| p ≤ C  |z|<1 |u(x + hz) − u(x)| p dz. 6 Sau khi lấy tích phân bất đẳng thức này theo x và đổi thứ tự lấy tích phân nhờ Định lí Fubuni ta nhận được  Ω |u h (x) − u(x)| p ≤ C  |z|<1 dz  Ω |u(x + hz) − u(x)| p dx Do tính liên tục toàn cục của hàm thuộc không gian L p (Ω), p ≥ 1, tích phân sau cùng dần đến không khi h → 0. Định lí được chứng minh. 1.1.2. Đạo hàm suy rộng Định nghĩa 1.1.3. Giả sử Ω là một miền trong không gian R n . Một hàm v(x) ∈ L 1 (Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm u(x) ∈ L 1 (Ω) nếu  Ω u(x)D α ψ(x)dx = (−1) |α|  Ω v(x)ψ(x)dx, với mọi ψ ∈ ◦ C ∞ (Ω), ở đó α = (α 1 , , α n ), |α| = α 1 + + α n . Kí hiệu: D α = D α x = ∂ |α| ∂x α 1 1 ∂x α 2 2 ∂x α n n ≡ ∂ |α| /∂x α 1 1 ∂x α 2 2 ∂x α n n Chú ý 1. 1. Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp α thì nó có đạo hàm suy rộng cấp α. Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng rút ra hàm v(x) có không quá một đạo hàm suy rộng. [...]... là các hàm của biến (x, t) ∈ Rn+1 Hệ (2.1) được gọi là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp 15 một nếu thỏa mãn: ai = ai , i = 1, , n + 1; α, β = 1, , s αβ βα (2.2) Hệ (2.1) được gọi là hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một nếu (2.1) là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một và thỏa mãn thêm điều kiện: s an+1 (x, t) ξα ξβ > 0 αβ (2.3) α,β=1 với mọi ξ = (ξ1 , , ξs ) ∈ Rs \... định F để T trở thành toán tử đóng 14 Chương 2 Hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 2.1 Định nghĩa hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một Kí hiệu (x, t) = (x1 , , xn , t) ∈ Rn+1 Giả sử ai = ai (x, t) , i = 1, , n + 1; αβ αβ bαβ = bαβ (x, t) ; α, β = 1, , s, là các hàm đã cho phụ thuộc vào biến (x, t) ∈ Rn+1 Xét hệ phương trình đạo hàm riêng cấp một sau: s α=1 ∂uα an+1 αβ ∂t n + s ∂uα ai αβ... Chương 3 Phương trình hyperbolic cấp hai 3.1 Định nghĩa phương trình hyperbolic cấp hai Xét trong Rn phương trình đạo hàm riêng cấp hai n+1 ∂ 2u + aij (x) ∂xi ∂xj i,j=1 n+1 ai (x) i=1 ∂u + a (x) u = f (x) ∂xi (3.1) ở đó aij (x) = aji (x) , ai (x) , a (x) , f (x) là các hàm xác định theo biến x = (x1 , x2, , xn+1 ) ∈ Rn+1 Phương trình (3.1) được gọi là phương trình hyperbolic tại điểm x0 (thuộc loại hyperbolic. .. phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 16 2.2 Nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một Xét toán tử vi phân ma trận n+1 Tu ≡ Ai i=1 ∂u + Bu ∂xi (2.5) Giả thiết tồn tại các đạo hàm riêng ∂ai αβ , i = 1, , n + 1 ∂xi Khi đó có toán tử vi phân liên hợp hình thức của toán tử T : n+1 ∗ T ω=− i=1 ∂ (A∗ ω) + B ∗ ω, ∂xi i ở đó A∗ và B ∗ là các ma trận liên hợp tương ứng với Ai và B i... phương trình (2.1) được viết dưới dạng ma trận n+1 Ai i=1 ∂u + Bu = f ∂xi (2.4) ở đó xn+1 = t và u = u (x, t) = (u1 (x, t) , , us (x, t)) ∂u = ∂xi ∂u1 ∂us , , ∂xi ∂xi , f = f (x, t) = (f1 (x, t) , , fs (x, t)) Vậy, nếu Ai là các ma trận đối xứng, i = 1, , n + 1 thì hệ (2.4) là hệ đối xứng các phương trình đạo hàm riêng cấp một, còn nếu thêm giả thiết An+1 là xác định dương, thì (2.4) là hệ phương trình. .. hoặc các điều kiện khác nào đó Tuy nhiên, nếu miền Q trùng với toàn bộ không gian Rn+1 thì nghiệm thiết lập là duy nhất 2.4 Sự duy nhất nghiệm suy rộng của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một 2.4.1 Toán tử tích phân ma trận Giả sử K (x, y) là ma trận cấp s × s mà các phần tử của nó là các hàm ai,j (x, y) được xác định trong Ω × Ω, Ω là một miền bất kì thuộc 23 Rm Hơn nữa, giả sử 2 |K (x, y)|dx... của hệ phương trình Hyperbolic đối xứng cấp một Trong phần này ta giả thiết ai liên tục trong Q còn ∂ai ∂xi , bαβ αβ αβ là các hàm liên tục và bị chặn trong Q Kí hiệu ∂A = n+1 i=1 ∂Ai ∂xi và giả thiết tồn tại các số γ0 , γ1 dương sao cho ξAn+1 ξ ≥ γ1 |ξ|2 , ξ ∈ Rs , (2.7) 1 ξ B − ∂A ξ ≤ γ0 |ξ|2 , ξ ∈ Rs , 2 (2.8) Bổ đề 2.3.1 Giả sử thực hiện được các điều kiện (2.7)và (2.8) Nếu λγ1 > γ0 thì ω với mọi... chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp α không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn α Định lý 1.1.2 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn , Ω là miền con của Ω, sao cho khoảng cách giữa Ω và ∂Ω bằng d > 0 Khi đó, đối với 0 < h < d và x ∈ Ω , ta có (Dα u)h (x) = Dα uh (x) Chứng minh ◦ Do 0 < h < d và x ∈ Ω , còn hàm θ((x − y)/h) ∈ C ∞ (Ω), đối với x ∈ Ω , 9 nên khi sử dụng định nghĩa... được (2.9) Bổ đề được chứng minh Định lý 2.3.1 Giả sử thực hiện các điều kiện (2.7),(2.8) và giả sử λγ1 ≥ γ0 Khi đó đối với bất kì hàm f (x, t) ∈ (L2 (Q))s phương trình (2.6) có ít nhất một nghiệm suy rộng trong không gian (L2 (Q))s Chứng minh Kí hiệu F = ∗ Tλ o ∞ s C (Q) Đối với một hàm bất kì ∗ υ ∈ F do bổ đề 2.3.1, tồn tại duy nhất hàm ω = (Tλ )−1 υ sao cho ω 2,Q ≤ (λγ1 − γ0 )−1 υ 2,Q Đặt ∗ (f,... Wp (Ω) là một không gian Banach m Chứng minh Dễ kiểm tra được Wp (Ω) là một không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn (1.1) Bây giờ ta chứng minh nó là không gian đầy m Giả sử {uj }∞ là dãy Cauchy trong Wp (Ω), tức là với mỗi số tự nhiên j=1 k: |Dα (uj − uj+k )|p dx → 0, j → ∞ |α|≤m Ω Đối với mỗi α dãy {Dα uj }∞ là dãy Cauchy trong Lp (Ω) Bởi vì Lp (Ω) j=1 là không gian đầy, nên tồn tại một hàm uα . cấp một, nghiên cứu phương trình hyperbolic cấp hai, nghiên cứu mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một với phương trình hyperbolic cấp hai. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương. 30 3 Phương trình hyperbolic cấp hai 32 3.1. Định nghĩa phương trình hyperbolic cấp hai . . . . . . . 32 3.2. Mối liên hệ giữa hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một và phương trình hyperbolic. hyperbolic đối xứng cấp một. - Nghiên cứu về nghiệm suy rộng của hệ phương trình hyperbolic đối xứng cấp một. -Nghiên cứu phương trình hyperbolic cấp hai. -Nghiên cứu về mối liên hệ giữa hệ phương trình