Một lớp bài toán biên hai điểm không chính quy cho phương trình vi phân cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Văn An MỘT LỚP BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM KHƠNG CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Văn An MỘT LỚP BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM KHƠNG CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Tốn học với đề tài “Một lớp toán biên hai điểm khơng quy cho phương trình vi phân cấp hai” thực với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Anh Tuấn, không chép Nội dung luận văn tham khảo, trình bày lại kết nhà toán học: A.G Lomtatidze, Robert Hakl Manuel Zamora từ tài liệu liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng năm 2020 Học viên thực HUỲNH VĂN AN LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học, Khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Thạc sĩ Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới giảng viên Trường nhiệt tình truyền đạt kiến thức quý báu, tạo điều kiện thuận lợi cho hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Nguyễn Anh Tuấn hướng dẫn tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Thạc sĩ Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc, chỉnh sửa đóng góp ý kiến cho tơi hồn thành luận văn cách hồn chỉnh Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, khuyến kích tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu GIỚI THIỆU Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TỐN (1.1), (1.2) 1.1 Các kết cho toán (1.1), (1.2) Định nghĩa 1.1 Định lý 1.2 Hệ 1.3 Hệ 1.4 1.2 Các bổ đề bổ trợ Bổ đề 1.5 Bổ đề 1.6 11 Bổ đề 1.7 13 Bổ đề 1.8 18 Bổ đề 1.9 19 1.3 Chứng minh kết 19 Chứng minh Định lý 1.2: 19 Chứng minh Hệ 1.3: 22 Chứng minh Hệ 1.4: 29 Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TOÁN (2.1), (2.2) 32 2.1 Các kết cho toán (2.1), (2.2) 32 Định nghĩa 2.1 32 Định lý 2.2 32 2.2 Các bổ đề bổ trợ 33 Bổ đề 2.3 33 Bổ đề 2.4 39 Bổ đề 2.5 43 Bổ đề 2.6 43 Bổ đề 2.7 45 Bổ đề 2.8 49 2.3 Chứng minh kết 49 Chứng minh Định lý 2.2 49 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  ℕ tập số tự nhiên, ℝ tập số thực, ℝ+ = [0, +∞)  ([ , ]; ) với ⊆ ℝ tập hàm : [ , ] → khả tích Lebesgue [ , ] • (( , ); ) với ⊆ ℝ tập hàm : ( , ) → thỏa ∈ ([ , ]; ) với [ , ] ⊂ ( , )  ∞ (( , ); ℝ+) tập hàm : ( , ) → ℝ+ bị chặn hoàn toàn đoạn chứa ( , )  ([ , ]; ) với ⊆ ℝ tập hàm liên tục : [ , ] →  (( , ); ℝ) tập hàm : ( , ) → ℝ thỏa ∈ ([ , ]; ℝ) với [ , ] ⊂ ( , )  ([ , ]; ) với ⊆ ℝ tập hàm : [ , ] → liên tục tuyệt đối đạo hàm cấp liên tục tuyệt đối • AC ( ; ) với ⊆ (  , ), ⊆ ℝ tập hàm : → thỏa mãn ∈ 1([ , ]; ) với [ , ] ⊆ (( , ) × × ℝ; ℝ) với ⊆ ℝ lớp Carathéodory, nghĩa hàm :( , )× × ℝ → ℝ thỏa ( ,∙,∙): ∈ ( , ), (∙, , ): ( , ) → ℝ liên tục với ( , ) ∈   × ℝ → ℝ liên tục hầu khắp nơi sup{| (∙, , )|: ( , ) ∈ 0} ∈ (( [ ]− = (| | − ), [ ]+ = (| | + ) ( +) ( −) giới hạn phải giới hạn trái hàm điểm × ℝ , ); ℝ+) với tập compact 0⊂ ×ℝ GIỚI THIỆU Lý thuyết tốn biên cho phương trình vi phân thường đời từ kỉ 18, nhiên đến phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng khoa học kỹ thuật khác như: khí, điện tử, vật lý, sinh học, nông nghiệp, ….[1], [3], [4], [6] – [8], [18] – [20] Một mục đích việc nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân xem xét tồn nghiệm, tính chất nghiệm cho phương trình vi phân đối số chậm đối số lệch hay phương trình vi phân khơng quy Bài tốn biên cho phương trình vi phân khơng quy nghiên cứu nhiều nhà tốn học đến từ Cộng hòa Grugia, Cộng hòa Séc,… I Kiguradze, A Lomtatidze, R Hakl Mục đích luận văn hệ thống trình bày lại cách chi tiết hai báo A Lomtatidze R Hakl 1) A Lomtatidze and P J Torres, On a two-point boundary value problem for second order singular equations, Czechoslovak Math J 53 (2003), 19 – 43 2) R Hakl and Manuel Zamora, Existence of a solution to the Dirichlet problem associated to a second-order differential equation with singularities: The method of lower and upper functions, Georgian Math J 20 (2013), 469 – 491 Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương Tính giải cho tốn (1.1), (1.2) Chương xây dựng điều kiện đủ số trường hợp điều kiện cần đủ cho tính giải tốn giá trị biên: ′′ = ( , )+ ( , ) ′ ( +) = 0, ( −) = , ∈ Car (( , ) × (0, +∞); ℝ) Nghiệm tốn (1.1), (1.2) hàm khơng bị chặn, ∈ AC1 (( , ); (0; +∞)) thỏa mãn phương trình (1.1) hầu khắp nơi ( , ) thỏa mãn điều kiện biên (1.2) Chương Tính giải cho tốn (2.1), (2.2) Chương xây dựng điều kiện đủ cho tính giải toán giá trị biên: ′′ = ( , )+ ( , ) ′ ( +) = 0, ( −) = , ∈ Car (( , ) × (0,1); ℝ) Nghiệm toán (2.1), (2.2) hàm bị chặn, ∈ AC1 (( , ); ℝ), < ( ) < 1, ∈ ( , ) thỏa mãn phương trình (2.1) hầu khắp nơi ( , ) thỏa mãn điều kiện biên (2.2) Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TỐN (1.1), (1.2) Trong chương này, ta xây dựng điều kiện đủ số trường hợp điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm không bị chặn toán giá trị biên: ′′ = ( , )+ ( , ) ′ ( +) = 0, ( −) = Trong , (( , ) × (0, +∞); ℝ) ∈ Car 1.1 Các kết cho toán (1.1), (1.2) Định nghĩa 1.1 Hàm liên tục : ( , ) → (0, +∞) hàm (trên) phương trình (1.1) ∈1 giới hạn hữu hạn ( +), ( −), ′( +), hkn ∈ ( , ) ta có: ′′ ( ) ≥ ( , ( )) + ( , ( )) ′( ) ( ′′( ) ≤ ( , ( )) + ( , ( )) ′( )) Định lý 1.2 1( Giả sử ( ), ∈ ( , )≤ ), hàm hàm phương trình (1.1) và: 1( +) = 0, 1( −) = 0, 2( ≤ ≤ } tồn ∈ ( , ), , ∈ (( , ); ℝ+) thỏa mãn: +) ≠ 0, 2( Khi đó, tốn (1.1), (1.2) có nghiệm thỏa mãn: −) ≠ (1.3) Giải sử thêm, với < < min{ 2( ): 41 | ′( 0)| ≤ ′( ) (∫0 Ta có: ℎ2( ) = Lấy tích phân hai vế ta được: ∫ℎ ( − )( − ) = 0 ln ≤ Suy ra: Vì [∫0 ℎ2( ) ]≤ 0 ln ( − 0)( − ) ( − )( 0− ) + ∫ ℎ1( ) + ln , ∈[ 0, ) [ ∈ ( , ] nên ( 0) = ( 0) = ( = 01 ≥ ′( ) (∫ Mâu thuẫn với (2.26) Trường hợp Từ (2.24) ta có: = | ′( 0)| >: | ′( )|′ ≤ ℎ0( ) + ℎ2( )| ′( )|, hkn ∈ ( , 0) Áp dụng bổ đề bất đẳng thức vi phân tích phân ta có: 42 | ′( )| ≤ ′( ) ′ | ( 0)| Ta có: ℎ ( ) = (∫ ℎ2( ) ′ ≤ ( )+ ℎ ( − )( − ) (∫ ( ) ) + ∫ ℎ 0( ) (∫ ℎ2( ) ℎ2( ) )+∫ ℎ0( ) (∫ ) ℎ2( ) ) Lấy tích phân hai vế ta được: ∫ 0ℎ = ln ( 0− )( − ) +∫ ℎ1( ) ( − )( − 0) ≤ ln ( − 0)( − ) + ln , ∈ ( , 0] ( − )( 0− ) Suy ra: [∫ Vì ] ≤ [( ℎ2( ) − 0)( − ) ] , ∈ ( , 0] ( − )( 0− ) ∈ [ , ) nên ( 0) = ( 0) = ( ′ =| ( ≥ ′( ) 0)| Mâu thuẫn với (2.26) Vậy, bổ đề chứng minh (∫ ℎ2( ) )+∫ ℎ0( ) (∫ ℎ2( ) ) 43 Bổ đề 2.5 Giả sử hàm hàm phương trình (2.3) thỏa 1( )≤ 2( ), ∈ ( , ), |ℎ( , , )| ≤ ( ), hkn ∈ ( , ), ∈[ 1( +), 2( +)] ∈[ 1( −), 2( −)] Khi đó, tốn (2.3), (2 1( )≤ ( )≤ 2( ), ∈ ( , ) Bổ đề 2.6 Cho hàm hàm phương trình (2.3) thỏa mãn (2 30) Hơn nữa, giả sử: ℎ( , , ) [ ( − )] ≤ ℎ0( ) + [ , hkn ∈ ( , ), 1( ) ≤ ≤ 2( ), ∈ ℝ ℎ( , , ) ≥ −ℎ0( ) − ℎ2( )| | , hkn ∈ ( , ), 1( ) ≤ ≤ 2( ), ∈ ℝ, < < < , ∈ [0, − ), ℎ1, ℎ2 ∈ ([ , ]; ℝ+), ℎ0 ∈ (( , ); ℝ+) thỏa (2.10) Khi đó, với ∈ [ Chứng minh: Đặt: 1( +), 2( +)] ∈ [ 1( −), 2( −)] tốn (2.3), (2 30) có nghiệm thỏa (2.30) 44 ∗ = = sup{| 1( = [2 − ) + ∫ ( − )( − )ℎ0( ) ( − )( − ) 0( )| + | 2( )| + 1: ∈ ( , )}, ∗ ] Giả sử có hàm ′′ ′ = ( , )ℎ( , , ) , ∈ ( , ), 1( ) < | | < 1( ), 1( ) (2.34) (2.35 ) ′ đó: || ), ∈ (( , ); ℝ+) ∩ ([ , ]; ℝ+) thỏa Bổ đề 2.4 Xét phương trình: ( , ) = {2 − (2 ∫ ℎ2( ) 1, ∈ ( , ), | | ≤ 0, ∈ ( , ), ( ) ≤ | |, 1( ), (2.36 ) ( )= ( )+ Đặt: ∈ ( , ), Sao cho: Theo Bổ đề 2.5, với ∈ ℕ phương trình (2.35) có nghiệm xác định [ ( 1( )= , ( )≤ ( )≤ 2( )= , ] thỏa mãn: , ), ∈ [ , ] Từ (2.32), (2.34), (2.35) (2.40), với ∈ ℕ hàm ≡ thỏa mãn bất đẳng thức (2.11) (2.12) với = (2.23) Hơn nữa, từ (2.31), (2.35), (2.40) suy (2.24) với =1 , | , = Do theo Bổ đề 2.3 từ (2.34) ta có = Khi theo Bổ đề 2.4 ta có: ′ ( )| ≤ ( ), ∈ [ Do đó, nghiệm toán (2.3) [ | ( )− | ( )− , ] Mặt khác, từ (2.41) với ∈ ℕ ta có: Theo định lý Arzelà – Ascoli, từ (2.3), (2.40), (2.41), không tính tổng quát ta giả sử: (2.30) →+∞lim = tập compact nghiệm phương trình (2.3) ( , ) Hơn nữa, từ (2.38) − (2.40) (2.42) ta (2 30) Vậy, bổ đề chứng minh Bổ đề 2.7 Cho , ∈ (( , ) × (0,1); ℝ), hàm hàm phương trình (2.1) thỏa (2.4) 1( +) = 0, < Giả sử thêm, với ∈ [0, − ), , (2.8) Khi đó, với 1( )≤ ( )≤ ( +) = 0, ( 2( ), ∈ −) = 2( +) < ∈ (0, 1⁄2) ∈ ([ , ]; ℝ+), ∈ (( , ); ℝ+) thỏa ∈ ( , ), phương trình (2.1) có nghiệm (xác định ( , 0)) thỏa mãn: ′ ( −) hữu hạn 46 Chứng minh: Lấy 0∈ ( , ) tùy ý cố định lại, ∈ (0, 1⁄2) 10 ∈ ( , ) thỏa mãn: với 2∗ 1( ) ≤ 1( 10), ∈( , 10), 1( 10) = Đặt ∈ ′′ =− ( +) = 0, Nghiệm ( 10 −) = tồn theo [9, Định lý 1.1] Hiển nhiên tồn ∈( , Hơn nữa, theo (2.46) ta có: Do đó, từ (2.6), (2.47), ′′ ( ) ≤ ( , ( )) + ( , ( )) ′( ), hkn ∈ ( , Ngoài ra, từ (2.48) (2.50) ta có ′′( ) ≤ 0, hkn ∈ ( , Vì vậy, từ (2.52) suy ra: ′′ Lấy ( ) ≤ −[ ( , ( )) + ( , ( )) ′( )]−, hkn ∈( , 1], ∈ ( , 1) ∈ ℕ thỏa mãn: < +1 ∈ ℝ, đặt: 1( ) < 1( = min{ 1( ): ∈ [ ), ∈ ( , , 0]}, ), ∈ ℕ, với ∈ ℕ, , 10) thỏa: ( )={ , ℎ ≤ ≤1− , 1− , ℎ 1− ( , , )={ ̃ ( ) = { 1( ), ∈ ( , ), 1 ( ), ∈ ( , 1), ̃ ( ) = { 21 2( Khi đó, với ), ∈ [ 1, 0) ∈ ℕ, ̃ ( ) hàm phương trình: ̃21( ) hàm phương trình: Đặt: = ℎ2( ) = { ℎ0( ) = 1( ), ℎ1( ) = 1( ) , hkn ∈ ( , 0), ℎ( , , ) = 1( , , ), hkn ∈ ( , 0), , ∈ ℝ 48 Khi đó, theo Bổ đề 2.6 tồn nghiệm phương trình (2.55) xác định ( , 0) thỏa mãn: ̃ 1( 1( ) ≤ 1( ) ≤ ̃21( ), ∈ ( , 0), +) = 1( 11), 1( −) = 2( 0) Đến đây, giả sử tồn nghiệm , ∈ ℕ phương trình (2.54) với = ( , 0) có tính chất: ̃1 ( ) ≤ ( ) ≤ ̃ ( ), ∈ ( , 0), ( +) = 1( ), Ta định nghĩa hàm ̃ +1 phương trình (2.54) với ̃ +1( ( −) = 2( 0) = + là: ) = ( ), ∈ ( , 0) Khi đó, lại áp dụng Bổ đề 2.6 với =( − )⁄( − ), ℎ0( ) = ( ), ℎ1( ) = ( ), hkn ∈ ( , 0), ℎ( , , ) = ( , , ), hkn ∈ ( , 0), , ∈ ℝ, và1 , ( ,, ℎ định nghĩa (2.56), (2.57), tồn nghiệm ) thỏa mãn: 1( )≤ ( +) = 1( ), +1( )≤ ( )≤ ( Từ (2.54), (2.60) Bổ đề 2.3,2.4 với 2( −) = ), ∈ ( , 0), 2( 0) +1 (2.54) với = + (2.60) ∈ ℕ; = dãy { }+∞ { =1 ′ (2.61) }+∞ =1 bị 0) chặn đồng liên tục tập compact ( , Do đó, tồn = 1( )≤ 0( )≤ 2( ), ∈ ( , 0), 0( −) = 2( 0), 49 Và từ (2.60), (2.61) ta có: ≤ lim inf 0( ) ≤ lim sup 0( ) ≤ 1( → + ), ∈ ℕ → + 0( Từ (2.43) (2.53) suy +) = ′ ′ Vì nghiệm phương trình (2.1) ( , 0) hàm , thuộc lớp Carathéodory nên từ (2.62) tính liên tục ( , 0), suy ( hạn −) hữu Vậy, bổ đề chứng minh Bổ đề 2.8 Cho , ∈ (( , ) × (0,1); ℝ), hàm hàm (2.1) thỏa mãn (2.4) và: 2( Giả sử ∈ [0, − ), , thêm, với ∈ (0, 1⁄2) (2.6) đúng, ∈ ([ , ]; ℝ+), ∈ (( , ); ℝ+) thỏa (2.8) Khi đó, với nghiệm (xác định ( 0, ( ′ ( 0 ∈ ( , ), phương trình (2.1) có )) thỏa mãn: 1( −) = 1, < 1( −) < )≤ ( )≤ +) = 1( 2( ), ∈ ( 0), 0, ), ( −) = +) hữu hạn 2.3 Chứng minh kết Chứng minh Định lý 2.2 Nếu 2( +) > 1( 0, ), đó: −) < theo Bổ đề 2.7 2.8 tồn nghiệm phương trình (2.1) xác định ( , 0) ( 50 = ′ ( + ( +) = , ( −) ≥ , 0 ′ 2( = −) = +), + 2( 0), 2, ( +) = 1( 0), ( −) = 1, ′ ( +) ≥ 1′( −) Do đó, khơng tính tổng quát ta giả sử: 2( +) = 0, 1( −) = ℎ( , , ) = ( , ) + ( , ) , hkn ∈ ( , ), ∈ ( , ), 1 +1 < , < +1, ∈ ( , ), ∈ ℕ thỏa mãn: ∈ ℕ, lim →+∞ , = , lim →+∞ (2.66) ∈ ℝ, = Đặt: Khi đó, tồn dãy { }+∞ =1 ⊂ (0, 1⁄2) thỏa mãn: ≤ 1( ) ≤ 2( ) ≤ − , ∈[ Do đó, với ∈ ℕ, từ bất phương trình (2.6) suy (2.31) (2.32) [ ( , ) thỏa mãn: ( 1( +) = 1( )≤ ( )≤ ), ( 2( −) = ), ∈ ( , 2( 2 1 , ], ∈ ℕ , ] Do đó, theo Bổ đề 2.6, với ∈ ℕ tồn nghiệm toán (2.1) xác định ), ) Từ (2.6) Bổ đề 2.3, 2.4, với tập compac ∈ ℕ cho dãy { }+∞ [ ∈ 1, 2] Do đó, (( , ); ℝ) thỏa mãn: = lim →+∞ Hơn nữa, từ (2.5), (2.66) (2.67) suy Vậy, định lý chứng minh thỏa (2.2) (2.9) 51 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả tìm hiểu hai tốn biên hai điểm khơng quy cho phương trình vi phân cấp hai hai báo khác Bài báo A Lomtatidze xây dựng điều kiện đủ số ′′ trường hợp điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm không bị chặn toán = ( , ) + ( , ) ′ với điều kiện biên: ( +) = 0, ( −) = 0, , ∈ Car (( , ) × (0, +∞); ℝ) Các kết Chương Định lý 1.2, Hệ′′ 1.3 Hệ 1.4 Còn báo R Hakl xây dựng điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán: = ( , ) + ( , ) với điều kiện biên: ( +) = 0, ( −) = 1, , ∈ Car (( , ) × (0,1); ℝ) Kết Chương Định lý 2.2 Cả hai tác giả dùng phương pháp nghiệm trên, nghiệm để chứng minh tồn nghiệm toán Mặt dù luận văn chưa thu kết mong đợt, xem xét kết có hay khơng cho phương trình vi phân bậc cao khơng quy, tuyến tính phi tuyến, tác giả có gắng trình bày chi tiết rõ ràng bổ đề, hệ quả, định lí tìm hiểu Luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học nghiêu cứu toán biên hai điểm khơng quy cho phương trình vi phân cấp hai tuyến tính phi tuyến Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa góp ý cho tác giả chỗ thiếu xót để luận văn hoàn chỉnh 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J A Ackroyd, On the laminar compressible boundary layer with stationary origin on a moving flat wall Proc Cambridge Phil Soc 63 (1967), 871 – 888 [2] R P Agarwal and D O’ Regan, Singular boundary value problems for superlinear second order ordinary and delay differential equations J Differential Equations 130 (1996), 333 – 335 [3] L E Bobisud, D O’ Regan and W.D Royalty, Solvability of some monlinear singular boundary value problems Nonlinear Anal 12 (1998), 855 – 869 [4] J V Baxley, A singular nonlinear boundary value problem: membrane response of a spherical cap Siam J Appl Math 48 (1998), 855 – 869 [5] J E Bouillet and S M Gomes, An equation with singular nonlinearity related to diffusion problems in one dimension Quart Appl Math 42 (1985), 395 – 402 [6] A J Callegary and M B Friedman, An analytic solution of a nonlinear boundary value problems in theory of viscous fluids, J Math Anal 21 (1968), 510 – 529 [7] A J Callegary and A Nachman, Some singular nonlinear differential equations arising in boundary layer theory J Math Anal Appl 64 (1978), 96 – 105 [8] A J Dunnigher and J.C Kurtz, A priori bounds and existence of positive solutions for singular nonliinear boundary value problems Siam J Math Anal 17 (1986), 595 – 609 53 [9] J A Gatila, V Oliker and P Waltman, Singular nonlinear boundary value problems for second ordeer ordinary differential equations J Differential Equations 79 (1989), 62 – 78 [10] Z Guo, Solvability of some singular nonlinear boundary value problems and existence of positive radial solutions of some nonlinear elliptic problem Nonlinear Anal 16 (1991), 781 – 790 [11] P Habets and F Zanolin, Upper and lower solutions for a generalized Emden – Fowler equation J Math Appl 181 (1994), 684 – 700 [12] P Habets and F Zanolin, Positive solutions for a class of singular boundary value problems Boll Unione Mat Ital (7) Ser A (1995), 273 – 286 [13] R Hakl and Manuel Zamora, Existence of a solution to the Dirichlet problem asociated to a second-order differential equation with singularities: The method of lower and upper functions Georgian Math J 20 (2013), 469 – 491 [14] J Janus and A Myjak, A generalized Emden – Fowler equation with a negative exponent Nonlinear Anal 21 (1994), 953 – 970 [15] I T Kiguradze, Some singular bondary value problems for second order onlinear ordinary differential equations Differentsial’nye Uravneniya (1988), 1753 – 1773 [16] I T Kiguradze and B L Shekhter, Singular boundary – value problems for second-order ordinary differential equations J Sov Math 43 (1988), no 2, 2340 – 2417 [17] A Lomtatidze and P J Torres, On a two-point boundary value problem for second order singular equations Czechoslovak Math J 53 (2003), 19 – 43 54 [18] N F Morozov, Onanalytic structure of a solution of the membrane equation Dokl Akad Nauk SSSR 152 (1963), 78 – 80 [19] L S Srubshhik and V I Yudovich, Asymptotics of equation of large deflection of circular symmetrically boaded plate Ibirsk Mat Zh (1963), 657 – 672 [20] S Taliaferro, A nonlinar singular boundary value problem Nonlinear Anal (1979), 897 – 904 ... [20] Một mục đích vi? ??c nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân xem xét tồn nghiệm, tính chất nghiệm cho phương trình vi phân đối số chậm đối số lệch hay phương trình vi phân khơng quy Bài. .. Tốn học với đề tài ? ?Một lớp toán biên hai điểm khơng quy cho phương trình vi phân cấp hai? ?? thực với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Anh Tuấn, không chép Nội dung luận văn tham khảo, trình bày lại kết nhà... PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Văn An MỘT LỚP BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM KHƠNG CHÍNH QUY CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA