Điều kiện karush kuhn tucker trong bài toán tối ưu hàm r lồi

TÓM TẮT NỘI DUNGMục đích của luận văn trình bày điều kiện cần và đủ tối ưu Tucker của bài toán qui hoạch toán học với hàm mục tiêu và các hàm ràngbuộc là các hàm r-lồi Lipschitz địa phươ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi 4

1.1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi 4

1.1.2 Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi 8

1.2 Đặc trưng hàm r-lồi 19

1.2.1 Đặc trưng hàm lồi 19

1.2.2 Đặc trưng hàm r - lồi 20

1.3 Quan hệ giữa hàm r-lồi với các hàm lồi suy rộng khác 21

2 Bài toán tối ưu với hàm r-lồi 28 2.1 Bài toán tối ưu tổng quát 28

2.2 Tối ưu hàm r-lồi 33

2.2.1 Tối ưu hàm lồi 33

2.2.2 Tối ưu hàm r - lồi 40

2.3 Tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương 53

2.3.1 Biến đổi được về dạng r-lồi 54

2.3.2 Tính đủ của điều kiện Karush-Kuhn-Tucker 55

2.3.3 Bài toán liên quan 57

2.3.4 Ứng dụng và nhận xét 60

TÓM TẮT NỘI DUNG

Mục đích của luận văn trình bày điều kiện cần và đủ tối ưu Tucker của bài toán qui hoạch toán học với hàm mục tiêu và các hàm ràngbuộc là các hàm r-lồi Lipschitz địa phương Đồng thời luận văn cũng trìnhbày điều kiện cần và đủ tối ưu Karush-Kuhn-Tucker của bài toán qui hoạchtoán học với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc là các hàm r-lồi Bên cạnh

Karush-Kuhn-đó luận văn còn trình bày các tính chất và các đặc trưng của hàm r-lồi.Luận văn gồm 2 chương

Chương 1: Các tính chất đặc trưng của hàm r-lồi

1.1 Một số tính chất của hàm lồi

1.1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi

Mục này trình bày định nghĩa và tính chất cơ bản của hàm lồi, có mục đíchtham chiếu với định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm r-lồi trong mụcsau

1.1.2 Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi

Mục này trình bày định nghĩa, phát biểu và chứng minh các tính chất giảitích và hình học cơ bản của hàm r-lồi

1.2 Đặc trưng của hàm r-lồi

1.2.1 Đặc trưng của hàm lồi

Mục này trình bày đặc trưng cơ bản của hàm lồi, có mục đích tham chiếu vớiđặc trưng cơ bản của hàm r-lồi trong mục sau

1.2.2 Đặc trưng của hàm r-lồi

Mục này trình bày tính chất cơ bản của hàm r-lồi và một số chứng minh.

1.3 Quan hệ giữa hàm r-lồi với các hàm lồi suy rộng khác

Mục này trình bày mối liên hệ giữa lớp hàm r-lồi với các lớp hàm lồi suyrộng khác (hàm tựa lồi, hàm lồi bất biến, )

Chương 2: Bài toán tối ưu với hàm r-lồi

2.1 Tối ưu hàm r-lồi khả vi

Mục này trình bày bài toán tối ưu hàm r-lồi khả vi Chứng minh điều kiệncần và đủ tối ưu dưới dạng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán quyhoạch toán học với hàm mục tiêu và các hàm hạn chế là r-lồi khả vi

2.2 Tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương

Mục này trình bày bài toán tối ưu hàm r-lồi Lipschitz địa phương Chứngminh điều kiện cần và đủ tối ưu dưới dạng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker

- Đại học Thái Nguyên nói chung đã cho tôi những kiến thức cần thiết đểhoàn thành luận văn Cuối cùng tôi xin cảm ơn sự động viên, giúp đỡ củagia đình, bạn bè đã dành cho tôi trong thời gian qua.

Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn đểluận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, 2015 Nguyễn Thị Giang

Học viên Cao học Toán K7Y, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

∇f (x) Véctơ gradient của hàm f tại điểm x.

∇2f Ma trận Hessian của hàm f tại điểm x

[a, b] Đoạn thẳng nối hai điểm (véctơ) a và b

kzk Chuẩn Euclid của véc tơ z

epif Tập trên đồ thị của hàm f

x1, x2, Liệt kê các véctơ có cùng số chiều (dùng chỉ số trên)

ω1, ω2, Tọa độ của điểm hay thành phần của véctơ ω (dùng chỉ số dưới)

hx, yi, xTy Tích vô hướng của hai véctơ x và y (hai véctơ có cùng số chiều)

∂f (x) Dưới vi phân của hàm f tại điểm x

f0(x) Đạo hàm cấp 1 của hàm f tại x

f00(x) Đạo hàm cấp 2 của hàm f tại x

coneE Bao nón của tập E

Danh sách hình vẽ

1.1 Một số tập lồi trong R2 5

1.2 Một số tập không lồi trong R2 5

1.3 Hàm lồi 7

1.4 Hàm lõm 7

2.1 Cực tiểu (cực đại) địa phương (toàn cục) 32

2.2 Đồ thị hàm số φ(x) = x3 + x2 52

Tuy nhiên, nhiều bài toán trong thực tế thường không nhất thiết là lồi.

Do đó cần phải mở rộng khái niệm hàm lồi Mangasarian, Hoàng Tụy, affelar, là các nhà toán học có đóng góp lớn trong nghiên cứu các lớp hàmlồi suy rộng (lớp các hàm tựa lồi, giả lồi, )

Rock-Các nhà toán học B Martos (1966, [11]), M Avriel (1972-1973, [5],[6]) đã định nghĩa và nghiên cứu lớp hàm r-lồi, là một dạng mở rộng củalớp hàm lồi và có nhiều tính chất tốt khi áp dụng vào giải tích và bài toán tối

ưu Hàm số f : [a; b] −→ R được gọi là hàm lồi (convex) trên khoảng đóng[a, b] nếu với mọi x1, x2 ∈ [a, b] và λ ∈ [0, 1] ta có

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2)

Nếu dấu bất đẳng thức ngược lại thì f được gọi là hàm lõm (concave) Địnhnghĩa trên có thể mở rộng thành khái niệm r-lồi (xem [5]) Hàm lồi (theonghĩa thông thường) là hàm 0-lồi (hàm r-lồi với r = 0)

El˙zbieta Galewska, Marek Galewski (2005, [7]) đã phát biểu điều kiện cần

và đủ cực trị Karush-Kuhn-Tucker cho bài toán tối ưu với hàm mục tiêu và

hàm ràng buộc là các hàm r-lồi Lipschitz địa phương Đây là kết quả mởrộng trực tiếp của điều kiện cần và đủ tối ưu Karush-Kuhn-Tucker cho bàitoán qui hoạch lồi Năm 2010, Y X Zhao, S.Y Wang và L Coladas Uria[13] đã chứng minh một số đặc trưng của hàm r-lồi, là mở rộng các đặctrưng của hàm lồi.

Mục đích chính của luận văn Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker trong bài

toán tối ưu hàm r-lồi là trình bày chứng minh điều kiện cần và đủ tối ưuKarush-Kuhn-Tucker cho bài toán qui hoạch toán học với hàm mục tiêu vàcác hàm ràng buộc là các hàm r-lồi, đồng thời Luận văn cũng trình bày cáctính chất và các đặc trưng của hàm r-lồi, chủ yếu dựa theo hai tài liệu [7] và[13] Khác với [1], nội dung của Luận văn này chủ yếu dựa vào bài báo [7],

là bài báo tương đối gần đây, nghiên cứu bài toán tối ưu hàm r-lồi khôngnhất thiết khả vi (chỉ cần Lipschitz địa phương), trong khi đó [1] chủ yếutrình bày các kết quả của [5] và [6], nghiên cứu bài toán tối ưu với hàm r-lồikhả vi Hơn nữa, trong [5] và [6] cũng chưa nói tới điều kiện Karush-Kuhn-Tucker như là điều kiện cần và đủ tối ưu cho hàm r-lồi Ngoài ra, luận văncũng sẽ khai thác và trình bày định nghĩa và các tính chất về hàm r-lồi trong[12] và trong các tài liệu gần đây, với nội dung phong phú hơn [1] và [2] ([1]chỉ khai thác tài liệu [5] và [6], còn [2] chỉ khai thác chủ yếu tài liệu [13])

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015

Chương 1

Các tính chất đặc trưng của hàm r - lồi

Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi, tính chất

cơ bản của hàm lồi, trình bày khái niệm hàm r-lồi, tính chất cơ bản của hàm

r-lồi Đồng thời cũng chỉ ra đặc trưng của hàm r-lồi, mối quan hệ giữa hàm

r-lồi và các hàm lồi suy rộng khác nhằm phục vụ cho việc tìm hiểu các bàitoán tối ưu trong Chương 2

1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi

1.1.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi

Định nghĩa 1.2 ([4], Định nghĩa 2.6, p 41) Tập C ⊂ Rn được gọi là tập lồi

nếu C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm của nó tức là với mọi x1 ∈ C, x2 ∈

C ta có

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] (1.2)

Hình 1.1: Một số tập lồi trong R2

Hình 1.2: Một số tập không lồi trong R2

Ví dụ 1.1 Các tập sau đây đều là các tập lồi:

a) Các hình cầu đóng B(x0, r) = {x ∈ Rn :k x − x0 k≤ r} , r > 0

b) Các hình cầu mở B(x0, r) = {x ∈ Rn :k x − x0 k< r}, r > 0

Định nghĩa 1.3 ([4], Định nghĩa 2.22, p 63) Cho C ⊆ Rn Hàm f : C → R

được gọi là lồi trên C nếu

i) Tập C là tập lồi

ii) Với mọi λ ∈ [0; 1] ta có

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2), ∀x1, x2 ∈ C (1.3)

Định nghĩa 1.4 ([4], Định nghĩa 2.22, p 63) Cho C ⊂ Rn Hàm f : C → R

được gọi là lồi chặt trên C nếu

i) Tập C là tập lồi

ii) Với mọi λ ∈ (0; 1) ta có

f (λx1 +(1−λ)x2) < λf (x1) +(1−λ)f (x2), ∀x1, x2 ∈ C, x1 6= x2 (1.4)

Định nghĩa 1.5 Cho tập lồi C ⊂ Rn Hàm f : C → R được gọi là hàm tựa

lồitrên C nếu với mọi x1, x2 ∈ C và với mọi λ ∈ [0; 1] ta có

f (x1) ≤ f (x2) ⇒ f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ f (x2) (1.5)

Điều này tương đương với

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ maxf (x1), f (x2) , ∀x1, x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1]

(1.6)

Định nghĩa 1.6 Cho tập lồi C ⊂ Rn Hàm f : C → R được gọi là hàm tựa

lồi chặt (strictly quasiconvex) trên C nếu với mọi x1, x2 ∈ C, , ∀λ ∈ (0; 1)

Hình 1.3: Hàm lồi

Hình 1.4: Hàm lõm

Một số tính chất cơ bản của hàm lồi

Định lí 1.1 ([4], Định lí 2.19, p 67) Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong

Rn và f : Rn → R là một hàm lồi Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên

C đều là điểm cực tiểu toàn cục Tập Argminx∈C f (x) là tập con lồi của C,

ở đây Argminx∈C f (x) := {x ∈ C : f (x) ≤ f (x), ∀x ∈ C}.

Hệ quả 1.1 ([4], Hệ quả 2.7, p 67) Bất cứ điểm cực đại địa phương nào

của một hàm lõm trên một tập lồi cũng là điểm cực đại toàn cục Tập tất cả các điểm cực đại của một hàm lõm trên một tập lồi là lồi.

Định lí 1.2 ([4], Định lí 2.20, p 67) Một hàm lồi chặt f trên một tập lồi C

có nhiều nhất một điểm cực tiểu trên C, nghĩa là tập Argminx∈C f (x) có

nhiều nhất một phần tử.

Định lí 1.3 ([4], Định lí 2.21, p 67) Hàm f(x), x ∈ Rnlà hàm lồi khi và chỉ khi hàm một biến số ϕ(λ) ≡ f (x + λd) là hàm lồi theo λ với mọi x, d ∈ Rn.

1.1.2 Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi

Khái niệm tập lồi, hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tối

ưu Tuy nhiên, trong các bài toán thực tế ta thường gặp các hàm không nhấtthiết là lồi Vì vậy cần phải mở rộng lớp các hàm lồi Các lớp hàm lồi suy

rộng thường được xây dựng dựa trên cơ sở vẫn giữ nguyên một (một vài) tínhchất đặc trưng của hàm lồi Lớp hàm r-lồi khá rộng và chứa lớp hàm lồi nhưtrường hợp đặc biệt Dưới đây trình bày khái niệm r-lồi do B Martos [11]đưa ra và nghiên cứu năm 1966 Độc lập với B Martos, M Avriel (xem [5],[6] ) đã nghiên cứu tỉ mỉ các tính chất của hàm r-lồi và áp dụng vào bài toántối ưu trong các năm 1972, 1973.

Ở trên ta đã định nghĩa, hàm f : C → R được gọi là hàm lồi trên tập lồi

C ⊂ Rn nếu

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2), ∀x1, x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1]

(1.9)

Ta có thể hiểu điểm xλ = λx1 + (1 − λ)x2 là tổ hợp lồi của hai điểm x1 và

x2 với các trọng số λ và (1 − λ) Khi ấy hàm lồi có tính chất: giá trị của hàm

f tại điểm xλ là f(λx1 + (1 − λ)x2) phải nhỏ hơn tổ hợp lồi của f(x1) và

f (x2) với cùng trọng số λ và (1 − λ)

Nếu thay thế các trọng số λ và (1 − λ) ở vế phải của bất đẳng thức (1.9) bởitrọng số tổng quát hơn thì ta có khái niệm r-lồi Khi đó ta được một lớp hàmrộng hơn lớp hàm lồi mà nhiều tính chất của hàm lồi vẫn còn giữ được (trênquan điểm áp dụng vào bài toán quy hoạch toán học)

Hàm r-lồi (r-convex function)

Giả sử w = (w1, , wm)T ∈ Rm là véctơ m chiều với các thành phầndương và q = (q1, , qm)T ∈ Rm, qi ∈ R (i = 1, m) là các số không âmsao cho Pm

i=1

qi = 1, r là một số thực

Định nghĩa 1.7 ([5], p 310) Trọng số r-trung bình của các số w1, , wm là

Định nghĩa 1.8 ([5], p 310) Hàm thực φ xác định trên một tập lồi C ⊂ Rn

được gọi là hàm r-lồi (r-convex function) nếu với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C, q1 ≥

q1φ x1
+ q2φ x2
, r = 0

(1.13)

Định nghĩa 1.9 ([6]) Hàm thực φ xác định trên một tập lồi C ⊂ Rn được

gọi là hàm r-lõm (r-concave function) nếu với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C ta có

φ q1x1 + q2x2
≥ lognMr



eφ(x1), eφ(x 2

); qo (1.14)Điều này tương đương với

q1φ x1
+ q2φ x2
, r = 0

(1.15)

+ Nếu r < 0, hàm r-lồi được gọi là hàm lồi trên (superconvex).

+ Nếu r > 0, hàm r-lồi được gọi là hàm lồi dưới (subconvex).

+ Nếu r > 0, hàm r-lõm được gọi là hàm lõm trên (superconcave).

+ Nếu r < 0, hàm r-lõm được gọi là hàm lõm dưới (subconcave).

Định nghĩa 1.10 ([5], p 311) Trọng số r-trung bình của m véctơ dương

h

Mr(ex1n, ex2n; q)

i

∈ C (1.17)

* Minh họa hình học của tập r-lồi

Nếu X ⊂ Rn là tập r-lồi thì với hai điểm bất kỳ x1 ∈ C, x2 ∈ C, đườngcong xác định bởi công thức (1.17) sẽ nằm trong tập đó với mọi 0 ≤ q1 ≤ 1

Ta đã biết tập lồi là tập 0-lồi Ta biết rằng tập X ⊂ Rn là r-lồi với r 6= 0 khi

và chỉ khi tập Y cho bởi

Y = {y : y ∈ Rn, yj = erxj, j = 1, , n; x ∈ X} (1.18)

là tập lồi

Khái niệm hàm r-lồi có thể mở rộng hơn nhờ khái niệm tập r-lồi

Định nghĩa 1.12 ([5], p 312) Hàm thực φ xác định trên tập p-lồi X ⊂ Rn

được gọi là hàm (p, r)-lồi nếu với mọi

Mở rộng khái niệm tập r-lồi dẫn đến định nghĩa hàm (p, r)-lồi đưới đây

Khái niệm tập (p, r)-lồi cho phép mở rộng khái niệm hàm (p, r)-lồi như sau

Định nghĩa 1.14 ([5], p 311) Hàm thực φ xác định trên tập p-lồi X ⊂ Rn

được gọi là hàm (p, r)-lồi nếu epigraph của φ là (p, r)-lồi.

Ở đây epigraph của hàm φ được định nghĩa như trong giải tích lồi, tức là

epi φ = {(x, µ) : x ∈ X, µ ∈ R, µ ≥ φ(x)} Trong luận văn này ta chỉ xét các hàm (0, r)-lồi, tức là các hàm r-lồi Tuynhiên phần lớn các kết quả có thể dễ dàng mở rộng cho hàm (p, r)-lồi

Ta nhận xét rằng có thể mở rộng khái niệm lồi bằng cách sử dụng trọng sốtheo cách khác nhau Thí dụ, ta có định nghĩa dưới đây

Định nghĩa 1.15 ([6], p 160) Hàm thực dương f xác định trên một tập lồi

C ⊂ Rn được gọi là hàm r+-lồi (r+-convex ) nếu với mỗi x1 ∈ C, x2 ∈ C

+ Nếu hàm f xác định như trên là hàm 1+-lồi thì f là hàm lồi;

+ Nếu hàm f xác định như trên là hàm r-lồi khi và chỉ khi ef là hàm r+-lồi(r+-convex) cùng với r

Bổ đề 1.1 ([5], Lemma 3.1, p 313) Cho r, s ∈ R và w1, , wm là các số dương Nếu s > r thì

Ms(w1, , wm; q) ≥ Mr(w1, , wm; q) (1.24)

với mọi giá trị của các trọng số q1, , qm.

Định lí 1.4 ([5], Ranking Theorem 3.2, p 313) Nếu φ là hàm r-lồi (r-lõm)

thì φ cũng là hàm s-lồi (s-lõm) với mọi s > r (s < r).

Do φ là r-lồi nên

φ(q1x1 + q2x2) ≤

log

n

Mr(eφ(x1), eφ(x1); q)

o

.Suy ra

Với hàm lõm ta có chứng minh tương tự

Một số tính chất cơ bản của hàm r-lồi

Một đặc trưng cơ bản của hàm r-lồi có thể nhận được từ khái niệm lồithông thường Định lý dưới đây cho phép chúng ta chuyển các hàm r-lồi và

rφ(q1x1 + q2x2) ≤ r lognq1erφ(x1) + q2erφ(x2)o

1 r

⇔ erφ(q1 x1+q 2 x2) ≤ q1erφ(x1)+ q2erφ(x2)

Suy ra ˆφ là hàm lồi.

Nếu r < 0 thì

erφ(q1 x1+q 2 x2) ≥ q1erφ(x1 )+ q2erφ(x2).Suy ra ˆφ là hàm lõm

Chứng minh tương tự với φ là hàm r-lõm

Ngược lại, giả sử ˆφ = erφ là hàm lồi trên C thỏa mãn

Nếu r < 0, chứng minh tương tự ta được φ là hàm r-lõm

r ln xvới x > 0, r > 0

Ta có

ˆφ(x) = erφ(x) = x2

Định lí 1.6 ([5], Theorem 4.2, p 316) Hàm φ là hàm r-lồi khi và chỉ khi

Chiều ngược lại chứng minh tương tự

Định lí 1.7 ([5], Theorem 4.3, p 316) Nếu φ là hàm r-lồi (r-lõm) và k ∈

Chứng minh với φ là hàm r-lõm làm hoàn toàn tương tự ta suy ra φ + α làhàm r-lõm

ii) Giả sử φ là hàm r-lồi và k ∈ R∗

+, α ∈ R Với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C và q tacó:

Định lí 1.8 ([5], Theorem 4.4, p 316) Cho ϕ và ψ là hàm r-lồi (r-lõm) trên

tập lồi C ⊂ Rn và giả sử α1, α2 là các số dương Khi đó, hàm θ xác định bởi

Với r = 0, theo tính chất của hàm r-lồi ta có ngay kết quả trên

Với r 6= 0, do ϕ và ψ là các hàm r-lồi nên theo Định lí 1.5 ta có erφ(x) và

Suy ra erθ là hàm r-lồi nên θ là hàm r-lồi

Chứng minh θ là hàm r-lõm hoàn toàn tương tự

Định lí 1.9 ([5], Theorem 4.5, p 317) Cho φ là hàm r-lồi (r-lõm) trên tập

lồi C ⊂ Rn với r ≤ 0 (r ≥ 0) và ψ là hàm s-lồi (s-lõm) không giảm trên R Khi đó, hàm hợp θ = ψφ là hàm s-lồi (s-lõm).

Chứng minh

Cho x1 ∈ C, x2 ∈ C và q1 ≥ 0, q2 ≥ 0, q1 + q2 = 1

θ(q1x1 + q2x2) = ψφ(q1x1 + q2x2)

Do ψ là hàm không giảm, nên

θ(q1x1 + q2x2) ≤ ψ

hlog

n

Mr(eφ(x1), eφ(x2); q)

oi

θ(q1x1 + q2x2) ≤ lognMs(eθ(x1), eθ(x2); q)o.Suy ra θ là hàm s-lồi

Chứng minh tương tự cho trường hợp θ là hàm s-lõm

Định lý dưới đây nhiều khi cho phép đơn giản hóa chứng minh các định lýliên quan đến các hàm lồi suy rộng

Định lí 1.10 ([5], Theorem 4.6, p 318) Một hàm φ là r-lồi (r-lõm) trên một

tập lồi C ⊂ Rn khi và chỉ khi với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C và hàm ψ cho bởi

ψ(λ) = φ (1 − λ) x1 + λx2
(1.27)

là hàm r-lồi (r-lõm) với 0 ≤ λ ≤ 1.

1.2 Đặc trưng hàm r-lồi

1.2.1 Đặc trưng hàm lồi

Định lí 1.11 ([4], Định lí 2.24, p 70) Hàm khả vi f : (a, b) → R là lồi khi

và chỉ khi f0(x) là đơn điệu trên (a, b).

Định lí 1.12 ([4], Định lí 2.24, p 70) Cho f : (a, b) → R là hàm khả vi hai

lần Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi f00(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a, b).

Hessian các đạo hàm riêng cấp 2 của f tại x.

a) Nếu 52f (x) là nửa xác định dương trên C (tức là với mọi x ∈ C thì

yT 52

f (x)y ≥ 0, ∀y ∈ Rn) hoặc nếu 52f (x) có mọi giá trị riêng không

âm thì hàm f lồi trên C.

b) Nếu 52f (x) xác định dương trên C, tức là với mọi x ∈ C thì

yT 52 f (x)y > 0, ∀y ∈ Rn

hoặc nếu 52f (x) có mọi giá trị riêng dương thì hàm f lồi chặt trên C.

1.2.2 Đặc trưng hàm r - lồi

Định lí 1.15 ([5], p 318) Cho φ là hàm khả vi trên tập lồi C ⊂ Rn Khi đó,

φ là hàm r-lồi khi và chỉ khi với mọi x1 ∈ C, x2 ∈ C ta có

Định lí 1.16 ([5], Theorem 5.1, p 318) Cho φ là hàm thực khả vi liên tục

hai lần trên khoảng mở (a; b), φ0, φ00 lần lượt là đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của hàm φ Khi đó, φ là hàm r-lồi khi và chỉ khi



= (erφ(x))00 ≥ 0, ∀x ∈ (a, b)

Suy ra erφ là hàm lồi trên (a; b)

Theo Định lí 1.5 điều này đúng khi và chỉ khi φ là hàm r-lồi

Với r < 0, chứng minh tương tự

Định lí 1.17 ([5], Theorem 5.2, p 319) Cho φ là hàm thực khả vi liên tục

2 lần trên tập mở lồi C ⊂ Rn Khi đó, φ là hàm r-lồi (r-lõm) trên C khi và chỉ khi ma trận Q cho bởi

x = w + λz, là hàm r-lồi trên khoảng mở

rzT∇φ(x)2

+ zT∇2φ(x)z ≥ 0với mỗi x ∈ C và z ∈ Rn

Suy ra Q(x) là ma trận nửa xác định dương với mọi x ∈ C

Chứng minh với φ là hàm r-lõm hoàn toàn tương tự

1.3 Quan hệ giữa hàm r-lồi với các hàm lồi suy rộng

khác

Từ định lý sắp thứ tự, tương ứng với các thuật ngữ ở trên Nhận xét 1.3 ta

có những nhận xét dưới đây

Nhận xét 1.5 ([6], p 161) Nếu f là hàm lồi trên thì f là hàm lồi, do đó nó

là hàm lồi dưới Điều ngược lại không đúng

Xét các trường hợp tới hạn của hàm r-lồi (nghĩa là r → +∞ và r → −∞)

Ta đã biết rằng:

lim

r→+∞Mr(w1, , wm; q) ≡ M∞(w1, , wm) = max(w1, , wm).lim

r→−∞Mr(w1, , wm; q) ≡ M−∞(w1, , wm) = min(w1, , wm)

Điều này tương đương với f là hàm tựa lõm.

Hàm (−∞)-lồi trên C khi và chỉ khi f(x) ≡ c, c là hằng số

Như vậy hàm hằng là hàm r-lồi với mọi r ∈ [−∞, +∞].

Định lí 1.18 ([5], Theorem 3.3, p 314) Mọi hàm r-lồi (r-lõm) xác định trên

tập lồi C là hàm tựa lồi (tựa lõm) trên C.

Như vậy, khái niệm r-lồi và tính chất sắp thứ tự dẫn tới khái niệm tựa lồi vàtựa lõm một cách tự nhiên

Ta biết rằng có những hàm tựa lồi nhưng không là hàm lồi Tương tự, cónhững hàm tựa lồi nhưng không là hàm r-lồi với mọi r ∈ R

Ví dụ 1.3 ([5], p 314) Xét hàm tựa lồi f xác định trên R cho bởi công thức

Định nghĩa 1.16 ([5], p 320) Hàm thực φ khả vi được gọi là hàm giả lồi

(pseudoconvex) trên tập lồi C nếu với mỗi x1 ∈ C, x2 ∈ C

x2 − x1
T

∇φ x1
≥ 0 suy ra φ x2
≥ φ x1

Tương tự hàm thực φ khả vi được gọi là hàm giả lõm (pseudoconcave) trên

tập lồi C nếu với mỗi x1, x2 ∈ C

x2 − x1
T

∇φ x1
≤ 0 suy ra φ x2
≤ φ x1

Định lí 1.19 ([5], Theorem 6.1, p 320) Cho r ∈ R và φ là hàm r-lồi (r-lõm)

khả vi trên tập lồi C ⊂ Rn Khi đó, φ là hàm giả lồi (giả lõm) trên C.

φ x2
≥ φ x1
Vậy φ là hàm giả lồi.

Với r ≤ 0 và hàm r-lồi cũng là hàm s-lồi với mỗi s > 0 và theo lý luận trên

nó là giả lồi

Tương tự chứng minh hàm φ giả lõm

Ta chỉ ra rằng một hàm r-lồi là tựa lồi và khi nó là khả vi thì nó là giả lồi.Bây giờ ta quan tâm tới câu hỏi ngược lại: Cho hàm tựa lồi, hỏi điều kiện

gì thì tồn tại một số r hữu hạn sao cho nó là hàm r-lồi Đối với hàm hai lầnkhả vi τ = φ(x), Fenchel đã đặt câu hỏi: F (τ) hai lần khả vi tăng chặt thì

f (x) = F (φ(x))là lồi Ta sẽ chỉ ra rằng thực chất bài toán ở đây cũng là mởrộng nhưng đòi hỏi điều kiện φ là hàm r-lồi Bổ đề sau rất có ích cho nhữngnghiên cứu tiếp theo

Bổ đề 1.2 ([5], Lema 6.2, p 321) Cho φ là hàm tựa lồi (tựa lõm) khả vi

liên tục hai lần trên tập mở C ⊂ Rn Nếu x0 ∈ C và ˜zT∇φ(x0) = 0 đối với

Với mọi ˜z, chọn ˜x = x0 + µ˜z với 0 < µ < ε nên ta có

˜

x − x0
T∇2φ (1 − λ)x0 + λ˜x
x − x˜ 0
< 0, 0 ≤ λ ≤ 1

Do đó, theo định lý Taylor

φ(˜x) < φ(x0) (1.31)Giả sử ˆx = x0 + µ(−˜z), lý luận tương tự ta có

Hệ quả 1.2 ([5], Corollary 6.3, p 321) Cho φ là hàm tựa lồi (tựa lõm) khả

vi liên tục hai lần trên tập mở C ⊂ Rn Nếu x0 ∈ C và φ(x0) = 0 thì với

mọi z ∈ Rn ta có

zT∇2φ(x0)z ≥ 0 zT∇2φ(x0)z ≤ 0
(1.33)

Định lí 1.20 ([5], Theorem 6.3, p 321) Cho φ là hàm tựa lồi khả vi liên tục

hai lần trên tập mở C ⊂ Rn Nếu tồn tại r∗ ∈ R sao cho

r∗ = sup

x∈C kzk=1

−zT∇2φ(x)z[zT∇φ(x)]2 (1.34)

T∇2φ(x)z[zT∇φ(x)]2

Định lí 1.21 Cho φ là hàm tựa lõm khả vi liên tục hai lần trên tập mở

C ⊂ Rn Nếu tồn tại r∗ ∈ R sao cho

r∗ = inf

x∈C kzk=1

−zT∇2φ(x)z[zT∇φ(x)]2 (1.35)

Do đó φ1(x) = log x là hàm 1-lồi Do r∗ = inf

x>0

−φ00(x)[φ0(x)]2 = 1 nên

φ1(x) = log x

−6x(3x2)2 = sup

x6=0

−23x3 = +∞ khi

x −→ 0−

Do đó không tồn tại r < +∞ sao cho φ2 trở thành hàm r-lồi

Tương tự, không tồn tại r > −∞ sao cho φ2 trở thành hàm r-lõm

Kết luận chương:

Toàn bộ Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản cần thiết như khái niệmtập lồi, khái niệm hàm lồi, khái niệm tập r-lồi, khái niệm hàm r-lồi, tínhchất của hàm lồi và tính chất của hàm r-lồi, quan hệ giữa hàm r-lồi với cáchàm lồi suy rộng khác Một số ví dụ được đưa ra nhằm minh họa và khắcsâu cho các khái niệm và kết quả đã trình bày Thông qua đó nhằm phục vụcho việc tìm hiểu các bài toán tối ưu trong Chương 2

Chương 2

Bài toán tối ưu với hàm r-lồi

Phần này trình bày khái niệm và kết quả cơ bản của bài toán tối ưu tổngquát, tối ưu lồi, các điều kiện cần và điều kiện đủ của tối ưu có ràng buộc,đặc biệt là điều kiện Karush-Kuhn-Tucker Từ đó mở rộng xét bài toán tối

ưu r-lồi, sử dụng khái niệm và các kết quả của Chương 1 vào xây dựngthuật toán giải bài toán tối ưu r-lồi và r-lồi Lipschitz địa phương Đồng thờixây dựng điều kiện Karush-Kuhn-Tucker cho hàm r-lồi, r-lồi Lipschitz địaphương Trong chương này còn trình bày ví dụ cụ thể minh họa cho bài toántối ưu

2.1 Bài toán tối ưu tổng quát

Người ta cũng thường kí hiệu bài toán (P1) dưới dạng min {f(x)| x ∈ D}hoặc min

x∈D f (x)hoặc f(x) → min với x ∈ D

Tương tự bài toán (P2) cũng thường phát biểu dưới dạng max {f(x)| x ∈ D}hoặc max

x∈D f (x)hoặc f(x) → max với x ∈ D

Ở đây D ⊆ Rn được gọi là tập ràng buộc.

Hàm f : D → R được gọi là hàm mục tiêu.

Mỗi điểm x ∈ D được gọi là một điểm chấp nhận được.

Nếu D = Rn thì ta nói (P1) là bài toán tối ưu không ràng buộc.

Nếu D ⊂ Rn thì ta nói (P1) là bài toán tối ưu có ràng buộc Trong các bài

toán tối ưu có ràng buộc, tập D thường được cho dưới dạng

D = {x ∈ Rn| gi(x) ≤ 0, i = 1, 2, , m, hj(x) = 0, j = 1, 2, , p}

(2.1)trong đó gi(x), i = 1, 2, , m, hj(x), j = 1, 2, , plà các hàm thực xác địnhtrên tập cho trước A ⊃ D ( A ⊆ Rn)

Ta gọi gi(x), i = 1, 2, , m, hj(x), j = 1, 2, , plà các hàm ràng buộc.

Mỗi hệ thức gi(x) ≤ 0 (i = 1, 2, , m)là ràng buộc bất đẳng thức , hj(x) =

0 (j = 1, 2, , p) là ràng buộc đẳng thức của bài toán.

Chỉ số i ∈ 1, , m sao cho gi(x) = 0được gọi là chỉ số tích cực hay chỉ số

hoạt tại x

Tập I(x) ⊆ {i = 1, , m : gi(x) = 0}, được gọi là tập chỉ số hoạt tại x.

Nếu gi, hj là các hàm bất kỳ thì ta có bài toán tối ưu phi tuyến (nonlinear

optimzation problem);

Nếu f, gi là các hàm lồi và không có ràng buộc đẳng thức thì ta có bài toán

quy hoạch lồi (convex programming);

Nếu f, gi là các hàm vừa lồi vừa khả vi ta có bài toán quy hoạch lồi khả vi;

Nếu f, gi, hj là các hàm khả vi ta có bài toán tối ưu trơn;