BÀI TOÁN xấp xỉ và PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG học TRÊN THANG THỜI GIAN TT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THU HÀ BÀI TOÁN XẤP XỈ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC TRÊN THANG THỜI GIAN Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 03 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2017 Công trình hoàn thành tại: Bộ môn Toán Sinh thái - Môi trường, Khoa Toán Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: Prof Dr Nguyen Huu Du Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Vào họi giờ, Luận án công khai tại: - Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc Gia Hà Nội - Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên Mở đầu Lý thuyết phương trình vi phân thường hệ thống lý thuyết khổng lồ, thiên tính học thuật lại sâu vào vấn đề thực tiễn Vì vậy, việc nghiên cứu định tính tính chất định tính phương trình vi phân thường quan trọng lý thuyết lẫn thực hành Đối với tính chất định tính, dáng điệu tiệm cận nghiệm ổn định, tính bền vững, hỗn loạn nhiều nhà khoa học quan tâm Các công cụ nghiên cứu ổn định hàm Lyapunov, số mũ Lyapunov phân tích phổ ma trận Với phân tích định lượng, ta có phương pháp giải số để tìm nghiệm xấp xỉ phương trình hầu hết phương trình vi phân thường giải nghiệm cụ thể Trong đó, phương pháp Euler thường sử dụng nhiều đơn giản hữu ích Bên cạnh đó, lý thuyết phương trình sai phân có trình phát triển lâu dài Phương trình sai phân xác định hệ động lực đơn giản nhất, vậy, chúng đóng vai trò quan trọng nghiên cứu hệ động lực Các phương trình sai phân nảy sinh cách tự nhiên muốn nghiên cứu mô hình toán học mô tả sống thực tế mốc thời gian cố định Chúng dùng để minh họa rời rạc hóa hệ với thời gian liên tục trình tính toán Mặt khác, năm gần đây, lý thuyết thang thời gian, với tên “Giải tích thang thời gian”, tác giả Stefan Hilger giới thiệu luận án tiến sĩ (dưới hướng dẫn Bernd Aulbach) nhằm thống cách trình bày giải tích với thời gian rời rạc liên tục Ngay từ lý thuyết đời, nhận nhiều quan tâm Cho đến nay, có nhiều sách báo viết giải tích thang thời gian Nhiều kết quen thuộc liên quan đến lý thuyết định tính lý thuyết ổn định, dao động, toán giá trị biên trường hợp thời gian liên tục rời rạc "chuyển" "tổng quát hóa" cho thang thời gian Một vấn đề quan trọng giải tích thang thời gian nghiên cứu phương trình động lực Nhiều kết liên quan đến phương trình vi phân chuyển sang thành kết tương ứng dễ cho phương trình sai phân, có số kết khác phương trình sai phân lại khác hoàn toàn với trường hợp thời gian liên tục ngược lại Nghiên cứu phương trình động lực thang thời gian cho phối cảnh chung khám phá tốt không quán phương trình vi phân phương trình sai phân Hơn nữa, giúp tránh khỏi phải chứng minh hai lần cho kết quả, cho phương trình vi phân cho phương sai phân Tuy nhiên nghiên cứu phương trình động lực thang thời gian cho ta kết tổng quát có nhiều thang thời gian với cấu trúc phức tạp hai thang thời gian Mục tiêu luận án nghiên cứu giải tích thời gian theo quan điểm Đó không thống nhất, mà theo quan điểm lý thuyết xấp xỉ Một cách xác hơn, muốn xem xét khoảng cách nghiệm phương trình động lực thang thời gian khác hay nghiên cứu phụ thuộc liên tục số đặc trưng phương trình động lực phổ, miền ổn định, bán kính ổn định vào hệ số thang thời gian Nội dung luận án gồm hai chủ đề sau: Sự xấp xỉ nghiệm Ta bắt đầu cách phân tích phương pháp Euler để giải toán giá trị ban đầu (IVP) x(t) ˙ = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 (0.1) Theo giải tích số, xấp xỉ nghiệm x(t) phương trình (0.1) thực số giá trị khác khoảng thời gian [t0 , T ], gọi điểm lưới Với n ∈ N, ta xét phân hoạch đoạn [t0 , T ] bao gồm điểm lưới sau (n) (n) (n) (n) t0 = t0 < t1 < · · · < tkn −1 < tkn := T, kn ∈ N (0.2) Dựa vào điểm lưới phân hoạch trên, ta xây dựng phương trình sai phân (n) x0 = x0 , (n) (n) (n) (n) (n) (n) xi+1 = xi + (ti+1 − ti )f (ti , xi ), i = 0, , kn − (0.3) (n) (n) Khi , dãy điểm (tk , xk ), k = 1, 2, , kn cho ta giá trị gần (n) (n) điểm (tk , x(tk )), k = 1, 2, , kn đường cong nghiệm xuất phát từ x0 thời điểm t0 Bài toán đặt đưa điều kiện cho hàm f phân hoạch đoạn [0, T ] để có (n) (n) sup |xk − x(tk )| → n → ∞ (0.4) k Phương pháp Euler đơn giản dễ thực Tuy nhiên, có nhược điểm tích lũy sai số trình tính toán lược đồ Euler không ổn định, đặc biệt phương trình dạng phức tạp Vì vậy, người ta đề cập đến phương pháp Euler thứ hai, gọi phương pháp Euler ẩn Trong phương pháp này, xét phương trình (n) (n) (n) (n) (n) (n) (n) x0 = x0 , xi+1 = xi + (ti+1 − ti )f (ti+1 , xi+1 ), i = 0, , kn − (0.5) (n) Phương pháp khác với phương pháp Euler chỗ giá trị xấp xỉ xi+1 xuất hai vế phương trình (0.5) ta cần giải phương trình hàm ẩn x = y + hf (t, x), (0.6) với t, h y biết x chưa biết Ta giải số nghiệm x (0.6) phương pháp lặp xk+1 = y + hf (t, xk ), k = 0, 1, Theo nguyên lý điểm bất động, h đủ nhỏ hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz xk → x, với x nghiệm (0.6) Rõ ràng phương pháp Euler ẩn yêu cầu tính toán nhiều khó thực Tuy nhiên phương pháp sử dụng hiều giải nhiều vấn đề phát sinh thực tiễn đạt tốc độ hội tụ cao Bây ta nhìn nhận phương pháp xấp xỉ Euler theo quan điểm Theo ngôn ngữ thang thời gian, việc tính giá trị xấp xỉ theo phương trình (0.3) ta nghiên cứu nghiệm phương trình động lực x∆ (t) = f (t, x(t)) thang thời gian Tn mô tả (0.2) Một cách tương tự, phương trình (0.5) x∇ (t) = f (t, x(t)) Tn Khi bước lưới phương pháp Euler dần tới 0, dãy thang thời gian Tn hội tụ tới T theo nghĩa hội tụ phương pháp Euler nghĩa hội tụ dãy nghiệm x(·)(n) phương trình (0.3) phương trình (0.5) thang thời gian Tn đến nghiệm phương trình (0.1) thang thời gian T Do đó, phần đầu luận án, đưa ý tưởng đặt toán xấp xỉ trường hợp tổng quát: Cho thang thời gian T {Tn }∞ n=1 dãy thang thời gian hội tụ tới T Ta xét phương trình x∆ (t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 , (0.7) x∇ (t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 , (0.9) t ∈ T t ∈ Tn Khi đó, câu hỏi đặt liệu ta đặt điều kiện để có xn (t) → x(t) as n → ∞ (0.8) Hơn cố gắng đánh giá tốc độ hội tụ dãy nghiệm Sự phụ thuộc liên tục phổ bán kính ổn định Chủ đề thứ hai đề cập luận án xem xét phụ thuộc liệu phổ bán kính ổn định hệ động lực ẩn AX (t) − BX(t) = 0, (0.11) với A B ma trận (xem [23, 46]) Theo [23] [57], việc xét đến số cặp ma trận {A, B} cần thiết toán trở nên phức tạp cấu trúc nghiệm phương trình DAEs phụ thuộc mạnh vào số {A, B} Mặt khác, tìm hiểu lý thuyết phổ, ta biết tính ổn định mũ hệ có liên hệ với phổ σ(A, B) cặp ma trận {A, B} Sự thay đổi số cặp ma trận gây thay đổi rõ rệt phổ σ(A, B) tính liên tục phổ không Do đó, câu hỏi đặt phổ σ(A, B) phụ thuộc liên tục theo {A, B} Bài toán giải có ý nghĩa quan trọng lý thuyết lẫn thực hành Từ đó, ta đến toán sau thang thời gian Bài toán: Xét họ phương trình động lực tuyến tính thang thời gian T An x∆n (t) = Bn x(t), (0.12) hệ số An , Bn ∈ Cm×m Nếu với n ∈ N hệ (0.12) ổn định mũ limn→∞ (An , Bn ) = (A, B) điều kiện đảm bảo cho hệ Ax∆n (t) = Bx(t) ổn định mũ thang thời gian T Song song với đó, có toán tương tự cho bán kính ổn định phương trình động ẩn Ta biết, nghiệm tầm thường x ≡ hệ vi phân tuyến tính x = Bx (tương ứng với hệ sai phân xn+1 = Bxn ) ổn định mũ, với nhiễu nhỏ Σ, hệ x = (B + DΣE)x (0.13) xn+1 = (B + DΣE)xn , (0.14) hay hệ ổn định mũ Ở Σ ma trận nhiễu chưa biết D, E ma trận xác định cấu trúc nhiễu biết Câu hỏi đặt nhiễu Sigma lớn tới mức để (0.13) giữ tính ổn định Ngưỡng xác định ổn định không ổn định hệ gọi bán kính ổn định Nó định nghĩa giá trị nhỏ nhiễu phức thực làm tính ổn định phương trình Khái niệm bán kính ổn định đưa D Hinrichsen AJ Pritchard [48] vào năm 1986 cho phương trình vi phân x = Bx Kể từ đó, vấn đề nhận nhiều quan tâm nhà toán học giới Trong [40], tác giả xét bán kính ổn định hệ động lực ẩn (0.11) chịu nhiễu cấu trúc có dạng ˜ B] ˜ = [A, B] + DΣE = [A + DΣE1 , B + DΣE2 ], [A, (0.20) where D ∈ Cm×l , E1 , E2 ∈ Kq×m , E = [E1 , E2 ], ma trận nhiễu Σ ∈ Cl×q Với nhiễu , hệ (0.11) trở thành Ax∆ (t) = Bx(t), tác giả đưa công thức bán kính ổn định hệ (0.11) sau −1 r(A, B; D, E; T) = sup G(λ) , (0.22) c λ∈UT G(λ) = (λE − E )(λA − B)−1 D Ta nhấn mạnh nhiễu dạng (0.20) tác động vào hai vế phương trình (0.11) tác động nhiễu vào vế trái (0.11) nhạy cảm làm cho số hệ thay đổi Mặt khác, tác giả Du-Lien-Linh lần [37]; Du-Linh [33] Du-Linh [36] nghiên cứu phụ thuộc liên tục bán kính ổn định theo tham số bé Và họ đạt kết sau: Nếu r(E + εF, A; B, C) bán kính ổn định (E + εF )x = (A + BΣC)x, với số giả thiết ta có lim r(E + εF, A; B, C) = min{r(E, A; B, C), r(F22 , A22 ; B2 , C2 )}, ε↓0 F11 F12 A11 A12 B = (B1 , B2 ) ; C = (C1 , C2 ) ; F = F21 F22 A21 A22 Để tổng quát kết này, luận án đề cập đến toán sau Bài toán : Cho dãy phương trình động lực với A = An x∆n (t) = Bn x(t), (0.23) An , Bn ∈ Cm×m , n ∈ N, t ∈ Tn với An , n ∈ N, suy biến Chúng ta muốn nghiên cứu cấu trúc miền ổn định; đưa điều kiện đảm bảo phụ thuộc liên tục bán kính ổn định phương trình động lực ẩn (0.23) (An , Bn , Tn ) hội tụ Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1.1 Thang thời gian tập đóng tùy ý khác rỗng tập số thực R, ký hiệu T Ta giả sử xuyên suốt thang thời gian T có tôpô mà cảm sinh từ tôpô tập số thực R với tôpô tiêu chuẩn 1.2 1.2.1 Tính khả vi Hàm liên tục Vì T có tôpô thừa hưởng từ tô pô tiêu chuẩn đường thẳng thực, nên ta có hàm liên tục định nghĩa cách tự nhiên R Tuy nhiên, thang thời gian có số loại điểm đặc thù, nên ta có thêm số khái niệm sau liên quan đến tính liên tục hàm số thang thời gian Định nghĩa 1.2.1 Một hàm f : T −→ R gọi quy tồn giới hạn bên phải (hữu hạn) tất điểm trù mật phải T tồn giới hạn bên trái (hữu hạn) tất điểm trù mật trái T Một hàm f : T −→ R gọi rd-liên tục liên tục điểm trù mật phải giới hạn bên trái tồn (hữu hạn) điểm trù mật trái T 1.2.2 Delta Nabla đạo hàm Định nghĩa 1.2.2 (Delta đạo hàm) Xét hàm số f : T −→ R ∆−đạo hàm (còn gọi đạo hàm Hilger) f t ∈ Tk số (nếu tồn tại), ký hiệu f ∆ (t), với ε > cho trước tồn lân cận U t cho |[f (σ(t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ(t) − s]| ε|σ(t) − s|, với s ∈ U Hàm f gọi ∆−khả vi (khả vi) Tk f ∆ (t) tồn với t ∈ Tk Một khái niệm tương tự với Delta-đạo hàm nabla đạo hàm Nó khái quát phương trình sai phân lùi xn − xn−1 = f (n, xn ) Định nghĩa 1.2.3 (Nabla đạo hàm) Hàm số f : T → Rd gọi nabla khả vi t tồn vecto f ∇ (t) cho với ε > f (ρ(t)) − f (s) − f ∇ (t)(ρ(t) − s) ε|ρ(t) − s| với s ∈ U lân cận U t Khi f ∇ (t) gọi nabla đạo hàm f t 1.3 Tích phân Delta tích phân Nabla Giả sử độ đo Lebesgue m∆ m∇ độ đo Lebesgue thang thời gian T ứng với thác triển Carathéodory hàm tập xác định họ tất tập hợp có dạng [a, b) (hoặc (a, b]) Khi đó, tích phân Lebesgue liên kết với độ đo m∆ m∇ T gọi ∆ -tích phân Lebesgue ∇ -tích phân Lebesgue tương ứng với T Trong định lý sau, ta giới thiệu số tính chất tích phân thang thời gian Mối liên hệ tích phân thang thời gian tích phân Lebesgue đường thẳng thực định lý sau Định lý 1.3.1 (Xem [22]) Nếu f hàm quy, ta có b f (t)∆t = a f(t)(σ(t) − t), f (t)mes(dt) + [a,b]T a t T ∈ T, tồn θ = θ(ε, T ) cho dH (T, Tn ) < θ (n) δT (T − t0 )ε + 2M (T − t0 ) dH (T, Tn ), θ (n) với δT xác định công thức (2.23) Với kết ta nghiên cứu hội tụ dãy nghiệm sau Định lý 2.2.5 Cho dãy thang thời gian {Tn }∞ n=1 thỏa mãn limn→∞ Tn = T, xn (t), n = 1, 2, nghiệm IVPs (2.16) x(t) nghiệm phương trình IVP (2.17) Khi đó, với T > t0 ta có lim sup n→∞ t∈T∩[t ,T ] x(t) − xn (t∗n ) = (2.24) Để ước lượng tốc đọ hội tụ nghiệm IVPs (2.16) Tn n → ∞, ta cần thêm số giả thiết cho hàm f Giả sử f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo hai biến t x Khi đó, ta nhận kết sau tốc độ hội tụ dãy nghiệm 13 Định lý 2.2.7 Giả sử f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo hai biến t, x xn (t), n = 1, 2, nghiệm IVPs (2.16); x(t) nghiệm IVP (2.17) Nếu t ∈ T : t0 t < T x(t) − xn (t∗n ) C1 dH (T, Tn ), (2.29) với C1 = 2k(2T + − 2t0 )(M + 1)ek(T +1−t0 ) + M Hơn nữa, t ∈ T ∩ Tn : t0 t < T x(t) − xn (t) C2 dH (T, Tn ), với C2 = 4k(T − t0 )(M + 1)ek(T −t0 ) 2.2.3 Ví dụ Ví dụ 2.2.1 Cho T = [0, ∞) Ta xét mô hình quần thể trồng Gọi x(t) số loài thời điểm t ∈ T vùng xác định Bằng thực nghiệm, ta biết x(t) tăng trưởng theo phương trình logistic x∆ (t) = 5(1 + cos x(t)), t ∈ T and x(0) = (2.34) Giả sử ta có giá trị x(t) có xn (t) với xn (t) số loài thời điểm t ∈ Tn vùng xác định, theo phương trình x∆ n (t) = 5(1 + cos(xn (t)), xn (0) = 1, ∞ với Tn = {0} ∪ k=1 2k−1 2k n , n t ∈ Tn , n ∈ N, (2.35) for all n ∈ N Trên T,ta có x(t) = arctan(5t), t ∈ T Trên Tn xn (0) = xn 2k 2k 2k + = xn + + cos x n n n n xn (t) = arctan t − , 2k − 2k − 2k + Ckn , ∀ t ∈ , , k ∈ N∗ n n n 14 2.5 2.5 2 x(t) x(t) 1.5 1.5 1 the graph of soluions to x(t) on [0,1] xn((i+1)/n) 0.5 the graph of soluions to x(t) on [0,1] xn((i+1)/n) 0.5 the graph of soluions to xn(t) when n=20 the graph of soluions to xn(t) when n=20 values of Euler method 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 t 0.6 0.7 values of Euler method 0.8 0.9 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 t 0.6 0.7 0.8 0.9 (a) xn (t) and x(t) with n = 10 on the interval [0, 1] in Example 2.2.1 (b) xn (t) and x(t) with n = 20 on the interval [0, 1] in Example 2.2.1 Hình 2.1: Đồ thị nghiệm xn (t) thang thời gian Tn 2.3 Sự hội tụ nghiệm phương trình động lực nabla thang thời gian 2.3.1 Hàm mũ nabla Định nghĩa 2.3.3 Cho p(·) ld-liên tục ν−hồi quy, ta định nghĩa hàm mũ nabla sau t t ξν(s) (p(s)) ∇s ep (t, t0 ) = exp = exp t0 − Ln(1 − hp(s)) ∇s , h h→ν(s) lim t0 (2.38) với t, t0 ∈ T 2.3.2 Phương trình động lực nabla thang thời gian Cho thang thời gian T hàm số f : T × Rd → Rd Xét phương trình động lực x∇ (t) = f (t, x), (2.42) với điều kiện đầu x(t0 ) = x0 Giả sử f ld-liên tục T thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x, nghĩa tồn số k > 0, k hồi quy dương, cho f (t, x) − f (t, y) k x−y , với mọil t ∈ T : t0 15 t T x, y ∈ Rd (2.43) Chú ý 2.3.4 Điều kiện tương tự với điều kiện Lipschitz phương trình động lực delta Tuy nhiên, trường hợp này, ta đòi hỏi số Lipschitz k phải hồi quy dương Theo cách tương tự mục 2.1 ta phương trình (2.42) với điều kiện đầu x(t0 ) = x0 có nghiệm xác định [t0 , T ] 2.3.3 Sự hội tụ mghiệm phương trình động lực nabla Cho {Tn }n∈N dãy thang thời gian thỏa mãn limn→∞ Tn = T, theo khoảng cách Hausdorff t0 ∈ Tn với n ∈ N Ta định nghĩa T = ∪n∈N Tn ∪ T Giả sử f (t, x) liên tục theo (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz [t0 , T ]T × Rd Với giả thiết trên, toán (IVPs) x∇ n (t) = f (t, xn (t)), t ∈ Tn , xn (t0 ) = x0 , n = 1, 2, (2.44) x∇ (t) = f (t, x(t)), t ∈ T, x(t0 ) = x0 , (2.45) có nghiệm xn (t) xác định Tn (tương ứng với x(t) xác định T) Khi ta có t xn (t) = x0 + f (s, xn (s))∇n s (2.46) f (s, x(s))∇s (2.47) t0 và, t x(t) = x0 + t0 Định lý 2.3.6 Cho dãy thang thời gian {Tn }∞ n=1 thỏa mãn limn→∞ Tn = T Gọi xn (t), n = 1, 2, nghiệm phương trình IVPs (2.42) Tn x(t) nghiệm IVPs (2.42) T Khi đó, với T > t0 ta có lim sup n→∞ t∈T;t0 t T x(t) − xn (t∗n ) = Định lý sau đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm Định lý 2.3.8 Giả sử giả thiết (2.43) thỏa mãn Gọi xn (t), n = 1, 2, nghiệm phương trình IVPs (2.42) Tn x(t) nghiệm IVP (2.42) T Nếu t ∈ T : t0 t < T x(t) − xn (t∗n ) C1 dH (T, Tn ), 16 C1 = 2k(2T + − 2t0 )(M + 1)eC0 k(T +1−t0 ) + M Hơn nữa, t ∈ T ∩ Tn : t0 t < T x(t) − xn (t) C2 dH (T, Tn ), C2 = 4k(T − t0 )(M + 1)eC0 k(T −t0 ) Chương hoàn thành dựa sở hai báo [1] Nguyen Thu Ha, Nguyen Huu Du, Le Cong Loi and Do Duc Thuan, (2015), On the convergence of solution to dynamic equation on time scales, Qual Theory Dyn Syst., 15(2016), no 2, 453–469 [2] Nguyen Thu Ha, Nguyen Huu Du, Le Cong Loi and Do Duc Thuan, (2015), On the convergence of solution to nabla dynamic equation on time scales, Dynam Systems Appl., 24(2015), no 4, 451–465 Chương Sự phụ thuộc liệu phương trình động lực ẩn thang thời gian Trong chương này, ta nghiên cứu phụ thuộc liệu số đặc trưng hệ động lực ẩn có dạng Ax∆ (t) = Bx(t), t∈T (3.1) theo hệ số {A, B} thang thời gian T Ta đạt kết sau: +) Thiết lập mối iên hệ miền ổn định tương ứng với hội tụ dãy thang thời gian +) Phân tích phụ thuộc liên tục phổ cặp ma trận tính ổn định mũ phương trình (3.1) theo hệ số thang thời gian 17 +) Nghiên cứu hội tụ bán kính ổn định phương trình với nhiễu có cấu trúc hệ số thang thời gian hội tụ 3.1 Miền ổn định mũ cảu thang thời gian Trong mục này, ta đề cập đến số đặc tính miền ổn định mũ ứng với hội tụ dãy thang thời gian Đây chuẩn bị để ta xét phụ thuộc liệu tính ổn định mũ bán kính ổn định phương trình động ẩn nội dung 3.1.1 Miền ổn định thang thời gian Trước hết ta đưa tiêu chuẩn đặc trưng cho tính ổn định mũ UT Đặt t t ln|1 + hλ| L(λ) := lim sup ζλ (µ(τ ))∆τ := lim ∆τ (3.7) t − s h h µ(τ ) t−s→∞ s s Khi ta có mối liên hệ L(λ) giá trị λ ∈ UT thể mệnh đề sau Mệnh đề 3.1.2 Cho λ ∈ C, λ ∈ UT L(λ) < Bổ đề 3.1.4 Cho T ∈ T λ ∈ C \ R Khi đó, λ ∈ UT L(λ, T) 3.1.2 Sự phụ thuộc miền ổn định mũ thang thời gian Trong mục muốn thiết lập mối quan hệ miền ổn định dãy hội tụ thang thời gian Xét dãy thang thời gian {Tn }n∈N ⊂ T thỏa mãn: lim Tn = T Ký hiệu UTn (tương ứng UT) miền n→∞ ổn định mũ thang thời gian Tn (tương ứng T) Khi đó, ta nhận kết sau phụ thuộc miền ổn định mũ Mệnh đề 3.1.6 Giả sử lim Tn = T Khi đó, với λ ∈ UT, tồn n→∞ δ > nλ > cho B(λ, δ) ⊂ UT UTn , where B(λ, δ) lân n>nλ cận λ Định lý 3.1.7 Nếu lim Tn = T n→∞ ∞ UT ⊂ ∞ UTm \ R ⊂ UT \ R UTm n=1 m n n=1 m n 18 Chú ý 3.1.1 Mục đích chứng minh bao hàm thức lim sup UTm ⊂ UT ⊂ lim inf UTm m→∞ m→∞ Và từ ta suy lim sup UTm = lim inf UTm = lim UTm = UT m→∞ m→∞ m→∞ Tuy nhiên, từ định lý ta nhận kết yếu UT ⊂ lim inf UTm , lim sup UTm \ R ⊂ UT \ R m→∞ m→∞ Lý λ ∈ UT ∩ R, ta không ước lượng mối liên hệ L(λ, T) L(λ, Tn ) Tuy thế, kết đủ để ta nghiên cứu tính ổn định mũ phương trình động lực ẩn dãy thang hội tụ 3.2 Sự phụ thuộc phổ cặp ma trận tính ổn định mũ phương trình động lực ẩn theo liệu 3.2.1 Chỉ số cặp ma trận Định nghĩa 3.2.1 Cặp ma trận {A, B} gọi cặp ma trận quy itồn số λ ∈ C cho det(λA − B) = Ta định nghĩa số cặp ma trận {A, B} số ma trận H = (λA − B)−1 A Khi ta viết Ind(A, B) = k 3.2.2 Nghiệm phương trình động lực ẩn hệ số Xét phương trình động lực ẩn thang thời gian T Ax∆ (t) = Bx(t), (3.17) x(t) ∈ Cm , A, B ∈ Cm×m ma trận Trong định lý tiếp theo, ta đưa điều kiện cần đủ để đảm bảo tồn nghiệm phương trình động lực ẩn với hệ số Định lý 3.2.2 Nếu cặp ma trận {A, B} quy phương trình động lực ẩn tuyến tính hệ số (3.17) giải 3.2.3 Phổ phương trình động lực ẩn tuyến tính hệ số Giả sử cặp ma trận {A, B} quy Ind{A, B} = k ∈ N 19 Định nghĩa 3.2.2 Phổ cặp ma trận {A, B}, ký hiệu σ(A, B), tập tất giá trị riêng cặp ma trận {A, B}, nghĩa là, tập tất nghiệm phức λ phương trình det(λA − B) = Mối liên hệ tính ổn định mũ (3.17) phổ cặp ma trận {A, B} xác định định lý sau Định lý 3.2.3 (Xem [40, Định lý 3.2]) Phương trình động lực ẩn (3.17) ổn định mũ σ(A, B) ⊂ UT Tiếp tục, ta nghiên cứu dãy phương trình động lực ẩn An x∆n (t) = Bn x(t), (3.22) với An , Bn ∈ Cm×m Tn ∈ T Từ định lý 3.2.3 ta suy ra, tính ổn định mũ pương trình (3.22) phụ thuộc vào phổ cặp ma trận (An , Bn ) cấu trúc mền ổn định mũ UTn Bằng ví dụ, ta phổ cặp ma trận tính ổn định mũ phương trình động lực ẩn nhạy cảm với thay đổi hệ số phương trình Điều dễ hiểu tác động nhiễu nhỏ, cấu trúc thành phần nghiệm thay đổi mạnh số thay đổi số giá trị riêng dần ∞ Vì để có tính liên tục phổ cặp ma trận, ta phải bổ sung thêm số điều kiện hạn chế thay đổi cặp ma trận (An , Bn ), n ∈ N (An , Bn ) dần đến (A, B) Mệnh đề 3.2.5 Cho Ind(A, B) = Giả sử mn→∞ (An , Bn ) = (A, B) (An − A)Q = với n ∈ N Khi ta có lim σ(An , Bn ) = σ(A, B) n→∞ (3.23) theo khoảng cách Hausdorff Từ mệnh đề trên, ta suy phụ thuộc tính ổn định mũ phương trình (3.17) hệ số thang thời gian hội tụ Định lý 3.2.6 Cho Ind(A, B) = phương trình (3.17) ổn định mũ Giả sử limn→∞ (An , Bn ; Tn ) = (A, B; T) (An − A)Q = với n ∈ N với n ∈ N Khi tồn N > cho phương trình (3.22) ổn định mũ với n > N Trong trường hợp Ind(A, B) > 1, giả thiết (An − A)Q = chưa đủ nên ta cần có hạn chế lên ma trận B Bn để có kết tuơng tự 20 Mệnh đề 3.2.7 Cho Ind(A, B) > Giả sử limn→∞ (An , Bn ) = (A, B) (An − A)Q = (Bn − B)Q = với n ∈ N Khi ta có lim σ(An , Bn ) = σ(A, B) n→∞ theo khoảng cách Hausdorff Định lý 3.2.8 Cho Ind(A, B) > phương trình (3.17) ổn định mũ Giả sử lim (An , Bn ; Tn ) = (A, B; T) (An − A)Q = (Bn − B)Q = n→∞ với n ∈ N Khi tồn N > cho phương trình (3.22) ổn định mũ với n > N 3.3 3.3.1 Sự phụ thuộc theo liệu bán kính ổn định Bán kính ổn định phương trình động lực ẩn tuyến tính Xét phương trình Ax∆ (t) = Bx(t) (3.24) Giả sử phương trình chịu nhiễu tổng quát có dạng [A, B] = [A, B] + DΣE, (3.25) D ∈ Cm×l , E ∈ Cq×2m ma trận xác định cấu trúc nhiễu, Σ ∈ Cl×q ma trận nhiễu Khi ta có phương trình Ax∆ (t) = Bx(t), (3.26) Ta định nghĩa tập "nhiễu xấu" phương trình động lực ẩn (3.17) sau: ΞC = Σ ∈ Cl×q : (3.17) không quy không ổn định mũ Định nghĩa 3.3.1 Bán kính ổn định phương trình (3.17) chịu nhiễu tổng quát dạng (3.25) xác định r(A, B; D, E; T) = inf{ Σ : Σ ∈ ΞC } Định lý 3.3.1 (xem [40]) Bán kính ổn định phức phương trình (3.17) chịu nhiễu tổng quát dạng (3.25) cho công thức −1 r(A, B; D, E; T) = sup G(λ) c λ∈UT với G(λ) = E λ (λA − B)−1 D E λ = λE − E 21 , 3.3.2 Sự phụ thuộc theo liệu bán kính ổn định Xét dãy phương trình động lực ẩn An x∆n (t) = Bn x(t), (3.36) với An , Bn ∈ Cn×n t ∈ Tn Giả sử với n ∈ N, phương trình (3.36) ổn định mũ chịu nhiễu tổng quát [An , Bn ] = [An , Bn ] + Dn Σn En , (3.37) Dn ∈ Cm×l , En ∈ Cq×2m , ma trận nhiễu Σn ∈ Cl×q Dưới tác động nhiễu trên, phương trình (3.36) trở thành An x∆n (t) = Bn x(t) (3.38) Theo (3.3.1), bán kính ổn định (3.36) cho r(An , Bn ; Dn , En ; Tn ) = ( sup λ∈UTcn Gn (λ) )−1 (3.39) Mệnh đề sau bán kính ổn định r nửa lên tục (u.s.c) theo hệ số thang thời gian Mệnh đề 3.3.2 Giả sử phương trình (3.17) ổn định mũ lim (An , Bn ; Dn , En ; Tn ) = (A, B; D, E; T) Khi đó, n→∞ lim sup r(An , Bn ; Dn , En ; Tn ) n→∞ r(A, B; D, E; T) (3.40) Trong trường hợp tổng quát, ta không có mềnh đề đảo (3.40), nghĩa bán kính ổn định không nửa liên tục Trước hết ta xét trường hợp có thang thời gian thay đổi ma trận không biến thiên theo n, nghĩa (An , Bn ; Dn , En ) ≡ (A, B, D, E) Khi đó, ta chứng minh bán kính ổn định phụ thuộc liên tục theo thang thời gian Mệnh đề 3.3.3 Giả sử phương trình (3.17) ổn định mũ lim Tn = T Khi đó, n→∞ lim r(A, B; D, E; Tn ) = r(A, B; D, E; T) n→∞ Khi hệ số phương trình (3.36) biến thiên theo n, bất đẳng thức ngược lại chưa có hệ có số Để có phụ thuộc liên tục bán kính ổn định theo hệ số thang thời gian, ta cần bổ sung thêm điều kiện định lý sau 22 Định lý 3.3.4 Giả sử Ind(A, B) = phương trình (3.17) ổn định mũ Giả sử lim (An , Bn ; Dn , En ; Tn ) = (A, B; D, E; T) (An − n→∞ A)Q = En1 Q = với n ∈ N Khi ta có r(A, B; D, E; T) = lim inf r(An , Bn ; Dn , En ; Tn ) n→∞ (3.43) Để nhận kết trường hợp số 1, ta cần đưa thêm giả thiết cho hệ số vế phải phương trình Định lý 3.3.5 Cho Ind(A, B) > phương trình (3.17) ổn định mũ Giả sử lim (An , Bn ; Dn , En ; Tn ) = (A, B; D, E; T) (An − A)Q = (Bn − B)Q n→∞ = En1 Q = En2 Q = với n ∈ N Khi ta có r(A, B; D, E; T) = lim inf r(An , Bn ; Dn , En ; Tn ) n→∞ Ví dụ 3.3.2 (Xem [36]) Xét hệ động lực ẩn tuyến tính với nhiễu có cấu trúc Aε x∆ = (B + DΣE)x; (3.44) Aε = A + εF Giả sử Ind(A, B) = 1, hệ (3.44) ổn định mũ ε = Q phép chiếu lên Ker A thỏa mãn F Q = Khi đó, điều kiện (A − Aε )Q = thoả mãn Áp dụng định lý 3.3.4 ta nhận lim r(E + εF, A; B, C) = r(E, A; B, C) ε↓0 Trường hợp F Q = 0, ta thấy (A − Aε )Q = Vì thế, ta chưa có giới hạn Trong [36], tác giả chứng minh lim r(A + εF, A; B, C) = min{r(E, A; B, C), r(F22 , B22 ; D2 , E2 )} ε→0 Ở đây, D = (D1 , D2 ) ; E = (E1 , E2 ),A = A11 ; F = 0 F11 F12 F21 F22 Chương hoàn thành dựa sở báo [3] Nguyen Thu Ha, Nguyen Huu Du and Do Duc Thuan, On data- dependence of stability domains, exponential stability and stability radii for implicit linear dynamic equation, Math Control Signals Systems, 28(2016), no 2, Art 13, 28 pp 23 Kết luận Luận án chia thành hai phần Trong phần thứ nhất, ta chứng minh hội tụ nghiệm phương trình động x∆ (t) = f (t, x) thang thời gian {Tn }∞ n=1 dãy thang thời gian hội tụ đến thang thời gian T Tốc độ hội tụ nghiệm ước lượng f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo hai biến Bài toán tương tự phương trình động lực nabla x (t) = f (t, x) nghiên cứu Vấn đề thứ hai luận án phân tích phụ thuộc liệu số đặc trưng liên quan đến tính ổn định phương trình động lực ẩn thang thời gian Đó miền ổn định, phổ cặp ma trận, ổn định mũ bán kính ổn định Các tính chất liên quan miền ổn định mối quan hệ phổ cặp ma trận tính ổn định mũ xem xét Chúng ta tính ổn định mũ bán kính ổn định phụ thuộc liên tục vào ma trận hệ số thang thời gian Sau hoàn thành luận án, có số toán mở đặt ra, là: phân tích ổn định mũ bán kính ổn định cho phương trình động lực với hệ số biến thiên theo thời gian nhiễu có cấu trúc tác động lên hai vế Đây vấn đề thú vị, nhiên theo dự đoán cách giải vấn đề gặp nhiều khó khăn đòi hỏi nhiều kỹ thuật khó 24 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Nguyen Thu Ha, Nguyen Huu Du, Le Cong Loi and Do Duc Thuan, (2015), On the convergence of solution to dynamic equation on time scales, Qual Theory Dyn Syst., 15(2016), no 2, 453–469.(Chapter 2) Nguyen Thu Ha, Nguyen Huu Du, Le Cong Loi and Do Duc Thuan, (2015), On the convergence of solution to nabla dynamic equation on time scales, Dynam Systems Appl., 24(2015), no 4, 451–465.(Chapter 2) Nguyen Thu Ha, Nguyen Huu Du and Do Duc Thuan, On data- dependence of stability domains, exponential stability and stability radii for implicit linear dynamic equation, Math Control Signals Systems, 28(2016), no 2, Art 13, 28 pp (Chapter 3) ... phương trình (0.3) phương trình (0.5) thang thời gian Tn đến nghiệm phương trình (0.1) thang thời gian T Do đó, phần đầu luận án, đưa ý tưởng đặt toán xấp xỉ trường hợp tổng quát: Cho thang thời. .. phương pháp xấp xỉ Euler theo quan điểm Theo ngôn ngữ thang thời gian, việc tính giá trị xấp xỉ theo phương trình (0.3) ta nghiên cứu nghiệm phương trình động lực x∆ (t) = f (t, x(t)) thang thời. .. cho phương trình vi phân cho phương sai phân Tuy nhiên nghiên cứu phương trình động lực thang thời gian cho ta kết tổng quát có nhiều thang thời gian với cấu trúc phức tạp hai thang thời gian