Bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vilavong Vanthong BÀI TỐN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vilavong Vanthong BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số:60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN .1 LỜI NÓI ĐẦU CÁC KÝ HIỆU Chương I BÀI TỐN CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH .7 1.1 Bài toán Cauchy, bổ đề bất đẳng thức vi phân tích phân .7 1.1.1 Bài tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1.2 Bổ đề bất đẳng thức tích phân vi phân 1.2 Định lý tồn nghiệm 11 1.3 Khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính tuần 15 1.4 Phương pháp biến thiên số, công thức Cauchy 24 1.5 Đinh lý tính xấp xỉ tốn ( 1.1 ), ( 1.2 ) 26 Chương II.BÀI TỐN BIÊN TỔNG QT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH .32 2.1 Định lý tồn nghiệm cho toán biên tổng quát 32 2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm toán biên tổng quát 46 Chương III BÀI TỐN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH .51 3.1 Định lý tồn nghiệm 51 3.2 Tập hợp U (t , t , …,tn ), bổ đề đánh giá tiệm cận 54 3.3 Các định lý tồn nghiệm toán biên (3.1), (3.3) (3.1), (3.4) 58 KẾT LUẬN .60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi kính gửi đến Thầy PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn lời cảm ơn chân thành tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian làm luận văn tốt nghiệp hỗ trợ nhiều suốt thời gian thực đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy hướng dẫn tơi suốt khóa học Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, Phịng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tình thân đến người thân gia đình bạn bè đồng nghiệp, người động viên,luôn tạo điều kiện tốt tinh thần vật chất, giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Một lần nữa, xin gửi đến tất người lòng biết ơn chân thành sâu sắc TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2015 Học viên Cao học khóa 24 Vilavong Vanthong LỜI NĨI ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết toán biên cho hệ phương trình vi phân thường xây dựng vào năm cuối kỉ 20, gắn liền với tên tuổi nhà toán học cổ điển Cauchy, Bernoulli, D’Alembert,… Trong năm gần đây, với phát triển phương pháp đánh giá tiên nghiệm, cho phép thiết lập dấu hiệu giải xấp xỉ nghiệm toán biên với điều kiện biên khác như: điều kiện dạng tuần hoàn, điều kiện biên nhiều điểm, điều kiện biên dạng tích phân,… Mục đích luận văn xem xét tồn tại, tính xấp xỉ nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường Tơi chọn đề tài: “Bài tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường” để thực nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Ý nghĩa luận văn Luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học nghiên cứu toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường Mục tiêu nghiên cứu Đề tài nghiên cứu “ Bài tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính ” Nội dung luận văn Chương I: Bài tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương ta xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm tốn Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm toán Chương II: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương này, xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho tốn Chương III: Bài tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Mục đích chương xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, từ điều kiện đủ này, xây dựng tiêu chuẩn hiệu cho việc tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Tuy nhiên, luận văn chưa thể xem xét tính xấp xỉ nghiệm tốn thời gian cịn hạn chế CÁC KÝ HIỆU • R = (−∞,+∞);R+ = [0,+∞);R− = (−∞,0] • • δik – Kronecker tức là: δ ik = • x = (xi )in=1 vectơ cột n-chiều { R n = x = (x i )in=1 x i ∈ R,i = 1, n x } = ( xi )in=1 Trên Rn ta trang bị chuẩn • Ký hiệu { } Đặt Rm ×n = X = (xik )m ×n xik ∈ R,i = 1,m,k = 1,n Trên Rm ×n ta có chuẩn sau tương đương Nếu X = (x ik )∈ Rm ×n m n x = ∑∑ i =1 k =1 • Cho X = (x ik )m × n , Y = (y ik )m ×n ∈ Rm ×n Ta nói: X ≤ Y ⇔ x ik ≤ y ik ,i = 1, n, k = 1, m ã X = (xik )m ìn , X = ( xik )m ìn ã Cho I R Ta gọi ánh xạ X : I → Rm ×n t ×n X (t ) = (x ik (t))m ma trận hàm cấp m × n • Ma trận hàm X (t ) = (x ik (t)) tích, khả vi I tất hàm xik (t),i = 1,2, ,m k = 1,2, ,n.có tính chất I • Cho ma trận hàm X (t ) = (x ik (t))m ×n Đặt X ′ ( t ) = dX dt = (x ki (t))m ìn I ã C (I, Rm ×n ) với chuẩn { X (t ) : t ∈ I} Nếu I = [a, b ], C ([a, b ], Rm ×n ) khơng gian ma trận hàm X C = sup • X (t ) = (x ik (t))liên tục [a,b] với chuẩn X C = max { X (t ) : t ∈[a, b]}hoặc { } X C = max xik (t) C ,i = 1,m, k = 1,n • C ([a, b ], Rm ×n ) khơng gian ma trận hàm cấp m × n X:[a,b] → Rm ×n liên tục tuyệt đối [a, b] với chuẩn • Cloc (I,Rm ×n )là tập ma trận hàm cấp m × n liên tục tuyệt đối tập compc ca I ã L (I, Rm ìn ) chun X ã Lloc (I, Rm ìn )l khụng gian ma trận hàm cấp m × n khả tích bậc α tập compắc I • E – ma trận đơn vị • θ – ma trận không Lα 53 Định lý 3.2 Điều kiện cần đủđể tốn (3.1), (3.2) có nghiệm tồn số tựnhiên k , m cho ma trận M k qui r (M k,m ) < Với ds = M P(s) b ∫ k,m a Hệ 3.2 Giả sử γ det ∑Aj ≠ r A0 ∫ j=1 A0 Khi đó, tốn (3.1), (3.2) có nghiệm Xét hệ dx = εp (t)x + q (t) dt Từ định lý 3.2 hệ 3.1 ta có Hệ 3.3 54 γ j=1 tồn số εo > cho với ε ∈ [ 0,ε0 ], tốn (3.8), (3.2) có nghiệm 3.2 Tập hợp U (t , t , …,tn ), bổ đề đánh giá tiệm cận Cho lo : C( I,Rn+ ) → Rn toán tử tùy ý (nói chung khơng tốn tử tuyến tính) Toán tử lo gọi dương nếu∀ λ ∈ R+ , ∀x ∈ C( I,Rn+ ) ta có l0 ( λx ) = λ l0 (x) Toán tử lo gọi không giảm ∀x, y ∈ C(I,Rn+ ) x (t) ≤ y(t) ∀ t ∈ I lo (x) ≤ lo (y) Định nghĩa 3.1 Cho H = (hik )ikn=1 ∈ L(I,Rn×n lo = ( loi )in=1 ) toán tử : C( I,Rn+ ) → Rn+ Ta nói cặp (H,lo ) thuộc vào tập hợp U( t1 ,t2 ,…,tn ) i) Ma trận hàm H tựa không âm, tức hầu khắp nơi I ta có hik (t) ≥ ( i ≠ k, i,k = 1,n ) ii) lo tốn tử liên tục dương khơng giảm iii) Hệ bất phương trình vi phân n x′i (t)sign ( t − t i ) ≤ ∑hik (t).xk (t) k=1 khơng có nghiệm khơng âm khác tầm thường thỏa điều kiện biên xi (ti ) ≤ loi ( x1 ,x2 ,…,xn ) (3.10) 55 Bổ đề 3.1(Wirtig) Cho u : [a,b] → R hàm liên tục tuyệt đối, u′(t) ∈ L2 ( a,b ) u (t0 ) = với t0 ∈ [a,b] Khi b ∫u (t) dt ≤ a Xem chứng minh tài liệu [1] Bổ đề 3.2 Giả sử: ( x ,x l o Trong 1≤α≤+∞, Khi ( H,lo ) ∈ U ( t1 ,t2 ,…,tn ) n h ik Lα i =1 (3.13) Chứng minh: Giả sử x = (xi )in=1 nghiệm không âm tùy ý (3.9), (3.10) Khi tích phân (3.9) với điều kiện (3.10) ta có n xi (t) ≤ ∑l oik k =1 n x + β ∑ k =1 56 Theo bất đẳng thức Minkovky-Holder (trong trường hợp α > 1) ta có xi Lβ ≤ (b k =1 ≤ (b − a) k =1 ∀t ∈ I Mặt khác theo bổ đề 3.1 ta có b t ∫ ∫ xk (s) ti a Từ ta có ( xi Với α = bất đẳng thức hiển nhiên Theo (3.12) ta có r (M) < 1nên Vì ( H,lo ) ∈ U( Bổ đề 3.3 Giả sử H = (hik )i,kn có phần thực âm i =1 Lβ )in=1 vớisi ∈ I, si ≠ ti Khi Chứng minh: Theo định lý 1.13 1.18 [2] ta có hii 57 thỏa điều kiện (3.12), r ( M ) < Giả sử x = (xi )in=1 nghiệm tùy ý khơng âm tốn (3.9), (3.10) với hik (t) = hik = const, loi ( x1 ,x2 ,… ,xs ) = xi (si ) ( i,k = 1,2,…, n ) Khi đó, H ma trận tựa khơng âm theo bổ đề 1.1 ta có n x i (t) ≤ γi (t).xi (ti ) + ∑(1 − δik )hik × k =1 ∀t ∈ I Do h ii < nên ta có ∫t t i Vì ta có n (3.14) Thay n Thế bất đẳng thức (3.14) t = si lưu ý t i ≠ si nên exp( Do Bổ đề chứng minh. r (M) < 58 3.3 Các định lý tồn nghiệm toán biên (3.1), (3.3) (3.1), (3.4) Định lý 3.3 Giả sử hầu khắp nơi I ta có pii (t)sign ( t − t i ) ≤ hii (t) Khi tốn (3.1), (3.4) có nghiệm Chứng minh: Theo định lý 2.1 tốn (3.1), (3.4) có nghiệm toán (3.10) với điều kiện biên xi (ti ) = li ( x1 ,x2,…, xn ) có nghiệm tầm thường Giả sử: x = (xi )in=1 nghiệm tùy ý (3.10 )và (3.40 ) Đặt xi (t) = xi (t) i = 1,n Khi (3.15), (3.16) ta có (t)sign ( t − t x i n + ∑ (1 − δik )pik (t)xk (t)sign (t − ti )(x (t)) k =1 n ≤ ∑hik (t) k =1 xi (ti ) ≤ l oi ( x1 , x2 ,…, xn ) 59 Vậy ( xi (t))in=1 nghiệm không âm (3.9), (3.10) Do(H,lo ) ∈ U (t1 ,t2,…, tn ) nên xi (t) ≡ ( i ≡ 1,n )hay x (t) ≡ ( i ≡ 1,n ) i Định lý chứng minh. Từ bổ đề 3.2 định lý 3.3 ta có kết sau: Định lý 3.4 Giả sử hầu khắp nơi I bất đẳng thức (3.15) thực với x = (xi )in=1 Trong ma trận Khi tốn (3.1), (3.4) có nghiệm Khi chọn l oik Hệ 3.4 Giả sử hầu khắp nơi I (3.15) thực với hik ∈ Lα ( I,R+ ), Thêm vào ma trận H0 = ( hik Lα )i,kn =1 thỏa với α + β = Khi tốn (3.1), 1≤α≤+∞ (3.3) có nghiệm 60 KẾT LUẬN Mục tiêu luận văn xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm cho toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung luận văn gồm chương: Chương I: Nội dung chương chủ yếu xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm tốn Định lý 1.1 khẳng định toán Cauchy (1.1), (1.2) có nghiệm nghiệm cho cơng thức Cauchy (1.50) trình bày định lý 1.8.Định lý 1.9 đưa điều kiện để toán (1.1), (1.2) xấp xỉ Chương II: Trong chương này, xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm tốn biên tổng qt cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho toán này.Sự tồn nghiệm tốn (2.1), (2.2) nói định lý 2.1.Định lý 2.4 đưa điều kiện để toán (2.1), (2.2) xấp xỉ Chương III: Mục đích chương xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Định lý 3.1, định lý 3.2 đưa điều kiện để toán (3.1), (3.2) có nghiệm nhất.Sự tồn nghiệm toán (3.1), (3.3) toán (3.1), (3.4) nói định lý 3.3, định lý 3.4 hệ 3.4 Vì hiểu biết thân cịn hạn hẹp nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý q Thầy Hội đồng để luận văn hoàn thiện 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Kiguradze, Some singular boundary value problems for ordinary [1] differential equations (Russian) Tbilisi University Press, Tbilisi 1975 [2] I Kiguradze, Boundary value problems for systems of ordinary differential equations (Russian) Current problems in mathematics.Newest results, vol 3c, 3103, VINI’TI, Moscow 1987 [3] I.Kiguradze, On the correctness of Cauchy problem for the linear differential system on an infinite interval Georgian Math J.3 (1996) 475-484 [4] I Kiguradze, B Puza, on boundary value problems for systems of linear functional differential equations Czechoslovak Math J 47 (1997), No 2.341373 [5] I Kiguradze, B.Puza, boundary value problems for systems of linearfunctional Republic, 2003 differential equations Masaryk university.Brno, Czech ... tích phân, … Mục đích luận văn xem xét tồn tại, tính xấp xỉ nghiệm tốn biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường Tơi chọn đề tài: ? ?Bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường? ??... cho vi? ??c tồn nghiệm toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 3 Hơn nữa, cịn xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho tốn Chương III: Bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân. .. cho vi? ??c tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, từ điều kiện đủ này, xây dựng tiêu chuẩn hiệu cho vi? ??c tồn nghiệm toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình