Bài toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Kettavong Chinnalone BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu của được thực hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Anh Tuấn Nội dung của luận văn có tham khảo sử dụng số thơng tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí được liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn của mình Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2018 Học viên thực KETTAVONG Chinnalone LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn người tận tình hướng dẫn suốt trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù bận nhiều công việc thầy dành nhiều thời gian để hướng dẫn tơi hồn thành luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy khoa Toán – Tin cán nhân viên của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập làm luận văn trường Và xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh chị em, bạn be gần xa người thân gia đình ln khuyến khích, động viên giúp đỡ suốt trình học tập KETTAVONG Chinnalone MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các ký hiệu MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân t 1.2 Phương pháp biến thiên số, cơng thức Ca 1.3 Tính xấp xỉ nghiệm của tốn Cauchy cho phân tuyến tính 1.4 Một liên hệ giữa ổn định xấp xỉ Chương BÀI TỐN BIÊN TỔNG QT TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 2.1 Định lý tồn nghiệm của toán 2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của tốn biên tởng q Chương BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 3.1 Các tiêu chuẩn cho tồn nghiệm (3.1), (3.2) 3.2 Các tính chất đại số của tốn (3.1), (3.2) KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO CÁC KÝ HIỆU • • R = (−∞,+∞); R+ =[0,+∞); R− = (−∞,0] x ∈ R, • δik – Kronecker tức là: • x = (x i n R x =(xi ) n= i1 Trên ta trang bị chu R n n x=∑xi, • x = max x i =1,n Ký hiệu m×n R Đặt Trên m x = ∑∑ xik i =1 hoặc x = max x R i =1,m  k= Cho X = ( x ik )m× n , Y = ( y ik )m×n ∈R m×n Ta nói: X ≤ Y ⇔ x ik ≤ y ik , i = 1, m , k =1, n • X = ( x ik )m×n , X = ( x ik )m × n • Cho I ⊂ R Ta gọi ỏnh x X : I Rmìn t ã X (t ) = (x ik (t ))m×n ma trận hàm cấp m × n Ma trận hàm X (t ) = (x khả tích, khả vi I tất hàm x ik (t ), i = 1, m; k =1, n có tính chất I • Cho ma trận hàm X (t ) = (x ik (t ))m×n Đặt ( X′ ∫X( • t ) = τ ) dτ = I C(I,R mìn ) l khụng g I vi chuõn ã Nếu X (t ) = (x ik (t )) hoặc C ([a, b ], Rm×n ) khơng gian ma tr ã X X:[a, b ] Rmìn liờn tc tuyệt đối C = X (a ) + ∫b X′ (t ) a i [ vc a, h b u ] ẩ n d t • Cloc (I, Rmìn ) compc cua I ã (I,R L ) mìn vi chuõn X ã (I,R L • • loc tập compắc của I E – ma trận đơn vị θ – ma trận không m×n Hiến nhiên rank (B01 , B02 ) = n thỏa (3.18) Vì điều kiện biên (3.16) đối ngẫu với điều kiện biên (3.20 ) Giả sử điều kiện biên (3.13) đối ngẫu của điều kiện biên (3.20 ) Giả sử x , y ∈C (I, R Theo bổ đề 3.1 thì (3.15) từ (3.13) kéo theo (3.16) Theo (3.21), (3.23) ta có: x (b ) y (b  x (a − y       A1 x (a ) + A x (b)  B01  .  x (a ) + A x (b)  B y (a ) + B y (b) y (a ) + B 02 y (b) 0102A12  ( A1 x (a ) + A x (b )) (B 01 y (a ) + B 02 y (b))+ Từ (3.2 + ( A1 x (a ) + A x (b )) (B 01 y (a ) + B 02 y (b )) (3.16), ta được (3.20) Bổ đề 3.3 Giả sử n (3.13) điều kiện biên đối ngẫu c kiện biên (3.20 ), tốn (3.1 ), (3.2 ) (3.12), (3.13) có số nghiệm 0 độc lập tuyến tính sau: 54 Chứng minh Giả sử toán (3.12), (3.13) có m nghiệm độc lập tuyến tính Ta sẽ chứng minh toán ( Do rank (A1 , A để ma trận H (3.21) qui giả sử Khi điều kiện biên (3.16) sẽ đối ngẫu của điều kiện biên (3.20 ) Mặt khác theo bở để 3.1, tồn ma trận qui M ∈R thoả mãn Giả sử Y ma trận của hệ ( của hệ (3.12) Vì nghiệm của hệ (3.12), (3.13) có dạng y (t ) = Y ∗ Trong η nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần đại số: ( Tuy nhiên theo (3.15) thì +η (b )) η = −1 ∗ B2 Y nghiệm của hệ sau: ( 01 −1 B Y Theo giả thiết hệ (3.12), (3.13) có m nghiệm độc lập tuyến tính, nên (3.12), (3.25) có m nghiệm độc lập tuyến tính Đặt H1 Do (3.21), (3.22) ta được (a ) A2 Y ( b )  a) A2 Y a )  H= (  (  ∗ 55 −1 H (a ) a) ∗ Do với nghiệm B02Y B02Y ( η của hệ (3.25), ta có biểu diển: ∗−1 ∗−1 (b )  b  ( ) −1 H1∗ Trong đó: = (B 01 ) Y ∗−1 (a ) + B02Y ∗−1 (b ) η  27) Từ cùng với (3.26) ta được: −η   Y ∗ (b )A *2 γ = − Y ∗ (a )A1* γ = η (3.28) Vì γ nghiệm của hệ sau: (Y∗ (a )A1* + Y∗ (b )A*2 )γ = Vì nghiệm của hệ (3.25), (3.28) được cho tương ứng (3.27) Do H qui, suy hệ (3.28) có m nghiệm độc lập tuyến tính, suy hệ (A Y (a ) + A Y (b ))c = (3.29) có m nghiệm độc lập tuyến tính, tốn (3.10 ), (3.20 ) có m nghiệm độc lập tuyến tính điều phải chứng minh 56 Bổ đề 3.4 rank (A1 , A ) = n , với tồn véc tơ hàm khả vi liên tục I cho: A1 u (a )+ A u (b ) = c0 (3.30) Chứng minh Do rank (A1 , A ) = nên tồn A1 ∈ R n (3.21) qui Đặt  c1  = H −1  c0  c  c Khi 02 c H c       cho ma trận H Từ đặt u u thỏa (3.30) Định lý 3.5 Giả ,A sử kiện biên (3.2 Giả sử toán :I 2) → Rn véc tơ hàm khả vi cho: =n Au 3.1 )( ,3.2 57 i.) Bài toán (3.10 ii.) Bài toán ( của (3.12), (3.13) thỏa đẳng thức: ∫b (q (t ) + P (t ).u (t ) − u '0 (t )y (t ))dt = a iii.) Nếu x0 nghiệm của toán ( x nghiệm của tốn ( điều có dạng:  3.1), sở  3.2) x (t ) = x (t ) + ∑αi Chứng minh - Từ bở đề 3.3 ta có i.) - Chứng minh ii.) Đặt x (t ) = z (t )+ u (t ) (3.33) Do x (t ) nghiệm của (3.1), (3.2), nên z (t )là nghiệm của toán dz dt A z (a ) + A Trong đó: q (t ) = q (t )+ P (t )u (t )− u '0 (t ) Khi ta chỉ cần chỉ rằng: điều kiện (3.31) điều kiện cần đủ để toán (3.33), (3.34) có nghiệm Thật theo định lý Cauchy 1.8 thì nghiệm của tốn (3.33) có dạng: x (t ) = Y (t ).c + ∫t Y (t ).Y −1 (τ ) q (τ ) dτ a 58 với c ∈R Khi tốn (3.33), (3.34) có nghiệm chỉ hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm (1 AY Mặt khác hệ giải được chỉ nghiệm γ Mặt khác  b A  a  ∫ b ( ) q (τ ) Y ∗−1 (τ ) η dτ a với = Y ∗ (b ).A γ Mặt khác ta chứng minh được η= Y ∗ (b ).A2 γ Tương tự chỉ được toán (3.33), (3.34) giải được chỉ cho khác nghiệm y của (3.12), (3.13) theo (3.31) điều phải chứng minh Y (b ) 59 KẾT LUẬN Mục tiêu của luận văn xây dựng điều kiện cần đủ cho việc tồn nghiệm cho toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Nội dung chương chủ yếu xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm của toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của toán Định lý 1.1 khẳng định toán Cauchy (1.1), (1.2) có nghiệm nghiệm được cho công thức Cauchy (1.35) được trình bày Định lý 1.7 Định lý 1.8 đưa điều kiện để toán (1.1), (1.2) xấp xỉ được Chương 2: Trong chương này, xây dựng điều kiện đủ cho việc tồn nghiệm của tốn biên tởng qt cho phương trình vi phân tuyết tính Hơn nữa, xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho tốn Sự tồn nghiệm của toán (2.1), (2.2) được nói Định lý 2.1 Định lý 2.4 đưa điều kiện để toán (2.1), (2.2) xấp xỉ được Chương 3: Trên sở kết của Chương Chương Trong Chương ta áp dụng kết của Chương để nghiên cứu điều kiện đủ cho tồn nghiệm của toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính (3.1), (3.2) Các kết của chương định lý 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 Trong phần cuối của chương xem xét tính chất đại số của toán (3.1), (3.2) tốn th̀n ( của phần định lý 3.5 Từ những vấn đề mà luận văn nêu trên, cách tự nhiên ta thấy kết trình bày luận văn có cịn hay khơng cho tốn biên nhiều điểm hay tốn biên dạng t̀n hồn, kết có cịn hay khơng toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân 60 hàm tuyến tính Tuy nhiên, với trình độ nhiều hạn chế của tác giả thời gian có hạn, luận văn xin chỉ trình bày những nội dung nêu Tác giả mong góp ý chỉ bảo của Quý thầy hội đồng, để luận văn được hoàn thiện tốt Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn thầy hội đồng dành thời gian quý báu của mình để đọc góp ý cho luận văn 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Anh Tuấn, Bài giảng ly thuyết ổn định cho hệ phương trình vi phân, Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh Hartman P (1964), Ordinary differential equations John Wiley & Sons, Inc., NewYork-London-Sydney Kantorovitch L V., Akilov L V (1984), Functional Analysis (Russian) Nauka, Moscow Kiguradze I (1965), On the Cauchy problem for singular systems of ordinary differential equations (Russian) Differentsial’nye Urav 1, No 10., 1271-1291 Kiguradze I (1975), Some singular boundary value problems for ordinary differential equations (Russian) Tbilisi University Press, Tbilisi Kiguradze I (1986), On the periodic solutions of systems of nonautonomous ordinary differential equations (Russian) Mat Zametki 39, No 4, 562-575 Kiguradze I (1987), Boundary value problems for systems of ordinary differential equations (Russian) Current problems in mathematics Newest results, vol 30, 3-103, VINI’TI, Moscow Kiguradze I (1996), On the singular Cauchy problem for systems of linear ordinary differential equations (Russian) Differentsial’nye Uravneniya 32, 215-223 Kiguradze I (1996), On the correctness of Cauchy problem for the linear differential system on an infinite interval Georgian Math J 3, 475-484 10 Kiguradze T (1995), Some boundary value problems for systems of linear differential equations of hyperbolic type Mem Diff Equations Math Phys 5, 1-113 ... Chương BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QT TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 2.1 Định lý tồn nghiệm của toán 2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của toán biên tởng q Chương BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH... học vi? ?n cao học nghiên cứu toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyết tính Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu tồn nghiệm của toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính, ... đủ cho vi? ??c tồn nghiệm của toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm của tốn Chương 2: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tún tính