PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRỰC TIẾP TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾT LUẬN VĂN TOÁN HỌC

  ĐI HC QUC GIA THÀNH PH H CHÍ MINH TRƯNG ĐI HC KHOA HC T NHIÊN KHOA TOÁN-TIN HC ————oOo———— Tiu lun tt nghip Chuyên ngành Gii Tích  PHƯƠNG PHÁP BIN PHÂN TRC TIP TRONG PHƯƠNG TRÌNH ĐO HÀM RIÊNG PHI TUYN SINH VIÊN THC HIN : NGUYN QUANG HUY GING VIÊN HƯNG DN : GS.TS DƯƠNG MINH ĐC GING VIÊN PHN BIN : GS.TS ĐNG ĐC TRNG THÀNH PH H CHÍ MINH 2012   ii  LI CM ƠN Li đu, xin dành li cm ơn đn thy, khoa Tốn hc ging dy cho tơi sut bn năm đi hc Đc bit thy Đng Đc Trng, Huỳnh Quang Vũ, Nguyn Thành Long dành cho nhiu s quan tâm Và li cm ơn sâu sc nht xin đưc gi đn GS Dương Minh Đc, ngưi thy dy t ngày hc đu tiên, truyn cho tơi nim u Tốn, hưng dn t nhng bưc đu tiên hc nghiên cu Tốn Cm ơn thy b nhiu thi gian đ hưng dn tơi hồn thành tiu lun tt nghip Tôi xin gi li cm ơn chân thành đn GS Đng Đc Trng, ngưi thy giúp đ, đng viên nhn li làm phn bin cho tiu lun Sau cùng, mun cm ơn gia đình nhng ngưi bn bên tơi, ng h, giúp đ mt này, mt khác hc tp cuc sng Thành ph H Chí Minh ngày tháng năm 2012 Nguyn Quang Huy   iii  LI GII THIU Phương trình đo hàm riêng mt chuyên ngành phát trin mnh m, đóng vai trị quan trng v mt lý thuyt ng dng Xét v mt cu trúc, phương trình đo hàm riêng tuyn tính đưc nghiên cu kĩ lưng Tuy nhiên, s hiu bit ca v tốn phi tuyn cịn rt hn ch Đi vi phương trình phi tuyn, da vào đc đim ca mi lp phương trình, ngưi ta đưa mt phương pháp hu hiu đc trưng đ gii chúng Trong s đó,  phương  pháp bin phân  là  là mt công c mnh, đt đưc nhiu kt qu sâu sc Mc đích ca tiu lun trình bày v mt phương pháp c th phép tính bin phân,  phương pháp bin phân trc tip C th, ni dung ca tiu lun đưc b cc sau: •   M đu v phương pháp bin phân trc tip: phn này,, tác gi trình bày v ý tưng ca phương pháp bin phân trc tip: đưa mt tốn gii phương trình v mt tốn cc tr Sau đó, đưa "cu trúc bin phân" cho mt lp rng toán thưng gp sau ví d minh ha •  Các đnh lý tn ti cc tiu ng dng: phn này, tác gi trình bày hai đnh lý v s tn ti cc tiu ca phim hàm Sau đó, áp dng đnh lý đ gii tốn sau: phương trình elliptic suy bin, toán phân hoch cc tiu siêu mt, toán siêu mt cc tiu đa tp Riemann, toán giá tr riêng th nht ca toán t p-Laplace, tốn biên elliptic na tuyn tính Ni dung ca tiu lun đưc trình bày da vào tài liu [Ev97 liu  [Ev97]] và [St96 và [St96]] đc bit [St96] [St96],, mt quyn quyn sách chuyên chuyên kho ni ting v phép tính bin phân ca tác gi Michael Struwe Cơng vic ch yu ca tác gi tiu lun đc hiu, trình bày chi tit mt s kt qu, chng minh chương 1, quyn quyn [[St96] St96] Qua tiu lun này,, tác gi hc đưc mt s kĩ thut thut bn ca phương pháp bin phân trc tip phương trình đo hàm riêng, c th đưa mt mt phương trình v dng bin phân, sau áp dng đnh lý tn ti cc tiu đ chng minh s tn ti nghim;   iv  cịn có kĩ thut áp đt ràng buc đ đưa v trưng hp mu mc Dù rt c gng trình đc hiu khâu trình bày tiu lun hn vn cịn nhng sai sót khơng tránh khi Tác gi mong nhn đưc s nhn xét, đóng góp t thy bn đ tiu lun đưc hoàn thiên   Mc lc Kin Kin th thcc chu chun n b   1.11 Không Không gian gian Sobol Sobolev ev   1.2 Phép tính tính vi vi phân tron trongg khơng khơng gian đnh đnh chu chun n   2 M đu v v phương phương pháp pháp bin bin phân phân trc trc tip   2.11 Ý tư tưn ngg bn bn   2.2 Bin phân cp cp mt, mt, phương phương trình Euler-Lagran Euler-Lagrange ge   7 Các đnh đnh lý tn tn ti ti cc tiu tiu và ng ng dng dng 3.1 S tn tn ti ti cc cc tiu tiu ca phi phim m hàm hàm   3.2 Phương Phương trìn trìnhh el ellip liptic tic suy bin bin   3.3 Bài toán toán phân phân hoc hochh cc tiu tiu siêu siêu mt mt   3.4 Bài toán toán siêu siêu mt cc tiu tiu tron trongg đa tp tp Riemann Riemann   3.5 Mt kt kt qu qu tng tng quát quát v v s na lliên iên tc tc dưi dưi   3.6 Bài toán toán giá giá tr riên riêngg th nht nht ca toán toán t p-La p-Lapla place ce   3.7 Bài toán toán biên biên ellipt elliptic ic na na tuyn tuyn tính tính   Tài liu tham kho     11 11 16 20 24 31 36 38 43   Chương Kin thc chun b Trong chương này, ta trình bày khái nim kt qu quan trng s đưc s  dng trong phn tip theo ca tiu lun 1.11 Kh Khôn ôngg gi gian an So Sobol bolev ev Cho   Ω ⊂ RN  mt tp m cho   p ∈ R  vi   1 ≤  p  ≤ ∞ Đnh nghĩa 1.1  Ta đnh nghĩa không gian Sobolev   W 1 ,p (Ω)  b  bii W 1,p (Ω) =  { u ∈  L p (Ω) |uxi   ∈  L p (Ω) , i  = 1, ,N }   (1.1) Trong đó, ta kí hiu   . p  là chun thông thưng không gian   L p (Ω)   vi  ≤  p  ≤ ∞ Đnh lý 1.1   W 1 ,p (Ω)  vi chun     N  u1,p   = u p p + p nu    ≤  p  3})  ≥  3  3, , kéo theo  µ({x ∈  Ω :  |Gmk (x)| > })  ≥  3  3  Do  3 >  2  2, , li lim m in inf  f µ(Ωmk )  ≥  3 k→∞ vi  Ω p  =  {x  ∈  Ω :  |G p (x)| > },   ∀ p  ∈ N Dãy  (∇um)  b chn   L1 (Ω )  (gi   C  là   mt chn trên) nên  µ({x  ∈  Ω :  |∇um (x)| ≥  l })  ≤  l −1   |∇um |dx  ≤ Ω     C    ≤ , l vi   l  ≥  l   =  l ()  đ ln Đc bit, nu đt   Am   =  { x  ∈  Ω :  |∇ um (x)| ≥  l }  thì ta có µ(Am )  ≤  ,   ∀m  ∈ N  Đt  Ωm   =  {x  ∈  Ω m  :  |∇ um (x)|  < l0 } Ta có   Ωm  = Ωm  \ {x ∈  Ω m   : |∇ um (x)| ≥  l } ⊃  Ω m \ Am , nên µ(Ωm )  ≥  µ(Ω  µ (Ωm \ Am ) ≥  µ(Ω  µ (Ωm ) − µ(Am )  ≥  µ(Ω  µ (Ωm ) −    3.5 Mt kt qu tng quát v s na liên tc dưi 33   Điu kéo theo li lim m in inf  f µ(Ωmk )  ≥  li  lim m in inf  f µ(Ωmk ) −  >  2  2 −   =   =   k→∞ k→∞  µ(Ωm )   >  Vy nu đt T bt đng thc ta suy tn ti   k0  sao cho   inf k≥k0 µ(  µ (Ω )  < ΩK  = k≥K  Ωm     µ(ΩK )  > ,   ∀K   ∈   N Đt   Ω∞ = K ∈N  Ω K ,   µ(Ω1 )  ≤  µ(Ω ∞ nên ta có    k   k  µ(Ω∞ ) = lim µ(ΩK ) ≥   →∞ K →∞ Hu khp nơi  Ω ta có tính cht sau nghim đúng:  F (  F (x,z,p x,z,p)) liên tc theo (z, p),   um (x), u(x), ∇um (x)  xác đnh, hu hn   um (x)   →   u(x), k   → ∞  (chuyn qua dãy nu cn) Mt khác Ω ∞ ⊂ Ω và µ(Ω  µ (Ω∞ )  ≥   >  0  nên tn ti  x  trong  Ω ∞ tha tính cht va nêu Do  x0  ∈  Ω ∞ nên đánh s li nu cn, ta gi s  x  x  ∈ Ωm Vì dãy  (∇um (x0)) k∈N  b chn   RnN  (bi   l0) nên chuyn qua dãy nu cn, ta có   p  ∈   RnN  cho um (x0 ) →  p  khi  k  → ∞, kéo theo  k  k k   k   F ( F (x0 , umk (x0 ), ∇umk (x0 ))  →  F   F ((x0 , u(x0 ), p), k  → ∞ (3.11) Mà ta có F ( F (x0 , u(x0 ), ∇umk (x0))  →  F   F ((x0 , u(x0 ), p), k  → ∞   (3.12) T (3.11) 3.11) (3.12 (3.12)) ta có  0,, k  → ∞   (3.13) F (x0 , u(x0 ), ∇umk (x0 ))  →  0  F ((x0 , umk (x0 ), ∇umk (x0 )) − F ( Gmk (x0 ) =  F     Li   x0  ∈ k∈N  Ωmk   ⊂  Ω mk , k∈N  ta suy |Gmk (x0 )|  > ,   ∀k  ∈ N ta có mt mâu thun vi (3.13 (3.13), ), chng minh kt thúc Chng minh đnh lý   3.7  Hoàn toàn tưng t chng minh ca Đnh lý 3.6 lý  3.6 ta  ta có th gi s  E   E (um ) hu hn, hi t,   F   ≥ 0  và chng minh đưc rng, vi mi   Ω  Ω,     Ω F ( F (x, u(x), ∇u(x)) ))dx dx  ≤  li  lim m su sup p m→∞   Ω  F  F ((x, u(x), ∇um (x)) ))dx dx   (3.14)   3.5 Mt kt qu tng quát v s na liên tc dưi Do B đ 3.6, đ  3.6, vi  vi mi   Ω     Ω, 34 mi   ε > 0  và   m0  ∈ N  tn ti  m  ≥  m0  và tp  F (x, um (x), ∇um (x)) − F  F ((x, u(x), ∇u(x))| ≥  ε Ωε,m   := x ∈  Ω :  |F (    µ (Ωε,m )  < ε Khi đó, ta có tha  µ(Ω   F (x, um (x), ∇um (x)) − F ( F (x, u(x), ∇u(x))| < ε |F ( (3.15) vi mi  x  ∈  Ω \ Ωε,m Thay  ε  bi  b i  ε m   = 2−m chuy chuynn qua dãy nu cn; vi mi m, tn ti tp  Ω ε ,m  ⊂  Ω vi đ đo bé   εm  sao cho (3.15 (3.15)) (vi   εm) vi mi x  ∈  Ω \ Ωε ,m Bây gi cho trưc    < ε m0 (δ )  do   Ωε  ⊂  Ω δ Ph   Ω  bi mt dãy tp b chn, ri đi mt   Ω(k)  Ω Vi   ε >  0  cho trưc  trên, ta đt     ε(k) =   ε 2k µ(Ω(k) ) ∞    ε(k) µ(Ω(k) )ε(k) µ(Ω(k) ) =  ε (3.16) k=1 (k) Chuyn qua (dãy Chuyn con(k)nu cn, vi mi  Ω k) cho   µ(Ωε   )  < ε (k) (k) và ε , ta có th chn  m F (x, um (x), ∇um (x)) − F ( F (x, u(x), ∇u(x))| < ε(k) |F ( (k) (k)   và Ω   ⊂ Ω ε (3.17) (k) (k) ta có th gi s  Ω  Ω ε   ⊂  Ω δ   nu vi mi  x  ∈  Ω(k) \ Ω(εk ), m ≥  m(0k ) Hơn na, ε < δ , vi mi   k Bây gi vi mi   K   ∈ N, ta đt K  K  K  Ω =  Ω (k) và  Ω   = K  ε Ω(εk) k=1 k=1  K  ΩK  \ ΩK  ε =  k=1 Ω(k) \ Ω(εk )   (3.18)   3.5 Mt kt qu tng quát v s na liên tc dưi 35   Do (3.14 3.14), ), (3.16), 3.16), (3.17) 3.17) (3.18 (3.18)) ta có   F  F ((x, u(x), ∇u(x)) ))dx dx   ≤   lim lim sup m→∞ ΩK \ΩK ε = lim sup m→∞            F  F ((x, u(x), ∇um (x)) ))dx dx ΩK \ΩK ε K  k=1 (k) Ω(k) \Ω F  F ((x, u(x), ∇um (x)) ))dx dx ε K  lim sup ≤   lim m→∞ k=1 (k) F  F ((x, um (x), ∇um (x)) + ε +  ε(k) dx Ω(k) \Ωε K  = lim sup m→∞ K  +  k=1 (k) Ω(k) \Ω F  F ((x, um (x), ∇um (x)) ))dx dx ε µ(Ω(k) )ε(k) µ(Ω(k) ) k=1 K  lim sup ≤   lim m→∞ = lim sup m→∞ (k) k=1 F  F ((x, um (x), ∇um (x)) ))dx dx + ε Ω(k) \Ωε     (K ) Ω(K ) \Ω F  F ((x, um (x), ∇um (x)) ))dx dx + ε ε lim sup E (um ) + ε +  ε ≤   lim m→∞ Cho   ε →  0 , áp dng đnh lý hi t đơn điu Lebesgue ta đưc   F ( F (x, u(x), ∇u(x)) ))dx dx  ≤  lim  lim su sup p E (um ) ΩK m→∞ Cui cho  K   → ∞, áp dng đnh lý hi t đơn điu Lebesgue mt ln na ta có kt lun mong mun    lim su sup p E (um ) ))dx F ( F (x, u(x), ∇u(x)) dx ≤  lim Ω m→∞ Chng minh kt thúc Nhn xét 3.3  Theo Nhn xét 3.2, xét  3.2, Đnh  Đnh lý 3.7 lý  3.7 vn  vn nu ta gim nh điu kin (ii) thành (iii)   F  F ((x,u,p x,u,p))  ta li theo   p  vi hu ht   x, u   3.6 Bài toán giá tr riêng th nht ca toán t p-Laplace 36   3.6 Bài toán giá tr riêng th nht ca to toáán t  p-Laplace Cho s thc  p  ≥  2 , ta đnh nghĩa  toán t p-Laplace   bi  =  div((|∇u| p−2 ∇u), −∆ p u  = div nu biu thc bên phi có nghĩa Cho   Ω là mt min b chn   RN  và λ  là mt tham s thc Ta xét toán sau  =  λ |u| p−2 u  trong   Ω, −∆ p u  = λ (3.19) u  =  trên   ∂ Ω   Ta nói   λ  là mt  giá tr riêng  ca   ca toán (3.19 (3.19)) nu tn ti   u  ∈   W 01,p  (Ω) \ {0}  sao cho    p−2 |∇u| vdx =  = λ  λ ∇u∇vdx   |u| p−2 uvdx, Ω Ω vi mi   v  ∈  W 01,p  (Ω) Lúc đó, ta nói   u là  hàm riêng  liên  liên kt vi giá tr riêng  λ Đt λ1  = inf    Ω    dx : : u  u  ∈  W 01,p  (Ω) (Ω),, |∇u| p dx dx  = |u| p dx = Ω Ta chng minh kt qu sau 3.19 ) ) Đnh lý 3.8   λ   > 0  và giá tr riêng nh nht ca toán ( 3.19  Chng minh  Ta đt  V   V    =  W 01,p  (Ω) Do  Ω  b chn nên ta có th trang b  V   chun sau (tương đương vi chun thông thưng): u  =    |∇u| p dx p Ω Xét E (u) =   Ω M   =  (Ω),, |∇u| p dx,   ∀u  ∈  W 01,p  (Ω) (Ω),, u ∈  W 01,p  (Ω)    dx  = |u| p dx = Ω   3.6 Bài toán giá tr riêng th nht ca toán t p-Laplace 37   Ta s chng minh   E, M  tha mãn gi thit ca đnh lý   3.2 3.2 Tht vy, trưc  coercive na liên tc dưi yu   M  Bây gi, gi s  ht   E (u) =  u p nên   E  coercive um    u  trong  V  Áp dng đnh lý nhúng Rellich-Kondrakov, tn ti dãy (vn kí hiu   (um)) cho   um  →  u  trong   L p (Ω) Suy   Ω dx  =  u pLp   = lim um  pLp   = |u| p dx = m→∞ Vy   u  ∈   M , ta suy   M  đóng   đóng yu Tóm li, áp dng đnh lý 3.2 lý  3.2 ta  ta kt lun   E   đt đưc cc tiu   M , gi cc tiu   u0 , ta có   λ1   = E (u0 ) Theo B đ 3.1 đ  3.1,, phim hàm  E  liên tc kh vi Fréchet   V   DE (u)( )(vv ) =  p    V |∇u| p−2∇u∇vdx,   ∀u, v  ∈  V Ω Mt khác nu đt G(u) = G  : H   :  H 01 (Ω)  → R |u| p dx − 1,   Ω  cũng liên tc kh vi Fréchet vi     u|u| p−2 vdx (DG DG((u), v ) =  p Ω Nói riêng, (DG DG((u0 ), u0 ) =  p dx  = p  p   = |u0 | p dx = Ω Do đó, áp dng đnh lý nhân t Lagrange, tn ti nhân t   µ  ∈ R  sao cho |∇u| p−2 ∇u∇vdx − µp (D(u0 ) − µDG µDG((u0), v ) =  p u0 |u0 | p−2 vdx vdx =  = 0,   ∀v  ∈  V , Ω Ω       nghĩa   µ  là mt giá tr riêng ca toán (3.19 (3.19) ) Mt khác, ly  v  = u  =  u  trong (3.20 (3.20)) ta đưc  p dx  = µ  µ |∇u0 | dx = E (u0 ) = Ω   (3.20) dx  = µ  µ |u0 | p dx = Ω Do đó,   λ1  = E   =  E (u0 ) =   u0  p =  µ >  0  (vì   u0  ∈  M   nên   u0   = 0) Vy, ta chng minh đưc   λ1  > 0  >  0  và   λ1  là mt giá tr riêng ca toán (3.19 ( 3.19) ) Bây gi, ta chng minh   λ1  là giá tr riêng nh nht ca (3.19 (3.19) ) Gi s   λ  là mt tr riêng ca (3.19 (3.19)) liên kt vi hàm riêng   u ∈  V   \ {0} Đt v  =   u , u p   3.7 Bài toán biên el liptic na tuyn tính 38   ta có   v p   = Khi đó, theo đnh nghĩa ca   λ1  thì           |∇u| p dx  p Ω λ1  ≤ dx =  = = |∇v | dx  p u    p Ω |∇u| p dx    p dx u | | Ω   Ω (3.21) Mt khác   λ  là tr riêng liên kt vi hàm riêng   u nên   dx =  = λ  λ |∇u| p dx Ω |u| p dx Ω Suy   λ1  ≤  λ Tính nh nht ca  λ  đã đưc chng minh 3.21) ta suy Chú ý 3.2   T (3.21) λ1  = inf      |∇u| p dx Ω   :   u  ∈  W 01,p  (Ω)  p |u| dx Ω   (3.22) Ta gi (3.22 (3.22))  đc trưng Rayleigh-Ritz  ca   ca giá tr riêng th nht Chú ý 3.3  Bng kt qu ca lý thuyt qui hóa, ngưi ta chng minh đưc rng nu   u0  là hàm riêng liên kt vi giá tr riêng   λ  ca tốn (3.19 ( 3.19))   u0 tht s nghim (mnh) ca toán (3.19 ( 3.19) ) Do đó, ta gi   λ    giá tr riêng ca  toán t p-Laplace  3.77 Bà Bàii to toán án biê biênn el elli lipt ptic ic n na tuyn tín tínhh Ta s chng minh s tn ti nghim dương ca toán biên elliptic na tuyn tính khơng bc bng phương pháp  cc tiu có ràng buc  Ta thy toán giá tr riêng th nht ca toán t p-Laplace, tp ràng buc  M  xut hin đnh nghĩa ca  λ Tuy Tuy nhiên toán s xét  mc này, này, ràng buc khơng có sn, ta phi da vào đc đim ca tốn đ đt ràng buc thích hp Cho   Ω  là mt min trơn, b chn   Rn, cho   p >   Nu   n   ≥   3, ta gi s    2n thêm rng   p  tha mãn điu kin   p <  2 ∗ = Vi   λ ∈ R  ta xét toán sau: n−2 λu =  = u  u |u| p−2 −∆u + λu   Ω, u  ≥  0,  0 , u   =  trong   Ω,     (3.23) (3.24)   3.7 Bài toán biên el liptic na tuyn tính 39   u  =  trên   ∂ Ω   (3.25) Kí hiu   λ1  là giá tr riêng t nht ca toán t   −∆  (xem Đnh lý 3.8 lý  3.8))   H 01 (Ω) Khi đó, ta có kt qu sau: 3.23 ) Đnh lý 3.9   Vi   λλ > −λ1, tn ti mt nghim yu khơng âm ca tốn ( 3.23  - ( 33.25  25 )) Chng minh  Trưc ht,   Ω  b chn nên   H 01 (Ω), ta trang b chun (tương đương vi chun thông thưng) sau u  =    |∇u|2 dx Ω Đt   f  f ((x) =   x|x| p−2 − λx  vi   x   ∈   R, theo Ví d 2.3 d  2.3,, phương trình (3.23 (3.23)) phương trình Euler-Lagrange Euler-Lagrange ca phim hàm liên kt ˜ (u) =   E    2    |∇u| + λ|u| dx − Ω  1  p |u| p dx Ω ý  3.5), ),  H 01 (Ω) Tuy nhiên phim hàm không coercive  H 01 (Ω)  (xem Chú ý 3.5 ta khơng th áp dng trc tip Đnh lý 3.2 lý  3.2 đ  đ chng minh s tn ti cc tiu ca đưc Tuy nhiên, li dng tính thun nht ca phương trình (3.23 ( 3.23)) ta có th nhn đưc mt nghim ca toán bng cách gii toán cc tiu hóa có ràng buc phim hàm sau  1 E (u) = 2   Ω |∇u| + λ|u| dx  không gian Hilbert   H 01 (Ω)  hn ch lên tp M   =  u ∈  H 01 (Ω) :    |u| p = Ω Bưc  Ta kim tra  E  tha điu kin ca Đnh lý 3.2 lý  3.2 (i)   M   đóng yu Gi s   um    u  trong   H 01 (Ω) Áp dng đnh lý nhúng RellichKondrakov, tn ti dãy (vn kí hiu   (um)) cho   um   →  u  trong   L p (Ω) Suy dx  =  u pLp   = lim um  pLp   = |u| p dx = Ω   Vy   u ∈  M  Ta kt lun   M  đóng   đóng yu m→∞   3.7 Bài toán biên el liptic na tuyn tính 40   (ii)   E  coercive   coercive Ta nhc li đc trưng Rayleigh-Ritz (3.22 (3.22): ): Ω λ1  = inf  Ta phân bit trưng hp: Nu   λ ≥  0  thì  1 E (u) = Nu   λ  −λ1 ,   E  coercive   coercive   M  (iii)   E  na  na liên tc dưi yu   M  Gi s   um    u  trong   H 01 (Ω)  vi   (um )   ⊂   M, u   ∈   M  Do tính na liên tc dưi yu ca chun, ta có   (3.26)  lim m in inf  f  |∇um |2 dx |∇u|2 dx  ≤  li m→∞     Ω Ω Mt khác, đnh lý nhúng Rellich-Kondrakov, ta có th gi s  um  →  u  trong  L (Ω), kéo theo   (3.27) dx   = lim |um |2 dx |u|2 dx m→∞     Ω Ω T (3.26) 3.26) (3.27 (3.27)) ta suy E (u)  ≤  li  lim m in inf  f E (um ) m→∞ Vy ta kim tra  E  tha điu kin ca Đnh lý 3.2 lý 3.2,, ta kt lun tn ti cc tiu qu  1.1), ), ta có th gi s  u  u  ≥  0 u0  ∈  M   ca   E  Đ ý rng   E (u) =  E (|u|)  (xem H qu 1.1 Bưc 2    3.7 Bài toán biên el liptic na tuyn tính 41 Đ thu đưc phương trình bin phân ca  E , trưc ht đ ý  E  liên   liên tc kh vi Fréchet   H 01 (Ω)  (do B đ 3.1 đ  3.1)) (DE (u), v ) = Hơn na, đt G(u) = Ω ∇u∇v  +     λuvdx |u| p dx − 1, Ω G  : H   :  H 01 (Ω)  → R  cũng liên tc kh vi Fréchet vi (DG DG((u), v ) =  p   u|u| p−2 vdx Ω Nói riêng, dx  = p  p   = |u0 | p dx = (DG DG((u0 ), u0 ) =  p Ω     Do đó, áp dng đnh lý nhân t Lagrange, tn ti nhân t   µ  ∈ R  sao cho (D(u0 ) − µDG µDG((u0), v ) = vdx =  = 0, ∇u0 ∇v  + λu0 v − µpu0 |u0| p−2 vdx   (3.28) Ω (3.28), ), ta đưc vi mi   v  ∈  H 01 (Ω) Chn  v   = u0  trong (3.28 2E (u0 ) =    dx  = pµ  pµ |∇u0 |2 + λ|u0 |2 dx = Ω   dx  = pµ  pµ |u0| p dx = Ω Vì   u0  ∈  M ,   u0  không th đng nht   0, suy   E (u0 )  > 0  >  0  và kéo theo   µ >  0 Bưc 3   1 Đt  u   = ( pµ  pµ)) p−2   u0  pµ)) , nhân phương trình (3.28 ( 3.28)) vi   ( pµ p−2 ta suy   vdx =  = 0, ∇u1 ∇v  + λu1 v − u1 |u1 | p−2vdx Ω (3.23), ), (3.25 ( 3.25) ) Mt khác, vi mi   v  ∈  H 01 (Ω) Nghĩa  u  là nghim yu ca toán (3.23 rõ ràng   u1  ≥  0,  0 , u1   =  trong   H 01 (Ω) Ta kt lun   u1  là mt nghim yu ca toán (3.23) 3.23) - (3.25) 3.25) Chú ý 3.4  Ta s chng minh rng, vi mi   p   ∈   (2 (2,, ∞), tn ti   λ( p)  p)   >   −λ1   cho phim hàm ˜ (u) =   E    Ω  1  p    |∇u|2 + λ|u|2 dx − |u| p dx Ω   3.7 Bài tốn biên el liptic na tuyn tính 42   không bc   H 01, 2 (Ω)  vi mi   λ < λ( p)  p) Tht vy, áp dng bt đng thc Holder, ta đưc 2  C   C    =  |Ω| suy p−2 p  p |u| dx  ≤  C        Ω p Ω |u| dx          , Chú ý rng vi mi  x  ≥  0  0,,    < α <  1  thì  x α ≤  x + T đó, ta |u|2 dx  ≤  C  Ω Ω Kéo theo ˜ (u) ≤   E  |u| p dx + C |∇u|2 dx − Ω  1  λ  −  pC   1 |u|2 dx +  p Ω Gi   ϕ1  là hàm riêng th nht ca toán t   −∆  trong   H 01, 2 (Ω),   ϕ1  tha mãn phương trình sau     dx =  = λ  λ |∇ϕ1 | dx Ω   |ϕ1 |2 dx Ω Bây gi, chn   un   = nϕ , ta đưc  1 ˜ (un )  ≤  D E  |∇un | dx +   =  n D  p Ω      1 |∇ϕ1|2dx +  p Ω  1      1    λ  λ   D   =  − =  −  +  − λ1  pC  2 λ1 pC  2λ1   D  − λ1  pC  ˜ (un )  → −∞,     n  → ∞ E  ˜  không bc   un    =   nϕ1  → ∞     n   → ∞ Điu chng t  E  H 01, 2 (Ω) Chú ý 3.5  S dng kt qu ca lý thuyt qui hóa phương trình đo hàm riêng, ngưi ta chng minh đưc nghim yu   u1  trong chng minh nghim mnh, na   u1   ∈   C 2 (Ω)  ∩  C 0 (Ω),   u1   >    trong   Ω  (xem Đnh lý 2.1, [St96]) St96])   Tài liu tham kho [AF03] R.A Adams and J.J.F Fournier,  Sobolev spaces , Pure and Applied mathematics series, Elsever, 2003 [Br10] Haim Brezis,   F Functi unctional onal analysis, analysis, Sob Sobolev olev spac spaces es and Partial Differential  Differential  Equations , Springer, 2010 [Duc05] Dương Minh Đc,  Gii Tích Hàm , NXB Đi Hc Quc Gia TPHCM, 2005 [Ev97] Lawrence C Evans,  Partial Differential Equations , American Mathematical Society, 1997 [Ru73] Walter Rudin,  Functional Analysis , MCGraw-Hill, New York, 1973 [St96] Michael Struwe,  Variational Methods , Springer-Verlag, 1996 [Tru83] David Gilbarg - Neil S Trudinger,  Elliptic Partial Differential Equations of  Second Order , Springer-Verlag, 1983 43 ... toán phi tuyn cịn rt hn ch Đi vi phương trình phi tuyn, da vào đc đim ca mi lp phương trình, ngưi ta đưa mt phương pháp hu hiu đc trưng đ gii chúng Trong s đó, ? ?phương? ? pháp. .. cc tiu  J ? ?trong ? ?trong s hàm  w  tha (2.4 (2.4) ) Khi ta s chng minh rng   u là nghim ca mt phương trình đo hàm riêng phi   2.2 Bin phân cp mt, phương trình Euler-Lagrange 9  tuyn... ti ti cc cc tiu tiu ca phi? ?? phi? ??m m hàm hàm   3.2 Phương Phương trìn trìnhh el ellip liptic tic suy bin bin   3.3 Bài toán toán phân phân hoc hochh cc tiu tiu