Tuyển tập bất đẳng thức Solved

Posted by hxtungCho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1.. Posted by hxtungCho x, y, z là cá số thực dương... , xk là k số nguyên dương có tổng bằng tích... Posted by manlio Cho a

Tuyển tập Bất Đẳng Thức Solved

Nguyễn Việt Anh Ngày 16 tháng 7 năm 2005

Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi tam giác ABC

bc cos A + ca cos B + ab cos C

a sin A + b sin B + c sin C ≥ 2r

7 Posted by georg

Chứng minh rằng

12

n−1

≤ x2n+ (1 − x2)n ≤ 1trong đó n > 1

10 Posted by vineet

Chứng minh bất đẳng thức sau cho a, b, c > 0 :

(2a + b + c)22a2+ (b + c)2 + (a + 2b + c)

(√coth A coth B +√

1sin C

E2 = sin A + sin B + sin C

15 Posted by Alexander Khrabrov

Cho 0 ≤ bk ≤ 1 với mọi k và

a1 ≥ a2 ≥ an≥ an+1 = 0Chứng minh rằng

Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng

cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C

2

+ cosC − A

2

+ sin3C

2



18 Posted by Valentin Vornicu

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2+ b2+ c2 = 9 Chứng minh rằng

2n − 1 − · · · −√

2 + 1 >

r2n + 12

24 Posted by hxtung

Cho x, y, z là các số thực nằm trong [−1, 1] Chứng minh rằng

1(1 − x)(1 − y)(1 − z) +

1(1 + x)(1 + y)(1 + z) ≥ 2

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ sin A + sin B + sin C

c)3

rT

rR

Chứng minh rằng x1 = d và

(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn) ≤ xn− dnvới mọi số thực x ≥ d

39 Posted by hxtung

Cho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1 Chứng minh rằng

abc + bcd + cda + dab ≤ 1 + 176abcd

27

40 Posted by keira-khtn

Với x1, x2, , xn và y1, y2, , yn là các số thực dương Chứng minh rằng

Xmin (xixj, yiyj) ≤Xmin (xiyj, xjyi)

√

ab + b3Chứng minh rằng

A ≤ B ≤ C

45 Posted by hxtung

Cho x, y, z là cá số thực dương Chứng minh rằng

3(x2− x + 1)(y2− y + 1)(z2− z + 1) ≥ (xyz)2+ xyz + 1

58 Posted by

Cho các số a1, a2, , an−1> 0 thỏa mãn a1+ a2+ · · · + an = 1 và b1, b2, , bn là các sốthực Chứng minh bất đẳng thức

b21+ b

2 2

a1

+ · · · + b

2 n

a2

 

1 + a

2 2

61 Posted by cezar lupu

Cho hàm số f : R → R thỏa mãn

f (x) + f (y) ≤ 2 − |x − y|

với mọi số thực x, y Chứng minh rằng f (x) ≤ 1 với mọi số thực x

62 Posted by hxtung

Cho x1, x2, , xn là các số thực nằm trong khoảng 0,π2
sao cho

tan x1+ tan x2+ · · · + tan xn≤ nChứng minh rằng

sin x1sin x2· · · sin xn ≤ √1

2 − x)

1sinB2 +

1

cosA−B4 +

1cosB−C4 +

1cosC−A4

76 Posted byorl

Cho k, n là các số nguyên dương thỏa 1 < k ≤ n và x1, x2, , xk là k số nguyên dương

có tổng bằng tích

(a) Chứng minh rằng

xn−11 + xn−12 + · · · + xn−1n ≥ kn(b) Điều kiện cần và đủ nào của các sốk, n và x1, x2, , xn để xảy ra đẳng thức

Cho các số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng

9(a2+ bc)(b2+ ca)(c2+ ab) ≤ 8(a3+ b3+ c3)2



6(b + c)5a + 2b + 3c+

3(c + a)2a + 8b + 6c

88 Posted by hxtung

Chứng minh rằng

2 ≤ (1 − x2)2+ (1 − y2)2+ (1 − z2)2 ≤ (1 + x)(1 + y)(1 + z)với các số không âm x, y, z có tổng bằng 1

89 Posted by Maverick

Cho các số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng

x(1 − y2)(1 − z2) + y(1 − z2)(1 − x2) + z(1 − x2)(1 − y2) ≤ 4

√39

90 Posted by hxtung

Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c

1a(b + 1)+

1b(c + 1)+

1c(b + c) +



8 + 2

√ab

(x1− y1)2+ (x2− y2)2+ · · · + (xn− yn)2 ≤ (x1− z1)2+ (x2− z2)2+ · · · + (xn− zn)2

1(1 + b)(1 + c) +

1(1 + c)(1 + a) ≤ 3

n(a1b1+ a2b2 + · · · + anbn) ≥ (a1+ a2+ · · · + an)(b1+ b2+ · · · + bn)

118 Posted by pcalin

Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

r2a

a + b +

r2b

b + c+

r2c

128 Posted by manlio

Cho a, b là các số nguyên dương Chứng minh rằng

a4+ b4(a + b)4 +

√ab

bca(a + b) +

130 Posted by manlio

Cho a1, x2, x3, x4, x5, x6 là các số thực trong đoạn 0,1

6.Chứng minh rằng(x1− x2)(x2− x3)(x3− x4)(x4− x5)(x5− x6)(x6− x1)

b1b2· · · bn+ bn+1bn+2· · · b2n≥ a1a2· · · an+ an+1an+2· · · a2n

xy + yz + zx ≥ 2(x + y + z)

138 Posted by manlio

Cho n > 1 là số nguyên dưong ,a1, a2, , an là các số thực dương và b1, b2, , bn là các

số thực dương nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng

142 Posted by manlio

Cho các số thực dưong x, y, z thỏa mãn x3+ y3+ z3 = 1 Chứng minh rằng

(a)

x2+ y2+ z2 ≥ x5+ y5+ z5+ 2(x + y + z)x2y2z2

a1a2· · · a2004 < 1

rAB

rabAB

161 Posted by Fedor Bakharev

Tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương x, y, z ta có

bcda + 1 +

cdab + 1 +

dabc + 1

Cho a, b, c là số đo các cạnh tam giác Chứng minh rằng

a4+ b4+ c4+ (ab + bc + ca)(a2+ b2+ c2) ≥ 4(a2b2+ b2c2+ c2a2)

1 + b + ca

Cho a, b, c là những số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng

(a + b)(b + c)(c + a)(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ abc(3 − a)(3 − b)(3 − c)

179 Posted by Arne

Cho a, b > 0 thỏa mãn a2006+ b2005 = a2004 + b2003 Chứng minh rằng a2+ b2 ≥ 2

180 Posted by manlio

Cho a, b, c, d, e là các số thực cùng dấu Chứng minh bất đẳng thức

(a − b)(a − c)(a − d)(a − e) + (b − a)(b − c)(b − d)(b − e) + (c − a)(c − b)(c − d)(c − e)

+(d − a)(d − b)(d − c)(d − e) + (e − a)(e − b)(e − c)(e − d) ≥

182 Posted by Tung Lam

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a − b − c ≥ abc Chứng minh rằng

a2− b2− c2 ≥ 2√2abc

183 Posted by Namdung

Cho x, y, z là các số thực ta có bất đẳng thức

2(x2+ y2+ z2)3 ≥ (x + y + z)(x2+ y2+ z2) − 2xyz

+ ca
54

4

192 Posted by manlio

Cho a, b, c và x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng

ax + by + cz + 2p(xy + yz + zx)(ab + bc + ca) ≤ a + b + c

197 Posted by harazi

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn

a10b15+ b10c15+ c10a15= a6b6c6Chứng minh rằng

xy

203 Posted by Lagrangia

Cho a, b > 0 và x, y là các số thực Chứng minh rằng

ax + by ≤ p(ax2+ by2)(a + b)

Trong tam giác ABC ta có 2b2 = a2+ c2 Chứng minh rằng

(coth B)2 ≥ coth A coth C

Cho a, b, c, d là các số nguyên tố phân biệt Hãy chứng minh

abc + bcd + cda + dab + 173 ≤ 2abcd

218 Posted by Lagrangia

Cho x, y, z ≥ −14 và x + y + z = 1 Chứng minh rằng

√4x + 1 +p4y + 1 +√

226 Posted by harazi

Chứng minh rằng với a, b, c, d > 0 ta có

(a + b)(b + c)(c + d)(d + a)



≥ 3

234 Posted by Lagrangia

Cho a, b, c ∈ R thỏa b + c = a > 0 Nếu x, y là các số thực và thỏa

p

a − bx − cy +pa + by + cx = aChứng minh rằng |x + y| ≤ a

Cho a, b, c là 3 cạnh của mọtt tam giác Chứng minh rằng

2(a + b + c)(a2+ b2+ c2) ≥ 3(a3+ b3+ c3)

237 Posted by darij grinberg

Cho x, y, z là ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức

|x1| + |x2| + · · · + |xn| − |x1+ x2+ · · · + xn| ≤ n

2− 14

240 Posted by manlio

Cho tam giác ABC nằm trong đường tròn có bán kính

√ 3

3 Chứng minh rằng(a2+ b2− c2)(b2+ c2− a2)(c2+ a2− b2) ≤ a4b4c4

x(1 − x2)(1 + x2)2

≤ 14

253 Posted by harazi

Chứng minh rằng với a, b, c > 0 ta có

a(2a + 3b + 3c)4a2+ 3(b + c)2 + b(2b + 3c + 3a)

4b2+ 3(c + a)2 +c(2c + 3a + 3b)

4c2+ 3(a + b)2 ≤ 3

2

1 + x2

1 + x2 2

261 Posted by manlio

Cho a, y, z là các số thực dương Đặt s = x + y + z, a = y + z, b = z + x, c = x + y Chứngminh rằng

r

1 + a

2 2

2 · · ·

r

1 + a

2 n

x3 3

3 + · · · +

xn n

/b1//b2/ · · · /bj/ ≤p/a0/2+ /a1/2+ · · · + /an/2

trong đó /x/ là modulo của số phức x

276 Posted by harazi

Chứng minh rằng với x, y, z > 0 ta có

(a) y+zx + z+xy +x+yz ≤ 3

2 · xxy+yz+zx2+y2+z2(b) y+zx 2+z+xy 2+x+yz 2 ≥ 3

4 · x2+y2+z2xy+yz+zx

280 Posted by Viet Math

Cho a, b, c, n là các số thực dương Chứng minh rằng

(x1y2− x2y1)2 ≤ 2|1 − (x1y1+ x2y2+ · + xnyn)|

290 Posted by Sung-yoon Kim

Cho f là hàm số lồ trên I Chứng minh rằng

raa

+rbb

+rcc

? a + b + c + d + e = 8

? a2+ b2+ c2 + d2+ e2 = 16

Tìm giá trị lớn nhất của e

297 Posted by Tung Lam

Cho x1, x2, , xn∈ [0, 1] và x1+ x2+ · · · + xn= 1 Tìm giá trị lớn nhất của

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn max(a, b, c) < 2 min(a, b, c) chứng minh rằng

27a2b2c2 ≥ (2b − a)(2c − b)(2a − c)(a + b + c)3

ka2+ 9 − k +√

kb2+ 9 − k +√

kc2+ 9 − k ≤ 3(a + b + c)(c) Tìm số k lớn nhất để bất đẳng thức trên đúng

319 Posted by khoa

Cho a, b, c > 0 thỏa a4 + b4 + c4 = 3 Chứng minh rằng

a2+ b2+ c2 + 21 ≥p(a + b)(a + c) +p(b + c)(b + a) +p(c + a)(c + b)

320 Posted by nickolas

Cho a, b, c ≥ 0 sao cho 2 max(a2, b2, c2) ≤ a2+ b2 + c2 Chứng minh rằng

(a + b + c)(a2+ b2+ c2)(a3+ b3+ c3) ≥ 4(a6+ b6+ c6)

331 Posted by darij grinberg

Cho x1, x2, · · · , x100 là các số nguyên dương thỏa mãn

y(y + z)(y + x)+

Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa (a + b)(b + c)(c + d)(d + a) = 1 Chứng minh rằng

(2a + b + c)(2b + c + d)(2c + d + a)(2d + a + b)a2b2c2d2 ≤ 1

340 Posted by Anh Cuong

r

ab + bc + ca3

343 Posted by romano

Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta có

(cos A)3+ (cos B)3 ≥ 2(cosA + B

2

344 Posted by Minh Thang

Cho tam giac ABC Chứng minh rằng

347 Posted by ThAzN1

Chứng minh rằng với x, y, z > 0 ta có

x2+ 1(x + y)(x + z)+

y2+ 1(y + z)(y + x) +

z2+ 1(z + x)(z + y) ≥ (

√

z)22(x2+ y2+ z2)

a

4 + a2 1

4 + a2 2

4 + a2 3

4 + a2 4

4 + a2 5

≤ 1

349 Posted by xtar

Cho x, y, z > 0 chứng minh rằng

13

ma+ mb+ mc ≥ 3S

2

ha ≥ 12

b

c+

cb

372 Posted by Lagrangia -BĐT Karamata

Cho 2 dãy số x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn và y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn thỏa mãn

375 Posted by galois

Cho tam giác ABC chứng minh rằng

sin A + sin B + sin C > 2

376 Posted by Viet Math

Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương ta có

Sẽ tiếp tục được cập nhật