(Luận văn thạc sĩ) phương trình sai phân riêng tuyến tính

�m vừa nghiệm dưới, ngược lại chưa 54 Chương Sự tồn nghiệm Sau số tính chất liên quan đến nghiệm nghiệm tốn (3.37)-(3.38) + Tính chất Cho u = {uij } nghiệm ω = {ωij } nghiệm (3.37)-(3.38) Giả sử f (i, j, v) không tăng theo v với (i, j) ∈ Ω Ta ln có uij ≤ ωij , (i, j) ∈ Ω Thật vậy, ý D(uij − ωij ) + f (i, j, uij ) − f (i, j, ωij ) ≥ 0, (i, j) ∈ Ω, uij − ωij ≤ 0, (i, j) ∈ ∂Ω, f (i, j, v) không tăng theo v nên f (i, j, uij ) − f (i, j, ωij ) ≤ uij − ωij ≥ Theo Hệ 1.6.2 uij − ωij ≤ 0, (i, j) ∈ Ω + ∂Ω Tuy nhiên, trường hợp tổng quát lúc nghiệm nhỏ nghiệm Sau điều kiện để ln có điều + Tính chất Cho ω = {ωij } nghiệm (3.37)-(3.38) cho có dãy dương z = {zij } thỏa mãn D(λzij ) < f (i, j, ωij ) − f (i, j, ω + λzij ), (i, j) ∈ Ω, với λ > Khi u ≤ ω với u = {uij } nghiệm (3.37)-(3.38) Thực vậy, giả sử u nghiệm (3.37)-(3.38) cho uαβ − ωαβ = max {uij − ωij } > 0, (i,j)∈Ω uαβ = ωαβ + λ∗ zαβ , với λ∗ > Hơn nữa, ≥ D(uαβ − ωαβ − λ∗ zαβ ) = Duαβ − Dωαβ − D(λ∗ zαβ ) > −f (α, β, uαβ ) + f (α, β, ωαβ ) − f (α, β, ωαβ ) + f (α, β, λzαβ ) = Vậy u ≤ ω, với u nghiệm (3.37)-(3.38) + Tính chất Định lý so sánh khác nghiệm nghiệm Định lý 3.6.1 [2, Định lý 117] Giả sử f1 (i, j, v) ≤ f (i, j, v) ≤ f2 (i, j, v) với (i, j) ∈ Ω Khi nghiệm Dωij + f2 (i, j, ωij ) = 0, (i, j) ∈ Ω ωij = 0, (i, j) ∈ ∂Ω, nghiệm (3.37)-(3.38), nghiệm Duij + f1 (i, j, uij ) = 0, (i, j) ∈ Ω, 55 (3.39) Chương Sự tồn nghiệm uij = 0, (i, j) ∈ ∂Ω nghiệm (3.37)-(3.38) Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp nghiệm trên, trường hợp lại tương tự Giả sử ω = {ωij } nghiệm (3.39), Dωij + f2 (i, j, ωij ) ≤ 0, (i, j) ∈ Ω, ωij ≥ 0, (i, j) ∈ ∂Ω Do f (i, j, v) ≤ f2 (i, j, v) nên Dωij + f (i, j, ωij ) ≤ Dωij + f2 (i, j, ωij ) ≤ 0, (i, j) ∈ Ω, ωij ≥ 0, (i, j) ∈ ∂Ω Vậy ω = {ωij } nghiệm (3.37)-(3.38) + Tính chất Sự tồn nghiệm nghiệm (3.37)-(3.38) Định lý 3.6.2 [2, Định lý 118] Nếu f (i, j, v) ≥ L (hoặc f (i, j, v) ≤ L) với (i, j) ∈ Ω (3.37)-(3.38) có nghiệm (tương ứng nghiệm trên) Chứng minh Xét hệ tuyến tính Dvij + L = 0, (i, j) ∈ Ω, vij = 0, (i, j) ∈ ∂Ω Theo Hệ 1.6.4 hệ có nghiệm {uij } Theo Định lý 3.6.1 {uij } nghiệm (3.37)-(3.38) Bây định lý tồn nghiệm toán biên (3.37)-(3.38) Định lý 3.6.3 [2, Định lý 121] Giả sử |f (i, j, v)| ≤ M với (i, j) ∈ Ω v ∈ R Hơn nữa, giả sử f (i, j, u) liên tục theo u với (i, j) ∈ Ω Khi tốn biên (3.37)-(3.38) có nghiệm Chứng minh Theo Định lý 2.7.1 nghiệm (3.37)-(3.38) có dạng (u,v) xij = Gij f (u, v, xuv ), (i, j) ∈ Ω (u,v)∈Ω Xét ánh xạ T : R −→ R xác định bởi, (u,v) (T x)ij = Gij f (u, v, xuv ), (i, j) ∈ Ω (u,v)∈Ω 56 Chương Sự tồn nghiệm Đặt (u,v) |Gij K := max (i,j)∈Ω |, (u,v)∈Ω S := {x = {xij } : ||x||∞ ≤ KM }, với ||x||∞ = max(i,j)∈Ω |xij | Dễ thấy S tập bị chặn, lồi, đóng RΩ Hơn nữa, ||T x|| = max |(T x)ij | ≤ K.|f (u, v, xuv )| ≤ KM (i,j)∈Ω Do T ánh xạ từ S vào S liên tục với (i, j) ∈ Ω f liên tục theo biến thứ ba Vậy theo định lý điểm bất động Browner tồn x∗ ∈ S cho x∗ = T x∗ hay {x∗ij } nghiệm (3.37)-(3.38) Định lý 3.6.4 [2, Định lý 122] Giả sử f (i, j, u) liên tục theo biến u với (i, j) ∈ Ω Khi với nghiệm u = {uij } nghiệm ω = {ωij } (3.37)-(3.38) thỏa mãn u ≤ ω có nghiệm v = {vij } (3.37)-(3.38) thỏa mãn u ≤ v ≤ ω Chứng minh Xét toán biên Dxij + Φ(i, j, xij ) = 0, (i, j) ∈ Ω, (3.40) xij = 0, (i, j) ∈ ∂Ω, (3.41)     f (i, j, ωij ) + (ωij − x)/(1 + x2 ), x > ωij     Φ(i, j, x) = f (i, j, x), uij ≤ x ≤ ωij ,       f (i, j, uij + (uij − x)/(1 + x2 ), x < uij (3.42) với (i, j) ∈ Ω Rõ ràng, hàm Φ bị chặn với (i, j) ∈ Ω x ∈ R, liên tục theo biến x Theo Định lý 3.6.3 tồn môt nghiệm v = {vij } toán biên (3.40)-(3.41) Tiếp theo, chứng minh v ≤ ω Giả sử ngược lại vαβ − ωαβ = max(i,j)∈Ω {vij − ωij } > Khi ≥ D(vαβ − ωαβ ) ≥ f (α, β, ωαβ ) − Φ(α, β, vαβ ) = vαβ − ωαβ > 0, + vαβ điều mâu thuẫn nên v ≤ ω Tương tự, ta có u ≤ v Vậy u ≤ v ≤ ω, từ (3.42) Φ(i, j, x) ≡ f (i, j, x) suy v = {vij } nghiệm toán (3.37)-(3.38) 57 Chương Sự tồn nghiệm Ví dụ 3.3 Xét tốn (3.37)-(3.38) với hàm f (i, j, v) thỏa mãn ≤ f (i, j, v) ≤ sin2 π v, ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n + sin2 4m + 4n + Khi đó, dãy {0} nghiệm (3.37)-(3.38) dãy ω = {ωij } xác định ωij = sin πi πj sin , ≤ i ≤ m + 1, ≤ j ≤ n + 1, 2m + 2n + nghiệm (3.37)-(3.38) thỏa mãn Dωij + sin2 π π ωij = 0, ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n, + sin2 4m + 4n + ωi0 = ωi,n+1 = 0, ≤ i ≤ m + 1, ω0j = ωm+1,j = 0, ≤ j ≤ n + Theo Định lí 3.6.4 (3.37)-(3.38) có nghiệm v = {vij } thỏa mãn ≤ vij ≤ sin πi πj sin , ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n 2m + 2n + 58 Kết luận Như vậy, luận văn giải mục tiêu nghiên cứu ban đầu Hai vấn đề luận văn bao gồm Thứ trình bày số phương pháp để tìm cơng thức nghiệm hiển vài lớp phương trình sai phân riêng lớp phương trình nhiệt, phương trình Poisson, phương trình Laplace rời rạc, Thứ hai xây dựng tiêu chuẩn tồn nghiệm với số đặc tính như: nghiệm dạng truyền sóng với phương trình nhiệt; nghiệm dương bị chặn với phương trình nhiệt tổng quát, nghiệm bị chặn với phương trình Laplace rời rạc; toán biên Dirichlet 59 Tài liệu tham khảo [1] V Afraimovich and Y Pesin, Travelling waves in latice models of multidimentional and multi-component media: I General hyperbolic properties, Nonlinearity, 6(1993), 429-455 [2] S S Cheng, Partial Difference Equations, Taylor and Francis, London and New York, 2003 [3] S S Cheng, L Y Hsieh and Z T Chao, Discrete Lyapunov inequality conditions for partial difference equations, Hokkaido Math.J., 19(1990), 229239 [4] S S Cheng and R Medina, Bounded and Positive Solutions of Discrete Steady State Equations, Tamkang Journal of Math, 31(2000) [5] S S Cheng and R Medina, Positive and Bounded solutions of Discrete Reaction - Diffusion Equations, Appl Math E-Note, 2(2002), 110-116 [6] S S Cheng and S S Lin, Existence and Uniqueness Theorems for Nonlinear Difference Equations, Utilitas Math., 39(1991), 9-24 [7] S S Cheng and G H Lin, Green’s function and Stability of a Linear Partial Difference Scheme, Comput Math Appl., 35(5)(1998), 27-41 [8] J A Jeske, Linear Recurence Relations- Part III, San Jose State College, San Jose, Canifornia, Octorber (1964) [9] S T Liu and Y Liu, Existence of Monotone Positive Solution of Neutral Partial Difference Equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 247(2000), 384-396 [10] W Zhang , Y Cheng and S S Cheng, Monotone Methods for a Discrete Boundary Value Problem, Comput Math Appl., 32(12)(1996), 41-49 60 ... văn giải mục tiêu nghiên cứu ban đầu Hai vấn đề luận văn bao gồm Thứ trình bày số phương pháp để tìm cơng thức nghiệm hiển vài lớp phương trình sai phân riêng lớp phương trình nhiệt, phương trình. .. trình Poisson, phương trình Laplace rời rạc, Thứ hai xây dựng tiêu chuẩn tồn nghiệm với số đặc tính như: nghiệm dạng truyền sóng với phương trình nhiệt; nghiệm dương bị chặn với phương trình nhiệt...Chương Sự tồn nghiệm Sau số tính chất liên quan đến nghiệm nghiệm tốn (3.37)-(3.38) + Tính chất Cho u = {uij } nghiệm ω = {ωij } nghiệm (3.37)-(3.38) Giả