Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 21 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
21
Dung lượng
796,58 KB
Nội dung
Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthức 1 PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: 3 3 3 a b a b 2 2 2. Chứng minh: 2 2 a b a b 2 2 3. Cho a + b 0 chứng minh: 3 3 3 a b a b 2 2 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: a b a b b a 5. Chứng minh: Với a b 1: 2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b 6. Chứng minh: 2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c R 7. Chứng minh: 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e 8. Chứng minh: 2 2 2 x y z xy yz zx 9. a. Chứng minh: a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3 b. Chứng minh: 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 10. Chứng minh: 2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 11. Chứng minh: 2 2 a b 1 ab a b 12. Chứng minh: 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 13. Chứng minh: 4 4 2 2 x y z 1 2xy(xy x z 1) 14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì: 3 3 1 a b 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 TuyểntậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 2 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 2. Chứng minh: 2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 3. Chứng minh: 3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c 0 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m Z + 5. Chứng minh: bc ca ab a b c ; a,b,c 0 a b c 6. Chứng minh: 6 9 2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4 7. Chứng minh: 4 2 2 1 2a 3a 1 1 a . 8. Chứng minh: 1995 a 1995 a 1 , a > 0 9. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b 1 , chứng minh: ab a b 1 b a 1 . 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh: 3 a 3 a b b c c . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c 16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc c) 1 1 1 1 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: 1 x 3 x y y 16. Chứng minh: a) 2 2 x 2 2 x 1 ,x R b) x 8 6 x 1 , x > 1 c) 2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh: ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 18. Chứng minh: 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , x , y R Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthức 3 19. Chứng minh: a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. 4 a b c d 4 abcd với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số) b. 3 a b c 3 abc với a , b , c 0 , (Côsi 3 số ) 22. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 23. Chứng minh: 3 9 4 2 a 3 b 4 c 9 abc 24. Cho x 18 y 2 x , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 25. Cho x 2 y ,x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 26. Cho 3x 1 y , x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 27. Cho x 5 1 y ,x 3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN. 28. Cho x 5 y 1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 29. Cho 3 2 x 1 y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 30. Tìm GTNN của 2 x 4x 4 f(x) x , x > 0. 31. Tìm GTNN của 2 3 2 f(x) x x , x > 0. 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , 5 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 1 2 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN 37. Cho 2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN TuyểntậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 4 38. Cho 2 3 2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd) 2 (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh: sinx cosx 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 4b 2 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 5b 2 725 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a 2 + 11b 2 2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a 4 + b 4 2. 7. Cho a + b 1 Chứng minh: 2 2 1 a b 2 Lời giải : I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh: 3 3 3 a b a b 2 2 (*) (*) 3 3 3 a b a b 0 2 2 2 3 a b a b 0 8 . ĐPCM. 2. Chứng minh: 2 2 a b a b 2 2 () a + b 0 , () luôn đúng. a + b > 0 , () 2 2 2 2 a b 2ab a b 0 4 2 2 a b 0 4 , đúng. Vậy: 2 2 a b a b 2 2 . 3. Cho a + b 0 chứng minh: 3 3 3 a b a b 2 2 3 3 3 a b a b 8 2 2 2 3 b a a b 0 2 3 b a a b 0 , ĐPCM. 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: a b a b b a () () a a b b a b b a a b a a b b 0 Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthức 5 a b a b 0 2 a b a b 0 , ĐPCM. 5. Chứng minh: Với a b 1: 2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b () 2 2 1 1 1 1 0 1 ab 1 ab 1 a 1 b 2 2 2 2 ab a ab b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab 2 2 a b a b a b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab 2 2 b a a b 0 1 ab 1 a 1 b 2 2 2 2 b a a ab b ba 0 1 ab 1 a 1 b 2 2 2 b a ab 1 0 1 ab 1 a 1 b , ĐPCM. Vì : a b 1 ab 1 ab – 1 0. 6. Chứng minh: 2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c R 2 2 2 a 1 b 1 c 1 0 . ĐPCM. 7. Chứng minh: 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a ab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4 2 2 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 2 . ĐPCM 8. Chứng minh: 2 2 2 x y z xy yz zx 2 2 2 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0 2 22 x y x z y z 0 9. a. Chứng minh: a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3 2 2 2 a b c ab bc ca 2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca 3 9 3 a b c ab bc ca 3 3 b. Chứng minh: 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c 2 a b c 2 2 2 2 a b c 2 ab bc ca a b c TuyểntậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 6 2 2 2 2 a b c a b c 3 3 10. Chứng minh: 2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 2 2 2 a a b c b c 2bc 0 4 2 a b c 0 2 . 11. Chứng minh: 2 2 a b 1 ab a b 2 2 2a 2b 2 2ab 2a 2b 0 2 2 2 2 a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0 2 2 2 a b a 1 b 1 0 . 12. Chứng minh: 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 0 (x – y + z) 2 0. 13. Chứng minh: 4 4 2 2 x y z 1 2x(xy x z 1) 4 4 2 2 2 2 x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0 2 2 2 2 2 x y x z x 1 0 . 14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì: 3 3 1 a b 4 a + b 1 b 1 – a b 3 = (1 – a) 3 = 1 – a + a 2 – a 3 a 3 + b 3 = 2 1 1 1 3 a 2 4 4 . 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 (a – b) 2 + (a – c) 2 + (b – c) 2 a b c , b a c , c a b 2 2 2 a b 2bc c , 2 2 2 b a 2ac c , 2 2 2 c a 2ab b a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 2 2 a a b c 2 a a c b a b c 2 2 2 b b a c 2 b b c a a b c 2 2 2 c c a b 2 c b c a a c b 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a c b b c a abc a b c a c b b c a c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – a 4 – b 4 – 2a 2 b 2 – c 4 > 0 Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthức 7 4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – (a 2 + b 2 ) 2 – c 4 > 0 (2ab) 2 – [(a 2 + b 2 ) – c 2 ] 2 > 0 [c 2 – (a – b) 2 ][(a + b) 2 – c 2 ] > 0 (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0 Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho hai số không âm: a b 2 ab , b c 2 bc , a c 2 ac 2 2 2 a b b c a c 8 a b c 8abc . 2. Chứng minh: 2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho ba số không âm: 3 a b c 3 abc , 3 2 2 2 2 2 2 a b c 3 a b c 3 2 2 2 3 3 3 a b c a b c 9 a b c 9abc . 3. Chứng minh: 3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c 0. 1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc. 3 a b c 3 abc , 3 2 2 2 ab ac bc 3 a b c 3 3 2 2 2 3 3 1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc 4. Cho a, b > 0. Chứng minh: m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m Z + m m m m m m m 1 a b a b b a 1 1 2 1 . 1 2 2 b a b a a b 2 4 2 5. Chứng minh: bc ca ab a b c ; a, b, c 0 a b c Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: 2 bc ca abc 2 2c a b ab , 2 bc ba b ac 2 2b a c ac , 2 ca ab a bc 2 2a b c bc bc ca ab a b c a b c . 6. Chứng minh: 6 9 2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4 () TuyểntậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 8 () 6 9 2 3 x y 64 12x y 3 3 2 3 3 2 3 x y 4 12x y Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: 3 3 2 3 3 2 3 2 3 x y 4 3x y 4 12x y . 7. Chứng minh: 4 2 2 1 2a 3a 1 1 a () () 4 4 2 2 2 1 a a a 1 4a 1 a . Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: 4 4 2 2 1 a , a , a 1, 1 a 4 4 2 4 4 2 2 4 2 2 1 1 a a a 1 4 a a a 1 4a 1 a 1 a 8. Chứng minh: 1995 a 1995 a 1 () , a > 0 () 1995 1995 a 1995a 1995 a 1995 1995a 1995 1995 1995 1995 1995 1994 soá a 1995 a 1994 a 1 1 1 1995 a 1995a 9. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho 6 số không âm: 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 a a b b b c c c a 6 a b c 6abc 10. Cho a , b > 0. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 2 2 a a 1 2ab 2b a b , 2 2 b b 1 2bc 2c b c , 2 2 c c 1 2ac 2a a c Vậy: 2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b 1 , chứng minh: ab a b 1 b a 1 . a a 1 1 2 a 1, b b 1 1 2 b 1 ab 2b a 1, ab 2a b 1 ab a b 1 b a 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) x x 1 1 x 1 x y z 3 2 4 x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1 Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthức 9 Tương tự: 2 4 y 4 x 1 y 1 z 1 ; 2 4 z 4 x 1 y 1 z 1 xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh: 3 a 3 a b b c c . 3 a a b b c c 3 a b b c c 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c 16abc. 2 b c bc 2 2 2 2 b c 1 a 16abc 16a 16a 4a 1 a 2 2 2 2 2 4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) 2 bc.2 ac.2 ab 8abc c) 1 1 1 1 1 1 64 a b c 4 2 1 a a b c 4 a bc 1 a a a 4 2 1 4 ab c 1 b b 4 2 1 4 abc 1 c c 1 1 1 1 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh: 1 x 3 x y y 3 x y y 1 VT x y y 3 3 x y y x y y 16. Chứng minh: a) 2 2 x 2 2 x 1 2 2 x 2 2 x 1 2 2 x 1 1 2 x 1 b) x 8 x 1 = x 1 9 9 9 x 1 2 x 1 6 x 1 x 1 x 1 c. 2 2 2 a 1 4 2 4 a 1 4 a 1 2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh: ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 Vì : a b 2 ab TuyểntậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 10 ab ab ab a b 2 2 ab , bc bc bc b c 2 2 bc , ac ac ac a c 2 2 ac a b c ab bc ca , dựa vào: 2 2 2 a b c ab bc ca . ab bc ca ab bc ac a b c a b b c c a 2 2 18. Chứng minh: 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , x , y R 2 2 2 4 2 2 x x x 1 8 1 16x 2.4x 1 4x 2 2 2 4 2 2 y y y 1 8 1 16y 2.4y 1 4y 2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y 19. Chứng minh: a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b. a + b + c = 1 2 (X + Y + Z) Y Z X Z X Y X Y Z a , b , c 2 2 2 a b c 1 Y X Z X Z Y 3 b c a c a b 2 X Y X Z Y Z 1 3 2 2 2 3 2 2 . Cách khác: a b c a b c 1 1 1 3 b c a c a b b c a c a b 1 1 1 1 a b b c c a 3 2 b c a c a b Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho ba số không âm: 1 1 1 1 9 3 a b b c c a 3 2 b c a c a b 2 2 20. Cho a , b , c > 0. C/m: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc 3 3 2 2 a b a b a ab a a b ab Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthức 11 3 3 a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự 3 3 b c abc b c bc abc bc a b c 3 3 c a abc c a ca abc ca a b c 1 1 1 1 a b c VT ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a. 4 a b c d 4 abcd với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số) a b 2 ab , c d 2 cd 4 a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd b. 3 a b c 3 abc với a , b , c 0 , (Côsi 3 số ) 4 a b c a b c a b c 4. abc 3 3 4 a b c a b c abc 3 3 4 a b c a b c abc 3 3 3 a b c abc 3 3 a b c 3 abc . 22. Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 3 2 a abc 2a bc , 3 2 b abc 2b ac , 3 2 c abc 2c ab 3 3 3 2 2 2 a b c 3abc 2 a bc b ac c ab 3 3 3 2 2 2 2 a b c 2 a bc b ac c ab , vì : 3 3 3 a b c 3abc Vậy: 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab 23. Chứng minh: 3 9 4 2 a 3 b 4 c 9 abc Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho 9 số không âm: 3 3 3 9 4 4 4 4 VT a a b b b c c c c 9 abc 24. Cho x 18 y 2 x , x > 0. Định x để y đạt GTNN. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: x 18 x 18 y 2 . 6 2 x 2 x Dấu “ = ” xảy ra 2 x 18 x 36 x 6 2 x , chọn x = 6. Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6 25. Cho x 2 y ,x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. TuyểntậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 12 x 1 2 1 y 2 x 1 2 Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho hai số không âm x 1 2 , 2 x 1 : x 1 2 1 x 1 2 1 5 y 2 . 2 x 1 2 2 x 1 2 2 Dấu “ = ” xảy ra 2 x 3 x 1 2 x 1 4 x 1(loaïi) 2 x 1 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTNN bằng 5 2 26. Cho 3x 1 y , x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 3(x 1) 1 3 y 2 x 1 2 Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho hai số không âm 3 x 1 1 , 2 x 1 : 3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3 y 2 . 6 2 x 1 2 2 x 1 2 2 Dấu “ = ” xảy ra 2 6 x 1 3 x 1 1 2 3 x 1 2 x 1 3 6 x 1(loaïi) 3 Vậy: Khi 6 x 1 3 thì y đạt GTNN bằng 3 6 2 27. Cho x 5 1 y ,x 3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN. 2x 1 5 1 y 6 2x 1 3 Áp dụng bấtđẳngthức Côsi cho hai số không âm 2x 1 5 , 6 2x 1 : 2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1 y 2 . 6 2x 1 3 6 2x 1 3 3 Dấu “ = ” xảy ra Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthức 13 2 30 1 x 2x 1 5 2 2x 1 30 6 2x 1 30 1 x (loaïi) 2 Vậy: Khi 30 1 x 2 thì y đạt GTNN bằng 30 1 3 28. Cho x 5 y 1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. x 5 1 x 5x x x 1 x 1 x f(x) 5 5 2 5 5 2 5 5 1 x x 1 x x 1 x x Dấu “ = ‘ xảy ra 2 x 1 x x 5 5 5 5 x 1 x x 1 x 4 (0 < x < 1) Vậy: GTNN của y là 2 5 5 khi 5 5 x 4 29. Cho 3 2 x 1 y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 3 3 2 2 2 2 3 x 1 1 x x 1 x x 1 3 x 3 2 2 2 2 4 x x x x Dấu “ = ‘ xảy ra 2 x x 1 2 2 x 3 x 2 . Vậy: GTNN của y là 3 3 4 khi 3 x 2 30. Tìm GTNN của 2 x 4x 4 f(x) x , x > 0. 2 x 4x 4 4 4 x 4 2 x. 4 8 x x x Dấu “ = ‘ xảy ra 4 x x x = 2 (x > 0). Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2. 31. Tìm GTNN của 2 3 2 f(x) x x , x > 0. 3 2 2 2 2 2 2 5 3 3 3 3 5 2 x x x 1 1 x 1 5 x 5 3 3 3 3 27 x x x x TuyểntậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 14 Dấu “ = ‘ xảy ra 2 5 3 x 1 x 3 3 x x = 2 (x > 0). Vậy: GTNN của y là 5 5 27 khi 5 x 3 . 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) f(x) = –10x 2 + 11x – 3 = 2 2 11x 11 1 1 10 x 3 10 x 10 20 40 40 Dấu “ = “ xảy ra 11 x 20 Vậy: Khi 11 x 20 thì y đạt GTLN bằng 1 40 . 33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN. Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 x 6): 6 x 6 x 2 x 6 x x(6 – x) 9 Dấu “ = “ xảy ra x = 6 – x x = 3 Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN. y = (x + 3)(5 – 2x) = 1 2 (2x + 6)(5 – 2x) Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x , 5 3 x 2 : 11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x 1 2 (2x + 6)(5 – 2x) 121 8 Dấu “ = “ xảy ra 2x + 6 = 5 – 2x 1 x 4 Vậy: Khi 1 x 4 thì y đạt GTLN bằng 121 8 . 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , 5 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN. y = (2x + 5)(5 – x) = 1 2 (2x + 5)(10 – 2x) Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x , 5 x 5 2 : 2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x 1 2 (2x + 5)(10 – 2x) 625 8 Dấu “ = “ xảy ra 2x + 5 = 10 – 2x 5 x 4 Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthức 15 Vậy: Khi 5 x 4 thì y đạt GTLN bằng 625 8 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , 1 2 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN y = 3(2x + 1)(5 – 2x) Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x , 1 5 x 2 2 : 2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x (2x + 1)(5 – 2x) 9 Dấu “ = “ xảy ra 2x + 1 = 5 – 2x x = 1 Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9. 37. Cho 2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN 2 2 2 x 2 2x 2x 2 2 1 x 2 2 2 x 1 y 2 2 Dấu “ = “ xảy ra 2 x 2 và x > 0 x= 2 Vậy: Khi x 2 thì y đạt GTLN bằng 1 2 2 . 38. Cho 2 3 2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN 3 2 2 2 x 2 x 1 1 3 x .1.1 2 3 2 2 3 2 x 1 x 2 27x 27 x 2 Dấu “ = “ xảy ra 2 x 1 x 1 Vậy: Khi x 1 thì y đạt GTLN bằng 1 27 . III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd) 2 (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) () BĐT Bunhiacopxki () 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 2abcd c d a b a d c b c d 2 2 2 2 a d c b 2abcd 0 2 ad cb 0 . 2. Chứng minh: sinx cosx 2 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx : sinx cosx 2 2 2 2 1. sinx 1. cosx 1 1 sin x cos x 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 4b 2 7. Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 , 3 a , 4 , 4b : TuyểntậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 16 2 2 3a 4b 3. 3a 4. 4b 3 4 3a 4b 3a 2 + 4b 2 7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 5b 2 725 47 . 2 3 2a 3b 3 a 5b 3 5 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 2 3 , 3 a , , 5b 3 5 : 2 2 2 3 4 9 3 a 5 b 3a 5b 3 5 3 5 3a 2 + 5b 2 735 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a 2 + 11b 2 2464 137 . 3 5 3a 5b 7 a 11b 7 11 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3 5 , 7 a , , 11b 7 11 : 2 2 3 5 9 25 7 a 11b 7a 11b 7 11 7 11 7a 2 + 11b 2 2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a 4 + b 4 2. Áp dụng BĐT Bunhiacopski: 2 2 2 a b 1 1 a b a 2 + b 2 2 2 2 4 4 2 a b 1 1 a b a 4 + b 4 2 7. Cho a + b 1 Chứng minh: 2 2 1 a b 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a b 1 1 a b a b 2 Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthức 17 PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: 2 2 2 2 2 2 x xy y x xz+z y yz+z 2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x 3 + y 3 + z 3 x + y + z. 3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z + 1 1 1 x y z 4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x, y là hai số thựcdương và thoả x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4 1 x 4y . 5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bấtđẳng thức: a b c d a b c b c d c d a d a b < 2 6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1) 2 2 1 2 1 x x 16. 7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng: a b c a b c a b c 9 a b c 8. (CĐKTYTế1 2006) Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y 0; x 2 + x = y + 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz. 10. (Học viện BCVT 2001) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 thì: a b c a b c 1 1 1 a b c 3 3 3 3 3 3 3 11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Cho ba số dương a, b, c thoả a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 a b c 3 3 2 b c c a a b 12. (ĐH Kiến trúc HN 2001) TuyểntậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 18 Cho các số a, b, c thoả: 2 2 2 a b c 2 ab bc ca 1 Chứng minh: 4 4 4 4 4 4 a ; b ; c 3 3 3 3 3 3 13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c 14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 y 2 x 2 z 1 1 1 x y y z z x x y z 15. (ĐH PCCC khối A 2001) Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: b c c a a b log a log b log c 1 16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi > 1 ta luôn có: x + – 1 ≥ x. Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì: 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c a b c a 17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab (*) 18. (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3a 2 + 3b 2 + 3c 2 + 4abc ≥ 13 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: 2 2 2 3 3 3 a b c 20. (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c là 3 số thựcbất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 8 a + 8 b + 8 c ≥ 2 a + 2 b + 2 c 21. (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c là 3 số thựcdương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 b 2a c 2b a 2c 3 ab bc ca 22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng: 3 3 3 a b a b 2 2 23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT: Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthức 19 a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca) 2 ≥ 3abc(a + b + c) 24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 2 2 2 2 2 bc ca ab a b a c b c b a c a c b 25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có: (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 3 3 1 abc 26. (ĐH Y HN 2000) Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện 2 3 6 x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y. 27. (ĐH An Giang khối D 2000) Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a c + 1 + b c + 1 ≥ ab(a c – 1 + b c – 1 ) 28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx > 18xyz 2 xyz 29. (ĐH An Ninh khối A 2000) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n n + 1 > (n + 1) n 30. (CĐSP Nha Trang 2000) Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = a 1 b 1 31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác không: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 x y z x y z BĐT cuối cùng luôn đúng BĐT cần chứng minh đúng. 32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a 33. (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 x y z 3 1 1 1 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 34. (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng: 2(x 3 + y 3 + z 3 ) – (x 2 y + y 2 z + z 2 x) ≤ 3 (*) 35. (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: TuyểntậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 20 2 2 2 a b c x y z 2R (a, b, c là các cạnh của ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào? 36. (Đại học 2002 dự bị 3) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = 5 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = 4 1 x 4y 37. (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50. Chứng minh bấtđẳng thức: 2 a c b b 50 b d 50b và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = a c b d . 38. (Đại học 2002 dự bị 6) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và h a , h b , h c tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 1 1 1 3 a b c h h h 39. (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z 82 x y z 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin 5 x + 3 cosx 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: 4p(p a) bc (1) A B C 2 3 3 sin sin sin (2) 2 2 2 8 trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p = a b c 2 . 42. (Đại học khối A 2005) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : 1 1 1 4 x y z . [...]...Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthứcTuyểntậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ LỜI GIẢI 1 1 1 1 2x+y+z x 2y z x y 2z 43 (Đại học khối B 2005) Chứng minh rằng với mọi x R, ta có: Chứng minh rằng: x x 1 x 12 15 20 x x x 3 4 5 5 4 3 Khi nào đẳngthức xảy ra? 44 (Đại học khối D 2005) Cho các số dương... liên tục x: f(x) = x 1 1 (2 ≤ x ≤ 48) 50 x 50 1 1 x2 50 ; 2 50 x 50x2 Bảng biến thiên: f(x) = x2 50 f(x) = 0 x5 2 2 x 48 34 Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthứcTuyểntậpBấtđẳngthức Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 5 2 2 1 1 1 Ta có: P (x y z)2 x y z b2 b 50 (2 ≤ b ≤ 48, b N) 50b Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm... "=" xảy ra x = y = z = Vậy Amin = 5 Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 3 Vậy minA = 3 3 10 (Học viện BCVT 2001) 1 Ta có hàm số f(x) = x là hàm nghịch biến nên: 3 1 1 (a – b) a b ≤ 0, a, b 3 3 a b b a b a b , a, b (1) a 3 3 3 3 b c b c Tương tự: b c c b (2) 3 3 3 3 24 Tài liệubồidưỡng HSG c c Mặt khác: 3 a TuyểntậpBấtđẳngthức a a 3 b a c 3 c c (3) a 3 a b c (4)... 8 TuyểntậpBấtđẳngthức x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (3) x y 2z 4 2z x y 4 2z 4 x y 8 z 2x 2y 1 1 1 1 1 1 Vậy: 1 = 1 2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x yz Ta thấy trong các bấtđẳngthức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 3 x = y = z Vậy đẳngthức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 4 43 (Đại học khối... dụng bấtđẳngthức Cơsi cho 2 số dương ta có: 37 x x 12 15 12 15 5 4 2 5 4 Tương tự ta có: x x x x 12 15 x 2.3 5 4 x x (1) x 12 20 15 20 x x (2) (3) 2.4 2.5 5 3 4 3 Cộng các bấtđẳngthức (1), (2), (3), chia 2 vế của bấtđẳngthức nhận được cho 2 ta có đpcm Đẳng thức. .. = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ ≥ 3 1 + 3 3 abc 3 a2b2c2 + abc = 1 3 abc 3 Đẳngthức xảy ra a = b = c > 0 26 (ĐH Y HN 2000) 2 3 2 x+y≥ 2 2 2 3 3 x y (x y) = 6(x + y) x y x y 2 3 2 6 30 2 Tài liệubồidưỡng HSG Giá trị 2 3 6 2 TuyểntậpBấtđẳngthức 2 3 : x : y x x y đạt được 2 2 3 y x y 6 2(... 6(ab + bc + ca) – 14 2 2 2 2 2 2 3(a + b + c ) + 4abc ≥ 3(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) – 14 2 = 3(a + b +c) – 14 = 13 Đẳngthức xảy ra 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c a = b = c = 1 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 28 (1) Tài liệubồidưỡng HSG Từ giả thiết ta có: 2 3 a TuyểntậpBấtđẳngthức 2 a 3 2 b 3 a b a b a b = 1 0 < , < 1 = 1 c c c c c c c c 2 3 b 2 3 c Từ đó suy... y 2z 2x Tài liệu luyện thi Đại học và CĐ 1 x 3 y 3 xy 1 + x + y 3 3 1.x3 y3 = 3xy 3 Tương tự: Mặt khác 3 1 y3 z3 yz 3 xy 3 yz 3 3 zx 33 xy 1 z3 x3 zx (2); yz 3 3 3 yz 3 zx (3) 3 xy (1) zx 3 3 3 3 3 (4) xy yz zx Cộng các bấtđẳngthức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm Đẳngthức xảy ra (1), (2), (3), (4) là các đẳngthức x = y = z = 1 45 (Đại học khối A 2005 dự bị... 6 24 4x y z = 6 46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ta có: 1+x=1+ 1+ x x x x3 44 3 3 3 3 3 y y y y y3 =1+ 44 3 3 3x 3x 3x x 3 x 38 Tài liệubồidưỡng HSG 9 1+ y TuyểntậpBấtđẳngthức 3 =1+ y 3 y 3 y 44 33 y3 9 36 1 164 3 y y 2 y 9 x3 y3 36 Vậy: 1 x 1 1 256 4 3 3 3 3 = 256 x y 3 3 x y 47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cách... z 1 z x 3 3 xy yz zx Khi nào đẳngthức xảy ra? 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0 CMR: 46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2) 2 3 y x y x2 xy y2 2 2 22 Tài liệubồidưỡng HSG TuyểntậpBấtđẳngthức f(t) = 3 – 3 t 2 2 = 3(t 1 ) t 2 1 < 0, t 0; 3 Bảng biến thiên: 6 1 3 1 Từ bảng biến thiên ta suy ra: A 10 Dấu "=" . các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra (1), (2), (3) là các đẳng thức x = 0. 44. (Đại học khối D 2005) Áp dụng bất đẳng. a b 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 17 PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1. (CĐGT II 2003 dự bị) Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: 2 2 2. 3(a + b +c) 2 – 14 = 13 Đẳng thức xảy ra 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c a = b = c = 1. 19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) Tài liệu bồi dưỡng HSG Tuyển tập Bất đẳng thức 29 Từ giả thiết ta