CÁC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC

Các Chuyên Đề BDT Thi Đại Học VD1 với bài này có thể dùng phương pháp vectơ như trên các bạn tự làm nhé . Cho x,y,z là 3 số dương và. Chứng minh rằng Ta có Tương tự tự với y,z ta cộng lại ta được VD 2;Cho a,b>2 và: a+b=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của: Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 và b-2>0. Theo BDT Cosi ta có: Tương tự ta cộng lại suy ra MIN là 320 VD3,cho x,y>0 và tìm min của Ta có Cho a là 1 số dương cho trước và x,y dương thỏa mãn x+y=1 tìm min Bài tập tự luyện Bài 1 cho a,b,c dương thỏa mãn Tìm Min của Bài 2 cho a,b,c dương và Tìm Min của Bài 3 Cho a,b,c, là các số dương tìm Min của Bài 4 cho a,b,c dương và Tìm Min của Bài 5 ,cho a,b,c dương và Tìm Min Bài 6 ;Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) b) c) Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức: chuyên đề 2 sử dụng tam thức bậc 2 . A Nội dung Cơ sở của phương pháp là biến đổi BĐT ở giả thiết về dạng có chứa Để xét dấu tam thức bậc hai , ta thường viết nó dưới dạng: Nếu: Nếu: Trương hợp này Nếu: Trong trường hợp này Tóm lại, việc sử dụng các định lý thuận và đảo của tam thức bậc hai, xử lý điều kiện tồn tại nghiệm của biệt thức ∆,… tỏ ra tiện lợi khi chứng minh một BĐT mà nó đã được nhận dạng. Ở đây ta nhắc lại các tính chất sau để tiện sử dụng: B Bài tập thí dụ : Cho x, y là hai số thực, CMR : [ct[\ + x^2 + 2xy + 2x + 6y + 3 \ge 0 Có thể xem VT là một tam thức bậc hai của x : Vậy Cho mọi x,y: [ct[\ + x^2 + 2xy + 2x + 6y + 3 \ge 0 : Cho a, b, c là các số thực thoả mãn: . CMR Thay . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Để chứng minh (2) ta xét tam thức bậc hai: Bài 3: Cho 2n số thực bất kì . CMR Dấu đẳng thức xảy ra khi: (BĐT BunhiaCopski) Ta có, với mọi số thực x đều có: Từ đó đa thức: Nếu thì hiển nhiên BĐT đã cho đúng. Nếu thì f(x) là một tam thức bậc hai của x. Do nên Vậy BĐT đã cho được CM hoàn toàn. C Bài tập tự luyện Bài 1: CMR nếu a, b, c, d là các số thực thoả mãn: a+d=b+c và m là số không âm thoả mãn thoả mãn với mọi x. : CMR BĐT Bài 3: Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác không cân tại C. Biết rằng phương trình Có đúng 1 nghiệm thực. CMR góc B nhở hơn 60 Bài 1 ;Cho a,b,c là các số dương CMR; Nếu trong a,b,c có 1 số lớn hơn 1 thi BDT luôn đúng Với a,b,c nhỏ hơn 1 khi đó ta áp dụng BDT becnuli ta được Suy ra tương tự với (a+c) và (a+b) ta cộng lại sẽ được điều phải CM Bài 2; cho a,b,c dương và xyz=1và a>2 CMR Ta có suy ra Tương tự vơi y,z sau đó ta cộng lại ta được Ta phải CM Ta có và Suy ra \ dpcm Bài 3 cho a,b,c dương CMR Ta CM <2 (1) Ta có suy ra \ à, \ Suy ra Bây gioe ta CM >2 Ta có tương tự với b.c ta cộng lại suy ra \>2 (2) Vậy từ 1 và 2 suy ra điều phải CM Bài 4 cho a,b,c thảo mãn CMR Ta đăt Ta có \ Tương tự ta có \ \ Theo BDT sosi ta có điều phải CM Bài tập tự luyện Bài 1 cho a,b,c dương CMR Bài 2 cho a,b,c dương và a+b+c=1 Tìm Min của Bài 3 .cho a,b,c là các số thực thõa mãn điều kiện Max của Bài 4 cho à các số dương và CMR Bài 5 cho a,b,c dương thỏa mãn Tìm Max Bài 6: Cho a,b,c>0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) b) c) d) e) Bài 7 Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh các bất đẳng thức sau a) b) Bài 7 Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có: c) d) e) Bài 1. cho a,b,c, là các số dương thỏa mẵn CMR Ta có suy ra Ta xét ta có và Vậy ta được tương tự với b,c sau đó công lại ta được điều phải CM Bài 2;Cho a,b,c là các số dương chứng minh rằng BDT Ta xét hàm số với x>0 suy ra Suy ra f(x) là hàm lồi với mọi x>0 .ta sử dụng BDT Jensen ta có suy ra điều phải CM Bài này có thể tổng quát lên như sau Bài 3. cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác CMR Ta xét hàm số f(x)=xlnx là hàm lồi với x>0 ta có Ta chứng minh Ta có còn ta dùng BDT cosi các bạn thử nghĩ nha hay đấy !!!!! Bài 4. cho a,b,c dương và CMR (bài này có thể dùng bunhinha các bạn thử nghĩ) Ta xét hàm số xét bảng biến thiên với Ta có ta có Suy ra giá trị lớn nhất Tương tự ta được và , Cộng kại ta được Bìa 5;Cho a,b,c thảo mãn CMR Xét Thoe định lí lagrange ta sẽ tồn tại sao cho TM và Suy ra nghiệm Ta có suy ra điều phải CM Bài tập tương tự 1, cho a,b,c dương và CMR 2,cho a,b,c là các số dương CMR 3,cho x,y là các số dương thỏa mãn Tìm max min của 4, cho x,y,z là các số dương thỏa mãn CMR 5,cho x,y là các số dương Min Chuyên đề 5 đồng bậc hoá Sử dụng giả thiết để biến đổi BĐT về dạng đồng bậc để chứng minh. Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b>0 và a+b=1, ta có: Phân tích: - BĐT không đồng bậc - Vai trò a,b giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b - Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá Hướng dẫn: Bài 2: với mọi a,b,c>0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng : Phân tích: - BĐT không đồng bậc - Vai trò a,b giống nhau - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c= - Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá Hướng dẫn: Bài tập: 1) Cho a,b,c>0, thoả điều kiện: [ CMR 2) Cho a,b>0, thoả điều kiện: a+b=2 Chứng minh rằng : 3) Chứng minh rằng với mọi a,b,c: a+b+c=0, ta có: Chuyên đề 6: Phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức. A Nội dung: Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các số bị ràng buộc với nhau bởi các điều kiện nhất định chẳng hạn: Nếu có hệ thức thì có thể đặt Nếu có hệ thức xy=1 thì có thể đặt: hoặc Ghi chú: Ở đây không ngoại trừ bài toán sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác với các quan hệ lượng giác. B Bài tập thí dụ: : Cho bốn số thực x, y, u, v thoả mãn: CMR: và Khi đó : Do đó Nhiều bài toán chưa thấy ngay yếu tố để ta chuyển về dạng lượng giác, cần qua một quá trình biến đổi và đặt ẩn phụ thích hợp mới có thể chuyển về dạng lượng giác thuận lợi cho quá trình giải. Ví dụ : : Cho 4 số dương a, b, c, d. CMR: (1) Với bài này ta có thể sử dụng BĐT BunhiaCopski với 4 số , tuy nhiên chúng ta có thể dùng phương pháp lượng giác để giải bài này. Các yếu tố để chúng ta chuyển về dạng lượng giác vẫn chưa xuất hiện. Chúng ta cần biến đổi để làm xuất hiện yếu tố : (1) tương đương với. Để chứng minh (2), ta đặt : Có thể lấy x, y là hai góc nhọn. Khi đó : [/ct] sinx.siny+cosx.cosy<1[/ct] BĐT cuối đúng, do đó (2) được CM. Suy ra (1) được CM. Nếu so sánh với cách giải này với cách dùng BĐT cổ điển thì quả thật cách này là khá dài và hơi phức tạp. Tuy nhiên nó cho ta một hướng mới để nhìn nhận một bài toán. : Chứng minh rằng Phân tích: - ĐK: - Công thức lượng giác liên quan Lượng giác hoá Hướng dẫn: Đặt: ; VT= Bài 2 Cho x,y,z>0; zy+yz+zx=1. Chứng minh rằng : Phân tích: - Đẳng thức lượng giác liên quan - Lượng giác hoá Hướng dẫn: Đặt: ; ABC l à tam giác nhọn Bài 3 ;cho a,b,c là các số dương thỏa nãm CMR Hướng dẫn: Đặt [, Từ giả thiết ta có: Suy ra, với A,B,C là ba góc của một tam giác Vậy C Bài tập tự luyện Bài 1:Cho x là số thực thoả mãn . CMR: Bài 2: Cho x, y là hai số thực thoả mãn 5x+12y=13. CMR Bài 3: Cho a, b, c là ba số dương. CMR Bài 4: CMR với mọi số tự nhiên khác không ta có BĐT : BÀI 6) Cho 0<a,b,c<1. Chứng minh rằng Bài 7) Chứng minh rằng: Bài 8) Chứng minh rằng: Bài 9) Cho a,b,c>0 và abc+a+c=b. Tìm GTLN Bài 10;Cho a,b,c, dương và 2006ac+ab+bc=2006 Tìm Max Bài 12 ;cho a,b,c dương và Tìm Min của Bài 13, chho a,b, thỏa mãn Bài 14 cho x,y thay đổi thảo mãn Tìm Max ,Min của Z=y-2x+5 Bài 15 cho x,y thỏa mãn Tìm Max , Min của Bài 16 CMR Với a,b thỏa mãn Bài 17 cho x,y,x thõa mãn Tìm Max,Min của Chuyên đề 7: Phương pháp đổi biến Phương pháp này lạ với 1 số bạn nhưng nó rất có ích trog một số bài toán BDT , nếu ta để ý và sử dụng khéo néo ta có thể làm bài BDT đó đơn giản rất nhiều .Dưới đây là 1 số dạng có thể dung phương pháp này mình biết pp này rất rộng và mình cũng chưa biết là còn cách đặt (đổi biến ) nào khác không nhưng nếu các bạn thấy mình thiếu sót pp nào pos lên cho mình xem với nhé Dạng 1 là với khi đó ta đặt hoặc VD 1 cho và a,b,c là các số dương . CMR Ta quy đồng lên ta được Đăt khi đó ta được đến đây sẽ dễ dành CM được VD2; cho a,b,c dương có tích bằng 1 CMR khi đó ta được Ta dùng svac ta được Ta phải CM điều này luôn đúng với BDT nunhinha Các bài tự luyện Bài 1 cho a,b,c là các số dương và abc=1 CMR Bài 2, cho a,b,c là các số dương và abc=1.CMR Dạng 2 với 1 số bài cho a,b,c là các số dương và ab+bc+ac+2abc=1 Ta sẽ đặt VD1.cho a,b,c là các số dương CMR Ta đặt suy ra Và xy+xz+zy+2xyz=1 bài tóan chở thành cho x ,y,z thảo mãn xy+xz+zy+2xyz=1 CMR từ xy+xz+zy+2xyz=1 suy ra dùng cosi trực tiếp suy ra VD2; cho xy+xz+zy+2xyz=1 CMR Ta đặt [...]... nạp chứng minh bất đẳng thức A Nội dung Cơ sở của phương pháp quy nạp để chứng minh một bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên thuộc tập con D của tập số tự nhiên N, mà là phần tử nhỏ nhất của tập con đó; ta thực hiện ba bước quy nạp như sau: Chứng minh BĐT đúng với Giả sử bất đẳng thức đúng với số tự nhiên , từ đó ta chứng minh được bất đẳng thức cũng đúng với n= k+1 Kết luận: Bất đẳng thức đúng với... 1, 2, 3, Dạng 3 cho a,b,c là các số thực dương và Ta đặt 1 2 3 chuyên đề 8: Phương pháp tuyết tuyến tiếp tuyến chắc hẳn các bạn thấy lạ nó có gì mà có thể CM bất đẳng thức , Đừng nói thế bạn , pp này rất hay và rất dể sử dụng và cố rất nhiều bài toán khó nếu dung nó sẽ đơn giản đi rất nhiều sau đây là 1 số bài có thể dumhf phương pháp này Những bài toán này có thể dung các phương pháp khác các bạn nghĩ... đúng với mọi ) Bài 2 : Cho n số thực không âm : CMR : Nếu trong các số có một số bằng không thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng Do đó ta chỉ cần xét dương Xét n số thực dương sau đây: Ta có: dương và có tích bằng 1 Do đó theo Bài 1 ta có Vậy BĐT đã cho được CM hoàn toàn C Bài tập tự luyện Bài 1:CMR với mọi số tự nhiên n ta có bất đẳng thức: Bài 2: CMR với mọi số tự nhiên n khác không, ta có BĐT: Bài... kỹ thuật ước lượng cần thiết tế nhị Chỉ bằng những kinh nghiệm thực tế khi va chạm với từng bà lượng cách giải cùng một bài toán ước lượng là khá nhiều , tuỳ theo cách đánh giá để ước lượng B Bài tập ví dụ: Bài 1: Cho a, b, c, d là các số dương nhỏ hơn 1 CMR Vì C Bài tập tự luyện Bài 1: Cho a, b, c là các số dương có tổng bằng 1 CMR Bài 4: Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : ... số tự nhiên khác không CMR: Bài 4: CMR nếu a là số thực dương thì ta có BĐT: (n dấu căn) Bài 5: CMR với mọi số tự nhiên n>2 ta có: Chuyên đề 13: Phương pháp ước lượng non, ước lượng già chứng minh bất đẳng thức A Nội dung: Cơ sở của phương pháp này là thêm bớt một hay nhiều số thực (mà ta đã biết dấu, biết tính chất của chúng) và Thông thường, chúng ta sử dụng hai loại ước lượng non-già phổ biến sau:... suy ra điều phải CM Bài tập tự luyện 1,cho a,b,c dương và CMR 2,cho a,b,c là các số dương và CMR 3, cho a,b,c dương và a+b+c=1 CMR 4,cho a,b,c dương CMR 5,cho a,b,c dương và CMR 6 cho a,b,c dương CMR Chuyên đề 14:xét phần tử cực biên Theo mình nghĩ thế này được không nhé , mình nhận thấy BDT nhưng năm gần đây mỗi năm có 1 dạng khác nhau , do vậy mình giởi thiệu cho 1 số bạn chưa biết về phương pháp... sẽ đơn giản đi rất nhiều sau đây là 1 số bài có thể dumhf phương pháp này Những bài toán này có thể dung các phương pháp khác các bạn nghĩ ra cứ pos lên cho mọi người tham khảo nhé VD1 Cho a,b,c d là các số dương thỏa mãn CMR Ta xét hàm ta có x phải thuộc trong khoảng (0,1) Dễ dành nhận thấy dấu bằng sảy ra khi Ta viết pt tiếp tuyến của f(x) tai Ta được Bây giờ ta CM Tương tự với a,b,c ta cộng lại... năm gần đây mỗi năm có 1 dạng khác nhau , do vậy mình giởi thiệu cho 1 số bạn chưa biết về phương pháp nó không khó nắm nhưng thật sự khi gặp lần đầu tiên thi ai cũng phai gán nhưng bài toán như thế này các bạn xem rồi cho ý kiến với mình nhé!! Bài 1;Cho a,b,c thỏa mãn CMR Ta giả sử khi đó tương tự ta có Ta cần CMR Ta đặt giả sử ta có suy ra Suy ra dpcm Bài 2 cho a,b,c dương CMR Ta có suy ra Mặt khác . minh bất đẳng thức. A Nội dung: Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các số bị ràng buộc với nhau bởi các điều kiện nhất định chẳng hạn: Nếu có hệ thức. sau: Chứng minh BĐT đúng với Giả sử bất đẳng thức đúng với số tự nhiên , từ đó ta chứng minh được bất đẳng thức cũng đúng với n= k+1 Kết luận: Bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên B Bài. CMR 1, 2, 3, Dạng 3 cho a,b,c là các số thực dương và Ta đặt 1. 2. 3. chuyên đề 8: Phương pháp tuyết tuyến tiếp tuyến chắc hẳn các bạn thấy lạ nó có gì mà có thể CM bất đẳng thức , Đừng nói