Quy tắc nhân tử hóa mờ và ứng dụng 2.1.Bài toán tối ưu
2.2. Quy tắc nhân tử hóa mờ và ứng dụng
Trong mục vừa rồi chúng ta đã thấy, đối với bài toán hữu hạn chiều trơn thì phương pháp nhân tử hóa Lagrange và điều kiện Karush - Kuhn
- Tucker là những điều kiện cần quan trọng, vấn đề đặt ra là khi các dữ kiện không trơn thì có điều kiện nào thay thế cho các điều kiện cần đó? D ư ớ i đây là một cách mở rộng các điều kiện đó nhờ d ư ớ i vi phân và lập luận biến phân. Giải tích biến phân cho phép ta đưa ra các giả thiết tối thiểu về dữ kiện đó là: tính l.s.c. đối với các ràng buộc bất đẳng thức, tính liên tục đối với các ràng buộc đẳng thức, tính đóng đối với tập chấp nhận được và do đó dẫn ra điều kiện rất tổng quát. Trong mục này ta giả thiết X là không gian Banach phản xạ.
2.2.1. Bài toán cực tiểu với hữu hạn ràng buộc
Cho c c X, FI : X —>■ R, Ỉ = 0,1,N. Xét bài toán tối ưu hóa sau:
9 : min /o (z)
với điều kiện:
/
/ . w <0, i = l,2,...,M
' h(x) = ữ, i = M + l,...,N xeC.
<
Như thường lệ, các nhân tử tương ứng với các ràng buộc bất đẳng thức là không âm, các nhân tử tương ứng với các ràng buộc đẳng thức thì không có điều kiện gì. Để đơn giản hóa kí hiệu ta đưa vào các đại lượng TI, ỉ = 0, N . Trong đó các
T ị ứng với các ràng buộc bất đẳng thức và hàm mục tiêu luôn bằng 1, tức là TỊ = 1 ,Vi = 0,M (chúng tương ứng với các nhân tử không âm), các Tj ứng với các ràng
buộc đẳng thức hoặc bằng 1 hoặc bằng — 1 (ứng với các nhân tử có dấu bất kỳ), tức là
T Ị e {1,—1},Ĩ — M + 1,N.
Định lý 2.3 (Quy tắc nhân tử hóa mờ, [6J, Định lý 3.1). CHO c LÀ MỘT tập con đóng của X, fi là các hàm l.s.c. vôi i = 0 ,M, fi liên tục với i = M + ĩ, N, X là một nghiệm địa phương của 0 5 . Giả sử
lim inf D (D FI (X ), 0) > 0, I = 1 , M,
^ (2.5)
lim inf D (D~ FI (X ) u D~ (—/ị) ( x ) , 0 ) > 0 , Ỉ = M + 1 , N X — ¥ X
Khi đó với mọi £ > 0, mọi lăn cận yếu V của 0 trong X*, đều tồn tại ( X i , f i ( X ị ) ) G ( x , f i ( x ) ) + e B x x R i i = 0 , N v à XN+1 € X + e B x s a o c h o
N
0 e D~FO (x0) + ^ Ị D + N ^+0 + V i= 1
trong đó Ịiị > ũ,ỉ = l,iViV ( C , X f f + i ) ỉà nón pháp của tập c tại điểm X N + 1 -
Nhận xét 2.4. (a) Dễ thấy là nếu /o là c1 thì có thể thay D ~/o (x0) trong kết luận
bởi v/o (X).
(6) Các điều kiện (2.5) được coi là các “hạn chế ràng buộc” để bắt hệ số của D~ /O = 1. Các ràng buộc đó là không cần thiết nếu ta không cố gắng cho hệ số của D ~/o khác không. Thật vậy, nếu ràng buộc đó không đúng đối với một FỊ nào đó thì ta có thể gán n h â n tử tương ứng với FI đó bằng 1 còn các nhân tử khác bằng không. Khi đó ta có quy tắc nhân tử sau:
Định lý 2.5 ([6J, Định lý 3.3). Cho X là không gian Banach phản xạ,
