TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009 1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ TỪ THAM SỐ ĐẾN NGHIỆM CHO BÀI TOÁN ELLIPTIC SOME PROPERTIES OF MAPPING FROM COEFFICIENTS TO SOLUTIONS FOR ELLIPTIC PROBLEMS Trần Nhân Tâm Quyền Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Xét bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với điều kiện biên thuần nhất. Một số tính chất tốt của ánh xạ từ tham số đến nghiệm được thể hiện như là tính liên tục Lipschitz, sự khả vi vô hạn lần, các công thức xác định và cận của ánh xạ đạo hàm. Sự khả vi liên tục đến cấp hai của ánh xạ đã được trình bày trong [2] khi và được mở rộng lên trong [3]. Tuy nhiên chúng ta không thấy bất cứ kết quả nào về sự khả vi vô hạn lần của cũng như công thức cho . ABSTRACT In considering the Cauchy problem for elliptic equation with a homogeneous boundary condition, some fine properties of mapping from coefficients to solutions are performed as Lipschitz continuity, infinite differentiability, defined formulas and bounds of derivative mapping. The twice continuous differentiability of was shown in [2] for and extended for in [3]. However, we have not seen any result of the infinite differentiability of nor a formula for . 1. Đặt vấn đề Trong các bài toán elliptic ngược chúng ta cần phải xác định hệ số từ một nghiệm của phương trình. Phương pháp tiêu chuẩn để xác định là phương pháp bình phương tối thiểu, nghĩa là tìm như nghiệm cực tiểu của phiến hàm trên tập chấp nhận được , với là ánh xạ từ tham số đến nghiệm. Như vậy việc nghiên cứu các tính chất tốt của như tính liên tục Lipschitz, sự khả vi là cần thiết. 2. Ánh xạ từ tham số đến nghiệm Cho là một vector với các thành phần nguyên không âm, ký hiệu . là tập hợp tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp trên và có giá compact trong , và . Một hàm , với là một miền bị chặn trong , được gọi là đạo TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009 2 hàm suy rộng trong của một hàm nếu với mọi . Rõ ràng đạo hàm suy rộng của hàm nếu có là duy nhất, và hàm thường được ký hiệu là . Ta ký hiệu , , là tập hợp của tất cả các hàm có đạo hàm suy rộng . Tập hợp là một không gian vector với các phép toán thông thường. Hơn nữa, là một không gian Hilbert với tích vô hướng Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên là . Ngoài ra, ta định nghĩa với bao đóng được lấy theo chuẩn của . Bây giờ xét bài toán Cauchy cho phương trình elipptic: Trong đó là một miền bị chặn trong có biên liên tục Lipschitz, và . Ta gọi là một nghiệm của hệ elliptic này nếu: . Với mỗi và , đặt Như vậy, là một nghiệm của hệ elliptic trên nếu u là nghiệm của phương trình biến phân: (1) TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009 3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ được suy ra từ Định lý biểu diễn Riesz với giả thiết thông thường: tồn tại các hằng số dương và sao cho hầu khắp nơi (h.k.n.) trong . Do đó chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ từ tham số đến nghiệm bởi điều kiện rằng là nghiệm của phương trình biến phân (1), ở đây Chúng ta chú ý rằng là một dạng song tuyến tính theo hai biến và . Tuy nhiên hàm này phi tuyến theo biến . Ngoài ra, chúng ta có thể thấy rằng tồn tại các hằng số dương và sao cho các bất đẳng thức sau được thỏa mãn với mọi và , (2) với mọi và . (3) Hơn nữa, đánh giá tiêu chuẩn sau cho nghiêm , với mỗi , của bài toán biến phân elliptic thỏa mãn . (4) Ngoài ra, từ định nghĩa, chúng ta có các đẳng thức sau: với mọi và , 3. Các tính chất của ánh xạ từ tham số đến nghiệm Định lý 1. Ánh xạ F liên tục Lipschitz và (5) với mọi Chứng minh. Theo định nghĩa, Do đó, , TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009 4 Chọn , ta được: và đó là điều phải chứng minh Tiếp theo, chúng ta sẽ tính toán đạo hàm các cấp của ánh xạ F từ tham số đến nghiệm. Chọn a là một điểm trong của A. Với có chuẩn đủ nhỏ thì và do đó là xác định. Theo định nghĩa, , ta có Suy ra, hay , (6) Xét dạng tam tuyến được định bởi Ta có: (7) Bổ đề sau đây được suy ra từ định lý biểu diễn Riesz và chúng ta bỏ qua phép chứng minh ở đây. Bổ đề 2. Cho là một dạng tuyến tính liên tục trên . Khi đó, với mỗi , tồn tại duy nhất một nghiệm của phương trình biến phân . Hơn nữa, TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009 5 Công thức (6) gợi ý cho ta kết quả sau: Tính chất 3. Với mỗi a thuộc phần trong của tập A, hàm F khả vi tại a và , là nghiệm duy nhất của phương trình biến phân (8) Hơn nữa, (9) Chứng minh. Với , theo Bổ đề 2, hoàn toàn được xác định từ (8). Hơn nữa, theo (7), (10) Từ (6) và (8) chúng ta được Do đó, Chọn ta suy ra Như vậy, theo (10), Thay ta có bất đẳng thức (11) Điều này chứng tỏ rằng Ngoài ra, theo (10) và (4) ta có bất đẳng thức (9). Khẳng định đã được chứng minh Bây giờ chúng ta sẽ tính đạo hàm cấp hai của ánh xạ F. Muốn vậy, chúng ta lấy a là một điểm trong của tập A và chọn , trong đó h có chuẩn đủ nhỏ, và xét Từ công thức (8) ta có TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009 6 Do đó, với mọi Công thức (12) giúp chúng ta đi đến kết quả sau: Tính chất 4. Với mỗi a thuộc phần trong của tập A, hàm F khả vi cấp hai tại a và là nghiệm duy nhất của phương trình biến phân, với mọi , Hơn nữa, (14) Chứng minh. Với và ta có và là các dạng tuyến tính liên tục trên nên theo Bổ đề 2, hoàn toàn được xác định từ (13). Đặt Ta có (15) Từ (12) và (13), với có chuẩn đủ nhỏ và mọi , ta có Thực hiện các phép biến đổi chúng ta suy ra được, với có chuẩn đủ nhỏ và TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009 7 mọi , Chọn , ta suy ra Theo (11) chúng ta có: (16) Sự kết hợp giữa (15) và (16) kéo theo được Bây giờ lấy >0 bất kỳ, chọn sao cho khi thì . Như vậy, mọi >0, tồn tại sao cho khi thì: Điều này có nghĩa là Phần còn lại của Định lý được suy từ bất đẳng thức (15) Kết quả sau đây có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Định lý 5. Với mỗi a thuộc phần trong của tập A, ánh xạ F từ tham số đến nghiệm khả vi mọi cấp tại a và đạo hàm cấp k của F, , là nghiệm duy nhất của phương trình biến phân Hơn nữa, . Ở đây, là dạng tam tuyến được xác định bởi TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009 8 4. Kết luận Chúng ta đã nghiên cứu các tính chất của ánh xạ từ tham số đến nghiệm. Như vậy phiến hàm là khả vi trên phần trong của tập chấp nhận được . Do đó chúng ta hy vọng rằng có thể sử dụng phương pháp gradient liên hợp hoặc phương pháp phần tử hữu hạn để giải số cho nghiệm , và đây là một vấn đề mà chúng tôi đang nghiên cứu. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] H. Attouch, G. Buttazzo, G. Michaille, Variational analysis in Sobolev and BV spaces, SIAM, 2006, 634 p. [2] F. Colonius and K. Kunisch, “Stability for parameter estimation in two point boundary value problems”, Journal Fur Mathematik, 370, Band, 1986, 1 – 29. [3] F. Colonius and K. Kunisch, “Output least squares stability in elliptic systems”, Alpp. Math. Optim., 19, 1989, 33 – 63. [4] L C. Evans and R F. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, CRC Press, 1992, 268 p. [5] M S. Gockenbach and A A. Khan, “An abstract framework for elliptic inverse problems: Part 1, An output least squares approach”, Math. And Mechanics Of Solids, 12, 2007, 259 – 276. [6] O A. Ladyzhenskaya, The boundary value problems of mathematical physics, Springer – Verlag, 1984, 322 p. . của phiến hàm trên tập chấp nhận được , với là ánh xạ từ tham số đến nghiệm. Như vậy việc nghiên cứu các tính chất tốt của như tính liên tục Lipschitz, sự khả vi là cần thiết. 2. Ánh xạ. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009 1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ TỪ THAM SỐ ĐẾN NGHIỆM CHO BÀI TOÁN ELLIPTIC SOME PROPERTIES OF MAPPING. CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009 8 4. Kết luận Chúng ta đã nghiên cứu các tính chất của ánh xạ từ tham số đến nghiệm. Như vậy phiến hàm là khả vi trên phần trong của