Tuyển tập Bất đẳng thức - Trần Duy Thái

Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 3... Tuyển tập Bất đẳng thức 1..[r]

Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất bản: a3  b3  a  b      Cho a, b > chứng minh: Chứng minh: Cho a + b  chứng minh: ab  a2  b2 a  b a3  b3  2 a b   a b Cho a, b > Chứng minh: b a 1   Chứng minh: Với a  b  1: 2 1 ab 1 a 1 b Chứng minh: a2  b2  c2    a  b  c  ; a , b , c  R Chứng minh: a2  b2  c2  d2  e2  a  b  c  d  e Chứng minh: x2  y2  z2  xy  yz  zx a Chứng minh: ab c  b Chứng minh: a2  b2  c2  a  b  c    3   10 Chứng minh: ab  bc  ca ; a,b,c  a2  b2  c2  ab  ac  2bc 11 Chứng minh: a2  b2   ab  a  b 12 Chứng minh: x2  y2  z2  2xy  2xz  2yz 13 Chứng minh: x4  y4  z2   2xy(xy2  x  z  1) 15 Cho a, b, c là số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 14 Chứng minh: Nếu a + b  thì: a3  b3  Lop12.net Tuyển tập Bất đẳng thức II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: Trần Duy Thái Chứng minh: (a  b)(b  c)(c  a)  8abc ; a,b,c  Chứng minh: (a  b  c)(a2  b2  c2 )  9abc ; a,b,c  Chứng minh: 1 a 1 b1 c   1 abc  với a , b , c  m 10 11 12 13 14 15 16 17 m  a  b Cho a, b > Chứng minh:  1    1   2m  , với m  Z+  b  a bc ca ab Chứng minh:    a  b  c ; a,b,c  a b c x6  y9  3x2 y3  16 ; x,y   3a2  Chứng minh: 2a4  1 a Chứng minh: Chứng minh: a1995  1995  a  1 ,a>0 Chứng minh: a2 1 b2   b2 1 c2   c2 1 a2   6abc a b c 1 1 1        Cho a , b > Chứng minh: 2 2 2 a b c  a b b c a c Cho a , b  , chứng minh: ab  a b   b a  Cho x, y, z > và x + y + z = Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1) Cho a > b > c, Chứng minh: a  33  a  b b  c  c Cho: a , b , c > và a + b + c = Chứng minh: a) b + c  16abc b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc 1 1 1  c)  1   1   1   64  a  b  c  Cho x > y > Chứng minh: x 3  x  y y Chứng minh: x8 x2  a2   , x >  ,x  R 4 a) b) c) x 1 x2  a2  ab bc ca ab c Chứng minh:    ; a, b, c  ab b c c a 18 Chứng minh: 19 Chứng minh: x2 1 16x  y2 1 16y  , x , y  R a b c    ;a,b,c>0 b c a c ab 2 Lop12.net Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức 20 Cho a , b , c > C/m: 1 1    a3  b3  abc b3  c3  abc c3  a3  abc abc 21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a a  b  c  d  44 abcd với a , b , c , d  b a  b  c  abc 3 với a , b , c  , 22 Chứng minh: a  b  c  a 2 bc  b ac  c (Côsi số) (Côsi số ) ab ; a , b , c > 23 Chứng minh: a  b  c  abc x 18 24 Cho y   , x > Định x để y đạt GTNN x x 25 Cho y   ,x  Định x để y đạt GTNN x 1 3x 26 Cho y   , x  1 Định x để y đạt GTNN x 1 x 27 Cho y   ,x  Định x để y đạt GTNN 2x  x 28 Cho y  , < x < Định x để y đạt GTNN  1 x x 29 Cho y  x3  x2 , x > Định x để y đạt GTNN x2  4x  , x > x Tìm GTNN f(x)  x2  , x > x Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) Cho y = x(6 – x) ,  x  Định x để y đạt GTLN Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  Định x để y đạt GTLN Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,   x  Định x để y đạt GTLN Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,   x  Định x để y đạt GTLN 2 x Cho y  Định x để y đạt GTLN x 2 30 Tìm GTNN f(x)  31 32 33 34 35 36 37 38 Cho y  x2  x  3 Định x để y đạt GTLN Lop12.net Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) Chứng minh: sinx  cos x  Cho 3a – 4b = Cho 2a – 3b = Cho 3a – 5b = Cho a + b = Cho a + b  BĐT Bunhiacopxki Chứng minh: 3a2 + 4b2  725 Chứng minh: 3a2 + 5b2  47 2464 Chứng minh: 7a2 + 11b2  137 Chứng minh: a4 + b4  Chứng minh: a2  b2  Lời giải: I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất bản: Cho a, b > chứng minh: a3  b3  a  b    (*)   (*)  a3  b3  a  b      a  b a  b  ĐPCM    ab a2  b2 ()  2  a + b  , () luôn đúng Chứng minh:  a + b > , ()  Vậy: ab   a  b a2  b2  2ab a2  b2  0   , đúng 4 a2  b2  a  b3 a3  b3 a  b a3  b3    2 Cho a + b  chứng minh:   b  a   a2  b2    3  b  a   a  b  , ĐPCM a b   a  b () Cho a, b > Chứng minh: b a ()  a a  b b  a b  b a   a  b a   a  b b   a  b   a  b   , ĐPCM 1   Chứng minh: Với a  b  1: () 2 1 ab 1 a 1 b   a  b  a  b    Lop12.net Trần Duy Thái  1 a   Tuyển tập Bất đẳng thức 1 b2  1 ab  a2 ab  b2   0  0 1 ab 1 ab 1 a2  1 ab 1 b2  1 ab a b  a b  a  b  1 a  1 ab 1 b  1 ab 2 ba  a b   0 1 ab  1 a2 1 b2  0   b  a 2  ab  1 b  a  a  ab2  b  ba2    , ĐPCM    1 ab  1 a2 1 b2   1 ab 1 a2 1 b2   Vì : a  b   ab   ab –   Chứng minh: a2  b2  c2    a  b  c  ; a , b , c  R 2   a  1   b  1   c  1  ĐPCM Chứng minh: a2  b2  c2  d2  e2  a  b  c  d  e  a2 a2 a2 a2  ab  b2   ac  c2   ad  d2   ae  e2  4 4 2 2 a  a  a  a     b     c     d     e   ĐPCM 2  2  2  2  Chứng minh: x2  y2  z2  xy  yz  zx  2x2  2y2  2z2  2xy  2yz  2zx    x  y 2   x  z 2   y  z 2  a Chứng minh:  ab c  ab  bc  ca ; a,b,c  a2  b2  c2  ab  bc  ca a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca ab  bc  ca ab c         ab c  b Chứng minh:  ab  bc  ca a2  b2  c2  a  b  c    3    a2  b2  c2   a2  b2  c2   a2  b2  c2   a2  b2  c2   ab  bc  ca    a  b  c   10 Chứng minh: a2  b2  c2  a  b  c    3   a2  b2  c2  ab  ac  2bc Lop12.net Tuyển tập Bất đẳng thức  Trần Duy Thái 2 a a   a  b  c   b2  c2  2bc      b  c    2  11 Chứng minh: a2  b2   ab  a  b  2a2  2b2   2ab  2a  2b   a2  2ab  b2  a2  2a  1 b2  2b   2   a  b   a  1   b  1  12 Chứng minh: x2  y2  z2  2xy  2xz  2yz  x2  y2  z2  2xy  2xz  2yz   (x – y + z)2  13 Chứng minh: x4  y4  z2   2x(xy2  x  z  1)  x4  y4  z2  1 2x2 y2  2x2  2xz  2x    x2  y2    x  z    x  1  2  a + b   b  – a  b3 = (1 – a)3 = – a + a2 – a3 14 Chứng minh: Nếu a + b  thì: a3  b3  1 1   a3 + b3 =  a      2 4 15 Cho a, b, c là số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)  ab + bc + ca  a2 + b2 + c2  (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2  a  bc ,b  ac , c  ab b  a2  b2  2bc  c2 , b2  a2  2ac  c2 , c2  a2  2ab  b2  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) a2  a2   b  c   a2   a  c  b a  b  c    b2  b2   a  c   b2   b  c  a  a  b  c   c2  c2   a  b  c2   b  c  a  a  c  b 2 c  2  a2b2c2   a  b  c   a  c  b  b  c  a   abc   a  b  c  a  c  b b  c  a  2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 >  4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 >  4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 >  (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 >  [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] >  (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > đúng Vì a , b , c là ba cạnh tam giác  c – a + b > , c + a – b > , a + b – c > , a + b + c > Lop12.net Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: Chứng minh: (a  b)(b  c)(c  a)  8abc ; a, b, c   Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:  a  b  ab , b  c  bc , a  c  ac   a  b b  c  a  c   a2b2c2  8abc Chứng minh: (a  b  c)(a2  b2  c2 )  9abc ; a,b,c   Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:  a  b  c  33 abc , a2  b2  c2  a2b2c2   a  b  c   a2  b2  c2   a3b3c3  9abc 3 Chứng minh: 1 a 1 b1 c   1 abc  , với a , b , c   1 a 1 b1 c   1 a  b  c  ab  ac  bc  abc  a  b  c  33 abc , ab  ac  bc  a2b2c2  1 a 1 b1 c   1 33 abc  a2b2c2  abc  1 abc  m m  a  b Cho a, b > Chứng minh:  1    1   2m  , với m  Z+  b  a m m m m b b  a   a  1    1    1   1    b b  a  a   4m  2m  bc ca ab Chứng minh:    a  b  c ; a, b, c  a b c  Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: ca ab a2bc  2  2a b c bc bc ca ab     ab c a b c Chứng minh: x6  y9  3x2 y3  16 ; x,y  () 3 ()  x6  y9  64  12x2 y3   x2    y3   43  12x2 y3 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:  x2 3   y3 3  43  3x2y3  12x2y3 Lop12.net m b a   2   a b  bc ca abc2 bc ba b2ac  2  2c ,  2  2b , a b ab a c ac Tuyển tập Bất đẳng thức Chứng minh: 2a4  4 Trần Duy Thái 1 a  3a2  () ()  a  a  a  1 1 a  4a2 Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm: a4 , a4 , a2  1, a  a  a  1 1995 Chứng minh: a 1995 ()  a 1 a  44 a4a4  a2  1  1995  a  1 () 1995  1995a  1995  a 1 a 1 a  4a2 ,a>0  1995  1995a 1995 1995 a1995  1995  a1995  1994  a1995  1  1   1995 a  1995a 1994 soá Chứng minh: a2 1 b2   b2 1 c2   c2 1 a2   6abc   a2 1 b2   b2 1 c2   c2 1 a2   a2  a2b2  b2  b2c2  c2  c2a2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm: a2  a2b2  b2  b2c2  c2  c2a2  a6b6c6  6abc a b c 1 1 1        10 Cho a , b > Chứng minh: 2 2 2 a b c  a b b c a c a a b b c c        , , 2 2 2ab 2b 2bc 2c a  c 2ac 2a a b b c a b c 1 1 1         Vậy: 2 2 a b c a b b c a c  11 Cho a , b  , chứng minh: ab  a b   b a   a   a  1   a  , b   b  1   b   ab  2b a  , ab  2a b   ab  a b   b a  12 Cho x, y, z > và x + y + z = C/m: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)  x   x  1    x  1  x  y  z    x  1   x  1   y  1   z  1  44  x  1 Tương tự: y  44  x  1  y  1  z  1 ;  y  1  z  1 z  44  x  1  y  1  z  1  xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13 Cho a > b > c, Chứng minh: a  33  a  b b  c  c  a   a  b   b  c   c  33  a  b b  c  c Lop12.net Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức 14 Cho: a , b , c > và a + b + c = Chứng minh: a) b + c  16abc 2 b c b c  1 a     bc  16abc  16a    16a    4a 1 a         2  4a 1 a   1 a   4a  4a2   1 a  1 1 2a    1 a  b  c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc  (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b)  bc.2 ac.2 ab  8abc 1 1 1  c)  1   1   1   64  a  b  c    a  a  b  c  a2bc   1     a a  a    4 ab2c   b b 1 1 1    1   1   1   64  a  b  c   1 x 15 Cho x > y > Chứng minh:  1 4 abc2  c c 3  x  y y  x  y y VT   x  y   y   33 3  x  y y  x  y y 16 Chứng minh: x2    x   x   x  1  x  a) x 1 b) c x8 x 1 = x 1  x  1  a2  1    a2  1  17 Chứng minh:  x  1 9 x 1 2 a2   x 1 x 1 a2  a2  6 4 ab bc ca ab c    ; a, b, c  ab b c c a Vì : a  b  ab  ab ab   a  b ab ab bc bc   , b  c bc bc ac ac   , a  c ac ac  a  b  c  ab  bc  ca , dựa vào: a2  b2  c2  ab  bc  ca  ab bc ca    ab b c c a ab  bc  ac a  b  c  2 Lop12.net Tuyển tập Bất đẳng thức 18 Chứng minh:    x 1 16x y 1 16y x 4 1 16x x 1 16x    Trần Duy Thái x 1  4x  y y 2 1  4y  2 1 16y y  4 1 16y    x2 2.4x y2 2.4y  , x , y  R   a b c    ;a,b,c>0 b c a c ab Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b  a + b + c = (X + Y + Z) YZX ZXY XYZ ,b ,c  a 2  a b c  Y X   Z X   Z Y                  3 b  c a  c a  b  X Y   X Z   Y Z        3  2 Cách khác: a b c  a   b   c       1    1    1  b c a c ab b c  a c  ab  1      a  b   b  c    c  a      3  b c a  c a  b  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:  a  b   b  c    c  a          2  b c a  c a  b 20 Cho a , b , c > C/m: 1 1    3 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 19 Chứng minh:  a3  b3   a  b  a2  ab  a2    a  b ab  a3  b3  abc   a  b ab  abc  ab  a  b  c  , tương tự b3  c3  abc   b  c  bc  abc  bc  a  b  c   c3  a3  abc   c  a  ca  abc  ca  a  b  c  1 1 ab c  VT       ab  a  b  c  bc  a  b  c  ca  a  b  c  a  b  c  abc   10 Lop12.net Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức 21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a a  b  c  d  44 abcd với a , b , c , d  (Côsi số)  a  b  ab , c  d  cd   a  b  cd   ab  cd   2 a  b  c  abc b  ab c   ab cd  44 abcd với a , b , c  , (Côsi số ) ab c ab c  4.4 abc 3 ab c ab c   abc 3 ab c ab c    abc 3   ab c     abc  a  b  c  abc   22 Chứng minh: a3  b3  c3  a2 bc  b2 ac  c2 ab ; a , b , c >   a3  abc  2a2 bc , b3  abc  2b2 ac , c3  abc  2c2 ab a3  b3  c3  3abc   a2 bc  b2 ac  c2 ab    a3  b3  c3    a2 bc  b2 ac  c2 ab  , vì : a3  b3  c3  3abc Vậy: a3  b3  c3  a2 bc  b2 ac  c2 ab 23 Chứng minh: a  33 b  44 c  99 abc  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm: VT  a  a  b  b  b  c  c  c  c  99 abc x 18 24 Cho y   , x > Định x để y đạt GTNN x   Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: y x 18 x 18  2 6 x x x 18   x2  36  x   , chọn x = x Vậy: Khi x = thì y đạt GTNN x 25 Cho y   ,x  Định x để y đạt GTNN x 1 x 1  y   x 1 x 1  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm : , x 1  Dấu “ = ” xảy  y x 1 x 1   2   x 1 2 x 1 2 11 Lop12.net Tuyển tập Bất đẳng thức  Dấu “ = ” xảy  Trần Duy Thái x 1 2    x  1   x 1 Vậy: Khi x = thì y đạt GTNN x   x  1(loại)  3x  , x  1 Định x để y đạt GTNN x 1 3(x  1)  y   x 1 26 Cho y   Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm  x  1 : , x 1  x  1 3  x  1 3   2   6 x 1 2 x 1 2 Dấu “ = ” xảy   1 x   x  1 2       x 1    x 1  1(loại ) x    y   thì y đạt GTNN  x 27 Cho y   ,x  Định x để y đạt GTNN 2x  2x   y   2x  Vậy: Khi x   Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm 2x  2x    2   2x  2x  Dấu “ = ” xảy y 2x  : , 2x  30   30  x  2x  2     2x  1  30    2x   30  (loại ) x   30  30  thì y đạt GTNN x 28 Cho y  , < x < Định x để y đạt GTNN  1 x x Vậy: Khi x  12 Lop12.net Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức  x 1 x   5x x x 1 x 1 x f(x)    5 5 5 55 1 x x 1 x x 1 x x Dấu “ = ‘ xảy   Vậy: GTNN y là  x  29 Cho y     x 1 x 5  x  5  (0 < x < 1)  5x 1 x x  1 x  x3  x2 x3  5 , x > Định x để y đạt GTNN x x xx    33 3 2 x 22x x x x x Dấu “ = ‘ xảy     x  2 x Vậy: GTNN y là x   x  30 Tìm GTNN f(x)  x2  4x  , x > x x2  4x  4  x    x   x x x  Dấu “ = ‘ xảy  x   x = (x > 0) x  Vậy: GTNN y là x = 2 31 Tìm GTNN f(x)  x2  , x > x   x2  x 3   x2   2 x2 x2 x2 1      55      3 x   x  x 5 x   x   x = (x > 0) x  Vậy: GTNN y là x  27 32 Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)    Dấu “ = ‘ xảy  27 2 11x  11  1    f(x) = –10x2 + 11x – = 10  x2     10  x    10  20  40 40   11 Dấu “ = “ xảy  x  20 13 Lop12.net Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái 11 thì y đạt GTLN 20 40 33 Cho y = x(6 – x) ,  x  Định x để y đạt GTLN  Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm x và – x (vì  x  6):   x    x   x   x   x(6 – x)   Vậy: Khi x    Dấu “ = “ xảy  x = – x  x = Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN 34 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  Định x để y đạt GTLN  y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) 5   Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + và – 2x ,  3  x   :  2 121  11   2x  6    2x    2x  6  2x   (2x + 6)(5 – 2x)   Dấu “ = “ xảy  2x + = – 2x  x   121  Vậy: Khi x   thì y đạt GTLN 35 Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,   x  Định x để y đạt GTLN  y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x)    Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + , 10 – 2x ,    x   :   625   2x  5  10  2x    2x  510  2x   (2x + 5)(10 – 2x)   Dấu “ = “ xảy  2x + = 10 – 2x  x  625  Vậy: Khi x  thì y đạt GTLN 36 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,   x  Định x để y đạt GTLN 2  y = 3(2x + 1)(5 – 2x) 5   Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + , – 2x ,    x   :  2   2x  1    2x    2x  1  2x   (2x + 1)(5 – 2x)   Dấu “ = “ xảy  2x + = – 2x  x = 14 Lop12.net Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức  Vậy: Khi x = thì y đạt GTLN x 37 Cho y  Định x để y đạt GTLN x 2 x    x2  2x2  2x   y 2 2 x 2  Dấu “ = “ xảy  x2  và x >  x=  Vậy: Khi x  thì y đạt GTLN 38 Cho y  x2  x  3 2 Định x để y đạt GTLN x2  x2   x2  1  x2 1.1   x2  2  27x2   Dấu “ = “ xảy  x2   x    Vậy: Khi x   thì y đạt GTLN  x  2  27 27 III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki Chứng minh: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2) () BĐT Bunhiacopxki ()  a2b2  2abcd  c2d2  a2b2  a2d2  c2b2  c2d2 2  a2d2  c2b2  2abcd    ad  cb  Chứng minh: sinx  cos x   Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , sinx , , cosx :  12  12   sin2 x  cos2 x   Cho 3a – 4b = Chứng minh: 3a2 + 4b2   Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , a , , b : 3a  4b    4  3a2  4b2   3a2 + 4b2  725 Cho 2a – 3b = Chứng minh: 3a2 + 5b2  47 3a 5b  2a  3b  , 3a ,  , 5b:  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số  sinx  cos x  sinx  cos x  3a  4b  15 Lop12.net Tuyển tập Bất đẳng thức 735  9 b      3a2  5b2   3a2 + 5b2  47  5 2464 Cho 3a – 5b = Chứng minh: 7a2 + 11b2  137 7a 11b  3a  5b  11 , 7a ,  , 11b :  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số 11  3a 2464  25   2 11b     7a  11b   7a2 + 11b2   11  137 11 Cho a + b = Chứng minh: a4 + b4   Áp dụng BĐT Bunhiacopski:  Trần Duy Thái 7a   a  b  1 1  a2  b2   a2 + b2     a2  b2   1 1  a4  b4   a4 + b4  Cho a + b   1 a  b  Chứng minh: a2  b2  12  12   a2  b2   a2  b2  16 Lop12.net Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC (CĐGT II 2003 dự bị) Cho số bất kì x, y, z CMR: x2  xy  y2  x2  xz+z2  y2  yz+z2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > và xyz = Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3  x + y + z (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho số dương x, y, z thoả x + y + z  Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức: A=x+y+z+   x y z (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y = Tìm giá trị nhỏ 4 biểu thức: A =  x 4y (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức: a b c d <2    ab c b c d c d a d ab (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)   Chứng minh x > thì (x + 1)2   x  1  16 x  (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho số dương a, b, c Ch minh rằng: ab c ab c ab c   9 a b c (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y  0; x2 + x = y + 12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = xyz 10 (Học viện BCVT 2001) Chứng minh với số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 1 b c   a  b  c  3 a  b  c  thì: a 3 3  3 11 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a2 + b2 + c2 = Chứng minh: a b c 3    2 2 b c c a a b 12 (ĐH Kiến trúc HN 2001) 17 Lop12.net Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái 13 14 15 16 2 a  b  c  Cho các số a, b, c thoả:  ab  bc  ca  4 4 4 Chứng minh:   a  ;   b  ;   c  3 3 3 (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho ABC có cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi Chứng minh rằng: 1  1 1    2    pa pb pc a b c (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho số x, y, z > Chứng minh rằng: y x z 1    2 2 2 x y y z z x x y z (ĐH PCCC khối A 2001) Ch minh với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ thì: logb c a  logc  a b  loga b c  (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch minh với x ≥ và với  > ta luôn có: x +  – ≥ x Từ đó chứng minh với số dương a, b, c bất kì thì: a3  b3  c3  a b c   b c a b c a 17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a b   b a   ab (*) 18 (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi thì: 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2 Cho a, b, c là số dương và a + b = c Ch minh rằng: a  b3  c 20 (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 21 (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng b2  2a2 c2  2b2 a2  2c2    ab bc ca 22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) minh rằng: Cho số a, b thoả điều kiện a + b ≥ Ch minh rằng: 23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho số a, b, c bất kì Chứng minh các BĐT: 18 Lop12.net a3  b3  a  b      Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) 24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho số dương a, b, c thoả điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ bc ca ab   biểu thức: P = 2 a b  a c b c  b a c a  c 2b 25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh với số dương a, b, c ta có:  (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1 abc 26 (ĐH Y HN 2000) Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện  3   Tìm giá trị nhỏ x y tổng x + y 27 (ĐH An Giang khối D 2000) Cho các số a, b, c ≥ Chứng minh: ac + + bc + ≥ ab(ac – + bc – 1) 28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 18xyz CMR với x, y, z dương và x + y + z = thì xy + yz + zx >  xyz 29 (ĐH An Ninh khối A 2000) Chứng minh với số nguyên n ≥ ta có: nn + > (n + 1)n 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Cho số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = a   b  31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với số thực x, y, z bất kì 1 khác không:    x y z x  y  z2 BĐT cuối cùng luôn đúng  BĐT cần chứng minh đúng 32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999) a2 b2 c2 a b c      Cho số a, b, c khác Chứng minh: b2 c2 a2 b c a 33 (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ và x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x y z 1       2 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 34 (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1] Chứng minh rằng: 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ (*) 35 (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền ABC có góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: 19 Lop12.net Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái 2 a b c (a, b, c là các cạnh ABC, R là 2R bán kính đường tròn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy nào? 36 (Đại học 2002 dự bị 3) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = Tìm 4 giá trị nhỏ biểu thức: S=  x 4y 37 (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là số nguyên thay đổi thoả mãn ≤ a < b < c < d ≤ 50 a c b2  b  50 Chứng minh bất đẳng thức: và tìm giá trị nhỏ   b d 50b a c biểu thức: S =  b d 38 (Đại học 2002 dự bị 6) Cho tam giác ABC có diện tích Gọi a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng: 1  1 1  a  b  c  h  h  h     a b c  39 (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là số dương và x + y + z  Chứng minh rằng: 1 x2   y2   z2   82 x y z x y z 40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số: y = sin5x + 41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc tam giác ABC, biết rằng: (1) 4p(p  a)  bc   A B C 33 (2) sin sin sin  2  ab c đó BC = a, CA = b, AB = c, p = 42 (Đại học khối A 2005) 1 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :    x y z 20 Lop12.net cosx