Báo cáo nghiên cứu khoa học: " CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ TỪ THAM SỐ ĐẾN NGHIỆM CHO BÀI TOÁN ELLIPTIC" docx

CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ TỪ THAM SỐ ĐẾN NGHIỆM CHO BÀI TOÁN ELLIPTIC SOME PROPERTIES OF MAPPING FROM COEFFICIENTS TO SOLUTIONS FOR ELLIPTIC PROBLEMS Trần Nhân Tâm Quyền Trường Đại học

CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ TỪ THAM SỐ ĐẾN NGHIỆM CHO BÀI TOÁN ELLIPTIC

SOME PROPERTIES OF MAPPING FROM COEFFICIENTS

TO SOLUTIONS FOR ELLIPTIC PROBLEMS

Trần Nhân Tâm Quyền

Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT

Xét bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với điều kiện biên thuần nhất Một số tính chất tốt của ánh xạ từ tham số đến nghiệm được thể hiện như

là tính liên tục Lipschitz, sự khả vi vô hạn lần, các công thức xác định và cận của ánh xạ đạo hàm Sự khả vi liên tục đến cấp hai của ánh xạ đã được trình bày trong [2] khi và được mở rộng lên trong [3] Tuy nhiên chúng ta không thấy bất cứ kết quả nào về sự khả vi vô hạn lần của cũng như công thức cho

ABSTRACT

In considering the Cauchy problem for elliptic equation with

a homogeneous boundary condition, some fine properties of mapping from coefficients to solutions are performed as Lipschitz continuity, infinite differentiability, defined formulas and bounds of derivative mapping The twice continuous differentiability of was shown in [2] for and extended for in [3] However, we have not seen any result of the infinite differentiability of nor a formula for

1 Đặt vấn đề

Trong các bài toán elliptic ngược chúng ta cần phải xác định hệ số từ một nghiệm của phương trình Phương pháp tiêu chuẩn để xác định là phương pháp bình phương tối thiểu, nghĩa là tìm như nghiệm cực tiểu của phiến hàm

trên tập chấp nhận được , với là ánh xạ từ tham

số đến nghiệm Như vậy việc nghiên cứu các tính chất tốt của như tính liên tục

Lipschitz, sự khả vi là cần thiết

2 Ánh xạ từ tham số đến nghiệm

Cho là một vector với các thành phần nguyên không âm, ký hiệu

là tập hợp tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp trên

và có giá compact trong , và

hàm suy rộng trong của một hàm nếu

với mọi Rõ ràng đạo hàm suy rộng của hàm nếu có là duy nhất, và hàm thường được ký hiệu là

Ta ký hiệu , , là tập hợp của tất cả các hàm có đạo hàm suy rộng Tập hợp là một không gian vector với các phép toán thông thường Hơn nữa, là một không gian Hilbert với tích vô hướng

Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên là

Ngoài ra, ta định nghĩa với bao đóng được lấy theo chuẩn của

Bây giờ xét bài toán Cauchy cho phương trình elipptic:

Trong đó là một miền bị chặn trong có biên liên tục Lipschitz,

Ta gọi là một nghiệm của hệ elliptic này nếu:

Như vậy, là một nghiệm của hệ elliptic trên nếu u là nghiệm của phương trình biến phân:

(1)

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ được suy ra từ Định lý biểu diễn Riesz với giả thiết thông thường: tồn tại các hằng số dương và sao cho

hầu khắp nơi (h.k.n.) trong Do đó chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ

từ tham số đến nghiệm bởi điều kiện rằng là nghiệm của

Chúng ta chú ý rằng là một dạng song tuyến tính theo hai biến và Tuy nhiên hàm này phi tuyến theo biến Ngoài ra, chúng ta có thể thấy rằng tồn tại các hằng số dương và sao cho các bất đẳng thức sau được thỏa mãn

Hơn nữa, đánh giá tiêu chuẩn sau cho nghiêm , với mỗi , của bài toán biến phân elliptic thỏa mãn

(4)

Ngoài ra, từ định nghĩa, chúng ta có các đẳng thức sau: với mọi và ,

3 Các tính chất của ánh xạ từ tham số đến nghiệm

Định lý 1 Ánh xạ F liên tục Lipschitz và

với mọi

Chứng minh Theo định nghĩa,

Chọn , ta được:

và đó là điều phải chứng minh

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính toán đạo hàm các cấp của ánh xạ F từ tham số đến

nghiệm Chọn a là một điểm trong của A Với có chuẩn đủ nhỏ thì

có

Suy ra,

(6)

Ta có:

Bổ đề sau đây được suy ra từ định lý biểu diễn Riesz và chúng ta bỏ qua phép chứng minh ở đây

Bổ đề 2 Cho là một dạng tuyến tính liên tục trên Khi đó, với

Hơn nữa,

Công thức (6) gợi ý cho ta kết quả sau:

Tính chất 3 Với mỗi a thuộc phần trong của tập A, hàm F khả vi tại a và

, là nghiệm duy nhất của phương trình biến phân

(8)

Hơn nữa,

(9)

Chứng minh Với , theo Bổ đề 2, hoàn toàn được xác

định từ (8) Hơn nữa, theo (7),

(10)

Từ (6) và (8) chúng ta được

Do đó,

Chọn ta suy ra

Như vậy, theo (10),

(11)

Điều này chứng tỏ rằng Ngoài ra, theo (10) và (4) ta có bất đẳng thức (9) Khẳng định đã được chứng minh

Bây giờ chúng ta sẽ tính đạo hàm cấp hai của ánh xạ F Muốn vậy, chúng ta lấy

Từ công thức (8) ta có

Do đó, với mọi

Công thức (12) giúp chúng ta đi đến kết quả sau:

Tính chất 4 Với mỗi a thuộc phần trong của tập A, hàm F khả vi cấp hai tại a và

là nghiệm duy nhất của phương trình biến phân, với

Hơn nữa,

(14)

là các dạng tuyến tính liên tục trên nên theo Bổ đề 2, hoàn

(15)

Từ (12) và (13), với có chuẩn đủ nhỏ và mọi , ta có

Thực hiện các phép biến đổi chúng ta suy ra được, với có chuẩn đủ nhỏ và

mọi ,

Chọn , ta suy ra

Theo (11) chúng ta có:

(16)

Sự kết hợp giữa (15) và (16) kéo theo được

Bây giờ lấy >0 bất kỳ, chọn sao cho khi thì Như vậy, mọi >0, tồn tại sao cho khi thì:

Điều này có nghĩa là Phần còn lại của Định lý được suy từ bất đẳng thức (15)

Kết quả sau đây có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

Định lý 5 Với mỗi a thuộc phần trong của tập A, ánh xạ F từ tham số đến nghiệm khả

vi mọi cấp tại a và đạo hàm cấp k của F,

,

là nghiệm duy nhất của phương trình biến phân

Hơn nữa,

4 Kết luận

Chúng ta đã nghiên cứu các tính chất của ánh xạ từ tham số đến nghiệm Như vậy phiến hàm là khả vi trên phần trong của tập chấp nhận được Do đó chúng ta hy vọng rằng có thể sử dụng phương pháp gradient liên hợp hoặc phương pháp phần tử hữu hạn để giải số cho nghiệm , và đây là một vấn đề mà chúng tôi đang nghiên cứu

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] H Attouch, G Buttazzo, G Michaille, Variational analysis in Sobolev and BV

spaces, SIAM, 2006, 634 p

[2] F Colonius and K Kunisch, “Stability for parameter estimation in two point

boundary value problems”, Journal Fur Mathematik, 370, Band, 1986, 1 – 29 [3] F Colonius and K Kunisch, “Output least squares stability in elliptic systems”,

Alpp Math Optim., 19, 1989, 33 – 63

[4] L C Evans and R F Gariepy, Measure theory and fine properties of functions,

CRC Press, 1992, 268 p

[5] M S Gockenbach and A A Khan, “An abstract framework for elliptic inverse

problems: Part 1, An output least squares approach”, Math And Mechanics Of

Solids, 12, 2007, 259 – 276

[6] O A Ladyzhenskaya, The boundary value problems of mathematical physics,

Springer – Verlag, 1984, 322 p