Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp quan trọng, được sử dụng thường xuyên và không thể thiếu của người kỹ sư khi phân tích và thiết kế kết cấu. Tuy nhiên, khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu có điều kiện biên đa bậc tự do luôn là một vấn đề khó. Vì vậy, trong bài báo này sẽ trình bày cách áp dụng thừa số Lagrange và phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do chịu tải trọng tĩnh.
KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG ÁP DỤNG THỪA SỐ LAGRANGE PHÂN TÍCH KẾT CẤU DÀN PHẲNG CĨ ĐIỀU KIỆN BIÊN ĐA BẬC TỰ DO CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH TS PHẠM VĂN ĐẠT Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Tóm tắt: Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp quan trọng, sử dụng thường xuyên thiếu người kỹ sư phân tích thiết kế kết cấu Tuy nhiên, sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu có điều kiện biên đa bậc tự ln vấn đề khó Vì vậy, báo trình bày cách áp dụng thừa số Lagrange phương pháp phần tử hữu hạn để giải tốn kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự chịu tải trọng tĩnh phần tử hữu hạn phương pháp rời rạc hóa kết cấu thành phần tử liên kết với nút phần tử, phương trình cân cho toàn hệ kết cấu cuối thường đưa viết phương trình dạng ma trận Các phép tính viết dạng ma trận thực dễ dàng phần mềm tính tốn tốn học, nên việc giải tốn có số ẩn lớn khơng vấn đề khó cơng nghệ thông tin điện tử phát triển Từ khóa: Phương pháp phần tử hữu hạn, Biên Các kết cấu thực tế thường có điều kiện biên đa bậc tự do, Thừa số lagrange Abstract: Finite element method (FEM) is now an important and frequently indispensable method of engineering analysis and design structure; However, using finite element method for ananysis of multifreedom equality constraints structures is always a difficult problem Consequently, this paper will present combined finite element method and lagrange multiplier to analyse two demensional trusses with multi-freedom constraints under dead đa dạng, dạng điều kiện biên điều kiện biên làm cho chuyển vị thẳng nút biên chuyển vị theo phương cho trước, mà phương không trùng với trục tọa độ hệ trục tọa độ tổng thể Điều dẫn đến nút biên có bậc tự khác khơng không độc lập, mà với ràng buộc Những nút biên có điều kiện gọi nút có điều kiện biên đa bậc tự Ví dụ cho kết cấu dàn chịu lực hình 1, nút C hệ trục tọa độ tổng thể loads có thành phần chuyển vị, hai thành phần không độc lập với mà ràng buộc nhau, nên Keywords: Finite Element Method; Multi-Free Constaints; Lagrange Multiplier nút C gọi nút có điều kiện biên đa bậc tự Đặt vấn đề Kết cấu dàn kết cấu có nhiều ưu điểm như: tiết kiệm vật liệu, vượt độ lớn, nhẹ, kinh tế đặc biệt phương diện kiến trúc tạo nhiều hình dáng khác Vì vậy, kết cấu dàn dạng kết cấu sử dụng rộng rãi để xây dựng nhiều công trình nhiều ngành khác : cơng trình dân dụng cơng nghiệp, cơng trình cầu đường,… Các kết cấu dàn thực tế thường có số lượng dàn lớn bậc siêu tĩnh cao, phương pháp mà Kỹ sư thiết kế thường sử dụng để phân tích nội lực, chuyển vị kết cấu dàn phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2017 Việc phân tích kết cấu có điều kiên biên đa bậc tự theo phương pháp phần tử hữu hạn ln vấn đề khó [7] tài liệu trình bày phương pháp phần tử hữu hạn xuất Việt Nam tác giả chưa thấy tài liệu trình bày [2,4,5] Vì nội dung báo này, tác giả trình bày cách áp dụng thừa số Lagrage để giải tốn kết cấu có điều kiện biên đa bậc tự theo phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp thừa số Lagrage Phương pháp thừa số Lagrange phương pháp để đưa toán quy hoạch toán học có ràng buộc tốn quy hoạch tốn học khơng ràng buộc [3,10] Ví dụ xét tốn quy hoạch tốn học: 33 KẾT CẤU – CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG Hàm mục tiêu: Z F(x1, x , , xn ) (1a) Các ràng gj (x1, x , , xn ) buộc: (1b) j m; Theo phương pháp thừa số Lagrange [3,10] tốn quy hoạch tốn học có ràng buộc tương đương với quy hoạch tốn học khơng ràng buộc với: m Hàm mục tiêu mở rộng: L(X, ) F(x1, x , , xn ) j gj (x1, x2 , , xn ) (2) j 1 Trong hàm mục tiêu Lagrange L(X, ) , ta xem thừa số Lagrange ẩn số tốn, điều kiện cần để hàm L(X, ) có cực trị là: L x i L j i n; (3) j m; Khai triển (3) ta hệ phương trình gồm (n+m) phương trình độc lập, tương ứng với (n+m) ẩn là: x1, x , , xn , 1, , , m Giải hệ phương trình cấu dàn có điều kiện biên đa bậc tự theo phương pháp phân tử hữu hạn Giả sử hệ kết cấu dàn rời rạc thành m phần tử (3) tìm giá trị ẩn số toán với tổng số bậc tự toàn hệ n Theo nguyên lý Áp dụng thừa số Lagrange giải tốn kết tồn phần [1,6,8,9], toàn phần hệ là: m T T T T 1 ' He K 'e He ' ' He F 'e e 1 đó: K ' e : ma trận độ cứng phần tử hệ trục tọa độ chung; ' : véctơ chuyển vị (4) kết cấu Khi tốn khơng có điều kiện biên đa bậc tự do, dựa vào nguyên lý dừng toàn phần hệ kết cấu ta xây dựng phương trình cân nút tồn hệ hệ trục tọa độ chung; F 'e : cho toàn hệ kết cấu có dạng: tải trọng tác dụng nút phần tử hệ trục tọa K ' ' F ' T (5) độ chung; He : ma trận định vị phần tử hệ đó: ' ' ' k11 k12 k1n ' ' ' k k k 2n ; K ' 21 22 ' ' ' k n1 k n2 k nn ' '1 T '2 'n ; F ' F '1 T F '2 F 'n Khi biên kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự giả sử gọi 'i , i'1 số hiệu bậc tự nút biên, lúc đó: 'i k 'i1 (6) Như áp dụng nguyên lý dừng toàn phần vào toán, ta toán quy hoạch tốn học có ràng buộc: Hàm mục tiêu: m T T T T 1 ' He K 'e He ' ' He F 'e e 1 34 (7) Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2017 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG g( ') 'i k i' 1 Điều kiện ràng buộc: (8) Áp dụng phương pháp thừa số Lagrange trình bày mục vào, đưa tốn quy hoạch tốn học có ràng buộc đưa tốn quy hoạch tốn học khơng ràng buộc thêm ẩn số thừa số Lagrange, hàm Lagrange toán lúc là: m T T T T 1 L ' He K 'e He ' ' He F 'e 'i k i'1 e 1 (9) Số ẩn số toán lúc thêm ẩn số so với số ẩn số ban đầu Như tốn lúc có (n+1) ẩn số: ' '1 '2 'n Từ biểu thức (9) ta có: T L L ' '1 L '2 L 'n1 L 'n T L 0 (10) 1' F1' 'i Fi' k i'1 Fi' 'n Fn' (11) Từ điều kiện (10) ta phương trình: ' k11 k 'i1 ' k (i1)1 ' k n1 k1i' ' k1(i 1) ' ii k k (i' 1)i k k Như giải tốn kết cấu dàn phẳng có biên có điều kiện biên đa bậc tự do, giả sử gọi 'i , i'1 số hiệu bậc tự nút biên có điều kiện ràng buộc (6) lúc phương trình cân cho tồn hệ có kể đến điều kiện biên đa bậc tự viết dạng ma trận biểu thức (11) Theo biểu thức này, ma trận độ cứng kết cấu kể đến điều kiện biên đa bậc tự mở rộng thêm hàng cột so với ma trận độ cứng kết cấu chưa kể đến điều kiện biên đa bậc tự Các thừa số hàng cột mở rộng ma trận độ cứng xác định ' ' ' ' sau: k n 1,i k i,n1 1; k n1,i1 k i1,n1 k , thừa số lại “0” Véctơ tải trọng tác dụng nút mở rộng thêm hàng, giá trị thừa số véctơ tải trọng tác dụng hàng mở rộng thêm Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2017 k in' k '(i1)n k ' k1n ' i(i 1) k '(i1)(i1) ' ni ' n(i 1) ' k nn k0 Fn' 1 Mở rộng hệ có r điều kiện biên đa bậc tự ma trận độ cứng mở rộng thêm r hàng, r cột; véctơ chuyển vị, véctơ tải trọng tác dụng nút thêm r hàng giá trị cột hàng ma trận mở rộng xác định tương tự với hệ có điều kiện biên đa bậc tự Một số ví dụ phân tích Ví dụ 1: Cho kết cấu dàn chịu lực hình 1, biết: Mô đun đàn hồi vật liệu thanh: E 2.104 kN / cm2 ; diện tích mặt cắt ngang thanh: A 10 cm ; tải trọng tác dụng: P= 10 (kN) Hãy xác định thành phần chuyển vị nút nội lực dàn 35 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG B(1,2) B A(0,0) y' 4m x' P C(3,4) D(5,6) y' 4m Hình Ví dụ 3m C D A 3m 4m x' 4m Hình Số hiệu bậc tự phần tử Lời giải: Kết cấu dàn rời rạc hóa thành phần tử Số hiệu phần tử số hiệu mã bậc tự thành phần chuyển vị nút hệ tọa độ chung đánh số hình Phương trình cân tồn hệ chưa kể đến điều kiện biên đa bậc tự C: 512 đx uB 954,667 vB uC 192 756 144 192 144 256 v C 192 u 500 1000 D 666,667 0 666,667 vD 10 Điều kiện biên biên C: tan 300. '3 '4 Vì vậy, kể đến điều kiện biên đa bậc tự C ma trận độ cứng, ma trận tải trọng phương trình cân tồn hệ mở rộng thêm Sau mở rộng thêm, phương trình cân tồn hệ viết lại sau: 512 954,667 192 756 144 192 144 256 192 500 1000 666,667 0 666,667 0 1 0 Kết phân tích thành phần chuyển vị nội lực toán sau: uB 0,0043(cm) v B 0,0404(cm) uC 0,0151(cm) ; v C 0,0087(cm) uD 0,0076(cm) v D 0,0554(cm) đx u B v B u C v C uD v 10 D 300 (cm) Tr í c biÕn d¹ ng Sau biÕn d¹ ng 200 N1 8,333(kN) N2 8,333(kN) N3 3,780(kN) N 3,780(kN) 4 N5 10(kN) 100 -100 100 200 300 400 500 600 700 800 (cm) Hình Hình dạng kết cấu dàn trước sau biến dạng Để kiểm tra độ xác kết phân tích, tác giả so sánh kết phân tích theo phương pháp đề xuất báo với kết phân tích phương pháp tách mắt thể bảng 1: 36 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2017 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Bảng Bảng so sánh kết nội lực Nội lực N1 (kN) N (kN) N (kN) N (kN) N (kN) Phương pháp PTHH Phương pháp tách mắt -8,3333 -8,3333 -8,3333 -8,3333 3,7799 3,7799 3,7799 3,7799 10 10 Theo kết so sánh (trong bảng 1) thấy: Khi áp dụng thừa số Lagrange để giải tốn kết cấu dàn có điều kiện biên đa bậc tự theo phương pháp phần tử hữu hạn cho kết trùng khớp Ví dụ 2: Cho kết cấu chịu lực hình biết: có mơ đun đàn hồi: E 2.10 kN / cm2 ; diện tích mặt cắt ngang là: A 18 cm A 18 cm2 ; tải trọng tác dụng: P 20 kN Hãy xác định nội lực (19,20) 11 12 14 (17,18) 19 18 13 10 15 (1,2) (13,14) 16 20 21 17 (0,0) y' x' (15,16) (3,4) A (4,6) P 1m 1m (11,12) (7,8) B P (9,10) P 1m 1m (21,22) 1m C P 1m 1m Hình Ví dụ Điều Lời giải kiện biên đa bậc tự A: Kết cấu dàn rời rạc hóa thành phần tử Số tan 30 '1 '2 hiệu phần tử số hiệu mã bậc tự thành Điều kiện biên đa bậc tự C : phần chuyển vị nút hệ tọa độ chung Phương trình cân tồn hệ sau kể đến điều đánh số hình kiện biên A B: ' ' k1,1 k1,2 ' k '2,2 k 2,1 ' ' k11,2 k11,1 ' ' k k12,2 12,1 k' ' k 22,2 22,1 tan30 ' k1,11 ' k1,12 k '2,11 k '2,12 ' ' k11,11 k12,12 ' ' k12,11 k12,12 ' ' k 22,11 k 22,12 0 ' k1,22 k '2,22 ' k11,22 ' k12,22 ' k 22,22 '11 '12 tan300 1' F1' '2 F2' ' ' 11 F11 11 ' 12 F12' 12 ' '22 F22 22 1 23 Phương trình cân toàn hệ sau kể đến điều kiện biên A, B C : ' ' k1,1 k1,2 ' k '2,2 k 2,1 ' ' k11,2 k11,1 ' k' k12,2 12,1 tan300 0 ' k1,11 ' k1,12 k '2,11 k '2,12 ' ' k11,11 k12,12 ' ' k12,11 k12,12 0 1 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2017 tan 300 0 0 1' F1' '2 F2' ' ' 11 F11 11 ' ' 1 12 F12 12 1 23 2 24 37 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Giải phương trình xác định thành phần chuyển vị nút, sau xác định thành phần chuyển vị xác định nội lực kết nội lực dàn thể bảng Bảng Kết nội lực dàn Thanh N(kN) Thanh N(kN) Thanh N(kN) 8,281 8,281 -12,531 -20,812 -27,710 -19,188 -19,188 10 -19,188 11 -19,188 12 -27,710 13 20 14 15 -40,812 16 17 20 18 -0,574 19 28,859 20 28,859 21 -0,574 Kết hình dáng kết cấu dàn trước sau biến dạng thể hình 100 (cm) Tr í c biÕn d¹ ng Sau biÕn d¹ ng 50 -50 100 200 300 400 500 600 (cm) Hình Hình dạng kết cấu dàn trước sau biến dạng Kết luận Qua nội dung trình bày báo, rút kết luận sau đây: - Việc áp dụng thừa số Lagrange để giải tốn phân tích tuyến tính kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự chịu tải trọng tĩnh tương đối đơn giản thay đổi lại giá trị số hạng ma trận độ cứng, véctơ tải trọng tác dụng nút - Kết phân tích tuyến tính tốn kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự chịu tải trọng tĩnh áp dụng phương pháp thừa số Lagrange tin cậy Vì vậy, phương pháp trình bày nội dung báo áp dụng phân tích tĩnh, tuyến tính kết cấu dàn có điều kiện biên đa bậc tự khác [3] Lê Xn Huỳnh (2006), Tính tốn kết cấu theo lý thuyết tối ưu, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [4] Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [5] Nguyễn Trâm (2013), Phương pháp phần tử hữu hạn dải hữu hạn, Nhà xuất Xây dựng [6] Bathe K.J (1996), Finite Element Procedure, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458 [7] Felippa C (2016), Introduce Finite Element Method, Public web site for the graduate core course ASEN 5007 [8] Hutton D.V (2004), Fundamentals of Finite Element Analysis, The McGraw−Hill Companies [9] Reza B, Farhad S (2013), Advanced Finite Element Method, Public web site for the graduate core course ASEN TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Văn Đạt (2017), Tính tốn kết cấu hệ theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Xây dựng [2] Võ Như Cầu (2005), Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Xây dựng 38 6367 [10] William R S, Kieth M.M (2009), Structural Optimization, Springer Science+Business Media Ngày nhận bài: 09/11/2017 Ngày nhận sửa lần cuối: 07/02/2018 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 4/2017 ... véctơ tải trọng tác dụng nút - Kết phân tích tuyến tính tốn kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự chịu tải trọng tĩnh áp dụng phương pháp thừa số Lagrange tin cậy Vì vậy, phương pháp trình... rút kết luận sau đây: - Việc áp dụng thừa số Lagrange để giải tốn phân tích tuyến tính kết cấu dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự chịu tải trọng tĩnh tương đối đơn giản thay đổi lại giá trị số. .. trình cấu dàn có điều kiện biên đa bậc tự theo phương pháp phân tử hữu hạn Giả sử hệ kết cấu dàn rời rạc thành m phần tử (3) tìm giá trị ẩn số toán với tổng số bậc tự toàn hệ n Theo nguyên lý Áp dụng