Phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ NGỌC CHI PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS.Nguyễn Văn Hùng, người

đã luôn quan tâm động viên, tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Bắc Ninh, trường THPT Lý Thái Tổ, gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Nguyễn Thị Ngọc Chi

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Chi

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 Sai phân 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Tính chất của sai phân 5

1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 8

1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Nghiệm 9

1.3 Tuyến tính hoá 21

1.4 Sai số 25

1.4.1 Định nghĩa 25

1.4.2 Quy tắc làm tròn 26

1.4.3 Sai số tính toán 27

1.4.4 Bài toán ngược của bài toán sai số 29

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 31

2.1 Phương pháp sai phân giải phương trình Elliptic 31

2.1.1 Bài toán biên Dirichlet 31

2.1.2 Những bước đi chính trong việc sai phân hoá bài toán biên Dirichlet 31

2.2 Phương pháp sai phân giải phương trình Parabolic 46

2.2.1 Bài toán biên của phương trình Parabolic 46

2.2.2 Những bước đi chính trong việc sai phân hoá bài toán (2.45), (2.46) 47

2.3 Phương pháp sai phân giải phương trình Hyperbolic 57

2.3.1 Bài toán 57

2.3.2 Những bước đi chính trong việc sai phân hoá bài toán Hyperbolic 58

CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG MÁY TÍNH 61

Ví dụ 3.1 Giải bài toán: 61

Ví dụ 3.2 Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet 64

Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 68

Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình Parabolic: 69

Ví dụ 3.5 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 72

Ví dụ 3.6 Giải phương trình Hyperbolic 76

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

sử dụng phổ biến nhất

Mục đích chính của phương pháp sai phân là đưa bài toán phương trình đạo hàm riêng về bài toán rời rạc trên các điểm lưới, đặc biệt là xung quanh các điểm kì dị hoặc các điểm biên để đưa bài toán đang xét về hệ phương trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển về việc giải hệ phương trình đại số bằng các phương pháp đúng hoặc gần đúng

Tuy nhiên ngày nay chúng ta ngày càng tăng cường việc ứng dụng công nghệ thông tin vào việc dạy và học toán Và một trong những công cụ hữu hiệu để giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là phần mềm Maple

Từ nhu cầu thực tiễn như vậy với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp sai phân và phần mềm Maple giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng, được sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng em đã chọn đề tài nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

- Các kiến thức cơ bản về sai phân

- Ứng dụng của sai phân trong việc giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Các kiến thức cần thiết về sai phân, phương trình đạo hàm riêng

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kiến thức của giải tích số và phương trình đạo hàm riêng để nghiên cứu

6 Đóng góp của luận văn

Trình bày một cách có hệ thống về ứng dụng sai phân trong việc giải phương trình đạo hàm riêng

Sử dụng phần mềm Maple giải gần đúng một số phương trình đạo hàm riêng

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Sai phân

Xét dãy số { }; dạng khai triển của nó là:

{ , , , … , , … }

Thí dụ, dãy số tự nhiên kí hiệu là có dạng

{ } = {0,1,2, … , , … }, dãy số nguyên dương có dạng { } = {1,2, … , , … }; dãy số điều hoà

1

= 1,1

2, … ,

1, …

Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên

Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu hạn cấp là sai phân cấp , còn sai phân cấp 1 gọi tắt là sai phân

Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm là sai phân của sai phân cấp 1 của , và nói chung, sai phân cấp của hàm là sai phân của sai phân cấp − 1 của hàm số đó

Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm là

1.1.2 Tính chất của sai phân

Tính chất 1.1.1 Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của

Chứng minh Theo tính chất 1.1.2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính,

nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức ( ) = là đủ

Định nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến

tính giữa sai phân các cấp:

( , ∆ , ∆ , … , ∆ ) = 0 trong đó, hiểu là sai phân cấp 0 của hàm ; cấp lớn nhất của sai phân (ở đây là bằng ), là bậc của phương trình sai phân tuyến tính

Do tính chất 1.1.1 của sai phân, sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số, nên người ta thường dùng định nghĩa 1.2.2 sau đây tương đương với định nghĩa1.2.1, nhưng thuận tiện hơn

Định nghĩa 1.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm tại các điểm khác nhau:

= + + ⋯ + = (1.2)

trong đó là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm , xác định trên lưới có bước lưới ℎ; , , … , với ≠ 0, ≠ 0 là các hằng số hoặc các hàm số của , được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; là một hàm

số của , được gọi là vế phải; là giá trị cần tìm được gọi là ẩn

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc , vì

để tính được tất cả các giá trị , ta phải cho trước giá trị liên tiếp của , rồi tính các giá trị còn lại của theo công thức truy hồi

Định nghĩa 1.2.3 Nếu ≡ 0 thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

Nếu ≢ 0 thì (1.2) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất

Nếu ≡ 0 và , , … , là các hằng số, ≠ 0, ≠ 0 thì phương trình (1.2) trở thành

Định lí 1.2.1 Nghiệm tổng quát của (1.2) bằng tổng và ∗, với ∗

là một nghiệm riêng bất kì của (1.2)

Chứng minh Thật vậy, giả sử và ∗ là 2 nghiệm của (1.2), tức là

vì theo giả thiết là nghiệm, tức là = 0

Vậy là nghiệm của (1.3)

Giả sử, , , … , là các giá trị ban đầu tuỳ ý Ta chứng minh rằng,

có thể xác định duy nhất các hằng số , , … , để = , =, … , = Điều này có nghĩa là hệ

+ + ⋯ + = + + ⋯ + =

= l vào (1.3) và ước lược cho l ≠ 0 ta được

l= l + l + ⋯ + = 0 (1.4) Phương trình (1.4) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.3) (người ta cũng xem là phương trình đặc trưng của (1.2)) Nghiệm của (1.3) và ∗của (1.2) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của (1.4)

Nếu phương trình đặc trưng (1.4) có nghiệm thực l bội , thì ngoài nghiệm l , ta lấy thêm các vectơ bổ sung l , l , … , l , cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3) và do đó

có các nghiệm l = 2 (kép) và l = 3 Đối với l = 2 (kép) ngoài nghiệm

l = 2 , ta bổ sung thêm nghiệm l = 2 và được nghiệm tổng quát là

của (1.3)

Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng ∗ của phương trình sai phân

tuyến tính không thuần nhất (1.2) là xây dựng hàm Grin

Sau đây là một số trường hợp đặc biệt, có thể tìm ∗ đơn giản hơn và nhanh hơn Các dạng đặc biệt này của ∗ là chuyển tương ứng từ các dạng đặc biệt của phương trình vi phân thường Để xác định các tham số trong các

dạng nghiệm này, người ta dùng phương pháp hệ số bất định (còn gọi là phương pháp chọn)

a Trường hợp là đa thức bậc m của n;

= ( ),

1 Nếu các nghiệm l ,l , … ,l là các nghiệm thực khác 1 của phương trình đặc trưng (1.4), thì

∗ = ( ), ( ) là đa thức cùng bậc m với

2 Nếu có nghiệm l= 1 bội s, thì

∗ = ( ), trong đó ( ) là đa thức của cùng bậc m với

Ví dụ: Tìm nghiệm riêng ∗ của các phương trình sai phân:

Để xác định và , ta thay ∗ vào phương trình sai phân rồi so sánh các

hệ số của các luỹ thừa của ở 2 vế:

với hệ số tự do ta có

5 − 2 = 1 ⇒ = −7

4 Vậy

∗ = −1

7

4

2 Phương trình đặc trưng l −l − 3l + 5l− 2 = 0, có các nghiệm

l = 1 (bội 3) và l = −2, nên do = 1 là đa thức bậc 0, ta phải tìm nghiệm ∗ =

Thay ∗ vào phương trình sai phân, ta được

2 Nếu (1.4) có nghiệm = bội , thì tìm ∗ dưới dạng

trong đó ( ) là đa thức của cùng bậc với

Ví dụ: Tìm các nghiệm riêng ∗ của các phương trình sai phân không thuần nhất sau đây:

1 − 10 + 35 − 50 +24 = 48 5

Lời giải

1 Phương trình đặc trưng l − 10l + 35l − 50l+ 24 = 0 có các nghiệm l = 1,l = 2,l = 3,l = 4 đều khác 5; ( ) là đa thức bậc 0, nên tìm ∗ = 5 Thay vào phương trình sai phân và giản ước 2 vế cho

5 ≠ 0, ta được

5 − 10 5 + 35 5 − 50 5 + 24 = 24 = 48 ⇒ = 2 Vậy ∗ = 2 5

2 Phương trình đặc trưng l − 7l + 16l− 12 = 0 có nghiệm l = 2 (kép), l = 3; ( ) = 24 − 24 là đa thức bậc 1, do vậy phải tìm ∗ =( + ) 2 Thay vào phương trình sai phân và giản ước 2 vế cho 2 ≠

c Trường hợp = + với , là hằng số

Trong trường hợp này nghiệm riêng ∗ được tìm dưới dạng

Ví dụ: Tìm nghiệm riêng ∗ của phương trình sai phân:

4 + 2 4 Lời giải

Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng ∗ ứng với từng hàm , =

1, 2, … , ; Nghiệm riêng ∗ ứng với hàm sẽ là ∗ = ∗ + ∗ + … +

∗ , do tính tuyến tính của phương trình sai phân

Ví dụ: Tìm nghiệm riêng ∗ của phương trình sai phân:

Do l = 2, nên nghiệm riêng ∗ ứng với có dạng

∗ = 2 Thay vào phương trình sai phân ứng với :

sau khi ước lược cho 2 > 0 ta được

[( + 4)2 − 3( + 3)2 + 3( + 2)2 − 3( + 1)2 + 2 ] = 10 Cho = 0, ta được 10 = 10 ⇒ = 1 và ∗ = 2 Lại vì l = 1 nên nghiệm riêng ∗ ứng với = 2, phải tìm dưới dạng ∗ =

Thay vào

ta được

[( + 4)2 − 3( + 3)2 + 3( + 2)2 − 3( + 1)2 + 2 ] = 2 hay −2 = 2 ⟹ = −1 và ∗ = −

Vậy nghiệm riêng ∗ ứng với bằng

1.3 Tuyến tính hoá

Một số bài toán sai phân không tuyến tính, ta đổi biến đưa về phương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hoá Một số phương trình sai phân hệ số thay đổi, nhiều khi cũng có thể biến đổi để dẫn về phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số Điều này làm tăng hiệu quả ứng dụng của phương trình sai phân Sau đây ta lấy ví dụ để minh hoạ cho ý nói trên

Trong công thức lặp = ( , , … , ) để giải phương trình ( ) = 0 Các giá trị ban đầu = , = , … , = thuộc đoạn ta

xét Giả sử rằng phương trình sai phân = ( , , … , ) là tuyến tính hoá được, khi đó điều kiện cần là tồn tại các số , , … , để

là dạng tuyến tính hoá của = ( , , … , )

Kiểm tra điều kiện đủ bằng phép chứng minh quy nạp

Tìm = + +

Theo công thức của dãy số ta có = 2

1 = 3 , = 11, = 41 Thay các giá trị của , , vào ta được

Giả sử công thức đúng với = , tức là = 4 −

Ta chứng minh công thức đúng với = + 1, tức là

Theo nguyên lý quy nạp, ta được = 4 − ∀ ≥ 3

Ghi chú: Dãy { } với = , = , = −1

Từ đó

=

++

- Đại lượng ∆= | − ∗| được gọi là sai số thực sự của

Nói chung ta không biết ∗ nên không biết ∆ Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự của bằng số dương ∆ ≥ 0 sao cho

| − ∗| ≤ ∆

- Số ∆ nhỏ nhất thoả mãn điều kiện | − ∗| ≤ ∆ gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng

Làm tròn số là bỏ đi một số các chữ số bên phải trong biểu diễn của

để được một số ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với

Ví dụ: Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy

= 72,9674 ⟶ ≈ 72,97

= 90,6526 ⟶ ≈ 90,65

= 56,2650 ⟶ ≈ 56,27

= 28,2350 ⟶ ≈ 28,24 1.4.3 Sai số tính toán

Sai số tính toán là sai số sinh ra trong quá trình tính toán ta phải thu gọn

số

Giả sử phải tìm đại lượng theo công thức: = ( , , … , )

Giả sử ∗, ∗ ( = 1, ) là các giá trị gần đúngcủa các đối số và hàm số Nếu khả vi liên tục thì

Δ = Δ

Giả sử

và chữ số chắc cuối cùng của ở hàng thứ , nghĩa là ∆ = 10 Ta có

∆ ≥ ∆ = 10 , vì vậy khi làm phép toán cộng đại số khi ta thu gọn nên giữ lại 1 hoặc 2 chữ số bên phải hàng thứ

Trường hợp tổng đại số rất nhỏ, nghĩa là | |≪ 1 thì

| | ≫ 1,

do đó kết quả tính không chính xác Cho nên trong tính toán nên tránh các công thức có hiệu của hai số gần nhau Nếu không tránh được thì nên lấy các

số với nhiều chữ số chắc để hiệu của chúng có thêm chữ số chắc

b Sai số của các phép tính nhân chia

Giả sử

.khi đó

suy ra

1.4.4 Bài toán ngược của bài toán sai số

Giả sử đại lượng được tính theo công thức = ( , … , ) Yêu cầu đặt ra là cần tính ∆ như thế nào để ∆ ≤ , với là số cho trước

Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có

Bất đẳng thức trên sẽ thoả mãn nếu

∆ ≤

Kết luận: Nếu các biến có vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy

.khi đó ∆ ≤

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 2.1 Phương pháp sai phân giải phương trình Elliptic

2.1.1 Bài toán biên Dirichlet

Cho toán tử vi phân tuyến tính cấp hai đối với hàm ( , )

≔ + + + + (2.1) trên một miền giới nội của mặt phẳng Ta giả thiết biên Γ của là một đường cong trơn từng đoạn, và gọi miền kể cả biên Γ là ̅ Trên ̅ ta giả thiết:

( , ) = ( , ), ( , ) trên Γ (2.3)

ta giả thiết ( , ) liên tục theo , trên ̅ Với những giả thiết như trên về , , , , , và Γ bài toán bờ (2.2), (2.3) có nghiệm duy nhất và liên tục trên

̅

2.1.2 Những bước đi chính trong việc sai phân hoá bài toán biênDirichlet

a Rời rạc hoá miền

Ta định trước những độ dài khá bé ℎ và và kẻ trên ̅ những đường thẳng = ℎ, = ; và là những số nguyên nào đó Các đường thẳng ấy tạo nên một lưới chữ nhật đều Các giao điểm của các đường thẳng

ấy gọi là những điểm lưới Điểm lưới do các đường thẳng = ℎ, = tạo nên gọi là điểm Ta gọi các điểm ± 1, và , ± 1 là những điểm kề của điểm Ta chỉ xét các điểm lưới thuộc ̅ và kí hiệu tập điểm ấy là ̅ Trên ̅ ta phân biệt những điểm trong, là những điểm mà cả bốn điểm kề đều thuộc ̅ và những điểm biên, là những điểm của ̅ mà không phải là điểm trong Ta ký hiệu tập điểm trong ℎ tập điểm biên là Γ , ( ∪ Γ = ̅ ) Công việc làm vừa kể trên gọi là

việc rời rạc hoá miền ̅ Nó tạo ra trên

̅ tập điểm rời rạc ̅ Hình 2.1 cho

thấy miền ̅ đã được rời rạc hoá; các

điểm biên được đánh dấu bằng chữ in

hoa, các điểm trong bằng dấu ×

Hình 2.1 Dùng phương pháp sai phân, ta sẽ không tìm nghiệm của bài toán (2.2), (2.3) trên khắp miền , mà sẽ chỉ tìm một cách gần đúng, giá trị của ở những điểm của Ta ký hiệu nghiệm gần đúng ấy là ; giá trị của , ở điểm là , Ta cũng thường dùng chữ để chỉ một điểm trong, chữ để chỉ một điểm biên, và chỉ giá trị của , ở các điểm , là ( ), ( ), ( ), ( )

A

c b

b Sai phân hoá các điều kiện biên

Đối với mỗi điểm biên Q ta căn cứ vào các điều kiện biên (2.3) mà định ( ) Nếu ở trên Γ, thì ta cho ngay:

( ) = ( ) = ( ) (2.4) Trường hợp ấy thường xảy ra khi ̅ là miền chữ nhật có cạnh song song với hai trục, vì khi ấy ta dễ chọn ℎ, để cho các điểm biên đều ở trên Γ Trường hợp ấy cũng xảy ra cho các điểm , , ở hình 2.1

Nếu không ở trên Γ, thì ta chọn trên Γ điểm gần nhất (hoặc khá gần) với , và lấy:

( ) = ( )= ( ) (2.5)

Vì nghiệm liên tục trên ̅ cho nên ( ) = ( )+ (ℎ + 1), thành thử cách lấy ( ) theo (2.5) mắc sai số:

( ) − ( ) = (ℎ + 1) (2.6) Việc định giá trị của trên Γ , như vừa làm ở trên, gọi là sự sai phân hoá các điều kiện biên

c Lập hệ phương trình sai phân

Ta xét một điểm trong Theo (2.2) ở điểm ấy, ( , ) thoả mãn phương trình:

= (2.7)

Ta sẽ lập cho một phương trình tương tự với (2.7) Việc ấy có thể làm bằng nhiều cách; dưới đây là một cách thường dùng

Ta giả thiết ( , ) có đạo hàm liên tục theo , đến cấp bốn Từ các khai triển Taylor: