ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN LÂM HÀ VAI TRÒ CỦA TÍNH LỒI TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN LÂM[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN LÂM HÀ VAI TRỊ CỦA TÍNH LỒI TRONG BÀI TỐN TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN LÂM HÀ VAI TRỊ CỦA TÍNH LỒI TRONG BÀI TOÁN TỐI ƯU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUN – 2015 i Mưc lưc Líi c£m ìn ii Mð ¦u Chữỡng Têp lỗi v hm lỗi 1.1 ành ngh¾a v tẵnh chĐt cừa têp lỗi 1.1.1 nh nghắa v tẵnh chĐt 1.1.2 CĂc nh lỵ tĂch 1.2 nh nghắa v tẵnh chĐt cừa hm lỗi 1.2.1 Hm lỗi 1.2.2 C¡c tẵnh chĐt 10 1.3 CĂc nh lỵ cỡ bÊn và dữợi vi phƠn hm lỗi 14 2.1 B i to¡n tèi ữu lỗi 16 2.1.1 B i to¡n tèi ÷u hâa ìn mưc ti¶u 16 2.1.2 V½ dư 17 2.2 i·u ki»n c¦n v õ cho b i toĂn tối ữu lỗi 18 2.3 Thuêt toĂn chiáu dữợi Ôo hm 29 2.3.1 Ph÷ìng phĂp chiáu dữợi Ôo hm 30 2.3.2 Thuêt toĂn chiáu dữợi Ôo hm 30 Chữỡng Vai trỏ cừa tẵnh lỗi bi toĂn tối ữu 16 Kát luªn 35 T i li»u tham kh£o 36 ii Lới cÊm ỡn Luên vôn ny ữủc hon thnh tÔi trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi Nguyản dữợi sỹ hữợng dăn cừa GS.TSKH Lả Dụng Mữu Tổi xin by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc ối vợi thƯy và sỹ tên tƠm v nhiằt tẳnh hữợng dăn, cung cĐp ti liằu, truyÃn Ôt nhỳng kinh nghiằm và mt nghiản cựu suốt quĂ trẳnh tĂc giÊ thỹc hiằn luên vôn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu, o tÔo Khoa hồc, Khoa ToĂn - tin trữớng Ôi hồc Khoa hồc, Ôi hồc ThĂi nguyản cĂc thƯy, cổ giĂo tham gia giÊng dÔy cao hồc khõa 2013 - 2015  quan tƠm v giúp ù suốt thới gian hồc têp tÔi trữớng Cuối cũng, tổi xin gỷi lới cÊm ỡn tợi gia ẳnh, bÔn b, lÂnh Ôo trữớng THPT Hũng An, Bưc Quang, H Giang v cĂc bÔn ỗng nghiằp  giúp ù tÔo iÃu kiằn cho tổi hồc têp v nghiản cựu Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, thĂng 06 nôm 2015 Hồc viản Nguyạn LƠm H M Ưu Trong thới Ôi ngy nay, toĂn håc ng y c ng câ nhi·u ùng dưng ð c¡c l¾nh vüc kh¡c cõa íi sèng x¢ hëi °c bi»t, lỵ thuyát và cĂc têp lỗi v hm lỗi cõ mởt v trẵ quan trồng toĂn hồc, liản quan án hƯu hát cĂc ngnh nhữ giÊi tẵch lỗi, tối ữu hõa, giÊi tẵch hm, hẳnh hồc, toĂn kinh tá, Mởt cĂch tờng quĂt, cĂc hm lỗi vợi mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn ữủc sỷ dửng rởng rÂi toĂn hồc lỵ thuyát cụng nhữ toĂn håc ùng dưng Trong nhi·u v§n · ùng dưng ta thữớng gp cĂc bi toĂn tối ữu lỗi, tẵnh chĐt bi toĂn tối ữu lỗi, iÃu kiằn cƯn v ừ cho bi toĂn tối ữu lỗi, cụng nhữ vai trỏ cừa tẵnh lỗi bi toĂn tối ữu, nhỳng dÔng toĂn trản cõ nhỳng tẵnh chĐt cỡ bÊn rĐt khĂc Tuy nhiản tẵnh lỗi ko theo nhỳng c thũ riảng cho mội bi toĂn Dỹa trản cĂc tẵnh chĐt ny, ngữới ta  ữa ữủc nhỳng phữỡng phĂp giÊi quyát khĂc cho mội bi toĂn Nhơm mửc ẵch tẳm hiu và tẵnh lỗi bi toĂn tối ÷u to n di»n v logic hìn, tỉi ¢ chån · ti "Vai trỏ cừa tẵnh lỗi bi toĂn tối ữu" cho luên vôn cừa mẳnh Luên vôn bao gỗm phƯn m Ưu, hai chữỡng nởi dung, phƯn kát luên v danh mửc ti liằu tham khÊo Chữỡng Luên vôn trẳnh by cĂc kián thực cỡ bÊn và giÊi tẵch lỗi: nh nghắa têp lỗi, hm lỗi, cĂc tẵnh chĐt cừa hm lỗi, dữợi vi phƠn cừa hm lỗi, iáu kiằn cƯn v ừ cho bi toĂn tối ữu lỗi, bi toĂn tối ữu lỗi nhữ cĐu trúc têp nghiằm, cho phữỡng phĂp chiáu Ôo hm v dữợi Ôo hm, giÊi bi toĂn tối ữu lỗi Chữỡng Giợi thiằu và bi toĂn tối ữu lỗi, iÃu kiằn cƯn v ừ cho bi toĂn tối ữu lỗi v c biằt l giợi thiằu thuêt toĂn chiáu dữợi Ôo hm cho bi toĂn khÊ vi v thuêt toĂn chiáu dữợi Ôo hm cho bi toĂn tối ữu lỗi khổng khÊ vi, ThĂi Nguyản, thĂng 06 nôm 2015 Nguyạn LƠm H Hồc viản Cao hồc ToĂn K7A Chuyản ngnh ToĂn ựng dửng Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản Email: anhthubonghg@gmail.com Chữỡng Têp lỗi v hm lỗi Trong luên vôn ny, s lm viằc vợi khổng gian Euclide n chiÃu trản trữớng số thỹc R, kẵ hiằu l Rn Chữỡng trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn nhĐt và têp lỗi v hm lỗi vợi mởt số tẵnh chĐt c trững cừa nõ s ữủc sỷ dửng luên vôn Nởi dung cừa chữỡng ữủc trẵch dăn chừ y¸u tø t i li»u tham kh£o [1] v [2] 1.1 nh nghắa v tẵnh chĐt cừa têp lỗi 1.1.1 nh nghắa v tẵnh chĐt nh nghắa 1.1 Cho A X , x1, x2 A (i) oÔn thng nối hai im x1, x2 cõ dÔng {x X : x = αx1 + βx2 , α, β ∈ R, α + β = 1} (ii) ÷íng th¯ng i qua hai im x1, x2 ữủc nh nghắa {x R : x = αx1 + βx2 , α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} ành ngh¾a 1.2 Mởt têp A ữủc gồi l affine náu A chùa måi ÷íng th¯ng i qua hai iºm x1, x2 bĐt kẳ thuởc A, tực l: x1 , x2 A, ∀λ ∈ R th¼ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A ành ngh¾a 1.3 Gi£ sû a ∈ Rn l mët vectì kh¡c v α ∈ R Khi â: l nûa khỉng gian âng • {x : aT x > α} l nûa khæng gian mð ành nghắa 1.4 Têp A X ữủc gồi l lỗi náu ã {x : aT x } x1 , x2 ∈ A, ∀λ ∈ R : ≤ λ ≤ th¼ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A Vẵ dử 1.1 (i) Têp X v l cĂc têp lỗi (ii) CĂc nỷa khổng gian R2 v R3 l cĂc têp lỗi (iii) CĂc hẳnh trỏn mt phng, hẳnh cƯu ỡn v khổng gian Banach, hẳnh cƯu khổng gian Hillbert l cĂc têp lỗi Mằnh à 1.1 Têp lỗi l õng vợi php giao, php cởng, php nhƠn vợi mởt số thỹc, tực l, náu C v D l hai têp lỗi Rn th¼ C ∩ D, λC + βD cơng l c¡c têp lỗi nh lẵ 1.1 Giao cừa mởt hồ tũy ỵ cĂc têp lỗi Rn l mởt têp lỗi Rn Chùng minh Gi£ sû Aα ∈ Rn(α ∈ I) l cĂc têp lỗi vợi I l têp ch số A = I A l lỗi LĐy tũy ỵ x1 , x2 ∈ A Khi â, x1 , x2 ∈ Aα , vỵi ∀α ∈ I Do Aα l lỗi cho nản x1 + (1 )x2 Aα vỵi ∀λ ∈ [0, 1] → λx1 + (1 )x2 A Vẳ vêy, A l têp lỗi bĐt kẳ, ta cƯn chựng minh têp nh lẵ 1.2 GiÊ sỷ Ai lỗi; i R(i = 1, 2, , m) Khi â, λ1 A1 + λ2 A2 + + λm Am l lỗi nh nghắa 1.5 Vectỡ x Rn ữủc gồi l tờ hủp lỗi cừa cĂc vectỡ x1 , x2 , , xm ∈ Rn n¸u ⊂ Rn ∃λi ≥ 0, i = 1, 2, , m, m X i=1 λi = : x = m X i=1 λi xi ành lẵ 1.3 Têp A Rn l lỗi v ch nõ chựa mồi tờ hủp lỗi cừa cĂc vectỡ cừa nõ, tực l A Rn lỗi v ch¿ ∀m ∈ N, ∀λ1 , , λm ≥ : m X λi = 1, ∀x1 , , xm ∈ A → i=1 m X λi xi ∈ A i=1 Chùng minh Chån m = 2, hiºn nhiºn óng A l têp lỗi, ta lĐy tũy ỵ x1 , , xm ∈ m P λi = 1; x = Ta chùng minh x ∈ A Ta chùng minh quy nÔp GiÊ sỷ A; , , λm ≥ m P v i=1 i=1 m = : x1 ∈ A; λ1 = → x ∈ A m = : x1 , x2 ∈ A; λ1 + λ2 = m A Gi£ sû x ∈ A óng vỵi m − 1, ta câ m X λi xi ∈ A; ∀xi ∈ A; i=1 X²t x= m P Vỵi Vỵi Vỵi x = λ1 x1 + λ2 x2 ∈ A λi = 1; λi ≥ 0; i ∈ N i=1 λi xi = i=1 m X lỗi suy m1 P i xi + λm xm i=1 λm = → x ∈ A λm = → λ1 = = λm−1 = → x = xm ∈ A < λ < 1, ta câ: − λm = λ1 + + λm−1 > 0, λi ≥ 0(i = 1, , m − 1) − λm m−1 P λi = n¶n i=1 − λm y ∈ A v xm ∈ A, ta câ V¼ − λm > v theo giÊ thiát quy nÔp y = m−1 P xi ∈ A Vỵi i=1 (1 − λm ) + λm = → x = (1 − λm )y + λm xm ∈ A ành ngh¾a 1.6 ChiÃu cừa mởt têp lỗi A ữủc cho bi chiÃu cừa a tÔp affine nhọ nhĐt chựa A (khổng gian song song vợi A), ữủc kẵ hiằu l dimA a tÔp affine ny ữủc gồi l bao affine cừa A, ữủc kẵ hiằu af f A nh nghắa 1.7 im x0 cừa têp lỗi A Rn ữủc gồi l im tữỡng ối cừa A náu vỵi måi x ∈ af f A câ mët sè λ > cho x0 + λ(x − x0 ) A PhƯn tữỡng ối cừa A l têp cĂc im tữỡng ối cừa A, ữủc kẵ hiằu riA nh nghắa 1.8 Têp A Rn ữủc gåi l nân n¸u: ∀a ∈ A, ∀λ > thẳ x A Nõn A ữủc gồi l nõn nhồn náu nõ khổng chựa ữớng thng Nõn A ữủc gồi l nõn lỗi náu A l têp lỗi Náu A l mởt têp lỗi a diằn thẳ ta nõi nõn sinh bi A l nõn lỗi a diằn Mởt vẵ dử quan trồng và nõn lỗi Rn l nân orthant d÷ìng Rn+ = {(x1 , x2 , , xn ) : xi ≥ 0, i = 1, 2, , n} ành ngh¾a 1.9 GiÊ sỷ A Rn l têp lỗi v x0 ∈ A Tªp NA (x0 ) = {x∗ ∈ Rn : hx∗ , x − x0 i ≤ 0, x A}, ữủc gồi l nõn phĂp tuyán cừa A tÔi x0 Hin nhiản, NA(x0) nản ta cõ NA(x0) l nõn lỗi õng 1.1.2 CĂc nh lỵ tĂch CĂc nh lỵ tĂch têp lỗi l mởt nhúng nëi dung cì b£n v quan trång nh§t cõa giÊi tẵch lỗi nh nghắa 1.10 Siảu phng khổng gian Rn l têp tĐt cÊ cĂc im cõ dÔng {x ∈ Rn : aT x = α}, â, a ∈ Rn l vectì kh¡c v α ∈ R nh nghắa 1.11 Têp cõ dÔng {x Rn : ha, xi ≥ α}, ÷đc gåi l nûa khỉng gian âng, â a 6= v α ∈ R ... HỌC NGUYỄN LÂM HÀ VAI TRỊ CỦA TÍNH LỒI TRONG BÀI TỐN TỐI ƯU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUN – 2015... ựng dửng Trong nhiÃu vĐn à ựng dửng ta thữớng gp cĂc bi toĂn tối ữu lỗi, tẵnh chĐt bi toĂn tối ữu lỗi, iÃu kiằn cƯn v ừ cho bi toĂn tối ữu lỗi, cụng nhữ vai trỏ cừa tẵnh lỗi bi toĂn tối ữu,... tẳm hiu và tẵnh lỗi bi toĂn tối ữu ton di»n v logic hìn, tỉi ¢ chån · t i "Vai trỏ cừa tẵnh lỗi bi toĂn tối ữu" cho luên vôn cừa mẳnh Luên vôn bao gỗm phƯn m Ưu, hai chữỡng nởi dung, phƯn