Bài toán biên thứ hai đối với phương trình monge ampere elliptic

Mở đầu Phương trình Monge-Ampere loại elliptic khơng gian Rn có dạng: det(uij ) = f ( x , u , Du) , x = ( x1 , x2 , , xn )∈ R n , u = u (x)là ẩn hàm, (*) ui = ux j j i x f (x, u , D ) hàm u số nhận giá trị dương cho trước Nghiệm cổ điển phương trình (*) hàm lồi u(x), thuộc lớp C Nhưng việc tìm lớp nghiệm cổ điển vấn đề khó Luận văn nghiên cứu lớp nghiệm suy rộng cho toán biên thứ hai phương trình (*) mà xét tồn khơng gian Rn dáng điệu nghiệm vô hạn cho trước Nghiệm dựa ứng dụng nguyên lý điểm bất động không gian hàm không tầm thường Luận văn chủ yếu dựa vào tài liệu Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equation tác giả Ilya J.Bakelman Bố cục luận văn chia làm chương: Chương 1: Bài toán biên thứ hai phương trình det( u ) = g( x ) ij R( Du ) Chương 2: Bài toán biên thứ hai cho phương trình tổng quát Trong chương ta xây dựng định lý tồn nghiệm toán = g ( x) biên thứ hai cho phương trình Monge-Ampere det(u ) ij tập R ( Du) nghiệm suy rộng lồi Điều kiện định lý điều kiện cần đủ Những kết thực có ý nghĩa dùng cho việc nghiên cứu tính giải tốn biên thứ hai cho phương trình Monge – Ampere tổng quát : det(uij ) = f ( x , u , Du) Chương nghiên cứu tỉ mỉ toán biên thứ hai cho phương trình Monge-Ampere tổng quát lớp nghiệm suy rộng lồi, cụ thể định lý tồn Học viên : Bùi Văn Toan -3- K19 Toán Gi¶i TÝch nghiệm tốn Trong phần trình bày có đưa số giả thiết nón lồi chấp nhận được, cơng thức ước lượng…Bên cạnh đó, ta xét với hàm lồi khơng bị chặn tồn khơng gian En nên ứng dụng nguyên lý điểm bất động yêu cầu xây dựng không gian hàm đặc biệt mà tốn biên thứ hai nghiên cứu chi tiết Luận văn thực trường Đại học Khoa học Tự nhiên hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Hà Tiến Ngoạn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán-Cơ-Tin học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 2009-2011 Toán giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặt dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 26 tháng 03 nm 2012 Tỏc gi Học viên : Bùi Văn Toan -4- K19 Toán Giải Tích Chng Bi toỏn biên thứ hai phương trình det(u ij ) = R(Du) g(x) 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1.1 Nón lồi, đa diện lồi Định nghĩa 1.1.1.1: [ ] t Một tập K ⊂ L gọi lồi ∀a, b ∈ K , ∀t ∈ 0;1⇒ x = (1 − t )a + tb ∈K Định nghĩa 1.1.1.2: Một tập lồi chứa hợp tia với đỉnh chung gọi nón lồi Đỉnh chung tất tia gọi đỉnh nón Định nghĩa 1.1.1.3: Một thể lồi F En+1 gọi (n+1)-khối đa diện lồi F giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Nếu khối đa diện F tập bị chặn En+1 biên ∂F chúng gọi khối đa diện lồi đóng Nếu F khối đa diện lồi hữu hạn ∂F gọi đa diện lồi hữu hạn Định lý 1.1.1.4 Mọi đa diện lồi bị chặn bao lồi đỉnh Hơn nữa, đa diện với đỉnh cho trước Định lý 1.1.1.5 Mọi khối đa diện lồi hữu hạn bao lồi đỉnh góc đa diện lồi tiệm cận đặt đỉnh Định lý 1.1.1.6 Cho M hệ hữu hạn điểm A1 , A2 , , Am En+1 Nếu có (n+2) điểm vị trí tổng qt M, P = C o M (n+1)-khối đa diện lồi bị chặn, đỉnh P điểm A1 , A2 , , Am Điểm Ai , ( i=1, 2,…, m) gốc P Ai không thuộc vào bao lồi tất điểm khác M Häc viên : Bùi Văn Toan -5- K19 Toán Giải TÝch Định lý 1.1.1.7 Cho A1 , A2 , , Am hệ điểm cho En+1 Khi tồn đa diện n-lồi đóng En+1 với đỉnh điểm A1 , A2 , , Am vị trí tổng qt điểm Ak khơng thuộc vào bao lồi điểm A1 , A2 , , Ak −1 , Ak +1 , , Am , (k=1,2,…,m) Hơn nữa, đa diện Định lý 1.1.1.8 Cho M hệ hữu hạn điểm En+1 , thỏa mãn điều kiện sau : i) có k+1 điểm vị trí tổng qt M ii) khơng có k+2 điểm vị trí tổng quát M , k = 0, 1, 2,…, n+1 Khi P = C o M khối đa diện k-lồi bị chặn đỉnh P điểm thuộc tập M Một điểm A ∈M gốc P A không thuộc bao lồi tất điểm khác tập M Định lý 1.1.1.9 Cho A1 , A2 , , Am hệ hữu hạn điểm, V góc đa diện (n+1)-lồi En+1 mà đỉnh điểm A1 , A2 , , Am Cho M = A1 ∪ A2 ∪ ∪ Am ∪V Khi P = C o M khối đa diện vô hạn (n+1) lồi En+1 , V góc tiệm cận P đỉnh P điểm Ak , (k =1, 2, , m) gốc P A1 , A2 , , Am Hơn nữa, điểm Ak không thuộc vào Co (A1 ∪ ∪ Ak −1 ∪ Ak +1 ∪ ∪ Am ∪V ) 1.1.2 Siêu mặt lồi hàm lồi Tập F gọi mặt lồi n-chiều (hoặc siêu mặt lồi) En F miền gồm biên thể lồi (n+1)-chiều H En+1 nghĩa F tập mở, liên thông ∂H tô pô ∂H cảm sinh En+1 Tương tự, với miền G chứa biên thể lồi (k+1)-chiều H gọi mặt lồi k chiều Nếu k=1 G gọi đường cong lồi F gọi chóp lồi n-chiều F siêu mặt lồi tha hai iu kin: Học viên : Bùi Văn Toan -6- K19 Toán Giải Tích i) F nm siêu phẳng P En+1 ii) F có phép chiếu trực giao 1-1 P Cho H tập lồi En+1 Q = ∂H siêu mặt lồi hoàn toàn Ta cố định đường L kí hiệu UL tập đường song song với L, qua tất điểm H Các đường nằm UL thỏa mãn ba khả đây: Mọi đường cắt Q điểm Mọi đường cắt Q hai điểm phân biệt Khơng đường cắt Q Ta kí hiệu F tập tất điểm giao ∂H với đường thẳng tập UL Trong trường hợp thứ F = ∅ Ta xét trường hợp thứ nhất: Cho L+ tia của đường L mà giao với Q Ta kí hiệu U +L tập gồm tia hướng với L+ xuất phát từ điểm H Khi F chứa tất điểm giao ∂H với tia tập U+L Cho P siêu phẳng trực giao với L Khi hình chiếu F P miền lồi, mở G Rõ ràng G hình chiếu tập IntH siêu phẳng P Cho x1 ,x2 , ,xn ,xn+1 = z tọa độ Đề En+1 cho siêu phẳng P có phương trình z = Rõ ràng F đồ thị hàm f (x1 , ,xn ) xác định G Bây ta chứng minh hàm f (x1 , ,xn ) liên tục G Cho X o điểm G dãy điểm X m ∈ G hội tụ đến X o Ta kí hiệu Yi (i = 0,1, 2, ) điểm F mà chiếu lên X i , thỏa mãn Yo = lim Ym Ta m→∞ thấy Ym bị chặn Do Ym ∈ ∂H , giới hạn dãy hội tụ dãy điểm Ym thuộc vào ∂H Hơn nữa, phải nằm tia tập U+L Rõ ràng thỏa mãn điều kiện Vì vậy, Y = lim Y o Học viên : Bùi Văn Toan -7- m→∞ m Yo điểm hàm f (x1 , ,xn ) liên tục K19 Toán Giải Tích G Do F l thị hàm liên tục f (x1 , ,xn ) xác định miền lồi, mở G F ⊂ ∂H , F siêu phẳng lồi Bây ta xét trường hợp thứ hai: Khi F phân tích thành hai thành phần Phần thứ gồm điểm giao ∂H với tia tập U+L , phần thứ hai gồm điểm giao ∂H với tia + xuất phát từ điểm H có hướng ngược với tia L Vì vậy, điểm A ∈∂H có lân cận U ⊂ ∂H mà chiếu tương ứng 1-1 lên siêu phẳng Cho W (G) tập siêu phẳng lồi En+1 mà chiếu trực giao tương ứng 1-1 lên miền lồi, mở G ⊂ P Cho x1 ,x2 , ,xn ,xn+1 = z tọa độ Đề En+1 cho siêu phẳng P có phương trình z = Khi siêu phẳng lồi F ∈W (G) xác định phương trình z = f (X ), X = ( x1 ,x2 , ,xn )∈G Ta kí hiệu (X ,z ) = ( x1 ,x2 , ,xn ,z )∈En+1 Rõ ràng X hình chiếu trực giao (X,z) lên siêu phẳng P Cho (X , f (X ))là điểm F Khi tồn siêu phẳng tựa Q qua điểm đó, X = ( x1 ,x2 , ,xn )∈G Nếu (X ,z ) = ( x1 ,x2 , ,xn ,z )∈Q , z ≤ f (X ) = f (x1 ,x2 , ,xn ) z ≥ f (X ) = f (x1 ,x2 , ,xn ) với X ∈G Trong trường hợp thứ nhất, hàm f (x1 ,x2 , ,xn ) gọi lồi, trường hợp thứ hai lõm , Với X X o [ hai điểm miền lồi G Khi đó, với t ∈ ] điểm 0,1 X t = (1− t )X o + tX ∈G cho zt = (1− t ) f (X o )+ tf (X1 ) Ta thu kết luận sau: ( ) [ ] bất đẳng thức : a) Nếu f X hàm lồi G, với t ∈ 0,1 , = f + tf  − ) o (X t ) ( ) f ( Xo ) ( X ) với X o X 1 t f  t X + tX  ≤ z = 1− t ( ∈G Học viên : Bùi Văn Toan -8- K19 Toán Giải Tích [ ] ( ) 0,1 ú bất đẳng thức : b) Nếu f X hàm lõm G, với t ∈ ) o ( ) f ( X o ) + tf ( X ) với X o , ∈G 1 = f ( Xt ) t f  − t X + tX  ≥ z = 1− t X  ( 1.1.3 Nón tiệm cận K A (M ) tập hợp điểm nằm tia xuất phát từ điểm Ta kí hiệu A ∈M chứa M Nếu khơng có tia ta đặt K A (M )= A Định lý 1.1.3.1 Nếu M tập lồi tập K A (M ) tập lồi Hơn nữa, K A (M )≠ A K A (M ) nón lồi Chứng minh : Cho B C điểm thuộc K M (A) Với ≤ t ≤ ; λ ≥ , ta λ ( X t − A) nằm chứng minh M, X t = (1− t )B + tC Cho ≤ t ≤ ; λ ≥ cố định Do B, C ∈ K M (A) ⇒λ ( B − A), λ ( C − A )∈M Do M tập lồi ( t ) (  − λ X − A =λ t )  ( ) ( B + tC − A  = 1− t  λ )  ( B−A + t  λ ) C−A  nên λ ( X t − A)∈M Định lý 1.1.3.2 Cho M tập lồi đóng En L A hai điểm phân biệt A, B tập M Nếu L A ⊂ M , L hai tia xuất phát từ B LA ↑↑ LB LB ⊂ M Chứng minh: Cho C điểm thuộc LA Do M tập lồi nên đoạn thẳng BC nằm M Với điểm X ∈ LB , X giới hạn dãy điểm nằm đoạn BCn , C n ∈ LA Do M tập đóng nên X ∈M Do LB M Học viên : Bùi Văn Toan -9- K19 Toán Giải Tích nh ngha : Nu M tập lồi, đóng En nón K B (M ) thu cách tịnh tiến song song nón K A (M ), A B hai điểm thuộc vào M Từ đó, nón K X (M ) gọi nón tiệm cận tập lồi đóng M, với X điểm M Nếu M tập lồi, đóng En chứa đường L M hình trụ sinh đường thẳng song song với L Định lý 1.1.3.3 Cho A điểm thuộc tập lồi đóng M Nếu K A (M )≠ A M tập bị chặn Chứng minh : Giả sử định lý khơng Khi tồn dãy điểm X n ∈ M cho độ dài đoạn thẳng AXn tăng vơ hạn Do ta chọn dãy từ dãy AXn mà hội tụ đến tia L M lồi ⇒ AXn ⊂ M Do M tập đóng ⇒ L ⊂ M , nghĩa K A (M ) chứa tia L Vô lý K A (M ) = A 1.1.4 Ánh xạ chuẩn tắc độ cong R hàm lồi 1.1.4.1 Một số kí hiệu Cho x1 , x2 , , x n , xn+1 tọa độ Đề không gian Ơclit (n+1)-chiều En+1 cho En siêu phẳng xn+1 = Ta kí hiệu x n+1 = z gọi x = (x1 , x2 , , xn ),  x , z ) = (x1 , x2 , , xn , z ) điểm thuộc E E n n+1 Cho G miền lồi mở, bị chặn En , ta kí hiệu S z đồ thị hàm z : G → R Cuối cùng, W+ (G) W− (G) lớp riêng biệt tất hàm lồi v Học viên : Bùi Văn Toan - 10 - K19 Toán Giải Tích hm lừm nh ngha trờn G Nếu z (x )∈W+ (G) z (x )∈W− (G) S z gọi siêu mặt lồi siêu mặt lõm 1.1.4.2 Ánh xạ chuẩn tắc ( p , p , , p ) Trước tiên ta giới thiệu không gian n-chiều R n = p = n với tích vơ hướng ( p , q ) = ∑ pi qi { kí hiệu i=1 p = ( p , q) 12 n } độ đài véc tơ p ∈ Rn Rn gọi khơng gian Gradient Bây cho z(x) hàm lồi xác định G, α siêu phẳng tựa tùy ý S z Nếu Z − zo = ( p o , X − x o ) = p1o (X − x1o )+ + pno (X − xno ) phương trình α , điểm (x o , z o )∈ Sz ∩ α Điểm p o = ( p1o , p2o , , pno )∈ Rn gọi ảnh chuẩn tắc siêu phẳng tựa α o kí hiệu p = χ z (α) Tập χ z (xo ) = α χ z (α) gọi ảnh chuẩn tắc điểm xo (chính xác ta gọi χz (xo ) ảnh chuẩn tắc điểm xo ứng với hàm z(x) ), kỳ G, α siêu phẳng S z điểm (xo , z ( xo ))∈Sz Rõ ràng χz (xo ) tập lồi Rn Nếu χz (xo ) chứa điểm siêu mặt lồi S z xo điểm bất có siêu phẳng tiếp xúc điểm (xo , z ( xo )), điểm (xo , z ( xo )) gọi trơn S z Ví dụ với hàm z(x) hàm lồi tuyến tính khúc, χz (xo ) khối đa diện lồi đóng khơng gian Gradient Rn , mà số chiều 0,1,2,…,n Bây cho e tập G Khi tập χ z (e ) = χz (xo ) gọi xo∈e ảnh chuẩn tắc e Chú ý χz (e) tập không gian Gradient Rn Học viên : Bùi Văn Toan - 11 - K19 Toán Giải Tích khụng õm vi mi x ∈ E n Cho z = k(x) phng trỡnh ca nún K Học viên : Bùi Văn Toan - 34 - K19 Toán Giải Tích Khi ua (x ) = u (x )+ a ≤ k (x )+ a, với x ∈ E n Từ Giả thiết 2.1.1.3 suy Fu (x ) ≤ φk (x, u (x ) + a ) ≤ φk (x, k (x ) + a), a với x ∈ E n giá trị thực a Từ điều kiệnu Định lý 2.1.2.1 ta suy : ∫E n ( ) a ∫E n k ( x, φ k x dx ≤ F ( ) ) [ k ] k x + a dx < +∞ , với a ∈ a ,b Từ Giả thiết 2.1.1.3 thiết lập bất đẳng thức : ua F ( ) ( ( ) x, x ≥ inf λ x, γ * k + a γ∈K ) n [a ,b ] k k với x ∈ aE ∈ với x ∈R Bây ta giới thệu hàm ψ (x ) = ∫En Fu a (x )dx , với a ∈[ak ,bk ] Từ ψ (x ) = ∫En f (x , u (x ) + a , Du (x ))dx , với Khi từ Giả thiết 2.1.1.2, 2.1.1.3 từ điều kiện Định lý 2.1.2.1 suy  (a) liên tục, ψ '(a) tồn [ak ,bk ] có bất đẳng thức ψ ( ak ) ≤ ∫En φk (x , k (x ) + ak )dx < meas K * , ( k) ∫ k( (x , ) k) ψ b ≤ inf λ x , γ + b dx > meas K * K* Từ : ψ ' (a ) = ∫En E (2.6) n ∂f (x , u (x ) + a , Du (x)) ∂u (2.7) dx > 0, Khi , từ (2.6), (2.7) suy tồn số a* ∈[ak ,bk ] cho  (a * ) = ∫E n F ua* (x )dx = meas K * Bây với nón tiệm cận cho trước K ta xét toán biên thứ hai phương trình: det (zij ) = Fu a* (x) (2.8) Từ tất điều kiện Định lý 2.1.2.1 thoả mãn, tốn biên có nghiệm suy rộng lồi z(x) thoả mãn điều kiện z θ ( ) = a * có K nón tiệm cận đồ thị Học viên : Bùi Văn Toan - 35 - K19 Toán Giải Tích Cho u (x ) = u a* (x ) − a * z (x ) = z (x ) − z (θ ) biểu diễn sở phần tử ξu ηx , ξu ηx phần tử tập lồi compact Tk Rõ ràng tốn biên thứ hai phương trình (2.8) nón lồi chấp nhận cho trước K sinh toán tử : G : Tk → Tk cho η x = G(ξu ) Trong phần cuối tiểu mục thiết lập tính liên tục tính compact tốn tử G tập lồi K Những điều cho phép áp dụng định lý Schauder điểm bất động với toán tử G : Tk → Tk Sự tồn Định lý 2.1.2.1 kết cuối nghiên cứu Bổ đề 2.3.1 Hàm a* : Tk → R hàm liên tục Chứng minh : Cho ξ phần tử Tk u (x )∈ A1 ⊂ A biểu diễn sở ξ Khi u(x) hàm lồi mà đồ thị chúng có K nón tiệm cận chúng, u θ ( ) = Số thực a* = a *(u) nghiệm phương trình ∫E n f (x , u (x ) + a , Du (x ))dx = meas K * (2.9) Ở chứng minh phương trình có nghiệm a* = a * (u )∈[ak ,bk ] Bây ta phải chứng minh a * (uq ) hội tụ tới a *(u) nếu: lim u q q→∞ − u A = ξ u ,ξu ∈Tk q Từ (2.9) suy rằng: ∫E n ( ) f (x , u (x ) + a * (u ), Du (x ))dx = ∫En f x , u q (x ) + a * (u q ), Du q (x ) dx = meas K * Như : Học viên : Bùi Văn Toan - 36 ( K19 Toán Giải Tích n E { ( u ) −u x ∑∫E i=1 vt n   ∂u q (x) − ∂x −a* u  i  ∫ }  ∂  u    u  ∂f   ∫ ∂u   0 i ∂x i   1∂f ( q) ) +a* x  ∂u (x) n =− ) q( dx v  t  (2.10) dt dx ,   vt (x ) = (1 − t )u q (x ) + tu (x ) + (1 − t )a * (u q )+ ta * (u ), ∂vt (x ) ∂u q (x) ∂u (x ) , ≤ t ≤ , i =1, 2, , n ∂x = (1 − t ) ∂x + t ∂x i i i ( ) không phụ thuộc vào x, từ (2.10) ta thu : Từ a *(u) a * uq ∫E n {  u (x ) − u a * (u ) − a * (uq ) = −  n  ∂f  n −    − ∂x  ∂f ∫E  ∫0 ∂u  ∫0  ∂f  dt dx ∂ u  i  dt dx n Từ   dt dx ∂u q (x)  ∂x  dt dx vt vt  ∂u    ∂u (x) ∂f  ∫E ∫0 ∂u ∫ E ∑ } ∫0 q (x )   vt  vt  ∂f dương liên tục E n × R × R × K * ( xem Giả thiết 2.1.1.2) ,đối với ∂ u tập compact Q E n × R × K * có số h(Q) > cho: ∂f (x, u , p) ∂u ≥ h (Q) > Với mục đích ta thế, ta cần xét tập compact Q0 = U1 × [δ1 , δ2 ]× K *, U1 hình cầu đơn vị x ≤1 En số δ , δ2 xác định điều kiện δ1 ≤ v1 (x) ≤ δ2 Giá trị hữu hạn δ , δ2 phụ thuộc vào u (x) , số a k ,bk N1 > A cho u q (x ) − u (x) ,  ∂f ∫E với q ≥ N1 n   ∫ ∂u  (2.11)   vt ∂f C0 ∂ Theo Giả thiết 2.1.1.2 ta có bất đẳng thức : < u ≤ x n+ +α , x ∈ E n , với với α = const > x ≥ m , u ∈ R, p ∈K *, m0 = const ≥1; Khơng tính tổng qt ta giả sử m0 số nguyên dương  lớn   −1 −1 2+α    Cho I = u ∫E n      ∂f dt dx ( x ) − u q ( x ) ∫0 ∂u v  , :  t    I≤ ∫ x  u (x ) − u q (x ) ≤m     +∫x >m Cho C = sup ∂f x ≤m0 ∂u v u (x ) − u q (x ) ∂f ∫0 ∂u ∫0 ∂f dt dx  v  t  dt dx  ∂u   v   t v ( ) +α − m m+1 ( 2+α  , với m ≥ m0 ) > 22+α −1   m +1 C σ I ≤  C2 m 2+α , 2+α   −1 +  n−1 +α (x )− u q (x)  u (2 6) , A   −  m0 số nguyên thoả mã bất đẳng thức m0  số C0 C2 không phụ thuộc vào q ∂f n > 2 −1 2+α  ,   ∂u (x)  ∫E  ∑ Cho I = n  i =1   ∂xi − ∂u q ( x)    ∂xi    ∫0    ∂ui v dt dx ,   t Rõ ràng n I ≤ ∑∫R i=1  ∂u ( x) n   ∂xi  ∂xi  ∂ui   Theo Giả thiết 2.1.1.2 ta có bất đẳng thức : ∂f ∂u  ∂u q ( x)  ∂f −  ∫0  v  (2.17) dt dx   t C1 (2.18) ≤ x n+α i , i =1, 2, , n , với x ∈ E n , với x ≥ m , u ∈ R, p ∈K * Häc viªn : Bùi Văn Toan u g (x ) Hm - 39 - hi t n hm xi K19 Toán Giải TÝch ∂u (x ) hầu khắp nơi E n ∂xi với x ∈ K *, ta có: ∇uq (x )∈ K *, ∇u (x )∈K * , (2.19) Từ (2.17-19) suy I≤ n ∑  m  ∑ ∫0 i =1  x ≤m ∂f ∂u ∂u (x) ∂u q (x) ∂x − ∂x dx  i v t dt  ∫  + 2C1 n diam K * ∫ x >m x x ≤m dx n+α i i , m ≥ m0 số nguyên dương tuỳ ý Từđó: ∫ dx x >m x n+α σ = n−1 αmα , { } Ta tìm m* > cho với số nguyên m ≥ max m , m * ta có bất đẳng thức : 2C n diam K * σ n−1 αmα < ε2 , ε > số dương tuỳ ý cho trước Ta cố định số nguyên m ≥ max {m0 , m *} Khi : sup ∫ x≤m ∂f dt ≤ Cm < +∞ , ∂u i v t ( i = 1,2, … ,n ), số Cm phụ thuộc vào m , a k , bk diam K * Thực ∂ f ∂ u ∂f hàm liên tục theo Giả thiết 2.1.1.2 xét supermum ∂u i i tập compact : diam K * ≤ u ≤ x ≤ m, ak − x bk p ∈K * Từ u (x) uq (x) hm li, v limq Học viên : Bùi Văn Toan ∫ -40- x ≤m + x diam K * ∂u (x) ∂x i ∂u q ( x) − ∂x i dx = K19 Toán Giải Tích Do ta tìm số N2 cho với q ≥ N2 : n  ∑  ∑ ∫0  i =1  ∂f dt  ∫ ∂u x ≤m ∂u (x)  x ≤m  i vt ∂x  − i ∂u q (x) ∂x dx < i ε (2.20) Như , với q ≥ N2 : I2