Tuyển tập Bất đẳng thức của MathScope

[...]... áp dụng bất đẳng thức AM-GM để có A2 ≥ 4XY , từ đó đi chứng minh XY ≥ BC; hoặc 14 B CD, với D là một đại lượng thích hợp, sau đó áp dụng bất đẳng thức D 2 B B AM-GM để có 4BC ≤ + CD , từ đó đi chứng minh A ≥ + CD D D 2 Biểu diễn BC = Ở đây ta hiểu cụm từ “thích hợp” là như thế nào? Lưu ý rằng một trong những điều cần để ý trong mọi chứng minh bất đẳng thức là cần phải đơn giản hoá bất đẳng thức cần... + ad + bc + bd + cd ≤ = 8 8 Kết hợp các đánh giá này với bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta suy ra được các bất đẳng thức sau: 18 1 a2 + 72 1 ≥ 4ab a2 + 49 = 4ab ≥ 2 a +2 ab 2 49 3 1+2· 8 = 28 7·6 1 7 · 36 ≥ = 168 ≥ 3 4ab 4ab 4· 8 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho bốn số ta lại có a 1 1 ≥4 ≥4 = 64 1 bcd 4abcd 256 Kết hợp ba bất đẳng thức vừa chứng minh ở trên, ta suy ra 1 a 1 + ≥ 28 + 168 +... cộng hai bất đẳng thức a2 b2 c2 + + ≤ 1, 2a2 + bc 2b2 + ca 2c2 + ab 2 2 (a + 2b + 2c) (b + 2c + 2a) (c + 2c + 2b)2 + + ≥ 25 2a2 + bc 2b2 + ca 2c2 + ab Do a2 1 bc = − 2 + bc 2 + bc) 2a 2 2(2a nên bất đẳng thức thứ nhất tương đương với bc ca ab + 2 + 2 ≥ 1, 2 + bc 2a 2b + ca 2c + ab đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 2 bc ≥ 2a2 + bc bc bc(2a2 + bc) = 1 Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức thứ... + xy ≤ (x + y + z)3 , + (x + y + z)3 ≥ 54 (∗) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có x2 y2 z2 (x + y + z)2 + 2 + 2 ≥ 2 x2 + yz y + zx z + xy x + y 2 + z 2 + xy + yz + zx Như vậy nếu kí hiệu V T (∗) là vế trái của bất đẳng thức (∗) thì ta có V T (∗) ≥ 18(x + y + z)2 + (x + y + z)3 x2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx Đến đây ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM để có V T (∗) ≥ 2 18(x + y + z)5 x2 + y 2... ac bc a(a + b + c) = 2 , 2a + ab + bc + ca 22 do đó bất đẳng thức đã cho tương đương với 2a2 a 9 ≤ + ab + bc + ca 5(a + b + c) Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với ab + bc + ca và chú ý rằng a(ab + bc + ca) 2a3 =a− 2 , 2a2 + ab + bc + ca 2a + ab + bc + ca ta được a3 9(ab + bc + ca) + ≥ a + b + c 2a2 + ab + bc + ca 5(a + b + c) 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có a2 3 2a2 a ≥ + ab + bc... b = , khi đó a = 3b và a + 1 = 2b = c = 4 4 4 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta thu được các bất đẳng thức sau x2 + b2 y 2 ≥ 2bxy, by 2 + z 2 ≥ 2byz, a(z 2 + x2 ) ≥ 2azx Đến đây ta cộng vế theo vế các bất đẳng thức thu được để có (a + 1)(x2 + z 2 ) + 2b2 y 2 ≥ 2b(xy + yz) + 2azx, hay c(x2 + y 2 + z 2 ) ≥ 2b(xy + yz + 3zx) Từ đó ta thay các giá trị của xy + yz + 3zx, b và c để√ được 17 − 3 P = x2 + y... giá (∗) được chứng minh, dẫn đến bất đẳng thức ban đầu đúng Phép chứng minh hoàn tất 2 1.24 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi bất kì Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c a+c a+b 2 Lời giải 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có a2 b2 c2 (a + b + c)2 a+b+c + + ≥ = b+c a+c a+b 2(a + b + c) 2 Phép chứng minh hoàn tất 2 Lời giải 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương, ta có... đây ta suy ra bất đẳng thức sau là tương đương với bất đẳng thức cần chứng minh 5(a + b + c)2 ≥ 7(a + b + c) + 8(ab + bc + ca) Để ý rằng ta có đánh giá cơ bản sau: (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca), 17 do vậy để có kết luận cho bài toán ta cần chỉ ra rằng 8(a + b + c)2 , 5(a + b + c) ≥ 7(a + b + c) + 3 2 hay a + b + c ≥ 3, là một đánh giá đúng do ta đã chứng minh ở trên Do vậy bất đẳng thức ban đầu được... 2 + c2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2 + + ≥ 1 2 + a2 2 + b 2 2 + c 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có b2 c2 (a + b + c)2 a2 + + ≥ 2 2 + a2 2 + b 2 2 + c 2 a + b2 + c 2 + 6 Như vậy để kết thúc chứng minh ta cần chỉ ra rằng (a + b + c)2 ≥ 1 a2 + b 2 + c 2 + 6 Thực hiện phép khai triển tương đương ta được ab + bc + ca ≥ 3 Tuy nhiên bất đẳng thức này đúng nhờ... (c + a)(b + c) Đến đây ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM để có 1 ab ab ab √ ≤ + 2 c+a b+c c2 + 3 Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự và cộng lại, ta suy ra dãy các đánh giá sau ab bc ca 1 ab bc bc ca ca ab √ +√ +√ ≤ + + + + + 2 c+a c+a a+b a+b b+c b+c c2 + 3 a2 + 3 b2 + 3 ab bc ca a+b+c √ +√ +√ ≤ 2 c2 + 3 a2 + 3 b2 + 3 từ đó với lưu ý a + b + c = 3 ta suy ra bất đẳng thức đã cho là đúng 2 Phép chứng . thì điều đó chính là điểm mạnh của cuốn sách bất đẳng thức mà các bạn đang cầm trên tay. " ;Tuyển Tập Bất Đẳng Thức& quot; với khoảng bốn trăm bài toán bất đẳng thức chọn lọc được gửi tới từ. pháp làm bài bất đẳng thức, hoặc học hỏi với nhiều cuốn sách về bất đẳng thức đang bày bán trên thị trường nhưng để có một cuốn sách bất đẳng thức hay với sự hội tụ tinh hoa kiến thức của nhiều. thầy cô giáo yêu toán trên mọi miền của tổ quốc, ở đó bao gồm các bài toán bất đẳng thức mới sáng tạo, các bài toán bất đẳng thức khó, các bài toán bất đẳng thức hay và thú vị mà các bạn trẻ muốn