Khóa Luận tốt nghiệp Phân lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính

TRƯỜNG ĐH SP I KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHÂN LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH MỞ ĐẦU Khóa luận chia thành phần: PHẦN MỘT: Kiến thức chuẩn bị Trong phần hệ thống lại số kiến thức sở cho phần PHẦN HAI: Sự ổn định nghiệm hệ vi phân Ở phần đưa số khái niệm ổn định nghiệm hệ vi phân PHẦN BA: Phân lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính Ở phần này, vào nghiên cứu theo hai hướng chính: Hướng 1: Nghiên cứu phân loại điểm kì dị thơng qua ngơn ngữ luồng Hướng 2: Nghiên cứu tương đương Cụ thể: Tương đương tuyến tính, Tương đương vi phân tương đương Tơpơ Qua đó, tìm mối liên hệ chúng PHẦN MỘT: Kiến thức chuẩn bị Trong phần này, hệ thống lại kiến thức : - Không gian tuyến tính , khơng gian Mêtric, khơng gian định chuẩn - Khái niệm tốn tử tuyến tính - Hệ vi phân - Phân loại ánh xạ R - Luồng đường thẳng luồng Rn Chúng ta, vào khái niệm luồng 1.Luồng đường thẳng Luồng Rn: Tương tự trường hợp định nghĩa luồng đường thẳng ta có định nghĩa luồng mặt phẳng luồng Rn PHẦN HAI Sự ổn định nghiệm hệ vi phân 2.1 Nghiệm hệ phương trình vi phân 2.2 Các khái niệm 2.2.1 Khái niệm ổn định Xét hệ phương trình vi phân : (2.1) Z = I+× Dx; I+ = (a,+∞) , Dx  Rn , Dx miền mở, f  C0,1 (Z) Hệ (1) tồn nghiệm Z Ta giả sử nghiệm y(t) hệ (1) thác triển nghiệm vô hạn phía bên phải 2.2.2 Định nghĩa hệ nghiệm ổn định Ta nói nghiệm  = (t) hệ (1) t I+ ổn định theo nghĩa Lipunov t  +∞  > 0,  to  I+,  (to, ) > với cho : i) Nghiệm x = x(t) kể  = (t) thoả mãn ||x(to) - (to) || phải xác định nửa đoạn [to, +∞) ii) Các nghiệm đồng thời thoả mãn : ||x(t) - (t) ||   ,  t [to, +∞) Nếu định nghĩa số  ( ) phụ thuộc  ta nói hệ nghiệm  (t) ổn định 2.2.3.Định nghĩa không ổn định 2.2.4 Định nghĩa ổn định tiệm cận 2.2.5 Ổn định toàn thể 2.3 Sự ổn định hệ vi phân tuyến tính 2.3.1 Định nghĩa hệ ổn định 2.3.2 Định nghĩa hệ ổn định tiệm cận, ổn định 2.4 Sự ổn định hệ tuyến tính 2.5 Hệ với ma trận 2.6 Các điểm kì dị đơn giản PHẦN BA Phân lớp hệ phương trình vi phân 3.1 Phân loại điểm kì dị Trong phần này, chúng tơi xét đến hệ mà phương tình đặc trưng khơng có nghiệm bội Và biểu diễn quỹ đạo nghiệm R 3.2 Tương đương tuyến tính, tương đương vi phân tương đương Tơpơ Vì phân lớp tạo nên mối quan hệ tương đương Tồn quan hệ tương đương có hệ tuyến tính chúng tương đương với quan điểm đại số, vi phân tôpô 3.2.1.Định nghĩa: Cho{ft},{gt} , : Rn  Rn luồng Luồng {ft} gọi tương đương với luồng {g t} tồn song ánh h: Rn  Rn biến {ft}  {gt} Sao cho hoft = gtoh Điều nói luồng {f t} biến thành luồng {gt} Khi ta thay đổi toạ độ h 3.2.2.Tương đương tuyến tính, tương đương vi phân tương đương Tơpơ 3.2.2.1.Tương đương tuyến tính Ta nói luồng {ft}là tương đương tuyến tính với luồng {gt} ánh xạ h đẳng cấu tuyến tính 3.2.2.2 Tương đương vi phân Ta nói luồng {ft}là tương đương vi phân với luồng {gt} ánh xạ h vi phơi 3.2.2.3 Tương đương Tơpơ Ta nói luồng {ft}là tương đương vi phân với luồng {gt} ánh xạ h đồng phơi Các ví dụ: Ví dụ Chứng minh rằng: Tương đương tuyến tính kéo theo tương đương vi phân tương đương vi phân kéo theo tương đương Tôpô Chú ý : ánh xạ h liên kết quỹ đạo {ft} với quỹ đạo luồng {gt} Chứng minh Thật : Giả sử luồng {ft} tương đương tuyến tính với luồng {gt} Suy tồn đẳng cấu tuyến tính h biến luồng {ft} thành luồng {gt} Mặt khác, h đẳng cấu tuyến tính nên h vi phơi Do h vi phôi nên {ft} tương đương vi phân với {gt}  Giả sử {ft} tương đương vi phân với {gt} Suy tồn vi phôi h : Rn  Rn h{ft} {gt} Do vi phôi h đồng phôi nên {ft} tương đương Tôpô với {gt}  Như vậy, ta minh họa sơ đồ sau: Tương đương tuyến tính  Tương đương vi phân  Tương đương Tơpơ Ví dụ Ta khẳng định quan hệ tương đương tuyến tính , vi phân, Tôpô thực quan hệ tương đương có nghĩa : f ~ f; f ~ g  g ~ f; f ~ g;g ~ k  f ~ g Ta kiểm tra điều kiện quan hệ tương đương cho khái niệm tương đương tuyến tính Tương đương vi phânGiả tương đương topo sử có hai luồng {ft}làm , {gttương } tươngtự.đương tuyến tính với Chứng minh : 10 {ft} ~ {ft} hay ta chứng minh tồn đẳng cấu tuyến tính h: h({ft}) = {ft} idft = ft Thật , h = id  Hiển nhiên , id đẳng cấu tuyến tính Vậy {ft} ~ {ft} 2o {ft} ~ {gt} {gt} ~ {ft} Do {ft} ~ {gt}  h: Rn  Rn h{ft} {gt} h đẳng cấu tuyến tính Mặt khác , ta có : h({ft}) = gt  h-1h ({ft}) = h-1 (gt)  ft = h-1 (gt) h-1 đẳng cấu tuyến tính h-1: R n  Rn h{ft} {gt} Vậy : {gt} ~ {ft} 3o {ft} ~ {gt} ; {gt} ~ {kt}  {ft} ~ {kt} Do {ft} ~ {gt}   đẳng cấu tuyến tính h : h({ft}) = {gt} {gt} ~ {kt}  đẳng cấu tuyến tính p : p({gt}) = {kt} Xét ánh xạ  =poh: Rn  Rn Ta có : ({ft}) = poh(ft) = p[h(ft)] = p(gt) = kt  =poh đẳng cấu tuyến tính biến {ft} {kt} Vậy {ft} ~ {kt} Nhận xét Quan hệ tương đương mà ta đưa thực chất quan hệ tương đương theo nghĩa đại số Tức thoả mãn tính chất : 1.Tính phản xạ Tính đối xứng Tính bắc cầu 3.3 Sự phân lớp hệ vi phân 3.3.1 Sự phân lớp tuyến tính Chúng ta nghiên cứu tiêu chuẩn tương đương hệ phương trình qua định lý Định lý : Cho A,B tốn tử tuyến tính từ Rn vào Rn mà giá trị riêng chúng đơn Hệ x’ = Ax x Rn (1) y’= By y Rn (2) Hệ (1) (2) tương đương tuyến tính giá trị riêng toán tử A B Chứng minh 3.3.2 Sự phân lớp vi phân Định lý : Hai hệ tuyến tính : x’ = Ax (1) x’ = Bx ; x Rn (2) Tương đương vi phân chúng tương đương tuyến tính 3.3.3 Phân lớp Tơpơ Định lý: Hai hệ phương trình tuyến tính mà phần thực giá trị riêng khác tương đương Tôpô giá trị riêng có phần thực âm, dương hai hệ Điều có nghĩa là: m+(A) = m-(B) m-(A) = m+(B) Để chứng minh định lý ta cần chứng minh bổ đề định lý bổ trợ Bổ đề 1: Tích trực tiếp hệ tương đương Tơpơ tương đương đương Tôpô Bổ đề 2: Nếu giá trị riêng toán tử A: Rn  Rn khơng ảo khơng gian Rn phân tích thành tổng trực tiếp không gian Rm+,Rm- không gian bất biến với toán tử A, cho phần thực âm giá trị riêng A Rn tương ứng với phần thực giá trị riêng thu hẹp A Rm+,RmBổ đề 3:Cho A tốn tử tuyến tính : Rn  Rn mà phần thực tất giá trị riêng dương hệ: x’ = Ax , x  Rn tương đương Tôpô với hệ chuẩn x’ = x , x  Rn 3.6 Chứng minh định lý phân lớp Tôpô Từ ba bổ đề 1, 2, Ta có kết luận sau: Mọi hệ tuyến tính x’ = Ax mà phần thực giá trị riêng tốn tử A khác khơng tương đương TơPơ với hệ n ngựa nhiều chiều chuẩn Hình 17: Nút cổ chai x1’= -x1 x1 Rmx2’ = x2 x2 Rm+ Hình 18: Đa tạp bất biến nút cổ chai ba chiều (Nếu tốn tử A có giá trị riêng có phần thực âm PT: x’= Ax tương đương Tơpơ với x1’= -x1 ) Do đó, hai hệ m-,m+ tương đương Tôpô với Chú ý hai không gian R m- Rm+ bất biến với luồng {gt} Khi t tăng, điểm Rm+ tiến tới Ta chứng minh gt x  (khi t ) x  Rm- gt luồng phương trình chuẩn nên: gtx = e-tx  0(khi t  ) x Rm- Rm- gọi đa tạp bất biến bị hút yên ngựa Tương tự, Rm+ gọi đa tạp bất biến giãn Đa tạp bất biến giãn đựoc xác định gtx 0 (khi t ) Bây giờ, ta chứng minh phần thứ hai định lý phân lớp TôPô Ta chứng minh hai hệ tương đương TơPơ nhận số giá trị riêng có phần thực âm ( dương) Số m- số chiều đa tạp bất biến hút nút yên ngựa tương đương TôPô Chú ý tất đồng phôi h, chuyển luồng nút yên ngựa thành luồng nút yên ngựa khác cần phải biến đổi đa tạp bất biến hút chúng thành đa tạp bất biến hút yên ngựa khác (Vì chuyển qua giới hạn t bảo tồn đồng phơi) Vì vậy, đồng phơi h thực đồng phôi đa tạp bất biến hút yên ngựa bất biến hút yên ngựa khác Kết luận Đề tài:“PHÂN LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH” Đề cập đến việc phân lớp hệ phương trình vi phân qua luồng chúng, ổn định nghiệm hệ vi phân Ta tóm tắt kết đề tài sau :  Xây dựng khái niệm luồng đường thẳng luồng Rn  Đưa khái niệm ổn định nghiệm hệ vi phân Cụ thể : hệ vi phân tuyến tính hệ vi phân với ma trận  Phân loại điểm kì dị hệ vi phân tuyến tính dựa ngôn ngữ luồng  Xây dựng khái niệm tương đương tuyến tính, tương đương vi phân, tương đương Tơpơ.Qua đó, tìm mối liên hệ khái niệm LỜI KẾT Em xin tỏ lòng cảm ơn chân thành đến thầy Nguyễn Văn Cần – Thạc sĩ toán – Khoa khoa học tự nhiên – trường ĐH Hồng Đức tận tình hướng dẫn dìu dắt em hồn thành khóa luận Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, cô giáo khoa Khoa Học Tự Nhiên tạo điều kiện cho em q trình thực khóa luận Em xin chân trọng cảm ơn thầy, giáo dìu dắt em suốt năm học vừa qua, đóng góp sở để em thực khóa luận Định nghĩa: Cho phương trình vi phân đơn giản sau : dx /dt = kx ;k R (1) Nghiệm  phương trình thoả mãn điều kiện ban đầu  (0) = xo là:  (t) = ektxo Chúng ta xác định ánh xạ gt : R  R khoảng thời gian t với điều kiện ban đầu xo giá trị nghiệm  thời điểm t : gt : R R xo gtxo = ektxo Họ ánh xạ {gt} gọi luồng tương ứng phương trình (1) Vậy luồng {gt} nhóm tham biến vi phơi hay phép biến đổi tuyến tính đường thẳng Nhóm gọi nhóm tham biến phép biến đổi tuyến tính Luồng {gt} tương ứng với phương trình (1) nhóm tham biến phép biến đổi tuyến tính Những chuyển động điểm tác động luồng nghiệm phương trình (1) (Quay lại) Chứng minh  ) Giả sử hai hệ : x’ = Ax x  Rn (1) y’ = Bx y  Rn (2) (A , B hai toán tử mà giá trị riêng chúng đơn) Là tương đương tuyến tính Ta cần phải chứng minh giá trị riêng chúng Thật vậy, giả thiết : x’ = Ax x  Rn y’ = Bx y  Rn tương đương tuyến tính nên tồn đẳng cấu tuyến tính h : h(x) = y  y’ = (hx)’ = hAx = hAh-1 Vậy hAh-1 = B Do giá trị riêng A hAh -1 nên toán tử A B có giá trị riêng  ) Giả sử giá trị riêng toán tử A , B Chứng minh hệ (1) tương đương tuyến tính với hệ (2) Do giả thiết giá trị riêng toán tử A , B chúng đơn nên chúng phân tích thành tích trực tiếp hệ chiều đồng nên chúng tương đương tuyến tính (Quay lại)