Bài toán biên Dirichlet cho phương trình Elliptic tuyến tính cấp 2 trong không gian Holder

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THÚY MAI BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG KHÔNG GIAN HOLDER LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THÚY MAI BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG KHÔNG GIAN HOLDER Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Công thức Green thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Công thức Green thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Công thức Green biểu diễn hàm số . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Lớp hàm Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Đánh giá Schauder đối với thế vị Newton . . . . . . . . . . 7 1.7 Phương pháp liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Phương pháp làm trơn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 14 2.1 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của bài toán biên Dirich- let cho phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . 19 2.3 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình el- liptic cấp hai dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu 1. Lý do chọn Luận văn Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai có một đặc điểm quan trọng là: khi vế phải và các hệ số của phương trình là các hàm liên tục thì nghiệm cổ điển lớp C 2 của nó nói chung là không tồn tại. Nhà toán học Schauder đã có một phát hiện quan trọng là khi vế phải và các hệ số của phương trình thuộc lớp Holder C α thì nghiệm luôn tồn tại trong lớp C 2,α . Do đó cần phải trình bày một cách hệ thống lý thuyết Schauder về tính giải được của phương trình elliptic cấp hai trong không gian Holder. 2. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp chính được sử dụng trong Luận văn là các đánh giá tiên nghiệm đối với thế vị Newton và sử dụng phương pháp liên tục để chuyển các kết quả cho phương trình Poisson sang loại phương trình tổng quát. 3. Mục đích của Luận văn Trình bày tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát. 4. Nội dung của Luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1. Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu kết quả chính của Luận văn. Trước hết trình bày công thức tích phân từng phần, sau đó trình bày các công thức Green thứ nhất, công thức Green thứ hai và công thức tích phân từng phần. Tiếp theo giới thiệu về lớp hàm Holder, đánh giá của Schauder đối với thế vị Newton và hai phương pháp quan trọng là phương pháp liên tục và phương pháp làm trơn hàm số. Chương 2. Giới thiệu các đánh giá của Schauder đối với nghiệm của 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson và đối với nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Tiếp theo trình bày về tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson và tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo của PGS.TSKH Hà Tiến Ngoạn, Viện Toán học. Em xin được bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K18B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm Luận văn. Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả Trần Thị Thúy Mai 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Công thức tích phân từng phần Giả sử Ω ⊂ R d là miền bị chặn trong R d với biên ∂Ω. Với x ∈ ∂Ω ta ký hiệu ν x = (ν 1 , ν 2 , , ν d ) là véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại x, dσ(x) là phần tử diện tích của ∂Ω. Với u(x), v(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ta có công thức tích phân từng phần sau đây:  Ω ∂u(x) ∂x k v(x)dx = −  Ω u(x) ∂v(x) ∂x k dx +  ∂Ω u(x)v(x)ν k dσ(x). (1.1) 1.2 Công thức Green thứ nhất Bổ đề 1.2.1. Giả sử u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), v(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω), ∆u = d  k=1 ∂ 2 u ∂x 2 k . Khi đó ta có công thức Green thứ nhất  Ω v(x)∆u(x)dx +  Ω ∇u(x).∇v(x)dx =  ∂Ω v(z) ∂u ∂ν z (z)dσ(z), (1.2) trong đó ∇u = ( ∂u ∂x 1 , , ∂u ∂x d ) , ∂u ∂ν z = d  k=1 ∂u ∂x k ν k = (∇u, ν z ) là đạo hàm của u theo hướng ν z . 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chứng minh. Ta có:  Ω v(x)∆u(x)dx =  Ω v(x) d  k=1 ∂ ∂x k ( ∂u ∂x k )dx = −  Ω d  k=1 ∂u ∂x k ∂v ∂x k dx +  ∂Ω v(z)  d  k=1 ∂u(z) ∂x k ν k  dσ(z) = −  Ω ∇u(x).∇v(x)dx +  ∂Ω v(z) ∂u ∂ν z (z)dσ(z). Do đó ta có công thức (1.2). 1.3 Công thức Green thứ hai Bổ đề 1.3.1. Giả sử u(x), v(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), ta có công thức Green thứ hai:  Ω {v(x)∆u(x) − u(x)∆v(x)}dx =  ∂Ω  v(z) ∂u ∂ν z − u(z) ∂v ∂ν z (z)  dσ(z). (1.3) Chứng minh. Theo công thức Green thứ nhất ta có:  Ω v(x)∆u(x)dx +  Ω ∇u(x).∇v(x)dx =  ∂Ω v(z) ∂u ∂ν z (z)dσ(z). Đổi vai trò hàm u(x) và v(x) ta có:  Ω u(x)∆v(x)dx +  Ω ∇v(x).∇u(x)dx =  ∂Ω u(z) ∂v ∂ν z (z)dσ(z). Trừ các vế của hai phương trình trên ta có (1.3). 1.4 Công thức Green biểu diễn hàm số Định lý 1.4.1. Nếu u ∈ C 2 (Ω), ta có: u(y) =  ∂Ω  u(x) ∂Γ ∂ν x (x, y) − Γ(x, y) ∂u ∂ν x (x)  do(x) +  Ω Γ(x, y)∆u(x)dx, (1.4) 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 trong đó Γ(x, y) = Γ(|x − y|) =  1 2π log |x − y| với d = 2 1 d(2−d)ω d |x − y| 2−d với d > 2 (1.5) và ω d là thể tích của hình cầu đơn vị trong R d . Chứng minh. Với  > 0 đủ nhỏ, tồn tại hình cầu tâm y bán kính  B(y, ) ⊂ Ω (vì Ω mở ). Áp dụng (1.3) cho v(x) = Γ(x, y) và Ω \ B(y, ). Do Γ là hàm điều hòa theo biến x trong Ω \ {y}, ta thu được:  Ω\B(y,) Γ(x, y)∆u(x)dx =  ∂Ω  Γ(x, y) ∂u ∂ν x (x) − u(x) ∂Γ(x, y) ∂ν x  dσ(x) +  ∂B(y,)  Γ(x, y) ∂u ∂ν x (x) − u(x) ∂Γ(x, y) ∂ν x  dσ(x). (1.6) Trong tích phân thứ hai trên biên, ν là pháp tuyến ngoài của Ω \ B(y, ), do vậy là pháp tuyến trong của B(y, ). Ta lấy giới hạn từng tích phân trong công thức khi  → 0. Do u ∈ C 2 (Ω), ∆u bị chặn. Do Γ là khả tích nên vế trái của (1.6) trở thành:  Ω Γ(x, y)∆u(x)dx. Trên ∂B(y, ), ta có Γ(x, y) = Γ(). Vì vậy khi  → 0,      ∂B(y,) Γ(x, y) ∂u ∂ν x (x)dσ(x)     ≤ dω d  d−1 Γ() sup B(y,) |∇u| → 0. Ngoài ra, −  ∂B(y,) u(x) ∂Γ(x, y) ∂ν x dσ(x) = ∂ ∂ Γ()  ∂B(y,) u(x)dσ(x) = 1 dω d  d−1  ∂B(y,) u(x)dσ(x) → u(y). 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 (do ν là pháp tuyến trong của B(y, )). Do vậy, ta có (1.4). 1.5 Lớp hàm Holder Định nghĩa 1.5.1. Cho f : Ω → R, x 0 ∈ Ω, 0 < α < 1. Hàm f được gọi là liên tục Holder tại x 0 với số mũ α nếu sup x∈Ω |f(x) − f(x 0 )| |x − x 0 | α < ∞. (1.7) Hơn nữa f được gọi là liên tục Holder trong Ω nếu nó liên tục tại mọi x 0 ∈ Ω (với số mũ α). Khi đó ta viết f ∈ C α (Ω). Nếu f liên tục Holder tại x 0 thì f liên tục tại x 0 . Trong (1.7) nếu α = 1 thì f được gọi là liên tục Lipschitz tại x 0 . Ta định nghĩa chuẩn: |f| C α (Ω) = sup x,y∈Ω |f(x) − f(y)| |x − y| α (1.8) f C α (Ω) = f C 0 (Ω) + |f| C α (Ω) (1.9) Không gian C α (Ω) với chuẩn (1.9) là không gian Banach. Ví dụ 1.5.2. Hàm f trên B 1 (0) được cho bởi f(x) = |x| β , 0 < β < 1, liên tục Holder với số mũ β tại x = 0 và liên tục Lipschitz khi β = 1. Định nghĩa 1.5.3. C k,α (Ω) là không gian các hàm f ∈ C k (Ω) mà đạo hàm cấp k liên tục Holder với số mũ α. Khi đó f C k,α (Ω) = f C k (Ω) +  |α|=k |D α f| C α (Ω) . (1.10) Ta thường viết C α thay cho C 0,α . Không gian C k,α (Ω) với chuẩn (1.10) là không gian Banach. Bổ đề 1.5.4. Nếu f 1 , f 2 ∈ C α (G) trên G ⊂ R d . Khi đó f 1 f 2 ∈ C α (G) và: |f 1 f 2 | C α (G) ≤  sup G |f 1 |  |f 2 | C α (G) +  sup G |f 2 |  |f 1 | C α (G) . 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Chứng minh. Ta có: |f 1 (x)f 2 (x) − f 1 (y)f 2 (y)| |x − y| α ≤ |f 1 (x) − f 1 (y)| |x − y| α |f 2 (x)| + |f 2 (x) − f 2 (y)| |x − y| α |f 1 (x)|. Suy ra điều phải chứng minh. 1.6 Đánh giá Schauder đối với thế vị Newton Định nghĩa 1.6.1. Cho Ω ∈ R d là mở và bị chặn. Thế vị Newton của f là hàm số u trên R n được định nghĩa bởi: u(x) =  Ω Γ(x, y)f (y)dy, (1.11) trong đó Γ(x, y) được xác định bởi (1.5). Định lý 1.6.2. a. Nếu f ∈ L ∞ (Ω) (tức sup x∈Ω |f(x)| < ∞), thì u ∈ C 1,α (Ω) và: u C 1,α (Ω) ≤ c 1 sup |f| với α ∈ (0; 1). (1.12) b. Nếu f ∈ C α 0 (Ω), thì u ∈ C 2,α (Ω) và: u C 2,α (Ω) ≤ c 2 f C α (Ω) với α ∈ (0; 1), (1.13) trong đó C α 0 (Ω) gồm các hàm thuộc C α (Ω) và bằng không trong lân cận của biên ∂Ω. Các hằng số trong (1.12) và (1.13) phụ thuộc vào α, d và |Ω|. Chứng minh. a. Đạo hàm cấp một v i = ∂u ∂x i của u được cho bởi: v i (x) =  Ω x i − y i |x − y| d f(y)dy (i = 1, 2, , d). Trong công thức trên đã bỏ qua thừa số mà chỉ phụ thuộc vào d. Từ đó ta có công thức: |v i (x 1 ) − v i (x 2 )| ≤ sup Ω |f|.  Ω     x i 1 − y i |x 1 − y| d − x i 2 − y i |x 2 − y| d     dy. (1.14) 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Chương 2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2. 1 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson Xét phương trình Poisson sau trong miền Ω ⊂ Rd x ∈ Ω ∆u(x) = f (x), (2. 1) Ta ký hiệu H 1 (Ω) là không gian H 1 (Ω) = {u(x) ∈ L2 (Ω); ∂u ∈ L2 (Ω), ∀i = 1, 2, , d} ∂xi Không gian H 1 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô... C 3,α (Ω) 2. 2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Định nghĩa 2. 2.1 Ta xét phương trình d ∂ 2 u(x) Lu(x) = a (x) i j + ∂x ∂x i,j=1 d bi (x) ij i=1 ∂u(x) + c(x)u(x) = f (x) (2. 24) ∂xi trong miền Ω ⊂ Rd Phương trình trên được gọi là phương trình elliptic tuyến tính cấp hai nếu thỏa mãn : (A) Tính elliptic: Tồn tại λ > 0 sao cho với mọi... Cauchy trong C 0 (Ω) hoặc C α (Ω) Áp dụng (2. 3) và (2. 4) cho uh1 − uh2 , ta thu được: uh1 − uh2 C 1,α (Ω0 ) ≤ c27 fh1 − fh2 C 0 (Ω) + uh1 − uh2 L2 (Ω) , (2. 22) C 2, α (Ω0 ) ≤ c28 fh1 − fh2 C α (Ω) + uh1 − uh2 L2 (Ω) (2. 23) hoặc uh1 − uh2 Hàm giới hạn u được chứa trong C 1,α (Ω0 ) hoặc C 2, α (Ω0 ) và thỏa mãn (2. 3) và (2. 4) Định lý 2. 1 .2 Giả sử u là một nghiệm yếu của ∆u = f trong Ω (Ω là miền bị chặn trong. .. (B(0,r)) , 0≤r≤R A2 = sup (R − r)3 u C 2, α (B(0,r)) 0≤r≤R Để chứng minh (a), ta chọn R1 sao cho: A1 ≤ 2( R − R1 )3 u C 1,α (B(0,R1 )) (2. 18) Và để chứng minh (b) ta chọn R1 sao cho: A2 ≤ 2( R − R1 )3 u C 1,α (B(0,R1 )) (2. 19) Khi đó (2. 13) và (2. 15) kéo theo: A1 ≤ c21 (R − R1 )3 ∆u C 0 (B(0,R2 )) + ε u (R2 − R1 )2 C 1,α (B(0,R2 )) 1 N (ε) u L2 (B(0,R2 )) (R2 − R1 )2 (R − R1 )3 ε ≤ c 22 A1 + c23 (R − R1 )3... C 2, α Cα + u C 1,α (2. 10) Ở đây tất cả các chuẩn được tính toán trên B(0, R2 ) Từ Định lý 1.6 .2 và (2. 9) và (2. 10), ta thu được: φ C 1,α ≤ c17 ∆u C0 + η C2 u , (2. 11) C 1,α (2. 12) C1 và φ C 2, α ≤ c18 η ∆u C 2, α Cα + u tương ứng Do u(x) = φ(x) với |x| ≤ R1 , và trở lại (2. 5), ta thu được: u C 1,α (B(0,R1 )) ≤ c19 ∆u C 0 (B(0,R2 )) + 1 u (R2 − R1 )2 C 1 (B(0,R2 )) , (2. 13) và u C 2, α (B(0,R1 )) ≤ c20... g trong C 2, α (Ω) và vì vậy un trở thành dãy Cauchy trong C 2, α (Ω) và do đó hội tụ tới u ∈ C 2, α (Ω) thỏa mãn: ∆u = f trong Ω, u = g trên ∂Ω, và đánh giá (2. 58) 2. 4 Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát Định lý 2. 4.1 Giả sử Ω là miền bị chặn của lớp C ∞ trong Rd Giả sử toán tử vi phân d 2 L= a (x) i j + ∂x ∂x i,j=1 d ij bi (x) i=1 ∂ + c(x) ∂xi (2. 60)... chuẩn 2 α -Holder của đạo hàm cấp hai ∂x∂∂xj u có thể được đánh giá như trong i chứng minh của Định lý 1.6 .2( b) Phương trình vi phân ∆u = f kéo theo: 2 u=f− (∂xd )2 d−1 i=1 2 u, (∂xi )2 (2. 49) 2 ∂ và vì vậy ta thu được đánh giá cho chuẩn α -Holder của (∂xd )2 u Vì vậy ta có thể đánh giá được tất cả đạo hàm cấp hai của u Như trong chứng minh của Định lý 2. 1.1, khi đó ta thu được đánh giá C 2, α trong. .. Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày các vấn đề sau đây: 1 Lớp hàm Holder và các đánh giá Schauder đối với nghiệm yếu của các phương trình Poisson và phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát 2 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong lớp hàm Holder đối với các phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát 32Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái... (R − R )2 (R − R2 ) 2 1 3 (R − R1 ) + c24 N (ε) u L2 (B(0,R2 )) (R2 − R1 )3 + C 0 (B(0,R2 )) Chọn R2 (R1 < R2 < R), và ε thích hợp, hệ số của A1 ở vế phải nhỏ hơn 1 2 Khi đó ta được: u|C 1,α (B(0,r)) ≤ 1 A1 (R − r)3 ≤ c25 ∆u C 0 (B(0,R)) + u L2 (B(0,R)) (2. 20) với một hằng số phụ thuộc vào bán kính Một cách tương tự từ (2. 14) và (2. 17) ta thu được: u C 2, α (B(0,r)) ≤ c26 ∆u C 0 (B(0,R)) + u L2 (B(0,R))... > 0 đủ nhỏ sao cho: 1 c7 sup |aij (x0 ) − aij (x)| ≤ 2 i,j,x∈B(x0 ,R) (2. 39) Với cùng phương pháp trong chứng minh của Định lý 2. 1.1, số hạng tương ứng có thể bị triệt tiêu trong vế trái Khi đó từ (2. 38) ta thu được: u C 2, α (B(x0 ,R)) ≤ 2c8 u C 2 (B(x0 ,R)) + 2c9 f C α (B(x0 ,R)) (2. 40) L2 (B(x0 ,R)) (2. 41) Do (2. 17), với mọi ε > 0, tồn tại N (ε) sao cho: u C 2 (B(x0 ,R)) ≤ε u C 2, α (B(x0 ,R)) . http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson và đối với nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Chương 2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2. 1 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của bài toán biên Dirich- let cho phương trình