Bài báo sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) để tính toán độ võng và ứng suất của tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (functionally graded material-FGM) chịu tải trọng cơ học và nhiệt độ. phần tử đẳng tham số chín nút mỗi nút gồm năm bậc tự do được sử dụng để mô hình phần tử tấm.
KẾT CẤU – CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG TÍNH TỐN KẾT CẤU TẤM LÀM BẰNG VẬT LIỆU CĨ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN FGM CÓ KỂ ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ThS NGUYỄN TRÍ DŨNG Viện KHCN Xây dựng TS Đại Úy ĐẶNG SỸ LÂN Đại học Phòng cháy chữa cháy Tóm tắt: Bài báo sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) để tính tốn độ võng ứng suất làm vật liệu có tính biến thiên (Functionally graded material-FGM) chịu tải trọng học nhiệt độ Phần tử đẳng tham số chín nút nút gồm năm bậc tự sử dụng để mô hình phần tử Kết số khảo sát với trường hợp khác so sánh với kết công bố tác giả khác cho thấy độ tin cậy thuật toán chương trình Từ khóa: FGM, vật liệu có tính biến thiên, phần tử hữu hạn, tải trọng nhiệt độ Mở đầu Vật liệu FGM loại composite hệ mới, ứng dụng kỹ thuật hàng không (chế tạo thân vỏ máy bay), y học (chế tạo răng, xương nhân tạo), quốc phòng (áo giáp chống đạn), công nghiệp lượng (tấm cách nhiệt, tua bin, lò phản ứng) Vật liệu FGM kết hợp từ vật liệu tỷ lệ thể tích thành phần biến đổi cách trơn liên tục từ mặt sang mặt theo chiều dày thành kết cấu (hình 1) Hàm đặc trưng cho số vật liệu FGM giả thiết dạng: V (z) (Vc Vm ).g(z) Vm p (1) z 1 (2) g (z) h 2 Trong đó:Vm - số vật liệu vật liệu mặt (-h/2); Vc - số vật liệu vật liệu mặt (+h/2); V(z) - số vật liệu vật liệu tọa độ z bất kỳ; p - tham số vật liệu (chỉ số tỉ lệ thể tích); h - chiều dày Trên giới có nhiều nghiên cứu ứng xử nhiệt FGM môi trường nhiệt độ Wang Tarn [1, 2] sử dụng phương pháp khai triển tiệm cận (asymptotic expansion) phân tích ba chiều khơng đồng Thay giải xác phương trình truyền nhiệt, tác giả giả định trước trường nhiệt độ vật liệu FGM Aboudi cộng [3] phân tích ứng xử đàn - nhiệt FGM theo lý thuyết bậc cao Đáp ứng phi tuyến đàn - nhiệt FGM gốm/kim loại khảo sát Praveen Reddy [4] phương pháp phần tử hữu hạn theo lý thuyết von-Karman Reddy Chin [5] tiến hành nghiên cứu lý thuyết phân tích phần tử hữu hạn ứng xử nhiệt ống trụ FGM Biến dạng nhiệt - e-lip ngàm chu vi phân tích Cheng Batra [6] Ở Việt Nam, công bố tác giả nước kết cấu vật liệu FGM thời gian gần tăng nhanh Các tác giả Đào Huy Bích cộng [7], Trần Ích Thịnh [8], Trần Minh Tú, Nguyễn Bích Phượng [9] phân tích trường chuyển vị ứng suất FGM theo lý thuyết cổ điển Huỳnh Vinh [10], Trần Thị Nhật Nguyên [11] phân tích tĩnh động FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc Tuy nhiên, nghiên cứu này, yếu tố nhiệt độ chưa xét đến Bài báo sử dụng phương pháp PTHH với phần tử đẳng tham số nút, nút bậc tự dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc để tính độ võng ứng suất làm vật liệu FGM chịu tải trọng học nhiệt độ Cơ sở lý thuyết 2.1 Sự thay đổi tính chất vật liệu FGM theo nhiệt độ Với vật liệu FGM, số vật liệu biến thiên liên tục theo tọa độ chiều dày tấm, chẳng hạn mô-đun đàn hồi E=E(z) Ta có cơng thức xác định Hình Mơ hình kết cấu làm từ vật liệu FGM 16 số vật liệu (mô-đun đàn hồi E hệ số giãn nở nhiệt ) sau: Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG p p z 1 z 1 E ( E t E b ) E b ; ( t b ) b h 2 h 2 (3) Ngoài ra, làm việc môi trường nhiệt độ, số vật liệu hàm số nhiệt độ tuyệt đối T (theo nhiệt độ Kelvin, o C ứng với 273K) Theo Yang J Shen H S [12], số vật liệu E, biểu diễn dạng: Et E0t Et 1T 1 E1t T E2t T E3t T , Eb E 0b Eb1T 1 1 E1bT E2b T E3b T t 0t t 1T 1 1t T 2t T 3t T , b 0b b1T 1 1bT 2bT 3bT (4) (5) đó, u ( x, y , z , t ) u0 x, y , t z x x, y, t E-1, E1, E2, α-1, α1, α2, α3 - số phụ thuộc vào loại vật liệu; v( x, y, z , t ) v0 x, y , t z y x, y , t E0, α0 - Giá trị số vật liệu nhiệt độ phòng T ( T0 27 C 300 K ); T - Nhiệt độ khảo sát, tính theo Kelvin ( T T0 T ) (6) w( x, y, z , t ) w0 ( x, y, t ) u0 , v0 , w0 - thành phần chuyển vị mặt trung bình theo phương x, y ,z x , y - góc xoay mặt pháp tuyến quanh 2.2 Mơ hình phần tử hữu hạn FGM chịu tác dụng đồng thời tải trọng – nhiệt hai trục y, x 2.2.1 Lý thuyết biến dạng cắt bậc Reissner – Mindlin [13] dụng quan hệ chuyển vị - biến dạng lý thuyết Reissner, Mindlin giả thiết trường chuyển vị bậc dạng sau: học nhiệt độ trường biến dạng xác định đàn hồi Khi có tác dụng đồng thời tải trọng nguyên lý cộng tác dụng u z x T x x y v xy z T y y yy y u v z. x xy x x y y xz w0 x yz x w0 y y c.h T c.h : Biến dạng tải trọng học gây T : Biến dạng nhiệt gây Biến dạng suy từ chuyển vị cách sử => (7) T Với giả thiết bỏ qua thành phần ứng suất theo phương z, biểu thức ứng suất phân tố FGM xác định sau: xx C11 yy C12 xy xz yz C12 C 22 0 0 0 C 66 0 C66 0 xx 1 1 yy xy 0T xz 0 C66 yz 0 0 (8) Trong số hạng ma trận [C] xác định sau: C11 C 22 ( z) E( z) E(z) E ( z ); C 66 ; C12 2 ( z ) ( z ) 2.1 ( z ) (9) Tích phân biểu thức (8) dọc theo chiều dày ta thu biểu thức biểu diễn thành phần nội lực: Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014 17 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG N A B N ND M B D M ND (10) Q S (11) t (12) t 0x, y0 , xy0 ; t x , y , xy (13) N xND ND N y N ND xy (14) t Trong đó: N N x , N y , N xy ; M M x , M y , M xy M xND h / C11 M yND C12 N xyND h / C12 C 22 0 x y 1, z Tdz C 66 xy Q t Q yz , Q xz ; t yz , xz (15) A11 A12 B11 ; A A12 A22 B B12 0 A66 S S 66 S 66 A Với ii , Bij , Dij B12 B 22 0 D11 ; D D12 B66 D12 D 22 0 D66 (16) (17) h/2 C 1, z, z dz ij (i, j=1,2,6) (18) h / h/2 S 66 2.2.2 5 C 66 dz ( hệ số hiệu chỉnh cắt) h / (19) Mơ hình phần tử hữu hạn a Lựa chọn phần tử 7(-1, 1) 6(0, 1) 5(1, 1) y 8(-1, 0) 9(0, 0) 4(1, 0) 1(-1, -1) 2(0, -1) 3(1, -1) x (a) (b) Hình Phần tử tứ giác đẳng tham số nút Với phần tử tứ giác đẳng tham số nút, phần tử quy chiếu hình vng có toạ độ nút theo hệ toạ độ tự nhiên cho hình 2b phần tử thực phần tử tứ giác nút có biên cong thẳng hình 2a Chuyển vị điểm phần tử viết dạng sau: q [ N ]qi t (20) i 1 Với qi u i , v 0i , w0 i , xi , yi chuyển vị nút phần tử 18 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG N1 0 N 0 0 0 N 0 N1 0 N9 0 N1 0 0 N9 0 N1 0 N9 0 N 0 0 ma trận hàm dạng N Từ đó, ta có: B1 qe ; B2 q e ; B3 q e (21) Trong đó: B1 3 x 45 x 0 y y x 0 0 0 0 x 0 0 ; B2 3 x 45 0 0 0 0 0 0 y (9 ) 0 0 y ; B3 2 x 45 y 0 x x (9) 0 0 (9) Là ma trận tính biến dạng Thế biến dạng đàn hồi phần tử viết sau: Ue t A t B t B t D t S t N ND t M ND dA (22) Thay (21) vào (22), biến dạng đàn hồi viết lại sau: Ue t q e K e q e f e (23) Trong đó: K e B1t AB1 B1t BB2 B2t BB1 B2t DB2 B3t S B3 (24) Là ma trận độ cứng phần tử Véc tơ lực nút phần tử tính theo công thức sau: f e N t q B1t N ND B2t M ND dA (25) Ae Hệ phương trình cân nhận cực tiểu hóa tồn phần phần tử có dạng: K e qe f e (26) Bằng phép ghép nối ma trận độ cứng phần tử thông thường, ta nhận phương trình PTHH cho tồn tấm: K q F (27) với [K], {q}, {F} ma trận độ cứng tổng thể, véc tơ chuyển vị nút tổng thể véc tơ lực nút tổng thể Kết số Bài toán 1: Kiểm chứng thuật tốn chương trình Để kiểm chứng độ tin cậy thuật tốn chương trình xây dựng, báo so sánh kết tính tốn với kết tính theo lý thuyết bậc đơn giản (FSDT) Huu-Tai Thai, Dong-Ho Choi [14] Cụ thể khảo sát độ võng không thứ nguyên lớn tâm vng có tỷ lệ chiều dài/ chiều dầy thức tính độ võng khơng thứ ngun là: w Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014 a 10 Công h 10h Ec a b w , q0b 2 19 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Bảng So sánh độ võng p (ceramic) w h xx 2 Tác giả Bài báo Thai-Choi[24] Độ lệch Bài báo Thai-Choi[24] Độ lệch Bài báo Thai-Choi[24] Độ lệch 0.4666 0.4666 0% 0.9288 0.9288 0.00% 1.1909 1.1909 0.00% 2.8837 2.8732 0.36% 4.4569 4.4070 1.12% 5.2042 5.1852 0.37% (Al2O3) có Ec=380 (GPa) Mặt nhơm - kim loại (Al) có Em=70 (GPa ) Kích thước h=10cm, b=100cm Tải trọng phân bố mặt q=1 Mpa Nhiệt độ ban đầu To=300K biến thiên nhiệt độ T=300K, T=500K, T=800K, T=1000K Nhận xét: Từ bảng nhận thấy chênh lệch kết tác giả Huu-Tai Thai, Dong-Ho Choi nhỏ, điều chứng tỏ thuật tốn chương trình có độ tin cậy Bài tốn 2: Ảnh hưởng nhiệt độ tới độ võng Khảo sát ảnh hưởng nhiệt độ tới độ võng lớn FGM (chỉ số tỷ lệ thể tích p=1), kết thể bảng biểu diễn đồ thị (hình 3) FGM Xét hình vuông bốn biên tựa khớp làm vật liệu P-FGM Mặt nhôm ô xit - ceramic Bảng Độ võng không thứ nguyên w mặt cắt y=b/2 tác dụng tải phân bố nhiệt độ x/a T=300K T=500K T=800K T=1000K 0 0 0.1 -0.0053 -0.0158 -0.0491 -0.0868 0.2 -0.0091 -0.0271 -0.0840 -0.1485 0.3 -0.0116 -0.0346 -0.1071 -0.1895 0.4 -0.0130 -0.0388 -0.1203 -0.2127 0.5 -0.0135 -0.0402 -0.1245 -0.2203 0.6 -0.0130 -0.0388 -0.1203 -0.2127 0.7 -0.0116 -0.0346 -0.1071 -0.1895 0.8 -0.0091 -0.0271 -0.0840 -0.1485 0.9 -0.0053 -0.0158 -0.0491 -0.0868 0 0 Hình Biểu đồ độ võng khơng thứ ngun w mặt cắt y=b/2 mức nhiệt độ khác 20 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Nhận xét: Từ kết bảng hình ta nhận thấy chịu tải trọng nhiệt độ độ võng lớn vị trí Khi nhiệt độ tuyệt tối thấp độ võng tăng nhỏ chênh lệch nhiệt độ lớn nhiệt độ tuyệt đối cao độ võng tăng nhanh nhiều chênh lệch nhiệt độ thấp Bài toán 3: Ảnh hưởng nhiệt độ đến ứng suất FGM Kết cấu, vật liệu điều kiện khác toán Khảo sát ảnh hưởng nhiệt độ T ứng suất khơng thứ ngunxx (chỉ số tỷ lệ thể tích p=5), kết tính tốn thể bảng biểu diễn đồ thị hình Bảng Ảnh hưởng nhiệt độ đến ứng suất không thứ nguyên tâm z/h T=300K T=500K T=800K T=1000K -0.5 3.2616 3.6020 4.6331 5.7229 -0.4 2.6126 2.9259 3.8709 4.8768 -0.3 1.9635 2.2497 3.1083 4.0300 -0.2 1.3137 1.5726 2.3439 3.1802 -0.1 0.6636 0.8947 1.5768 2.3250 0.0166 0.2195 0.8101 1.4662 0.1 -0.6164 -0.4416 0.0579 0.6181 0.2 -1.2122 -1.0629 -0.6464 -0.1811 0.3 -1.7276 -1.5966 -1.2378 -0.8540 0.4 -2.0915 -1.9633 -1.6059 -1.2663 0.5 -2.1946 -2.0403 -1.5780 -1.2044 Hình Ảnh hưởng nhiệt độ lên ứng suất Nhận xét: Từ bảng kết đồ thị biểu diễn ta thấy FGM vật liệu thành phần tuyến tính vật liệu tạo thành lại phi tuyến ứng suất mặt chịu ảnh hưởng Kết luận nhiệt độ so với mặt dưới, điều cho thấy Mơ hình phần tử hữu hạn sử dụng phần tử đẳng tham số nút, nút bậc tự dựa lý thuyết biến dạng cắt bậc Reissner-Mindlin thiết khác biệt hai loại vật liệu hai mặt Đây đặc trưng vật liệu Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014 21 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG lập để tính tốn độ võng ứng suất cho kết cấu làm vật liệu có tính biến thiên FGM chịu tải trọng học nhiệt độ Từ kết số rút kết luận sau: - Nhiệt độ ảnh hưởng đến ứng suất kết cấu làm vật liệu có tính biến thiên vị trí khác dọc theo chiều dày khác thể rõ mặt mặt Dọc theo chiều dày ứng suất biến thiên phi tuyến; ZQ, BATRA RC Three-dimensional thermoelastic deformations of a functionally graded elliptic plate Compos Part B: Eng 2000;13:97–106 82 DAO HUY BICH, VU DO LONG, “Non-linear dynamical analysis of imperfect functionally graded material shallow shells”, Vietnam Journal of Mechanics VAST 32(1), pp 65-79, 2010 TRẦN ÍCH THỊNH, Vật liệu Compozit – Cơ học tính tốn kết cấu, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 1994 - Độ võng kết cấu FGM tăng chậm CHENG NGUYỄN THỊ BÍCH PHƯỢNG, TRẦN MINH TÚ Tính tốn chịu uốn làm vật liệu có tính biến mơi trường có nhiệt độ thấp tăng nhanh đặt thiên Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, Đại học môi trường nhiệt độ cao Xây dựng, số 13/2012 TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 HUỲNH VINH Phân tích chịu uốn làm vật WANG Y M and TARN J Q A three-dimensional analyses of anisotropic inhomogeneous and laminated WANG Y.M, and TARN J Q Asymptotic thermoelastic analyses of anisotropic inhomogeneous and laminated plate J Therm Stress 1995, 18:35–58 ABOUDI J,, PINDERA M J and ARNOLD S.M Thermoelastic theory for the response of materials functionally graded in two directions with applications to the free edge problem Int J Solids Struct 1996 33:931–66 PRAVEEN G N and REDDY J.N Nonlinear transient thermoelastc analysis of functionally graded ceramic– metal plates Int J Solids Struct 1998, 35:4457–4476 REDDY JN, CHIN CD Thermo-mechanical analysis of functionally graded cylinders and plates Int J Solids Struct 1998;21:593–626 22 Xây dựng, Đại học Xây dựng, 10/2013 11 TRẦN THỊ NHẬT NGUYÊN Nghiên cứu tần số dao động plate Int J Solids Struct 1994, 31:497–515 liệu có tính biến thiên Tạp chí Khoa học Cơng nghệ riêng làm vật liệu có tính biến thiên Luận văn Thạc sỹ Kỹ thuật, Đại học Đà Nẵng, 2013 12 YANG J, SHEN H S Vibration characteristics and trasient response of shear-deformable functionally graded plates in thermal enviroment Soud and Vibration (2002) 255(3), 579-602 13 REDDY JN, CHIN CD Thermo-mechanical analysis of functionally graded cylinders and plates Int J Solids Struct 1998;21:593–626 14 HUU-TAI THAI, DONG-HO CHOI A simple first-order shear deformation theory for the bending and free vibration analysis of functionally graded plates Composite Structures Vol 101, 2013, Pages 332–340 Ngày nhận sửa:10/9/2014 Tạp chí KHCN Xây dựng – số 3/2014 ... 21 KẾT CẤU – CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG lập để tính tốn độ võng ứng suất cho kết cấu làm vật liệu có tính biến thiên FGM chịu tải trọng học nhiệt độ Từ kết số rút kết luận sau: - Nhiệt độ ảnh hưởng đến. .. nhiệt độ tuyệt tối thấp độ võng tăng nhỏ chênh lệch nhiệt độ lớn nhiệt độ tuyệt đối cao độ võng tăng nhanh nhiều chênh lệch nhiệt độ thấp Bài toán 3: Ảnh hưởng nhiệt độ đến ứng suất FGM Kết cấu, ... Ảnh hưởng nhiệt độ lên ứng suất Nhận xét: Từ bảng kết đồ thị biểu diễn ta thấy FGM vật liệu thành phần tuyến tính vật liệu tạo thành lại phi tuyến ứng suất mặt chịu ảnh hưởng Kết luận nhiệt độ