Phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC CHI PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC CHI PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, thầy cô giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi cho kết thúc tốt đẹp chương trình cao học hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS.Nguyễn Văn Hùng, người quan tâm động viên, tận tình hướng dẫn suốt trình làm luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục đào tạo Bắc Ninh, trường THPT Lý Thái Tổ, gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Nguyễn Thị Ngọc Chi LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Chi MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Sai phân 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất sai phân 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Nghiệm 1.3 Tuyến tính hoá 21 1.4 Sai số 25 1.4.1 Định nghĩa 25 1.4.2 Quy tắc làm tròn 26 1.4.3 Sai số tính toán 27 1.4.4 Bài toán ngược toán sai số 29 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 31 2.1 Phương pháp sai phân giải phương trình Elliptic 31 2.1.1 Bài toán biên Dirichlet 31 2.1.2 Những bước việc sai phân hoá toán biên Dirichlet 31 2.2 Phương pháp sai phân giải phương trình Parabolic 46 2.2.1 Bài toán biên phương trình Parabolic 46 2.2.2 Những bước việc sai phân hoá toán (2.45), (2.46) 47 2.3 Phương pháp sai phân giải phương trình Hyperbolic 57 2.3.1 Bài toán 57 2.3.2 Những bước việc sai phân hoá toán Hyperbolic 58 CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG MÁY TÍNH 61 Ví dụ 3.1 Giải toán: 61 Ví dụ 3.2 Tìm nghiệm toán Dirichlet 64 Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm gần phương trình: 68 Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm gần phương trình Parabolic: 69 Ví dụ 3.5 Tìm nghiệm gần phương trình: 72 Ví dụ 3.6 Giải phương trình Hyperbolic 76 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất toán ứng dụng lí thuyết thủy động học, học lượng tử, điện học- từ trường Đa số toán phức tạp, phương pháp giải Nhiều toán nghiệm theo nghĩa cổ điển Vấn đề tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng không cần trường hợp Bởi ta dẫn đến việc tìm nghiệm gần phương trình đạo hàm riêng từ xuất phương pháp giải gần phương trình Trong số phương pháp giải gần phương trình đạo hàm riêng phương pháp sai phân (còn gọi phương pháp lưới) sử dụng phổ biến Mục đích phương pháp sai phân đưa toán phương trình đạo hàm riêng toán rời rạc điểm lưới, đặc biệt xung quanh điểm kì dị điểm biên để đưa toán xét hệ phương trình sai phân việc tìm nghiệm số toán chuyển việc giải hệ phương trình đại số phương pháp gần Tuy nhiên tăng cường việc ứng dụng công nghệ thông tin vào việc dạy học toán Và công cụ hữu hiệu để giải gần phương trình đạo hàm riêng phần mềm Maple Từ nhu cầu thực tiễn với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp sai phân phần mềm Maple giải gần phương trình đạo hàm riêng, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hùng em chọn đề tài nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” để thực luận văn tốt nghiệp 2 Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu phương pháp sai phân giải gần phương trình đạo hàm riêng Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Các kiến thức sai phân - Ứng dụng sai phân việc giải gần phương trình đạo hàm riêng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các kiến thức cần thiết sai phân, phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức giải tích số phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu Đóng góp luận văn Trình bày cách có hệ thống ứng dụng sai phân việc giải phương trình đạo hàm riêng Sử dụng phần mềm Maple giải gần số phương trình đạo hàm riêng CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Sai phân Xét dãy số { }; dạng khai triển là: { , , Thí dụ, dãy số tự nhiên kí hiệu , … } ,…, có dạng { } = {0,1,2, … , , … }, có dạng { } = {1,2, … , , … }; dãy số điều hoà dãy số nguyên dương 1 = 1, , … , , … Có thể xem dãy số hàm đối số nguyên Kí hiệu ( ) = 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp hàm số ( ) = : { } = {0, ±1, ±2, … , ± , … } (hoặc với ∆ Thí dụ, hàm = , − cho dạng bảng 4 Có sai phân hữu hạn cấp ∆ = − = − = 2; ∆ = − = − = 1; ∆ = − = − = 3; ∆ = − = − = −1; ) hiệu: Từ sau, nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu hạn cấp sai phân cấp , sai phân cấp gọi tắt sai phân Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi sai phân cấp hàm phân cấp phân cấp , nói chung, sai phân cấp ∆ )=∆ = ∆(∆ = sai phân sai = ∆(∆ )=∆ −∆ = + − −( − −2 + −∆ −2 + −( = −3 +3 − = ∆(∆ ) ; = Nói chung, sai phân cấp = −2 Sai phân cấp hàm ∆ hàm − hàm số Như vậy, sai phân cấp hàm ∆ sai phân sai hàm )=∆ ) −∆ = (−1) (1.1) = ! ! ( − )! Từ công thức (1.1), suy số tính chất sai phân sau 65 E'(0,1) A'(1/2,1) M' A(1,1/2) 12 M 22 E(1,0) 11 21 Điểm ( 23 ; 12) nằm biên điểm gần với điểm ⇒ ( )≈ ( )=2 = 2 (1; ) √3 √3 = 2 Tương tự: ( )≈ ( )=2 = √3 √3 = 2 ( )= ( )=0 Gọi , , giá trị hàm ( , ) điểm lưới: = , = = , = Nhờ tính đối xứng toán ta có hệ phương trình sai phân: 66 ⎧ = 4 ⎪ ⎪ = (2 + ) ⎨ ⎪ ⎪ = √3 + √3 + 2 ⎩ ⇒ = ⎧ ⎪ = (2 + ) ⎨ ⎪ = √3 + ⎩ ⇒ √3 3√3 = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ = Vậy nghiệm toán là: = √3 , = = Ta lập với bước lưới nhỏ hơn: ℎ = = √3 , = 3√3 xấp xỉ với giá trị biên Ta đặt: ( ) = ( ) = − 0,25 0,25 = 0,5 0,9375 ( ) = ( ) = − 0,5 0,5 = 0,75 67 ( ) = − 0,75 0,75 = 1,5 0,4375 A' o b' c b e f 3 3 d b f a a c d a e b o Ta có hệ phương trình: √3 √3 ⎧ = + +2 4 ⎪ ⎪ √3 ⎪ = +0+ ⎪ 4 ⎪ ⎪ = (2 + ) √3 3√3 ⎨ = + + + ⎪ 4 ⎪ ⎪ = + + + 0,5 0,9375 ⎪ ⎪ ⎪ = + 0,75 + 1,5 0,4375 + 3√3 ⎩ Giải hệ phương trình phần mềm Maple sau: Bước 1: Vào lệnh xác định phương trình hệ 68 >eqn1:=a-1/2*c=sqrt(3)/8; >eqn2:=b-1/2*e=sqrt(3)/16; >eqn3:=-1/2*a+c-1/2*d=0; >eqn4:=-1/4*c+d-1/4*e=5*sqrt(3)/32; >eqn5:=-1/4*b-1/4*d+e-1/4*f=sqrt(0.9375)/8; >eqn6:=-1/4*e+f=sqrt(0.75)/4+3*sqrt(0.4375)/8+3*sqrt(3)/32; Bước 2: Giải hệ phương trình theo ẩn a,b,c,d,e,f >solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6},{a,b,c,d,e,f}); Chạy chương trình ta kết quả: = 0,4651709546 = 0,3772976145 = 0,4973292073 = 0,5294874600 = 0,5380888780 = 0,7614475191 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm gần phương trình: ( , ) + ( , ) = ( )| ,0 ≤ ∈ = ≤ 0,6, ≤ ≤ 0,3 +3 với bước chia ℎ = 0,2, = 0,1 Lời giải Giá trị hàm điểm lưới = 0; = 0,3; = 0,6; = 0,9; = 0,2; = 0,4; 69 = 0,6; = 0,002; nên = 1,2; = 1,5 điểm (1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2) Hàm Ta cần tìm giá trị ( , )= = 0,9; = 0,008; = 0,004; = 0,016 Phương trình sai phân có dạng: −2 + ℎ + −2 + Từ ta có hệ phương trình đại số tuyến tính là: −10 + − 10 − 10 + + = −1,099992 + = −4,99968 +4 = −2,499984 − 10 = −6,399936 Giải hệ phương trình ta được: = 0,499964132 = 0,79994444 = 0,699994356 = 0,999907868 Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm gần phương trình Parabolic: = Thỏa mãn điều kiện ban đầu: ( , 0) = (0 ≤ ≤ 0,5) điều kiện biên: ( , ) = 1; , = (0 ≤ ≤ 0,025) = 70 Lời giải Ta chia đoạn [0; 0,5] thành năm phần với bước lưới ℎ = 0,1 Áp dụng công thức: = + = ℎ ⇒ = = 0,005 2 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 Ta xét với giá trị Để tìm nghiệm gần ( , ) điểm lưới ( , ) áp dụng công thức với = + = ta có = + Như = ( + ) = (0,8090 + 1) = 0,9045 = ( + ) = (0,5878 + 0,9511) = 0,7695 Lần lượt tính ( = 1, 2, 3, 4, 5) theo công thức 71 = + = 0,005; 0,010; 0,015; 0,020; 0,025 tương tự Ta có bảng giá trị gần ( , ) điểm lưới ( , ): n x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1,0 0,9511 0,8090 0,5878 0,3090 t 0 0,005 0,9045 0,7695 0,5590 0,2939 0,010 0,8848 0,7318 0,5317 0,2795 0,015 0,8659 0,7083 0,5057 0,2659 0,020 0,8542 0,6858 0,4871 0,2529 0,025 0,8429 0,6707 0,4694 0,2436 Bây ta tính sai số | − | với ( , ) nghiệm toán Ở ( ) = 1; ( )( | − |≤ )= 0,025 ( ) = , ℎ = = 0,025 ta có: 0,1 = 0,0081 Ta giải toán cách sử dụng phần mềm Maple sau: >restart; >n := 5; >m :=5; >h := 0.1; 72 >u := array (0 n, m) ; >for i from to n u[0,i] := od; >for j from to m u[m,j]:= 0; od; >for k from to m u[k,0] := cos((k/10)* evalf(Pi)) od; >for i from to n for j from to m u[i,j] := (u[i-1,j-1] +u[i+1,j-1])/2 ; od; od; Chạy chương trình ta kết quả: ARRAY([0 5, 5],[(0, 0) = 1, (0, 1) = 1, (0, 2) = 1, (0, 3) = 1, (0, 4) = 1, (0, 5) = 1, (1, 0) = 0.9510565163, (1, 1) = 0.9045084972, (1, 2) = 0.8847104422, (1, 3) = 0.8658813729, (1, 4) = 0.8540917994, (1, 5) = 0.8428792487, (2, 0) = 0.8090169943, (2, 1) = 0.7694208843, (2, 2) = 0.7317627457, (2, 3) = 0.7081835987, (2, 4) = 0.6857584973, (2, 5) = 0.6705488938, (3, 0) = 0.5877852522, (3, 1) = 0.5590169941, (3, 2) = 0.5316567552, (3, 3) = 0.5056356215, (3, 4) = 0.4870059882, (3, 5) = 0.4692881540, (4, 0) = 0.3090169938, (4, 1) = 0.2938926260, (4, 2) = 0.2795084971, (4, 3) = 0.2658283776, (4, 4) = 0.2528178108, (4, 5) = 0.2435029941, (5, 0) = 0, (5, 1) = 0, (5, 2) = 0, (5, 3) = 0, (5, 4) = 0, (5, 5) = 0]) Ví dụ 3.5 Tìm nghiệm gần phương trình: = Thỏa mãn điều kiện biên ( , 0) = (0 ≤ ≤ 0,5) 73 điều kiện ban đầu , (0, ) = 0; (0 ≤ ≤ 0,025) = Lời giải Ta chia đoạn [0; 0,5] thành năm phần với bước lưới ℎ = 0,1 Áp dụng công thức: = + = ℎ ⇒ = = 0,005 2 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 Ta xét với giá trị Để tìm nghiệm gần ( , ) điểm lưới ( , ) áp dụng công thức với = + = ta có = + Như = ( + ) = (0,8187 + 1) = 0,9094 = ( + ) = (0,7408 + 0,9048) = 0,8228 74 ( Lần lượt tính = 1, 2, 3, 4, 5) theo công thức + = Với n=1 ta có = Và tương tự với giá trị + = 2,5 ta có bảng giá trị gần ( , ) điểm lưới ( , ): n x t 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,005 0,9094 0,8228 0,7445 0,6737 0,6065 0,010 0,9114 0,8270 0,7483 0,6755 0,6065 0,015 0,9135 0,8297 0,7513 0,6774 0,6065 0,020 0,9149 0,8324 0,7536 0,6789 0,6065 0,025 0,9162 0,8343 0,7557 0,6801 0,6065 Bây ta tính sai số | − | với ( , ) nghiệm toán Ở ( ) = 0; ( )( | − |≤ )= , ( ) = 0,0605 = ta có: 0,025 0,025 ℎ = 0,1 = 0,00083 3 75 Ta giải toán cách sử dụng phần mềm Maple sau: >restart; >n := 5; >m :=5; >h := 0.1; >u := array (0 n, m) ; >for i from to n u[0,i] := od; >for j from to m u[m,j]:= evalf(sqrt(exp(-1))); od; >for k from to m u[k,0] := evalf(exp(-k/10)) od; >for i from to n-1 for j from to m-1 u[i,j] := (u[i-1,j-1] +u[i+1,j-1])/2 ; >od; >od; Chạy chương trình ta kết quả: ARRAY([0 5, 5],[(0, 0) = 1., (0, 1) = 1, (0, 2) = 1, (0, 3) = 1, (0, 4) = 1, (0, 5) = 1, (1, 0) = 0.9048374180, (1, 1) = 0.9093653766, (1, 2) = 0.9114139097, (1, 3) = 0.9134726941, (1, 4) = 0.9149162600, (1, 5) = 0.9161773508, (2, 0) = 0.8187307531, (2, 1) = 0.8228278194, (2, 2) = 0.8269453881, (2, 3) = 0.8298325199, (2, 4) = 0.8323547016, (2, 5) = 0.8342639838, (3, 0) = 0.7408182207, (3, 1) = 0.7445253996, (3, 2) = 0.7482511299, (3, 3) = 0.7512367090, (3, 4) = 0.7536117075, (3, 5) = 0.7556191930, (4, 0) = 0.6703200460, (4, 1) = 0.6736744403, (4, 2) = 0.6755280297, (4, 3) = 0.6773908949, (4, 4) = 0.6788836844, (4, 5) = 0.6800711836, (5, 0) = 0.6065306597, (5, 1) = 0.6065306597, (5, 2) = 76 0.6065306597, (5, 3) = 0.6065306597, (5, 4) = 0.6065306597, (5, 5) = 0.6065306597]) Ví dụ 3.6 Giải phương trình Hyperbolic ( , ) = miền ≤ ( , ) ≤ 1, ≤ ≤ với điều kiện ban đầu: ( , 0) = (1 − ), | =0 điều kiện biên: (0, ) = 0, (1, ) = Lời giải Phương trình sai phân có dạng: −2 + ℎ ⇒ = ( = + −2 ) + 2(1 − ) + − = /ℎ lấy = ta được: =( với + )− = ta có: =( + )− không cho trước nên ta tính trực tiếp điều kiện đầu đạo hàm sai phân: − = | =0 , ta xấp xỉ 77 ⇒ = ta có: = Ta chia đoạn [0; 1] thành năm phần với bước lưới ℎ = 0,2, = 0,2 Áp dụng công thức = công thức =( + )− ta có bảng giá trị gần ( , ) điểm ( , ) là: n x t 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 0,16 0,24 0,24 0,16 0,2 0,12 0,2 0,2 0,12 0,4 0,04 0,08 0,08 0,04 0,6 -0,04 -0,08 -0,08 -0,04 0,8 -0,12 -0,12 1,0 -0,16 -0,24 -0,24 -0,16 -0,2 -0,2 78 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn tổng hợp số tính chất sai phân số phương pháp giải phương trình sai phân Sử dụng sai phân để giải gần phương trình đạo hàm riêng sử dụng phần mềm Maple vào giải số toán Cụ thể: Chương 1: Kiến thức Chương 2: Phương pháp sai phân giải gần phương trình đạo hàm riêng Chương 3: Giải số phương trình đạo hàm riêng máy tính Với khả có hạn chắn luận văn có nhiều thiếu sót, mong quý thầy cô bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện tốt Xin trân trọng cảm ơn ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học kỹ thuật [2] Phan Văn Hạp (2009), Phương pháp toán ứng dụng môi trường, NXB Khoa học kỹ thuật [3] Đặng Quốc Lương (2001), Phương pháp tính kỹ thuật, NXB Xây Dựng [4] Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Hùng (2012), Giáo trình giải tích số, NXB Đại học Cần Thơ [5] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2004), Phương pháp sai phân, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội B Tài liệu Tiếng Anh [6] Samuel Goldberg (Asciate Professor of Mathematics Oberlin College) Introduction to Difference Equations (1958), Ordinary Differential Equations, John Wiley & Sons, Inc New York – London – Sydney [...]... tuyến tính 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữa sai phân các cấp: ( trong đó, ,∆ ,∆ ,…,∆ hiểu là sai phân cấp 0 của hàm )=0 ; cấp lớn nhất của sai phân (ở đây là bằng ), là bậc của phương trình sai phân tuyến tính Do tính chất 1.1.1 của sai phân, sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số, nên người ta thường dùng định nghĩa... Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng 1, 2, … , ; Nghiệm riêng − 2 = 2 − √2 2 + 2 − √2 = 1, 4 = 4 ở 2 vế, ta được 2 − √2 Giải hệ này, ta được 4 ứng với hàm ∗ ứng với từng hàm sẽ là ∗ = , do tính tuyến tính của phương trình sai phân Ví dụ: Tìm nghiệm riêng −3 ∗ của phương trình sai phân: +3 −3 +2 = ∗ + ∗ , = + …+ 20 = 3 2 − 3 √3 2 3 + 10 2 + 2 Lời giải Phương trình đặc trưng l − 3l + 3l − 3l + 2... phương trình sai phân hệ số thay đổi, nhiều khi cũng có thể biến đổi để dẫn về phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số Điều này làm tăng hiệu quả ứng dụng của phương trình sai phân Sau đây ta lấy ví dụ để minh hoạ cho ý nói trên Trong công thức lặp = ( ( ) = 0 Các giá trị ban đầu , = ) để giải phương trình ,…, , = ,…, = thuộc đoạn ta 22 = ( xét Giả sử rằng phương trình sai phân , , tính... hằng số tuỳ ý Ví dụ: Phương trình sai phân −3 +4 −6 +5 −3 +2 =0 có phương trình đặc trưng l − 3l + 4l − 6l + 5l − 3l + 2 = 0 Phương trình đặc trưng có các nghiệm l = 3, l = 2, l = l = − (kép), với = 1, Ta có = trong đó , = −1 = , và 2 + , (kép), , 2 +( , 1.2.2.2 Nghiệm riêng , + ) 2 +( ) + 2 , là các hằng số tuỳ ý ∗ Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng ∗ của phương trình sai phân tuyến tính không... số, ≠ 0 thì phương trình (1.2) trở thành = + + ⋯+ =0 (1.3) và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc với các hệ số hằng số 1.2.2 Nghiệm Hàm số biến , thoả mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.2) Hàm số phụ thuộc tham số, thoả mãn (1.3) được gọi là nghiệm tổng quát của (1.3); nếu với mọi tập giá trị ban đầu định được duy nhất các tham số , riêng của... Định nghĩa 1.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm = + + ⋯+ là một tại các điểm khác nhau: = (1.2) 9 trong đó là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm lưới có bước lưới ℎ; , ,…, ≠ 0, với , xác định trên ≠ 0 là các hằng số hoặc các hàm số của , được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; số của , được gọi là vế phải; là một hàm là giá trị... là giá trị cần tìm được gọi là ẩn Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc , vì để tính được tất cả các giá trị , ta phải cho trước giá trị liên tiếp của rồi tính các giá trị còn lại của theo công thức truy hồi , ≡ 0 thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân Định nghĩa 1.2.3 Nếu tuyến tính thuần nhất Nếu ≢ 0 thì (1.2) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất... của các luỹ thừa n ở 2 vế ta được: −24 = −24 24 − 8 = 24 giải hệ này ta được c Trường hợp = 1, = 0 và = ∗ = 2 + Trong trường hợp này nghiệm riêng ∗ = với , ∗ là hằng số được tìm dưới dạng + 19 Ví dụ: Tìm nghiệm riêng −2 ∗ của phương trình sai phân: − +2 = 2 − √2 4 +2 4 Lời giải Tìm ∗ dưới dạng: ∗ Thay ∗ 2 − √2 = 4 + 4 vào phương trình sai phân và rút gọn, ta được −2 4 + + 2 + 2 − √2 = 2 − √2 So sánh... Nghiệm riêng 3 2 ∗ 3 − √3 2 ứng với , 3 = 10 2 , có dạng: ∗ = 3 Thay vào phương trình sai phân ứng với = = 2 3 2 3 − + 3 √3 2 , 3 sau khi thu gọn ta được 3 √3 − 2 2 3 So sánh các hệ số của + 3 √3 + 2 2 3 và 3 Giải hệ này ta được =− 3 √3 + 2 2 = 0, = 1và 3 2 π √3 − 3 2 3 ở 2 vế, ta được 3 √3 ⎧ − ⎪ 2 2 ⎨ ⎪ ⎩ = ∗ = = √3 2 3 2 3 3 21 Do l = 2, nên nghiệm riêng ∗ ứng với ∗ = 2 Thay vào phương trình sai phân. .. ), = 1 Nếu các nghiệm l , l , … , l là các nghiệm thực khác 1 của phương trình đặc trưng (1.4), thì ∗ ( ), = ( ) là đa thức cùng bậc m với 2 Nếu có nghiệm l = 1 bội s, thì ∗ trong đó ( ) là đa thức của Ví dụ: Tìm nghiệm riêng 1 −7 2 − + 16 −3 ( ), = cùng bậc m với ∗ của các phương trình sai phân: − 12 +5 = +1 −2 = 1 Lời giải 1 Phương trình đặc trưng l − 7l + 16l − 12 = 0 có nghiệm l = 2 (kép), l =