Xét bài toán tối ưu hóa cơ bản đối với một số ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức
PI : minf0(x) với điều kiện
fs(x) ≤ 0, s ∈ S ft(x) = 0, t ∈ T,
trong đóS vàT là các tập tùy ý. Ta lại sử dụng các đại lượngτs = 1, s ∈ S
và τt ∈ {−1,1}, t ∈ T để đơn giản hóa kí hiệu.
Định lý 2.18. Cho X là không gian Banach phản xạ, fs là l.s.c. với mọi s ∈ S, ft liên tục với mọi t ∈ T. Giả sử x là nghiệm địa phương của PI. Giả sử rằng lim inf
x→x d(D−fs(x),0) > 0 với s ∈ S và lim inf
x→x d(D−ft(x)∪D−(−f)(x),0) > 0 với t ∈ T. Khi đó với mọi ε > 0, mọi lân cận yếu∗ U của 0 trong X∗ đều tồn tại các tập hữu hạn Sε,U ∈ S
và Tε,U ∈ T sao cho
(xi, fi(xi)) ∈ (x, fi(x)) +εBX×R, i∈ Sε,U ∪Tε,U và
0∈ D−f0(x0) + X
i∈Sε,U∪Tε,U
µiD−(τifi) (xi) +U,
trong đó µi ≥ 0, i ∈ Sε,U ∪Tε,U không đồng thời bằng không.
Chứng minh. Trước hết ta đưa bài toán này về bài toán có hữu hạn ràng buộc. Không mất tính tổng quát, ta giả sử εBX∗ ⊂ U. Gọi L là
không gian con hữu hạn chiều của X sao cho L⊥ ⊂ 13U. Để ý rằng, nếu
x là một nghiệm của PI thì nó cũng là nghiệm của bài toán PI với f0
thay bởi f = f0 +δK, trong đó K := x+L∩BX. Do đó,
{x :f(x) ≤ f0(x)−ε2}\[∩s∈S{x : fs(x) ≤ bs}]\[∩t∈T{x: ft(x) = bt}] = ∅.
Vì f có các tập mức compact nên tồn tại hữu hạn tập Sε,U ∈ S và
Tε,U ∈ T (những tập này phụ thuộc vào ε và L, do đó phụ thuộc U) sao cho
{x :f(x) ≤ f0(x)−ε2}
T
[∩s∈Sε,U{x : fs(x) ≤ bs}]T
[∩t∈Tε,U{x :ft(x) = bt}] = ∅.
Bằng cách bỏ đi một số phần tử từ Sε,U nếu cần thiết, ta có thể giả sử
fs(x) = bsvới mọis ∈ Sε,U.ĐặtC := [∩s∈Sε,U{x : fs(x) ≤ bs}]T
[∩t∈Tε,U{x :
ft(x) =bt}]. Khi đó
f(x) < inf
C f +ε2.
Chọn ε0 < ε/2 sao cho fs(x) − ε/2 < fs(x) với mọi x ∈ x + ε0BX và
s ∈ Sε,U ∪ {0} và |ft(x)−ft(x)| < ε/2 với mọi x ∈ x+ε0BX và t ∈ Tε,U.
Theo nguyên lý biến phân trơn, Định lý 1.23, tồn tại xε ∈ x +ε0BX và
C1−hàm g với k∇g(xε)k < ε/3 sao cho f + g +δC đạt min tại x = xε.
Nói cách khác, xε là nghiệm của bài toán tối ưu hóa sau: minf(x) + g(x)
với ràng buộc
fs(x) ≤bs, s ∈ Sε,U; ft(x) =bt, t ∈ Tε,U.
Áp dụng quy tắc nhân tử hóa mờ, Định lý 2.3, tồn tại
cho k∇g(y0)k < ε/3 và 0 ∈ D−f(y0) +∇g(y0) + X i∈Sε,U∪Tε,U µiD−(τifi)(xi) + 1 3U,
trong đó µi ≥ 0, i ∈ Sε,U ∪Tε,U không đồng thời bằng không. Do xε ∈ C
nên ta có fs(x)−ε/2 < fs(xε) ≤bs = fs(x).
Vậy (xi, fi(xi)) ∈ (x, fi(x)) + εBX×R, i ∈ Sε,U ∪ Tε,U. Áp dụng quy tắc tổng mờ yếu trong Định lý 1.31 đối với f ta có
D−f(y0) ⊂ D−f0(x0) + 1 3U,
trong đóx0 là điểm có thể chọn sao cho(x0, f0(x0)) rất gần với(y0, f0(y0)) để (x0, f0(x0)) ∈ (xε, f0(xε)) +ε0BX×R ⊂ (x, f0(x)) +εBX×R. Khi đó 0∈ D−f(x0) + 1 3U +∇g(y0) + X i∈Sε,U∪Tε,U µiD−(τifi)(xi) + 1 3U ⊂ D−f(x0) + X i∈Sε,U∪Tε,U µiD−(τifi)(xi) +U. 2.2.4. Ứng dụng
Trong mục này chúng ta tìm hiểu ứng dụng của quy tắc nhân tử hóa mờ của bài toán cực tiểu với vô hạn ràng buộc trong nghiên cứu dưới vi phân của hàm “sup”. Cụ thể, cho f(x) := sup{fs(x) : s ∈ S}. Khi đó, nếu f đạt cực tiểu địa phương tại x thì (x, f (x)) là một nghiệm địa phương của bài toán tối ưu có ràng buộc:
với điều kiện
fs(x)−y ≤ 0, s∈ S.
Từ đây và quy tắc nhân tử hóa mờ trong Định lý 2.3 ta có công thức dưới vi phân cho hàm sup.
Định lý 2.19 (Dưới vi phân của hàm sup, [6], Định lý 3.18). Cho fs :
X → R, s ∈ S là các hàm l.s.c., f(x) := sup{fs(x) : s ∈ S}. Giả sử f
đạt cực tiểu địa phương tại x. Khi đó với mọi ε > 0, mọi lân cận yếu∗
U của 0 trong X∗ đều tồn tại một tập con hữu hạn Sε,U của S, các số không âm µs và xs ∈ x+εBX, s ∈ Sε,U sao cho
0∈ X i∈Sε,u µsD−(fs) (xs) +U và X i∈Sε,u µs−1 < ε.
Kết luận
Trong Luận văn này, chúng tôi đã tìm hiểu và trình bày một cách hệ thống một số nội dung chính sau:
-Dưới vi phân Fréchet của hàm nửa liên tục dưới trên không gian Banach với chuẩn trơn Fréchet.
-Quy tắc tổng mờ địa phương: quy tắc cho phép chúng ta đánh giá cỡ của dưới vi phân Fréchet của tổng hai hàm nửa liên tục dưới.
-Bài toán tối ưu có (hữu hạn và vô hạn) ràng buộc với dữ kiện nói chung chỉ nửa liên tục dưới.
-Quy tắc nhân tử hóa mờ của bài toán tối ưu có ràng buộc và ứng dụng trong việc tìm quy tắc dây chuyền mờ, quy tắc tích mờ, quy tắc thương mờ và quy tắc liên quan đến dưới vi phân của hàm sup.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, NXB Khoa học và kỹ thuật Hà Nội.
[2] Phạm Phúc Long (2010), Về nguyên lý nhân tử Lagrange, Luận văn Thạc sỹ Toán học, ĐHSP-Đại học Thái Nguyên.
[3] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, NXB ĐHQG Hà Nội.
[4] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[5] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên và công nghệ.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[6] J. M. Borwein and Q. J. Zhu (1999), A survey of subdifferential calculus with applications, Journal nonlinear analysis, Vol. 38, p. 687-773.
[7] J. M. Borwein, J. S. Treiman and Q. J. Zhu (), Necessary conditions for constrained optimization problems with semicontinuous and con- tinuous data, Transactions of the American Mathematical Society Vol. 350, No. 6 (Jun., 1998), pp. 2409-2429.
[8] H. Brezis (2011), Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer.
[9] R. Deville, G. Godefroy and V. Zizler (1993), Smoothness and renormings in Banach spaces, Longman Scientific Technical.
[10] A. Ya. Kruger (2003), On Frechet subdifferentials, Journal of Math- ematical Sciences 9, pp. 3325-3358.
[11] R. T. Rockafellar (1993),Lagrange multipliers and optimality, SIAM review, Vol. 35, No. 2, pp. 183-238.
[12] R. T. Rockafellar and R. J-B. Wets (1998), Variational analysis, Springer, Berlin - Heidelberg.