Điều kiện karush kuhn tucker trong bài toán tối ưu hàm r lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ GIANG ĐIỀU KIỆN KARUSH-KUHN-TUCKER TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM r-LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ GIANG ĐIỀU KIỆN KARUSH-KUHN-TUCKER TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU HÀM r-LỒI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Tóm tắt nội dung iii Lời cảm ơn v Danh sách ký hiệu vi Danh sách hình vẽ Mở đầu Các tính chất đặc trưng hàm r - lồi 1.1 Một số tính chất hàm r-lồi 1.1.1 Một số tính chất hàm lồi 1.1.2 Một số tính chất hàm r-lồi 1.2 1.3 Đặc trưng hàm r-lồi 19 1.2.1 Đặc trưng hàm lồi 19 1.2.2 Đặc trưng hàm r - lồi 20 Quan hệ hàm r-lồi với hàm lồi suy rộng khác 21 Bài toán tối ưu với hàm r-lồi 28 2.1 Bài toán tối ưu tổng quát 28 2.2 Tối ưu hàm r-lồi 2.2.1 33 Tối ưu hàm lồi 33 ii 2.2.2 2.3 Tối ưu hàm r - lồi 40 Tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương 53 2.3.1 Biến đổi dạng r-lồi 54 2.3.2 Tính đủ điều kiện Karush-Kuhn-Tucker 55 2.3.3 Bài toán liên quan 57 2.3.4 Ứng dụng nhận xét 60 Kết luận Đề nghị 64 Tài liệu tham khảo 65 iii TÓM TẮT NỘI DUNG Mục đích luận văn trình bày điều kiện cần đủ tối ưu Karush-KuhnTucker toán qui hoạch toán học với hàm mục tiêu hàm ràng buộc hàm r-lồi Lipschitz địa phương Đồng thời luận văn trình bày điều kiện cần đủ tối ưu Karush-Kuhn-Tucker toán qui hoạch toán học với hàm mục tiêu hàm ràng buộc hàm r-lồi Bên cạnh luận văn trình bày tính chất đặc trưng hàm r-lồi Luận văn gồm chương Chương 1: Các tính chất đặc trưng hàm r-lồi 1.1 Một số tính chất hàm lồi 1.1.1 Một số tính chất hàm lồi Mục trình bày định nghĩa tính chất hàm lồi, có mục đích tham chiếu với định nghĩa tính chất hàm r-lồi mục sau 1.1.2 Một số tính chất hàm r-lồi Mục trình bày định nghĩa, phát biểu chứng minh tính chất giải tích hình học hàm r-lồi 1.2 Đặc trưng hàm r-lồi 1.2.1 Đặc trưng hàm lồi Mục trình bày đặc trưng hàm lồi, có mục đích tham chiếu với đặc trưng hàm r-lồi mục sau 1.2.2 Đặc trưng hàm r-lồi iv Mục trình bày tính chất hàm r-lồi số chứng minh 1.3 Quan hệ hàm r-lồi với hàm lồi suy rộng khác Mục trình bày mối liên hệ lớp hàm r-lồi với lớp hàm lồi suy rộng khác (hàm tựa lồi, hàm lồi bất biến, ) Chương 2: Bài toán tối ưu với hàm r-lồi 2.1 Tối ưu hàm r-lồi khả vi Mục trình bày toán tối ưu hàm r-lồi khả vi Chứng minh điều kiện cần đủ tối ưu dạng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker cho toán quy hoạch toán học với hàm mục tiêu hàm hạn chế r-lồi khả vi 2.2 Tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương Mục trình bày toán tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương Chứng minh điều kiện cần đủ tối ưu dạng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker v Lời cảm ơn Sau thời gian nghiên cứu đề tài, luận văn đến hoàn thành Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Tạ Duy Phượng tận tình bảo, hướng dẫn suốt thời gian làm luận văn Đồng thời xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô giáo môn Toán ứng dụng nói riêng khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên nói chung cho kiến thức cần thiết để hoàn thành luận văn Cuối xin cảm ơn động viên, giúp đỡ gia đình, bạn bè dành cho thời gian qua Tôi mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, 2015 Nguyễn Thị Giang Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên vi Danh sách ký hiệu Rn Không gian Euclid n-chiều C1 Tập hợp hàm khả vi cấp x∈C x thuộc C (x phần tử tập C) x∈ /C x không thuộc C (x không phần tử tập C) ∅ Tập rỗng C ∩D Giao hai tập hợp C D C ∪D Hợp hai tập hợp C D C⊂D Tập C tập tập D C⊆D Tập C tập (có thể bằng) tập D ∇f (x) Véctơ gradient hàm f điểm x ∇2 f Ma trận Hessian hàm f điểm x [a, b] Đoạn thẳng nối hai điểm (véctơ) a b z Chuẩn Euclid véc tơ z epif Tập đồ thị hàm f x1 , x2 , Liệt kê véctơ có số chiều (dùng số trên) ω1 , ω2 , Tọa độ điểm hay thành phần véctơ ω (dùng số dưới) x, y , xT y Tích vô hướng hai véctơ x y (hai véctơ có số chiều) ∂f (x) Dưới vi phân hàm f điểm x f (x) Đạo hàm cấp hàm f x f (x) Đạo hàm cấp hàm f x coneE Bao nón tập E Danh sách hình vẽ 1.1 Một số tập lồi R2 1.2 Một số tập không lồi R2 1.3 Hàm lồi 1.4 Hàm lõm 2.1 Cực tiểu (cực đại) địa phương (toàn cục) 32 2.2 Đồ thị hàm số φ(x) = x3 + x2 52 Mở đầu Giải tích lồi phát triển lí thuyết tối ưu qui hoạch tuyến tính hoàn thiện Hàm lồi mở rộng hàm tuyến tính cho phép nghiên cứu lớp toán tối ưu lồi, rộng nhiều bao hàm lớp toán tối ưu tuyến tính Vì Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng ứng dụng toán học vào toán tối ưu thực tế Tuy nhiên, nhiều toán thực tế thường không thiết lồi Do cần phải mở rộng khái niệm hàm lồi Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar, nhà toán học có đóng góp lớn nghiên cứu lớp hàm lồi suy rộng (lớp hàm tựa lồi, giả lồi, ) Các nhà toán học B Martos (1966, [11]), M Avriel (1972-1973, [5], [6]) định nghĩa nghiên cứu lớp hàm r-lồi, dạng mở rộng lớp hàm lồi có nhiều tính chất tốt áp dụng vào giải tích toán tối ưu Hàm số f : [a; b] −→ R gọi hàm lồi (convex) khoảng đóng [a, b] với x1 , x2 ∈ [a, b] λ ∈ [0, 1] ta có f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) Nếu dấu bất đẳng thức ngược lại f gọi hàm lõm (concave) Định nghĩa mở rộng thành khái niệm r-lồi (xem [5]) Hàm lồi (theo nghĩa thông thường) hàm 0-lồi (hàm r-lồi với r = 0) El˙zbieta Galewska, Marek Galewski (2005, [7]) phát biểu điều kiện cần đủ cực trị Karush-Kuhn-Tucker cho toán tối ưu với hàm mục tiêu 52 Hình 2.2: Đồ thị hàm số φ(x) = x3 + x2 hàm x31 + x21 − x2 không tựa lồi Hàm x21 − x2 lồi ta hàm x31 không hàm r-lồi với r ∈ R Tuy nhiên viết (2.62) dạng x31 + x1 + x21 − x1 − x2 ≤ 0, (2.63) ta hàm f (x) = x31 + x1 hàm ( 98 )-lồi khoảng [−1, 1] Do đó, xấp xỉ lồi f cho [(x1 )3 +x1 −(x˜1 )3 −(x˜1 )] e8 −1 fˆ(x, x˜) = (x˜1 )3 + (x˜1 ) + (2.64) lặp lặp lại k lần, ta giải toán lồi x2 (2.65) với (xk1 )3 + (xk1 ) + x1 − ≤ 0, [(x1 )3 +x1 −(xk1 )3 −(xk1 )] − − (x1 )2 − (x1 ) − (x2 ) ≤ 0, e8 53 −x1 − ≤ Tương đương với giải toán k k φ(x, xk ) = e [x +x−(x ) −(x )] + x2 − x với x − ≤ 0, −x − ≤ 0, bỏ qua vài số hạng số hàm mục tiêu 2.3 Tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương Định nghĩa 2.11 Hàm f : Ω → R, Ω tập mở Rn , gọi Lipschitz địa phương x ∈ Ω tồn số L > (được gọi số Lipschitz hàm f ) cho f (x) − f (x) ≤ L x − x với x ∈ Ω đủ gần x Sau ta trình bày chứng minh điều kiện cần tối ưu Karush-KuhnTucker (điều kiện KKT) đủ cho biến đổi r-lồi không trơn toán tối ưu phi tuyến (PI) sau: Tìm điểm x¯ ∈ Rn , tồn tại, thỏa mãn f0 (¯ x) = f0 (x) x∈SI (2.66) với SI = {x ∈ Rn | f (x) ≤ 0} , f0 : Rn −→ R, f : Rn −→ Rm (2.67) hàm r-lồi Lipschitz địa phương biến đổi dạng r-lồi Để giải toán (PI) ta tìm điểm KKT 54 2.3.1 Biến đổi dạng r-lồi Định nghĩa 2.12 ([7], Definition 2, p 556) Một hàm Lipschitz địa phương f : Rn → R gọi biến đổi dạng r-lồi hay khả r-lồi ( r-convex transformability) (đối với ϕ) tồn C đồng phôi ϕ : Rn → Rn có hàm ngược ϕ−1 thuộc lớp C cho f ◦ ϕ−1 r-lồi Nếu f khả vi cần đòi hỏi ϕ khả vi Nếu f r-lồi hiển nhiên f khả r-lồi với ϕ ≡ I Chúng ta bắt đầu kiểm tra với điều kiện đủ cho hàm r-lồi cung cấp hai tiêu chí đơn giản mà cho phép kiểm tra xem f khả vi cấp f hàm r-lồi hàm ϕ định Các tiêu chí làm theo cách áp dụng điều kiện để tiêu chuẩn lồi theo đạo hàm cấp hai (the second order −1 convexity) cho hàm x → er(f ◦ϕ )(x) Mệnh đề 2.2 ([7], Proposition 2.2, p 556) Cho hàm f : R → R hàm khả vi cấp hai ϕ : R → R cho x ∈ R Nếu ϕ (x) = rf (ϕ−1 (x)) f (ϕ−1 (x)) − ϕ (x) + rf (ϕ−1 (x)) ≥ (2.68) f biến đổi dạng r-lồi ϕ x Mệnh đề 2.3 ([7], Proposition 2.3, p 556) Cho hàm f : Rn → R hàm khả vi cấp hai ϕ : Rn → Rn đặt x ∈ Rn Giả sử đạo hàm ∂ϕ−1 (x) ∂ ϕ−1 (x) , tồn với i, j = 1, , n kí hiệu ma trận A ∂xi ∂xi ∂xj ma trận cấp n × n với phần tử ∂ϕ−1 (x) ∂ϕ−1 (x) ∂ ϕ−1 (x) aij = rf (ϕ (x)) rf (ϕ (x)) − ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj −1 −1 + rf (ϕ−1 (x)) ∂ϕ−1 (x) ∂ϕ−1 (x) , ∂xi ∂xj (2.69) 55 i, j = 1, , n Nếu A ma trận nửa xác định dương, f biến đổi dạng r-lồi ϕ x Ví dụ 2.2 Một hàm f : R2 → R xác định f (x1 , x2 ) =ln (x1 + x31 )2 + (x2 + x32 )2 + biến đổi dạng r-lồi với r ∈ R Để chứng minh điều ta cần tìm hàm khả vi ϕ kiểm tra tính chất g = f ◦ ϕ−1 hàm r-lồi Ở đây, ϕ((x1 , x2 )) = (x1 + x31 , x2 + x32 ) g cho công thức g(y1 , y2 ) = ln y12 + y22 + Do định nghĩa r-lồi g r-lồi với r = Ta thấy hàm f r-lồi với r Thật vậy, hàm h(x1 , x2 ) = erf (x1 ,x2 ) = (x1 + x31 )2 + (x2 + x32 )2 + không lồi, ví dụ r = hàm cấp hai r áp dụng điều kiện kiểm tra lồi tính theo đạo 10 Cần nhấn mạnh lớp hàm biến đổi dạng r-lồi, lớp hàm rộng lớp hàm r-lồi Do kết có không áp dụng cho toán với hàm r-lồi mà áp dụng cho toán với hàm biến đổi dạng r-lồi 2.3.2 Tính đủ điều kiện Karush-Kuhn-Tucker Phần chứng minh giả thiết hàm biến đổi dạng r-lồi dẫn đến điều kiện tối ưu toán tối ưu phi tuyến 56 Định lí 2.15 ([7], Theorem 3.1, p 558) Giả sử hàm f0 , f biến đổi dạng r-lồi với ϕ giả sử x điểm KKT cho toán (PI) Khi x nghiệm cho toán (PI) Chứng minh Đặt gi = fi ◦ ϕ−1 với i = 0, 1, 2, , m giá trị x Khi fi = gi ◦ ϕ với i = 0, 1, 2, , m (2.70) gi (ϕ(x)) ≤ 0, ∀i = 0, 1, 2, , m Vì x điểm KKT toán (PI) tồn nhân tử Lagrange λ cho m ∈ ∂f0 (x) + (2.71) λi ∂fi (x) , i=1 (2.72) λi fi (x) = 0, ∀i = 0, 1, 2, , m Do tồn građien τ ∈ ∂f0 (x) vi ∈ ∂fi (x) với i = 0, 1, 2, , m cho m τ+ (2.73) λi vi = i−1 Do f0 biến đổi dạng r-lồi suy ra, tức với r = 0, rg0 (ϕ(x)) rg0 (ϕ(x)) e ≥ e (1 + r(ϕ(x) − ϕ(x))T ζ) r r với ζ ∈ ∂y g0 (ϕ(x)) Áp dạng quy tắc xích ta ζ = ( (2.74) −1 x ϕ(x)) τ Từ (2.73) ta có rg0 (ϕ(x)) rg0 (ϕ(x)) e ≥ e − erg0 (ϕ(x)) (ϕ(x) − ϕ(x))T r r m λi ( −1 x ϕ(x)) vi i−1 (2.75) Do (2.75) quy tắc xích ta có rg0 (ϕ(x)) rg0 (ϕ(x)) e ≥ e − erg0 (ϕ(x)) (ϕ(x) − ϕ(x))T r r m λi ζi i−1 (2.76) 57 với ζi = ∂y gi (ϕ(x)) i = 1, 2, , m Vì fi biến đổi dạng r-lồi với i = 1, 2, , m (2.76) suy rg0 (ϕ(x)) rg0 (ϕ(x)) rg0 (ϕ(x)) e − e ≥ e r r r Khi rg0 (ϕ(x)) e r m λi − ergi (ϕ(x))−rgi (ϕ(x)) i−1 (2.77) m λi − ergi (ϕ(x))−rgi (ϕ(x)) ≥ (2.78) i−1 Trường hợp 1: r > Hiển nhiên erg0 (ϕ(x)) ≥ 0., λi gi (ϕ(x)) = i = 1, 2, , m ta có r λi = gi (ϕ(x)) = i = 1, 2, , m Từ chứng minh rgi (ϕ(x)) ≤ ta có λi − ergi (ϕ(x))−rgi (ϕ(x)) không âm không Trường hợp 2: r < lập luận tương tự Ta có (2.77) Từ (2.77) (2.78) suy rg0 (ϕ(x)) rg0 (ϕ(x)) e ≥ e r r (2.79) Do f0 (x) ≥ f0 (x) Chứng tỏ x nghiệm toán (PI) 2.3.3 Bài toán liên quan Phần trình bày điều kiện đủ tối ưu toán (PI) với giả thiết nhẹ so với biến đổi dạng r-lồi Chúng ta sử dụng toán r-lồi liên quan đến (PC) để tìm nghiệm cho toán xét Cho x điểm KKT cho toán (PI) với λ nhân tử Lagrange Kí hiệu tập số hoạt tất hàm ràng buộc x, nghĩa I := {1 ≤ i ≤ m| fi (x) < 0} (2.80) 58 Đặt f0 biến đổi dạng r-lồi tai điểm x hàm ϕ : Rn → Rn cho y := ϕ(x) Xác định hàm gi : Rn → R sau gi = fi ◦ ϕ−1 , ∀i = 0, 1, 2, , m (2.81) Áp dụng giả thiết sau hàm hạn chế, khả thi cho y ζi ∈ ∂gi (y), i ∈ I : ζiT (y − y) ≤ (2.82) Các điều kiện gi , i ∈ I, khái quát trực tiếp khái niệm biến đổi dạng r-lồi điểm Điều xem dạng tựa lồi (quasi convexity), tổng quát Ví dụ 2.3 Xét hàm f (x) = x4 − x2 + tập X = (−1, +∞) Lấy điểm x = −1, suy f (x) = −2 hệ thức (2.82) viết thành −2(x + 1) ≤ Trong tính tựa lồi f x đòi hỏi f (x) ≤ f (x) ⇒ f (x)(x − x) ≤ với x ∈ X f (x) ≤ f (x) với x ∈ [−1; 1] Bây quan tâm đến nghiệm toán (PC): Tìm y ∈ SC , tồn tại, cho g0 (y) = g0 (y) y∈SC với SC = {y ∈ Rn , g(y) ≤ 0} , g0 : Rn → R, g : Rn → Rm theo (2.82) Điểm KKT toán (PC) toán (PI) liên hệ với sau 59 Mệnh đề 2.4 ([7], Proposition 4.1, p 560) Cho f0 biến đổi dạng r-lồi điểm x ϕ thỏa mãn điều kiện (2.82) Điểm x ∈ SI điểm KKT toán (PI) y = ϕ(x) ∈ SC điểm KKT toán (PC) Hơn nữa, nhân tử Lagrange giữ nguyên Bây xây dựng chứng minh điều kiện tối ưu đủ cho toán (PI) Mệnh đề 2.5 ([7], Proposition 4.2, p 561) Cho x điểm KKT toán (PI) đặt f0 biến đổi dạng r-lồi x ϕ Giả sử (2.82) cố định Khi x nghiệm cho toán (PI) Chứng minh Lý luận chứng minh Định lí 2.15 ta nhận rg0 (ϕ(x)) rg0 (ϕ(x)) e ≥ e − erg0 (ϕ(x)) (ϕ(x) − ϕ(x))T r r m λi ζi (2.83) i=1 với ζi ∈ ∂y gi (ϕ(x)) i = 1, 2, , m Vì từ giả thiết biến đổi dạng r-lồi, từ (2.82) tính chất ϕ suy rg0 (ϕ(x)) rg0 (ϕ(x)) e ≥ e r r (2.84) g0 (ϕ(x)) ≥ g0 (ϕ(x)), (2.85) f (x) ≥ (x) (2.86) Do có nghĩa Từ kết ta suy nghiệm toán (PI) đạt từ nghiệm toán (PC) Cách làm sau Bài toán (PI) biến đổi từ toán r-lồi (PC) mà thường dễ dàng để giải Các giá trị hàm mục tiêu điểm tối ưu cho hai toán tương đương Các điểm KKT cho (PI) thu biến đổi ϕ 60 2.3.4 Ứng dụng nhận xét Để hiểu rõ vấn đề nêu ta xét ví dụ cụ thể: Ví dụ 2.4 Xét toán (PI) sau log((x3 + x)2 + 1) → với hạn chế log(x3 + x + 1) − 10 ≤ C = {x : x ≥ 1} Ta thấy toán biến đổi dạng r-lồi Đặt ϕ(x) = x3 + x xét toán 1-lồi sau log(y + 1) → ràng buộc log(y + 1) − 10 ≤ C1 = {y : y ≥ 2} nghiệm rõ ràng y = kết tìm x thỏa mãn x3 + x = 2, tức x = Để kết thúc , ta đưa vài nhận xét toán * Trường hợp khả vi: Trong trường hợp hàm phức tạp khả vi ta có kết tương tự bao hàm ràng buộc hạn chế, tức toán (PI) viết lại sau: Tìm điểm x ∈ Rn , tồn tại, f0 (x) = f0 (x) x∈SI với SI = {x ∈ Rn |f (x) ≤ 0, h(x) = 0} 61 Trong trường hợp ràng buộc hàm khả vi liên tục Giả thiết sau: Giả sử f0 r-khả lồi (convexifiable) điểm x ϕ cho tất ràng buộc hàm fi hàm gi = fi ◦ ϕ−1 thỏa mãn ∇gi (y)T (y − y) ≤ (2.87) với j = 1, 2, , k , hj thỏa mãn pj = hj ◦ ϕ−1 thỏa mãn với y ta có pi (y)T (y − y) ≤ 0, sgn (2.88) v nhân tử Lagrange liên quan đến đẳng thức ràng buộc Bài toán (PC) viết lại sau: Tìm điểm y ∈ Rn , tồn tại, g0 (y) = g0 (y) y∈SC với SC = {y ∈ Rn |g(y)) ≤ 0, p(x) = 0} Mệnh đề 2.6 ([7], Proposition 5.2, p 563) Một điểm x ∈ SI điểm KKT cho toán (PI) y = ϕ(x) ∈ SC điểm KKT cho toán (PC) Hơn nhân tử Lagrange giữ nguyên Cả hai điểm x y nghiệm toán(PI) (PC) tương ứng * Vấn đề với biến không âm Cách tiếp cận trình bày hữu ích trường hợp toán với biến không âm, tức là, toán (PIE) sau: cực tiểu hóa (minimize) f0 (x) 62 tập SIE = {x ∈ Rn |f (x) ≤ 0, x ≥ 0, h(x) = 0} Bài toán quan trọng từ quan điểm toán ứng dụng Nhưng vô khó để cung cấp điều kiện đủ tối ưu khác từ tính lồi khái quát hóa tiêu chuẩn xuất ràng buộc bất đẳng thức tuyến tính Vì xuất biến đổi dạng r-lồi Các giả thuyết bổ sung phải áp đặt hàm khả vi ϕ tự nhiên thỏa mãn hầu hết trường hợp , ví dụ ta yêu cầu ϕ(x) ≥ x ≥ Điều cho phép ta chứng minh điều sau: Định lí 2.16 ([7], Theorem 5.3, p 563) Một điểm x mà toán (PIE) biến đổi dạng r-lồi, tức (2.87) (2.88) thỏa mãn, nghiệm toàn cục điểm ϕ(x) nghiệm toàn cục toán (PIC) sau: cực tiểu hóa (minimize) y0 (y) tập SCE = {y ∈ Rn |g(y) ≤ 0, y ≥ 0, p(y) = 0} Chứng minh định lí dựa vào việc xác định toán cực tiểu hóa (minimize) f0 (x) SIE = {x ∈ Rn |f (x) ≤ 0, ϕ(x) ≥ 0, h(x) = 0} sau lập luận 63 Liên hệ với r-lồi bất biến Xét toán (PI) với giả thiết r-lồi bất biến suy rộng (invex) điểm x nghĩa tồn hàm η : SI → Rn cho với x ∈ SI cho tất hàm ràng buộc fi , với(r = 0) ta có rf0 (x) rf0 (x)(1+(η(x))T ∇f0 (x)) e ≥ e , ≥ η(x))T ∇fi (x), với i ∈ I r r Mệnh đề 2.7 ([7], Proposition 5.4, p 564) Cho f0 biến đổi dạng r-lồi x ϕ thỏa mãn (2.82) Khi toán (PI) r-lồi bất biến suy rộng x hàm η cho công thức η(x) = ( −1 x ϕ(x) )(ϕ(x) − ϕ(x)) Hơn nữa, giả sử r-lồi bất biến suy rộng tương thích với η ta (2.82) thỏa mãn x 64 Kết luận Đề nghị Luận văn trình bày tính chất tính chất đặc trưng hàm lồi, hàm r-lồi, mối liên hệ hàm lồi với số hàm lồi suy rộng khác Nội dung quan trọng luận văn chứng minh điều kiện cần đủ Karush-Kuhn-Tucker cho toán quy hoạch toán học Điều kiện cần đủ Karush-Kuhn-Tucker cho toán quy hoạch toán học vấn đề khó, đòi hỏi thời gian tìm tòi Tôi hy vọng nhận góp ý quý báu thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! 65 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Nguyễn Minh Đức (2011), Hàm r-lồi ứng dụng, Luận văn Cao học Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên [2] Nguyễn Hữu Long (2012), Một số đặc trưng hàm r-lồi, Luận văn Cao học Trường Đại học Hồng Đức [3] Huỳnh Thế Phùng (2013), Giải tích lồi, NXB Giáo dục [4] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh [5] Avriel M (1972), "r-convex function", Mathematical Programming, Vol 2, pp 309–323 [6] Avriel M (1973), " Solution of Certain Nonlinear Programming Involving r-convex Functions", Optimization Theory and Applications, Vol 11, No.2, pp 159–174, Plenum Pulishing Corporation [7] Galewska E., Galewski M (2005), " r-convex transformability in nonlinear programming problems ", Comment Math Univ Carolin 46, 3(2005), pp 555–565 66 [8] Galewski M (2001) "On some connection between invex and convex problems in nonlinear programming", Control and Cybernetics, No 1, pp 11–22 [9] Galewski M (2005), "A note on invex problems with nonnegative variable", European J Oper Res, 163 (2005), No 2, pp 565–568 [10] Stephen B., Lieven V (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press [11] Martos B (1966), "The Power of Nonlinear Programming Methods (in Hungarian)", MTA K¨ozgazdas, gtudom, nyi IntĐzetĐnek K¨ozlemĐyei , No 20, Budapest, Hungary [12] Tamás L B., Ewerhart C (2015), On the origin of r-concavity and related concepts, Working Paper, No 187, February, University of Zurich, Department of Economics [13] Zhao Y X., Yang S Y (2010) L Coladas Uria, "Characterizations of r-convex functions", J Optim Theory, Appl, pp 186-195 ... lớp hàm lồi suy r ng khác (hàm tựa lồi, hàm lồi bất biến, ) Chương 2: Bài toán tối ưu với hàm r- lồi 2.1 Tối ưu hàm r- lồi khả vi Mục trình bày toán tối ưu hàm r- lồi khả vi Chứng minh điều kiện. .. biểu điều kiện cần đủ cực trị Karush- Kuhn- Tucker cho toán tối ưu với hàm mục tiêu hàm r ng buộc hàm r- lồi Lipschitz địa phương Đây kết mở r ng trực tiếp điều kiện cần đủ tối ưu Karush- Kuhn- Tucker. .. đủ tối ưu dạng điều kiện Karush- Kuhn- Tucker cho toán quy hoạch toán học với hàm mục tiêu hàm hạn chế r- lồi khả vi 2.2 Tối ưu hàm r- lồi Lipschitz địa phương Mục trình bày toán tối ưu hàm r- lồi