Luyện tập bất đẳng thức

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 2 2 2 Chứng minh: (ab + cd) £ (a + c )(b + d ) Chứng minh: sinx + cos x £ Cho 3a – 4b = Cho 2a – 3b = Cho 3a – 5b = Cho a + b = Cho a + b ³ PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN BĐT Bunhiacopxki I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất bản: Chứng minh: 3a + 4b ³ 725 2 Chứng minh: 3a + 5b ³ 47 2464 2 Chứng minh: 7a + 11b ³ 137 4 Chứng minh: a + b ³ Chứng minh: a2 + b2 ³ Cho a, b > chứng minh: 2 Chứng minh: a+b £ a3 + b3 æ a + b ỗ ữ ố ứ a2 + b2 a + b a3 + b3 ³ 2 a b Cho a, b > Chứng minh: + ³ a+ b b a 1 Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: + ³ 2 1+ ab 1+ a 1+ b Cho a + b ³ chứng minh: Lời giải: I Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất bản: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + ³ ( a + b + c ) ; a , b , c Ỵ R Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a ( b + c + d + e) Chứng minh: x2 + y + z2 ³ xy + yz + zx a Chứng minh: a+ b+ c ³ b Chứng minh: a2 + b2 + c2 æ a + b + c ỗ ữ 3 ố ứ Cho a, b > chứng minh: (*) Û a3 + b3 æ a + b ỗ ữ (*) ố ứ 3 a +b ổ a + bử -ỗ ữ ³ Û ( a + b)( a - b) ³ ĐPCM è ø a+b a2 + b2 (ô) Ê 2 ữ a + b £ , («) ln Chứng minh: ( a - b)2 a2 + b2 + 2ab a2 + b2 ữ a + b > , (ô) £0 Û ³ , 4 Vậy: a+b £ 2 a +b a+b Cho a + b ³ chứng minh: ³ 3 ( a + b)3 a3 + b3 a +b Û £ Û ( b - a ) ( a2 - b2 ) £ Û -3 ( b - a ) ( a + b) £ , ĐPCM a b Cho a, b > Chứng minh: + ³ a + b («) b a («) Û a a + b b ³ a b + b a Û ( a - b) a - ( a - b) b ³ Û ( a - b) ( a - b ) ³ Û a2 + b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc 11 Chứng minh: a2 + b2 + ³ ab + a + b 12 Chứng minh: x2 + y2 + z2 ³ 2xy - 2xz + 2yz 10 Chứng minh: ab + bc + ca ; a,b,c ³ ( 13 Chứng minh: x + y4 + z2 + ³ 2xy(xy - x + z + ) 15 Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: 2 a ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca) b abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) 2 2 2 4 c 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 14 Chứng minh: Nếu a + b ³ thì: a3 + b3 ³ a - b ) ( a + b ) ³ , ĐPCM 1 Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: + ³ («) 2 1+ ab 1+ a 1+ b HTTP://KINHHOA.VIOLET.VN II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc ; a,b,c ³ Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c ) ³ 9abc ; a,b,c ³ 20 Cho a , b , c > C/m: 1 1 + + £ 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: với a , b , c , d ³ a a + b + c + d ³ 44 abcd Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ (1+ abc ) với a , b , c ³ m b m bư ỉ ỉ + Cho a, b > Chng minh: ỗ 1+ ữ + ỗ 1+ ữ 2m + , vi m Ỵ Z bø è è bc ca ab Chứng minh: + + ³ a + b + c ; a,b,c ³ a b c Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ³ 6abc a b c 1æ 1 1ö 10 Cho a , b > Chng minh: + + Ê ỗ + + ÷ 2 2è a b c ø a +b b +c a +c 11 Cho a , b ³ , chứng minh: ab ³ a b - + b a - 12 Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13 Cho a > b > c, Chứng minh: a ³ 33 ( a - b)( b - c ) c 14 Cho: a , b , c > a + b + c = Chứng minh: a) b + c ³ 16abc b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc ửổ ửổ 1ử ổ c) ỗ 1+ ữỗ 1+ ữỗ 1+ ữ 64 ố a ứố b øè c ø x+ ³3 15 Cho x > y > Chứng minh: ( x - y) y 16 Chứng minh: x2 + b) x+8 x -1 ³ , "x > y2 18 Chứng minh: + £ , "x , y Ỵ R 4 1+ 16x 1+ 16y a b c 19 Chứng minh: + + ³ ;a,b,c>0 b+c a+c a+b 2 2 bc + b ac + c 29 Cho y = 32 33 34 a2 + a2 + ³4 (Côsi số ) ab ; a , b , c > 23 Chứng minh: a + b + c ³ abc x 18 24 Cho y = + , x > Định x để y đạt GTNN x x 25 Cho y = + ,x > Định x để y đạt GTNN x -1 3x 26 Cho y = + , x > -1 Định x để y đạt GTNN x +1 x 27 Cho y = + ,x > Định x để y đạt GTNN 2x - x 28 Cho y = + , < x < Định x để y đạt GTNN 1- x x 31 c) (Côsi số) x3 + x2 , x > Định x để y đạt GTNN x + 4x + , x > x Tìm GTNN f(x) = x2 + , x > x Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) Cho y = x(6 – x) , £ x £ Định x để y đạt GTLN Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ Định x để y đạt GTLN Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ x £ Định x để y đạt GTLN Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - £ x £ Định x để y đạt GTLN 2 x Cho y = Định x để y đạt GTLN x +2 30 Tìm GTNN f(x) = ab bc ca a+b+ c + + £ ; a, b, c > 17 Chứng minh: a+ b b+ c c+ a x2 với a , b , c ³ , 3 ³ ,"x Ỵ R 22 Chứng minh: a + b + c ³ a x6 + y9 ³ 3x2 y3 - 16 ; x,y ³ Chứng minh: 2a4 + ³ 3a2 - 1+ a Chứng minh: a1995 > 1995 ( a - 1) ,a>0 x2 + a + b + c ³ abc Chứng minh: a) 35 36 37 38 Cho y = x2 ( x + )3 Định x để y đạt GTLN Chứng minh: 2a4 + 1+ a («) Û a4 + a4 + a2 + 1+ ³ 3a2 - («) 1+ a Û ³ 4a2 1+ a ³ 44 a4 a4 ( a2 + 1) Chứng minh: a1995 > 1995 ( a - 1) («) 1+ a 1+ a Û = 4a2 ÷ ,a>0 1995 1995 a1995 + 1995 > a1995 + 1994 = a1995 + 1+ 1+ + ³ 1995 14243 a = 1995a Chứng minh: a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) ³ 6abc a2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c + c2a2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm: 11 Cho a , b ³ , chứng minh: ab ³ a b - + b a - ° Tương tự: y ³ 4( x - 1) ( y - 1) ( z - 1) ; ( y - 1) ( z - 1) z³4 4( Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a ( b + c + d + e) a2 a2 a2 a2 - ab + b2 + - ac + c2 + - ad + d2 + - ae + e2 ³ 4 4 2 x - 1) ( y - 1) ( z - 1) ° a = ( a - b) + ( b - c ) + c ³ 33 ( a - b)( b - c ) c 2 Chứng minh: x2 + y + z2 ³ xy + yz + zx Û 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx ³ Û ( x - y )2 + ( x - z )2 + ( y - z )2 ³ a Chứng minh: ÷ a+ b+ c ³ ab + bc + ca ; a,b,c ³ a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ab + bc + ca æa+ b+ cử ữ ỗ ữ = è ø a+ b+ c ³ b Chứng minh: ÷ ab + bc + ca a2 + b2 + c2 ổ a + b + c ỗ ÷ 3 è ø ( a2 + b2 + c ) = a2 + b2 + c2 + ( a2 + b2 + c2 ) ³ a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) Þ Þ xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13 Cho a > b > c, Chứng minh: a ³ 33 ( a - b)( b - c ) c b-a æ a b 1+ ab ỗ 1+ a2 1+ b2 ữ è ø ³0 Û Vì : a ³ b ³ Þ ab ³ Û ab – ³ Û ° ab ³ a b - + b a - 12 Cho x, y, z > x + y + z = C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1) ° x = ( x - 1) + = ( x - 1) + x + y + z - b ( a - b) + ( b - a ) ( ab - 1) b - a ỉ a + ab2 - b - ba2 , PCM ỗ ữ0 1+ ab ỗ (1+ a2 )(1+ b2 ) ÷ (1+ ab) (1+ a2 )(1+ b2 ) è ø ab ³ 2b a - , ab ³ 2a b - = ( x - 1) + ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 1) ³ 44 ( x - 1) 1+ b2 a (b - a) 1 ab - a2 ab - b2 + ³0 ³ 0Û 1+ ab 1+ ab (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) (1+ a2 ) (1+ ab) (1+ b2 ) (1+ ab) a = ( a - 1) + ³ a - , b = ( b - 1) + ³ b - ° - ỉa ỉa ỉa ổa ỗ - b ữ + ỗ - c ữ + ỗ - d ữ + ỗ - e ÷ ³ ĐPCM è2 ø è2 ø è2 ø è2 ø a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 ³ a6b6 c6 = 6abc a b c 1ỉ 1 1ư 10 Cho a , b > Chứng minh: + + Ê ỗ + + ữ 2 2è a b c ø a +b b +c a +c a a b b c c £ = £ = £ = ° , , 2 2 2ab 2b 2bc 2c a + c 2ac 2a a +b b +c a b c 1ỉ 1 1ư + + £ ç + + ÷ ° Vậy: a + b2 b2 + c2 a2 + c2 è a b c ø ° Chứng minh: a2 + b2 + c2 + ³ ( a + b + c ) ; a , b , c Ỵ R Û 1994 số ° ÷ + 2 Û ( a - 1) + ( b - 1) + ( c - 1) ³ ĐPCM («) Û a1995 > 1995a - 1995 Û a1995 + 1995 > 1995a 1+ a Û Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm: a4 , a4 , a2 + 1, a + a + a + 1+ 10 Chứng minh: a2 + b2 + c2 ổ a + b + c ỗ ữ 3 è ø a2 + b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc 2 Û a2 ỉa - a ( b - c ) + b2 + c2 - 2bc ³ Û ç - ( b - c ) ÷ ³ è2 ø 11 Chứng minh: a2 + b2 + ³ ab + a + b II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: Û 2a2 + 2b2 + - 2ab - 2a - 2b ³ Û a2 - 2ab + b2 + a2 + 2a + 1+ b2 + 2b + ³ 2 Þ ( a + b)( b + c ) ( a + c ) ³ a 2b2c2 = 8abc Û ( a - b) + ( a - 1) + ( b - 1) ³ 2 2 12 Chứng minh: x + y + z ³ 2xy - 2xz + 2yz Þ a + b + c ³ 33 abc , a2 + b2 + c2 ³ a2b2c2 Þ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c ) ³ a3b3 c3 = 9abc 13 Chứng minh: x4 + y4 + z2 + ³ 2x(xy2 - x + z + 1) Û x4 + y4 + z2 + 1- 2x2 y2 + 2x2 - 2xz - 2x ³ Û ( x2 - y2 ) + ( x - z ) + ( x - 1) ³ 2 3 1ư 1 ỉ 3 ị a + b = 3ỗ a - ữ + ³ è 2ø 4 15 Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam giác Chứng minh: 2 a ab + bc + ca £ a + b + c < 2(ab + bc + ca) 2 2 2 ÷ ab + bc + ca £ a + b + c Û (a – b) + (a – c) + (b – c) ÷ a > b-c , b > a-c , c > a-b b Þ a2 > b2 - 2bc + c2 , b2 > a2 - 2ac + c2 , c2 > a2 - 2ab + b2 2 Þ a + b + c < 2(ab + bc + ca) abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) ÷ a2 > a2 - ( b - c ) Þ a2 > ( a + c - b)( a + b - c ) ÷ ÷ ° m m 2 m m bử ổ aử ổ ỗ 1+ ữ ỗ + ữ bứ ố aứ ố ³ 4m = 2m + bc ca ab Chứng minh: + + ³ a + b + c ; a, b, c > a b c ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: Chứng minh: x6 + y9 ³ 3x2 y3 - 16 ; x,y ³ («) 3 («) Û x6 + y9 + 64 ³ 12x2 y3 Û ( x2 ) + ( y3 ) + 43 ³ 12x2 y3 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm: ( x2 )3 + ( y3 )3 + 43 ³ 3x2y3 = 12x2y3 m b ỉ = ỗ2+ + ữ a bứ ố ca ab a2bc + ³2 = 2a b c bc bc ca ab Þ + + ³ a+b+c a b c c > c - ( a - b) Þ c > ( b + c - a ) ( a + c - b) m ³ 2m + , với m Ỵ Z bc ca abc2 bc ba b2ac + ³2 = 2c , + ³2 = 2b , a b ab a c ac Þ a2b2c2 > ( a + b - c ) ( a + c - b) ( b + c - a ) Û abc > ( a + b - c )( a + c - b)( b + c - a ) 2 2 2 4 2a b + 2b c + 2c a – a – b – c > 2 2 4 2 Û 4a b + 2c (b + a ) – a – b – 2a b – c > 2 2 2 2 Û 4a b + 2c (b + a ) – (a + b ) – c > 2 2 2 2 Û (2ab) – [(a + b ) – c ] > Û [c – (a – b) ][(a + b) – c ] > Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > Vì a , b , c ba cạnh tam giác Þ c – a + b > , c + a – b > , a + b – c > , a + b + c > m bư ỉ ổ Cho a, b > Chng minh: ỗ 1+ ữ + ỗ 1+ ữ bứ ố ố aứ bử ổ aử ổ 1+ ữ + ỗ 1+ ữ ữ ç bø è è 2 c ÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ 1+ 33 abc + a2b2c2 + abc = (1+ abc ) b2 > b2 - ( a - c ) Þ b2 > ( b + c - a ) ( a + b - c ) Chứng minh: (1+ a )(1+ b)(1+ c ) ³ (1+ abc ) , với a , b , c ³ ÷ (1+ a )(1+ b)(1+ c ) = 1+ a + b + c + ab + ac + bc + abc ÷ a + b + c ³ 33 abc , ab + ac + bc ³ a2b2c 14 Chứng minh: Nếu a + b ³ thì: a + b ³ 3 ° a + b ³ Þ b ³ – a Þ b = (1 – a) = – a + a – a Chứng minh: (a + b + c)(a2 + b2 + c ) ³ 9abc ; a,b,c ³ ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: Û x2 + y2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz ³ Û (x – y + z) ³ Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc ; a, b, c ³ ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số khơng âm: Þ a + b ³ ab , b + c ³ bc , a + c ³ ac + ° Dấu “ = ” xảy Û x -1 2 = Û ( x - 1) = Û x -1 éx = ê x = -1(loaïi) ë Vậy: Khi x = y đạt GTNN 3x 26 Cho y = + , x > -1 Định x để y đạt GTNN x +1 3(x + 1) + ÷ y= x+1 14 Cho: a , b , c > a + b + c = Chứng minh: a) b + c ³ 16abc b) ° ( x + 1) ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : x+1 ( x + 1) 3 ( x + 1) 3 + - ³2 - = 62 x +1 2 x+1 2 Dấu “ = ” xảy Û é -1 êx = ( x + 1) 2 Û = Û ( x + 1) = Û ê ê x +1 - 1(loaïi ) êx = ë c) ° - y đạt GTNN x 27 Cho y = + ,x > Định x để y đạt GTNN 2x - 2x - ÷ y= + + 2x - Vậy: Khi x = 2x - 2x - + + ³2 + = 2x - 2x - Dấu “ = ” xảy 2x - , : 2x - 30 + 30 + 30 + y đạt GTNN x 28 Cho y = + , < x < Định x để y đạt GTNN 1- x x 12 15 Cho x > y > Chứng minh: a) é 30 + êx = 2x - 2 = Û ( 2x - 1) = 30 Û ê Û ê 2x - - 30 + (loaïi ) êx = ë Vậy: Khi x = 4 ab2c ° ³ b b ửổ ửổ 1ử ổ ữ ỗ 1+ ữỗ 1+ ữỗ 1+ ữ 64 ố a ứố b øè c ø 1+ x+ 4 abc2 ³ c c ³3 ( x - y) y ( x - y) y VT = ( x - y ) + y + ³ 33 =3 ( x - y) y ( x - y) y 16 Chứng minh: ÷ Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm y= ỉ a + a + b + c a2bc ỉ ç 1+ ÷ = ç ÷³ a a è è ø ° 1+ ÷ 2 ° 4a (1- a ) = (1- a ) ( 4a - 4a2 ) = (1- a ) é1- (1- 2a ) ù £ 1- a = b + c ë û (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ³ bc.2 ac.2 ab = 8abc ửổ ửổ 1ử ổ ỗ 1+ ữỗ 1+ ữỗ 1+ ữ 64 ố a ứố b øè c ø ° y= 2 ỉb+ cư ỉb+ cử ổ 1- a ỗ ữ bc 16abc Ê 16a ỗ ữ = 16a ỗ ữ = 4a (1- a ) è ø è ø è ø ° b) c x2 + 2 x +1 x+8 x -1 ³ Û x + ³ x + Û x + 1+ ³ x + = x -1 = x - 1+ ( a2 + 1) + ³ ( a2 + 1) = 17 Chứng minh: ° x - 1+ 9 x -1 ³2 a2 + Û x -1 x -1 a2 + a2 + =6 ³4 ab bc ca a+b+ c + + £ ; a, b, c > a+ b b+ c c+ a Vì : a + b ³ ab Þ ab ab £ = a + b ab ab bc bc , £ = b + c bc bc ac ac , £ = a + c ac ac ° a + b + c ³ ab + bc + ca , dựa vào: a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca ° ab bc ca + + £ a+ b b+ c c+ a ab + bc + ac a + b + c £ 2 18 Chứng minh: ° ° ÷ x2 1+ 16x4 y2 1+ 16y x2 1+ 16x x2 1+ 16x4 = = + x2 1+ ( 4x ) y2 1+ ( 4y ) y2 1+ 16y y2 + 1+ 16y4 £ £ £ x2 2.4x2 y2 2.4y £ , "x , y Ỵ R = = 21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a a + b + c + d ³ 44 abcd với a , b , c , d ³ ÷ a + b ³ ab , c + d ³ cd ( ÷ a + b + cd ³ ( ab + cd ) ³ 2 a + b + c ³ 33 abc b ÷ a+b+ c+ Û a b c + + ³ ;a,b,c>0 b+c a+c a+b Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b ° a + b + c = (X + Y + Z) Y+Z-X Z+X-Y X+Y-Z ,b= ,c= ° a= 2 ù a b c éỉ Y X ỉ Z X ổ Z Y + + = ờỗ + ữ + ỗ + ữ + ỗ + ữ - 3ú b + c a + c a + b ëè X Y ø è X Z ø è Y Z ø û ³ [ + + - 3] = 2 Cách khác: a b c ỉ a ỉ b ổ c + + =ỗ + 1ữ + ç + 1÷ + ç + 1÷ - b+ c a+ c a+ b èb+ c ø èa+ c ø èa+b ø 1 ỉ = [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) ] ỗ + + ÷-3 è b+ c a + c a + bø ÷ Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho ba số không âm: [( a + b) + ( b + c ) + ( c + a ) ] ỉ + + ³ - = ỗ ữ 2 ố b+ c a + c a + bø 20 Cho a , b , c > C/m: 1 1 + + £ 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc ° ° a3 + b3 = ( a + b) ( a2 - ab + a2 ) ³ ( a + b) ab Þ a3 + b3 + abc ³ ( a + b) ab + abc = ab ( a + b + c ) , tương tự b3 + c3 + abc ³ ( b + c ) bc + abc = bc ( a + b + c ) c3 + a3 + abc ³ ( c + a ) ca + abc = ca ( a + b + c ) ÷ VT £ 1 1 ổa+b+cử + + = ỗ ữ ab ( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) a + b + c è abc ø 10 ) ab cd ³ 44 abcd với a , b , c ³ , (Côsi số ) a+b+ c a+b+ c ³ 4.4 abc 3 a+ b+ c a+b+ c ³ abc Û 3 a+b+ c ổa+ b+ cử ỗ ữ abc 3 è ø 19 Chứng minh: ° (Côsi số) ổa+ b+ cử ỗ ữ abc a + b + c ³ abc è ø 22 Chứng minh: a3 + b3 + c3 ³ a2 bc + b2 ac + c2 ab ; a , b , c > ° ° a3 + abc ³ 2a2 bc , b3 + abc ³ 2b2 ac , c3 + abc ³ 2c2 ab a3 + b3 + c3 + 3abc ³ ( a2 bc + b2 ac + c2 ab ) Þ ( a3 + b3 + c3 ) ³ ( a2 bc + b2 ac + c ab ) , : a3 + b3 + c3 ³ 3abc Vậy: a3 + b3 + c3 ³ a2 bc + b2 ac + c2 ab 23 Chứng minh: a + 33 b + 44 c ³ 99 abc ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm: VT = a + a + b + b + b + c + c + c + c ³ 99 abc x 18 24 Cho y = + , x > Định x để y đạt GTNN x ° ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm: y= x 18 x 18 + ³2 =6 x x x 18 = Û x2 = 36 Û x = ± , chọn x = x Vậy: Khi x = y đạt GTNN x 25 Cho y = + ,x > Định x để y đạt GTNN x -1 x -1 + + ÷ y= x -1 x -1 ÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm , : x-1 ° Dấu “ = ” xảy Û y= x -1 x -1 + + ³2 + = x -1 2 x -1 2 11 735 ổ 9ử 2 b Ê ỗ + ÷ ( 3a2 + 5b2 ) Û 3a + 5b ³ 47 è3 5ø 2464 2 Cho 3a – 5b = Chứng minh: 7a + 11b ³ 137 ÷ 3a - 5b = 7a11b 11 , 7a , , 11b : ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số 11 ° 2464 ỉ 25 ( 2 11b Ê ỗ + b2 ÷ 7a + 11 ) Û 7a + 11b ³ è 11 ø 137 11 4 Cho a + b = Chứng minh: a + b ³ ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski: ° 3a- 7a- ° Û a +b ³2 ° = a + b £ (1+ 1) ( a2 + b2 ) £ ( a2 + b2 ) £ (1+ 1) ( a4 + b4 ) Û a +b ³2 Cho a + b ³ ° 1£ a + b £ Chứng minh: a2 + b2 ³ (12 + 12 ) ( a2 + b2 ) Û a2 + b2 ³ x (1- x ) + 5x x x -1 x 1- x + = +5 +5³ +5= 5+5 1- x x 1- x x 1- x x Dấu “ = ‘ xảy Û ° ° ° ° x 1- x 5- ỉ x (0 < x < 1) =5 ỗ ữ =5x= 1- x x è 1- x ø Vậy: GTNN y + x = 29 Cho y = f(x) = x3 + x2 x3 + , x > Định x để y đạt GTNN x x xx + + ³ 33 =3 2 x 22x x x x x Dấu “ = ‘ xảy Û = = Û x = 2 x Vậy: GTNN y x = = x+ = 30 Tìm GTNN f(x) = 5- x + 4x + , x > x x2 + 4x + 4 = x + + ³ x + = x x x ° Dấu “ = ‘ xảy Û x = Û x = (x > 0) x ° Vậy: GTNN y x = 2 31 Tìm GTNN f(x) = x2 + , x > x ° ° x2 + x 3 = ỉ x2 ỉ x2 x2 x2 1 + + + + 55 ỗ ữ ỗ ữ = 3 x è ø èx ø x 5 x = Û x = Û x = (x > 0) x x = ° Vậy: GTNN y 27 32 Tìm GTLN f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) ° ° ° Dấu “ = ‘ xảy Û 11x ö 11 ö 1 æ æ f(x) = –10x + 11x = -10 ỗ x2 Ê ữ - = -10 ỗ x ữ + 10 ứ 20 ứ 40 40 è è 11 Dấu “ = “ xảy Û x = 20 13 16 27 11 y đạt GTLN 20 40 33 Cho y = x(6 – x) , £ x £ Định x để y đạt GTLN ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm x – x (vì £ x £ 6): ° Vậy: Khi x = = x + ( - x ) ³ x ( - x ) Þ x(6 – x) £ Dấu “ = “ xảy Û x = – x Û x = Vậy: Khi x = y đạt GTLN 34 Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £ Định x để y đạt GTLN ÷ y = (x + 3)(5 – 2x) = (2x + 6)(5 – 2x) ° ° ° 5ư ỉ ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + v 2x , ỗ -3 Ê x £ ÷ : è 2ø 121 ° 11 = ( 2x + 6) + ( - 2x ) ³ ( 2x + 6)( - 2x ) Þ (2x + 6)(5 – 2x) £ ° Dấu “ = “ xảy Û 2x + = – 2x Û x = 121 ° Vậy: Khi x = - y đạt GTLN 35 Cho y = (2x + 5)(5 – x) , - £ x £ Định x để y đạt GTLN ÷ y = (2x + 5)(5 – x) = (2x + 5)(10 – 2x) ỉ ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + , 10 2x , ỗ - Ê x £ ÷ : è ø 625 ° ( 2x + 5) + (10 - 2x ) ³ ( 2x + 5)(10 - 2x ) Þ (2x + 5)(10 – 2x) £ ° Dấu “ = “ xảy Û 2x + = 10 – 2x Û x = 625 ° Vậy: Khi x = y đạt GTLN 36 Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , - £ x £ Định x để y đạt GTLN 2 ÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x) 5ư ỉ ÷ Áp dụng BĐT Côsi cho số không âm 2x + , 2x , ỗ - Ê x £ ÷ : è 2ø ° ° ( 2x + 1) + ( - 2x ) ³ ( 2x + 1)( - 2x ) Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ ° Vậy: Khi x = y đạt GTLN x Định x để y đạt GTLN 37 Cho y = x +2 x ° + x ³ 2x2 = 2x Û Þ y£ ³ 2 2+ x 2 ° Dấu “ = “ xảy Û x = x > Þ x= ° Vậy: Khi x = y đạt GTLN 38 Cho y = x2 ( x + )3 Định x để y đạt GTLN x2 ° x + = x2 + 1+ ³ x2 1.1 Û ( x2 + 2) ³ 27x2 Þ ° ° Vậy: Khi x = ± y đạt GTLN 27 Dấu “ = “ xảy Û x = Û x = ± ( x + 2) £ 27 III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 2 2 Chứng minh: (ab + cd) £ (a + c )(b + d ) («) BĐT Bunhiacopxki («) Û a2b2 + 2abcd + c 2d2 £ a2b2 + a2d2 + c 2b2 + c2d2 Û a2d2 + c2b2 - 2abcd ³ Û ( ad - cb) ³ Chứng minh: sinx + cos x £ ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , sinx , , cosx : ° (12 + 12 ) ( sin2 x + cos2 x ) = 2 Cho 3a – 4b = Chứng minh: 3a + 4b ³ ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , a , , b : 2 3a + 4b £ ( + 4) ( 3a2 + 4b2 ) Û 3a + 4b ³ 725 2 Cho 2a – 3b = Chứng minh: 3a + 5b ³ 47 ÷ 2a - 3b = 3a5b ÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số , 3a , , 5b: ° sinx + cos x = sinx + cos x £ 3a + 4b = Dấu “ = “ xảy Û 2x + = – 2x Û x = 14 2 15 a2 + b2 + c2 (a, b, c cạnh DABC, R 2R bán kính đường trịn ngoại tiếp) Dấu “=” xảy nào? 36 (Đại học 2002 dự bị 3) Giả sử x, y hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = Tìm 4 giá trị nhỏ biểu thức: S= + x 4y 37 (Đại học 2002 dự bị 5) Giả sử a, b, c, d số nguyên thay đổi thoả mãn ≤ a < b < c < d ≤ 50 PHẦN II ĐỀ THI ĐẠI HỌC x+ y+ z£ Chứng minh bất đẳng thức: a c b2 + b + 50 + ³ b d 50b tìm giá trị nhỏ a c + b d 38 (Đại học 2002 dự bị 6) biểu thức: S = Gọi a, b, c độ dài cạnh BC, CA, AB ha, hb, hc tương ứng độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C Chứng minh rằng: 1ư ỉ 1 1ưỉ ç a + b + c ÷ç h + h + h ÷ ³ è øè a b c ø 39 (Đại học khối A 2003) Cho x, y, z số dương x + y + z £ Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC có diện tích x2 + + y2 + + z2 + Cho số x, y, z CMR: x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ³ y2 + yz+z2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) 3 Cho x, y, z > xyz = Chứng minh rằng: x + y + z ³ x + y + z (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) Cho số dương x, y, z thoả x + y + z £ Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức: A=x+y+z+ + + x y z (CĐSPHCM khối ABTDM 2006) Cho x, y hai số thực dương thoả x + y = Tìm giá trị nhỏ 4 biểu thức: A = + x 4y (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Cho số dương a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức: a b c d + + + thỡ (x + 1) ỗ x2 + x + 1÷ ³ 16 è ø (CĐKTKTCN1 khối A 2006) Cho số dương a, b, c Ch minh rằng: ³ 82 x2 y2 z2 40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y = sin x + 41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2) Tính góc tam giác ABC, biết rằng: (1 ) ì 4p(p - a) £ bc ï í A B C 3-3 (2) ïsin sin sin = 2 ỵ a+b+ c BC = a, CA = b, AB = c, p = 42 (Đại học khối A 2005) 1 Cho x, y, z số dương thoả mãn : + + = x y z 20 (CĐGT II 2003 dự bị) cosx a+ b+ c a+b+ c a+b+ c + + ³9 a b c (CĐKTYTế1 2006) Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x + x = y + 12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: A = xy + x + 2y + 17 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = xyz 10 (Học viện BCVT 2001) Chứng minh với số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1 1 b c ỉ a thì: + b + c ³ 3ỗ a + b + c ữ a 3 3 ø è3 11 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) 2 Cho ba số dương a, b, c thoả a + b + c = Chứng minh: a b c 3 + + ³ 2 2 b +c c +a a +b 12 (ĐH Kiến trúc HN 2001) 17 13 14 15 16 a3 + b3 + c3 ³ 26 (ĐH Y HN 2000) Giả sử x, y hai số dương thoả điều kiện Cho a, b, c số dương a + b = c Ch minh rằng: a + b3 > c 20 (ĐHQG HN khối A 2000) Với a, b, c số thực thoả điều kiện a + b + c = Chứng minh a b c a b c rằng: +8 +8 ≥2 +2 +2 21 (ĐHQG HN khối D 2000) Với a, b, c số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc Chứng b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 + + ³ ab bc ca 22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) minh rằng: Cho số a, b thoả điều kiện a + b ≥ Ch minh rằng: 23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) Cho số a, b, c Chứng minh BĐT: 18 a3 + b3 ỉ a + b ỗ ữ ố ứ ( b c a 17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh rằng: a b - + b a - £ ab (*) 18 (ĐH Vinh khối A, B 2001) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2 thì: 3a + 3b + 3c + 4abc ≥ 13 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2 (a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥ 1+ abc a b c + + b c a 2 a) a + b + c ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca) ≥ 3abc(a + b + c) 24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) Cho số dương a, b, c thoả điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ bc ca ab biểu thức: P = + + 2 a b + a c b c + b a c a + c 2b 25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Chứng minh với số dương a, b, c ta có: ìa2 + b2 + c2 = ï Cho số a, b, c thoả: í ïab + bc + ca = ỵ 4 4 4 Chứng minh: - £ a £ ; - £ b £ ; - £ c £ 3 3 3 (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Cho DABC có cạnh a, b, c p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 ỉ 1 1ư + + 2ỗ + + ữ p-a p-b p-c ốa b cø (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Cho số x, y, z > Chứng minh rằng: y x z 1 + + £ 2+ 2+ 2 x +y y +z z +x x y z (ĐH PCCC khối A 2001) Ch minh với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ thì: logb+ c a + logc + a b + loga+ b c > (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) Ch minh với x ≥ với a > ta ln có: xa + a – ≥ ax Từ chứng minh với số dương a, b, c thì: ) 3 + = Tìm giá trị nhỏ x y tổng x + y 27 (ĐH An Giang khối D 2000) c+1 c+1 c–1 c–1 Cho số a, b, c ≥ Chứng minh: a +b ≥ ab(a +b ) 28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) 18xyz CMR với x, y, z dương x + y + z = xy + yz + zx > + xyz 29 (ĐH An Ninh khối A 2000) n+1 n Chứng minh với số nguyên n ≥ ta có: n > (n + 1) 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Cho số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 a + b = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = a + + b + 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chứng minh BĐT sau luôn với số thực x, y, z 1 khác không: + + ³ x y z x + y + z2 BĐT cuối ln Þ BĐT cần chứng minh 32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Cho số a, b, c khác Chứng minh: a2 + b2 b c 33 (ĐH Hàng hải 1999) Cho x, y, z ≥ x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x y z 1 + + £ £ + + 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 1+ x 1+ y 1+ z + c2 a ³ a b c + + b c a 34 (ĐH An ninh HN khối D 1999) Cho số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1] Chứng minh rằng: 3 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ (*) 35 (Đại học 2002 dự bị 1) Gọi x, y, z khoảng cách từ điểm M thuộc miền DABC có góc nhọn đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: 19 b d b d + < + =1 b+ c+ d d+ a+b b+ d b+ d Cộng vế theo vế BĐT ta đpcm (CĐKT Cao Thắng khối A 2006) ổ ổ1 2ỗ + + 1ữ 16 (1) (x + 1)2 ỗ + 1ữ ³ 16 Ta có: (x + 1) è x2 x ø èx ø ỉ1 2 Û (x + 1) ỗ + 1ữ (do x > 0) Û (x + 1) ³ 4x Û (x – 1) ³ (2) èx ø (2) nên (1) chứng minh (CĐKTKTCN1 khối A 2006) b c a c a b Xét vế trái BĐT cho: VT = 1+ + + + 1+ + + + a a b b c c æ b a ö æ c a ö æ c bö = + ỗ + ữ+ỗ + ữ+ỗ + ữ ốa bứ èa cø èb cø Do a, b, c > nên theo BĐT Cơsi ta có: b a b a b c b c c a c a + ³ = 2; + ³ = 2; + ³2 =2 a b a b c b c b a c a c Khi đó: VT ³ + + + = (đpcm) (CĐKTYTế1 2006) 2 y £ 0, x + x = y + 12 Þ x + x – 12 £ Þ – £ x £ 3 y = x + x – 12 Þ A = x + 3x – 9x – Đặt f(x) = A = x + 3x – 9x – với – £ x £ f¢(x) = 3x + 6x – ; f¢(x) = Û x = x = – f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20 Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10) (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Ta có: x + y + z ³ 3 xyz Û xyz ³ 3 xyz Û (xyz) ³ 27 Û xyz ³ 3 Dấu "=" xảy Û x = y = z = Vậy minA = 3 10 (Học viện BCVT 2001) Ta có hàm số f(x) = x hàm nghịch biến nờn: 1ử ổ (a b) ỗ a - b ÷ ≤ 0, "a, b ø è3 a b b a Þ + b £ a + b , "a, b (1) a 3 3 b c b c Tương tự: b + c £ c + b (2) 3 3 24 1 + + £1 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z 43 (Đại học khối B 2005) Chứng minh với x Ỵ R, ta có: Chứng minh rằng: x x x ỉ 12 ö æ 15 ö æ 20 ö x x x ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ³3 +4 +5 ø ø è ø è è Khi đẳng thức xảy ra? 44 (Đại học khối D 2005) Cho số dương x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh rằng: 1+ x + y + y + z3 + z3 + x + + ³3 xy yz zx Khi đẳng thức xảy ra? 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Cho số x, y, z thoả x + y + z = CMR: 46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2) + 4x + + 4y + + 4z ³ y ưỉ ỉ Chứng minh với x, y > ta có: (1+ x ) ỗ 1+ ữ ỗ 1+ ữ 256 x ứỗ yữ ố ố ứ ng thc xy nào? 47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1) Cho số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: a + 3b + b + 3c + c + 3a £ Khi đẳng thức xảy ra? 48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Chứng minh £ y £ x £ x y - y x £ Đẳng thức xảy nào? 49 (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Cho x, y, z số dương xyz = CMR: x2 y2 z2 + + ³ + y 1+ z + x 50 (Đại học khối A 2006) Cho số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi thoả mãn điều kiện: 2 (x + y)xy = x + y – xy 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: A = + x y 51 (Đại học khối B 2006) Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= ( x - 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 + y - 21 LỜI GIẢI f¢(t) = – Theo BĐT Côsi: ³ x + y + z ³ 3 xyz > Û ỉ ổy zử BC = ỗ - ữ + ỗ (y + z) ữ = y2 + yz+z2 ỗ ữ è 2ø è ø Với điểm A, B, C ta ln có: AB + AC ≥ BC x+ Þ x2 + xy + y2 + x2 + xz+z2 ³ y2 + yz+z2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006) x + y + z ³ 3 x3 y3z3 Þ 2(x + y + z ) ³ 3 3 3 x + + ³ x3 Þ x + ³ 3x (1) 3 Tương tự: y + + ³ y Þ y + ³ 3y(2) 3 (3) z + + ³ z Þ z + ³ 3z Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy bất đẳng thức cần chứng minh (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006) · Cách 1: Theo BĐT Côsi: ³ x + y + z ³ 3 xyz > 3 1 + + ³ x y z A ³ 3 xyz + Từ đó: Đặt: t = 3 3 xyz xyz 3 với < t £ t 22 y+ ³ , 9y z+ xyz ³3 ³ 9z 1ö æ 1ö æ ö æ 1 1ö ổ 10 T ú: A= ỗ x + ữ + ỗ y + 9y ữ + ỗ z + 9z ữ + ỗ x + y + z ÷ ³ + 9x ø è xyz è ø ø è è ø 1 Dấu "=" xảy x = y = z = Vậy Amin = 10 đạt x = y = z = 3 (CĐSPHCM khối ABT 2006) Ta có: x + y = Û 4x + 4y – = 4 4 A= + = + 4x+ + 4y - Þ A ³ 4x + 4y – 4y x 4y x 4y x ÞA³5 xyz , điều kiện: < t £ Xét hàm số f(t) = 3t + ³ , 9x · Cách 2: 2 ổ 1ự < 0, "t ẻ ỗ 0; ú è 3û Vậy Amin = 10 đạt x = y = z = ỉ zư ổ z = x + xz + z2 ỗx + ữ + ỗ ỗ ữ ữ 2ứ ố è ø AC = t Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ³ 10 Dấu "=" xảy x = y = z = 2 3(t - ) ỉ yử ổ x+ ữ +ỗ y = x2 + xy + y2 ỗ ỗ ữ ữ 2ứ ố ố ø AB = t = Bảng biến thiên: (CĐGT II 2003 dự bị) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét điểm: ỉ ỉ y 3 ổy z z ữ , B ỗ 0; y+ z ữ , C ỗ - ;0 ữ Aỗx + ; ỗ ữ ỗ ữ 2 ứ ø è2 ø è è Ta có: ì4 ï x = 4x ï ìx = ï = 4y ï ï Û í Dấu "=" xảy Û í 4y ïy = ï î ïx + y = ï ï x,y > ỵ (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006) Vì a, b, c, d > nên ta ln có: a c a c + < + =1 a+ b+ c c+ d+ a a+ c a+ c 23 Vậy Amin = c é ù êỉ a æ b ö æ c ö ú +ỗ ữ +ỗ ữ ỳ ỗ ữ ờố b ø ècø èaø ê ú ë û Cộng BĐT trên, vế theo vế, ta có: 3 3ù é êỉ a ỉ b ỉ c ú 3 é a b c ự ỗ ữ +ỗ ữ +ỗ ữ ú+ ³ ê + + ú+ êè b ø 2 ëb c ả ècø èà ê ú ë û 3 + a 3a b £ + a 3c c + = c 3a a (3) a b c a + b b + c b c 1 ổ a 3ỗ a + b + c ÷ £ a + b + c 3 ø 3 è3 Dấu “=” xảy Û a = b = c = 11 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2) Hay a b-1 b a -1 + £1Û ab ab Theo BĐT Cơsi ta có: + (4) 3 3 3c Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được: b c 1ư ỉ a ổ ỗ a + b + c ữ Ê (a + b + c) ỗ a + b + c ÷ 3 ø 3 ø è3 è3 Mặt khác: ỉ a ư2 ỉ b ư2 ỉ c ử2 a b c Suy ra: ỗ ữ + ç ÷ + ç ÷ ³ + + b c a èbø ècø èaø 17 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) BĐT (*) Û 3c a 1ỉ 1ư 1ỉ 1ư ç 1- ÷ + a ç - a ÷ £ bè bø è ø ỉ 1ư + 11ổ 1ử b ỗ b ữ ố ứ= 1- ữ Ê bỗ bứ 2 ố (1) ổ 1ử + ỗ 1- ữ 1ổ 1ử a ố a ứ 1Ê = aỗ aữ 2 ố ứ Cộng BĐT lại ta BĐT cần chứng minh 1 ì1 ï b = 1- b = ï Dấu “=” xảy Û í Û a = b = ï = 1- = ïa a ỵ 18 (ĐH Vinh khối A, B 2001) Ta có: – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > Do theo BĐT Cơsi ta có: 2 a b a b ỉ a ư3 ỉ b ö3 a b + = Þ < , < ị ỗ ữ +ỗ ữ > + = Từ giả thiết ta có: c c c c c c ècø ècø 28 b2 + c2 = a 1- a = a2 a(1- a2 ) (1) 3 æ 2a2 + (1- a2 ) + (1- a2 ) ỉ 2ư Mà 2a (1 – a ) ỗ ữ =ỗ ữ ỗ ữ ố3ứ ố ø 2 2 Þ a (1 – a ) ≤ (2) Þ a(1 – a ) ≤ 27 3 2 a a b +c ³ 3 a b c 3 3 + ³ (a + b2 + c2 ) = 2 c2 + a2 a2 + b2 2 ì 2a = 1- a ï ï Dấu “=” xảy Û í 2b2 = 1- b2 Û a = b = c = ï 2 ï 2c = 1- c î 12 (ĐH Kiến trúc HN 2001) ì(a + b)2 - 2ab = - c ì ï ïa2 + b2 + c2 = Û í Ta có: í ïc(a + b) + ab = ïab + bc + ca = ỵ ỵ Do đó: a Từ (1), (2) suy ra: æ - 2a + - 2b + - 2c ö (3 2a)(3 2b)(3 2c) ỗ ữ =1 è ø Þ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ Û 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ Û 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14 2 2 2 Û 3(a + b + c ) + 4abc ≥ 3(a + b + c ) + 6(ab + bc + ca) – 14 = 3(a + b +c) – 14 = 13 Đẳng thức xảy Û – 2a = – 2b = – 2c Û a = b = c = 19 (ĐH Y Thái Bình khối A 2001) 2 Do a + b + c = nên (vì a + b + c = 1) b2 + c + ìa + b = S (S – 4P ≥ 0) Ta xem hệ phương trình a, b đặt í ỵab = P ìS2 - 2P = - c2 (1) ï í (2) ùcS+P =1 ợ T (2) ị P = cS, thay vào (1) ta được: Ta hệ: 25 éS = -c - 2 2 S – 2(1 – cS) = – c Û S + 2cS + c – = Û ê ëS = -c + 2 · Với S = – c – Þ P = + c(c + 2) = c + 2c + 2 BĐT: S – 4P ≥ Û (–c – 2) – 4(c + 2c + 1) ≥ Û –3c – 4c ≥ Û - £ c £ (3) · Với S = –c + Þ P = – c(–c + 2) = c – 2c + 2 BĐT: S – 4P ≥ Û (–c + 2) – 4(c – 2c + 1) ≥ Û –3c + 4c ≥ Û 0£c£ (4) 4 Từ (3), (4) ta được: - £c£ 3 4 Tương tự ta chứng minh được: - £ a,b,c £ 3 13 (Học viện NH TPHCM khối A 2001) Trước hết, ta dễ dàng chứng minh x, y > thì: 1 + ³ (1) x y x+y Dấu “=” xảy Û x = y 1 4 Áp dụng (1) ta được: + ³ = p-a p-b p-a+p-b c 1 4 + ³ = p-b p- c p-b+p-c a 1 4 + ³ = p-c p-a p-c+p- a b Cộng BĐT vế theo vế, ta được: ỉ 1 ỉ 1 1ử + + 2ỗ ữ ỗ + + ÷ Û đpcm èa b cø èp- a p-b p-cø Dấu “=” xảy Û a = b = c 14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Áp dụng BĐT Côsi cho số dương x , y ta có: x x £ = x + y ≥ x3 y2 = 2xy x Þ 2xy x xy x +y Áp dụng BĐT Côsi cho số dương x , 26 y2 ta có: 1ổ 1ử x 1ổ 1ử Ê ỗ + 2ữ ị Ê ỗ + 2ữ ỗx ữ ỗx xy ố 2ố y ứ x +y y ÷ ø Tương tự ta có: y 1ỉ 1ư z 1ỉ 1ư Ê + Ê ỗ + ữ; 3 ữ z + x 2 ỗ z2 x ữ 2ỗ y y +z z ứ ố ứ è Suy ra: x x +y + y y +z + z z +x £ x + y + z2 ì x3 = y ì y = z2 ì z3 = x ï ï ï Dấu “=” xảy Û í í í Û x=y=z=1 ïx = y ïy = z ïz = x ỵ ỵ ỵ 15 (ĐH PCCC khối A 2001) Trước a > 1, x > hàm số y = loga x đồng biến dương Do hàm số y = logxa = nghịch biến loga x Vì vai trị a, b, c nhau, nên ta giả thiết a ≥ b ≥ c Ta được: VT= logb+ c a + logc+ a b + loga +b c ³ loga +b a + loga +b b + loga+ b c = loga +b abc Vì a, b, c ≥ nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b Do VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001) · Xét f(x) = xa – ax + a – (x ≥ 0) –1 f¢(x) = Û x = f¢(x) = a(xa – 1); Vậy với "x ≥ a > f(x) ≥ hay xa + a – ≥ ax · BĐT cần chứng minh: 3 ỉ a ư2 ỉ b ư2 ổ c ử2 a b c ỗ ữ +ỗ ữ +ỗ ữ + + b c a ốbứ ốcứ èaø Áp dụng BĐT chứng minh với a = , ta có: 3 ỉ a ư2 a ổ b ử2 b ỗ ữ + ; ỗ ữ + ; bø 2 b 2 c è ècø Mặt khác, theo BĐT Cơsi ta có: 27 ỉ c ử2 c ỗ ữ + 2 a èaø 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) ỉ y z2 æ x z2 ö æ x y BT cn chng minh ỗ 1+ + ữ + ỗ + 1+ ữ + ỗ + + 1ữ ỗ ữ ỗy ữ ỗz ữ x x ứ ố y ứ ố z è ø ỉ y z2 ỉ x z2 ỉ x y Û + ỗ + ữ+ỗ + ữ+ỗ + ữ ỗx x ữ çy y ÷ çz z ÷ è ø è ø è ø 32 (ĐH Y Dược TP HCM 1999) Áp dụng BĐT Cơsi ta có: * * a2 + b a b2 c + c2 a ³ 33 2 a + 1³ ; b b a b + 1³ ; c c b2 (1) c b a2 a2 b2 c2 =3 b2 c2 a2 + 1³ c a c2 a2 b2 c2 a b c + + b c a b c a 33 (ĐH Hàng hải 1999) + + ³ 2 · Do (x – 1) ≥ nên x + ≥ 2x Û 2y Tương tự ta có: 2x Do đó: Hay: 1+ x x + (2) + y + 1+ y 2y 1+ y z + £ 2x 1+ x ≤ 1; 2z + z2 ≤1 2z + z2 ≤1 ≤3 Þ 2 (1+ x) + (1+ y) + (1+ z) ≤2 £ (1+ x)(1+ y)(1+ z) ≤ 1 + + 1+ x 1+ y 1+ z 32 b2 + 2a2 = ab b2 + 2a2 đpcm Û x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ³ Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: 2 2 2 3(x + 2y ) = 3(x + y + y ) ≥ (x + y + y) Þ x2 + 2y2 ³ (x + 2y) Viết BĐT tương tự, cộng lại, ta có: x2 + 2y2 + y2 + 2z2 + z2 + 2x2 ³ (3x + 3y + 3z) = 3 Đẳng thức xảy Û x = y = z = Ûa=b=c=3 22 (ĐH Bách khoa HN khối A 2000) a3 + b3 ỉ a + b 3 ỗ ữ 4(a + b ) (a + b) è ø 2 2 Û (a + b) [4(a + b – ab) – (a + b + 2ab)] ≥ 2 Û (a + b)(3a + 3b – 6ab) ≥ Û (a + b)(a – b) ≥ BĐT cuối đúng, nên BĐT cần chứng minh Đẳng thức xảy Û a = ± b 23 (ĐHSP TP HCM khối DE 2000) 2 2 2 a) a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; c + a ≥ 2ca 2 Þ a + b + c ≥ ab + bc + ca Đẳng thức xảy Û a = b = c 2 2 b) (ab + bc + ca) = (ab) + (bc) + (ca) + 2(abbc + bcca + caab) ≥ ≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) 24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 29 Ta có: (1) 1+ x 1+ y 1+ z · Áp dụng BĐT Côsi cho số khơng âm ta có: 1 + + 1 1+ x 1+ y 1+ z ³3 = (1+ x)(1+ y)(1+ z) (1+ x)(1+ y)(1+ z) 2 1 = + 2 a2b2 a2 b 1 Đặt x = ; y = ; z = a b c ìa,b,c > ì x,y,z > giả thiết í Û í ỵab + bc + ca = abc ỵx + y + z = Ta có: ỉa b cư Þ + + 2ỗ + + ữ - èb c aø b c a Kết hợp (1) (2) ta được: ỉ a2 b2 c2 ỉa b cử 2ỗ + + ữ 2ỗ + + ữ ỗb ữ ốb c aứ c a ø è Þ Từ suy ra: a + b3 > c 20 (ĐHQG HN khối A 2000) a b c Đặt x = , y = , z = x, y, z > a+b+c Đ.kiện a + b + c = Û xyz = = 1, theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3 Mặt khác: x + + ≥ 3x Þ x ≥ 3x – 3 Tương tự: y ≥ 3y – 2; z ≥ 3z – 3 Þ x + y + z ≥ 3(x + y + z) – = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z a b c a b c Þ8 +8 +8 ≥2 +2 +2 21 (ĐHQG HN khối D 2000) 1 a2 Ta có: = = = a b + a2c a2 (b + c) a2 ỉ + + ỗb cữ b c ố ứ bc 27 (ĐH An Giang khối D 2000) c c c+1 c+1 c–1 c–1 Giả sử a ≥ b ≥ Þ a (a – b) ≥ b (a – b) Þ a +b ≥ ab(a +b ) 28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000) Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có: = x + y + z + x + y + z ≥ xyz (1) bc 1 ;y= ; z= a b c ìa, b, c > ì x,y,z > x2 y2 z2 Û í giả thiết í P = + + y+z z+x x+y ỵabc = î xyz=1 Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: Đặt x = æ x y z ö + z + x + x + y (y + z + z + x + x + y).P ỗ y + z ữ ç y+z z+x x+y÷ è ø 1 Þ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z) Þ P ≥ (x + y + z) ≥ 33 xyz = 2 ÞP≥ Nếu P = x = y = z = Þ a = b = c = 3 Đảo lại, a = b = c = P = Vậy minP = 2 25 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) (a + 1).(b + 1).(c + 1) = + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ ≥ ( + 3 abc + a2b2c2 + abc = 1+ abc ) Đẳng thức xảy Û a = b = c > 26 (ĐH Y HN 2000) ( 2+ ) ( Þx+y≥ ( Giá trị ổ ổ 3ử =ỗ x+ y ữ Ê ỗ + ữ (x + y) = 6(x + y) ỗ x ữ y ốx yø è ø 2+ ) 2+ ) Vậy min(x + y) = (xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx > 18xyz (vì +xyz > 0) + xyz 29 (ĐH An Ninh khối A 2000) 4 Ta có: = 81, = 64 Þ > Þ BĐT cần chứng minh với n = n n 1ư ỉ ỉ n + 1ử Vi n > 3, pcm n > ỗ ữ ỗ 1+ ữ < n n ứ nứ ố ố n 1ử ổ ỗ 1+ ữ = ố nø Ta có: n å Ck nk n (1) = k=0 n n(n - 1 ) n(n - 1) (n - n + 1) + + n + n 2! n n! n - 1ỉ ỉ ưỉ ỉ =1+1+ ỗ 1- ữ + + ỗ 1- ữỗ 1- ữ ỗ 1- n 1ữ < 2! è n ø n! è n øè n ø è n ø 1 1 + + < + + + + n-1 < (4) Cộng BĐT (3) (4) vế theo vế ta được: ì ì : x= : y ï ïx = y ï x ï Ûí đạt Û í ï ï 2+ ïy = ïx + y = ỵ ỵ ( 5+ 6 ) 2( + 3) 3( + 3) 1ử ổ ị ỗ 1+ ữ < < n Þ (1) nø è 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), ( a + 1, b + ), ta có: A = a + + b + ≤ mà a + b = nên A ≤ Dấu “=” xảy Û Vậy maxA = 30 (1+ 1)(a + 1+ b + 1) a+1= b+1 Û a = b Û a = b = a = b = 31 ( a + b = 1) Đặt Q(t) = 9t + 9 æ 1ù æ 1ự ịQÂ(t) = < 0, "tẻ ỗ 0; ỳ ịQ(t) gim trờn ỗ 0; ỳ t ố 9û è 9û t ỉ 1ư Þ Q(t) ³ Q ç ÷ = 82 Vậy P ³ Q(t) ³ 82 è 9ø Dấu "=" xảy Û x = y = z = · Cách 2: Ta có: 2 ỉ 1 1ư ỉ 1 1ö 2 (x + y + z) + ç + + ÷ = 81(x + y + z) + ỗ + + ữ 80(x + y + z) èx y zø èx y zø æ 1 1ử 18(x + y + z) ỗ + + ÷ – 80(x + y + z) ³ 162 – 80 = 82 èx y zø Vậy P ³ 82 Dấu "=" xảy Û x = y = z = 40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1) · Tìm max: y = sin x + Ta chứng minh: Û cosx ≤ sin x + cosx ≤ sin x + (1 – cosx) – sin x ≥ Û cosx (1) , "x Ỵ R (2) (1 – cosx) – (1 – cos x) ≥ 2 Û (1 – cosx).[ – (1 – cosx)(1 + cosx) ] ≥ (3) Theo BĐT Cơsi ta có: (1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤ 2 ≤ Vậy BĐT (3) Þ (2) Þ y ≤ Û x = k2p Vậy maxy = , "x Dấu “=” xảy cosx = cosx ≥ – sin x + Tương tự trên, ta miny = – 41 (Đại học khối A 2003 dự bị 2) cosx , đạt x = p + k2p (a + b + c)(b + c - a) (b + c)2 - a2 2bc(1+ cos A) £1 Û £1Û £1 bc bc bc A A A £ Û sin2 ³ Û sin ³ (do < 4 2 Biến đổi vế trái (2) sau: A B C Aổ B-C B+C sin sin sin = sin ỗ cos - cos ÷ ≤ 2 2 2è 2 ø Û cos2 36 A p < ) 2 35 (Đại học 2002 dự bị 1) x+ y+ z= ≤ a ax + b by + ổ 1 1ử ỗ a + b + c ÷ 2S = è ø c (3) Aổ Aử sin ỗ 1- sin ữ = 2è 2ø cz ≤ ỉ 1 1ư ç a + b + c ÷ (ax+by+cz) è ø ổ 1 abc ỗ a + b + c ÷ 2R = è ø ab + bc + ca 2R a2 + b2 + c2 2R ìDABC ìa = b = c Dấu “=” xảy Û í Û í x=y=z ỵ ỵM trùng với trọng tâm G DABC 36 (Đại học 2002 dự bị 3) 5.5 1 1 =5 · Cách 1: S = + + + + ≥ ³ x + x + x + x + 4y x x x x 4y x.x.x.x.4y ≤ · Tìm min: Ta có y = sin x + (1) Û 1ổ 32 < ỗ ữ = 2ố 3ø 27 1 £ + + (2) + x 1+ y 1+ z Kết hợp (1) (2) ta BĐT cần chứng minh 34 (ĐH An ninh HN khối D 1999) 3 Vì ≤ x, y, z ≤ nên x ≥ x ; y ≥ y ; z ≥ z 3 2 2 2 2 Suy ra: 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) Do ta chứng minh được: 2 2 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ (1) (*) 2 2 Ta có: (1 – y)(1 + y – x ) ≥ Û x + y – x y – ≤ (2) éy = ê Dấu “=” (2) xảy Û ê ì x = êí ëỵy = 2 Tương tự ta có: x +z –zx–1≤0 (3) 2 y +z –yz–1≤0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được: 2 2 2 2(x + y + z ) – (x y + y z + z x) ≤ Vậy (1) Þ (*) ;1 ),(1 ;0),(1 ;0;1),(0;1 )} ;1 Nhận xét: Dấu “=” (*) xảy Û (x; y; z) Ỵ {(1 ;1 ;1 Û ì1 ï x = 4y ìx = ï ï ï Û í minS = Û í x = 4y ïy = ï ỵ ïx + y = ï ỵ 33 · Cách 2: S = + = f(x), x - 4x 0 b (c, b Ỵ N) nên c ≥ b + thành thử: b + b2 + b + 50 a c = + ≥ + b 50 50b b d Vậy BĐT đề chứng minh ìa = ï Dấu “=” xảy Û íd = 50 ïc = b + ỵ S= Để tìm minS, ta đặt liên tục x: f(x) = b2 + b + 50 b 1 = + + xét hàm số có biến số 50b 50 b 50 x 1 + + (2 ≤ x ≤ 48) 50 x 50 1 x2 - 50 ; - = 50 x 50x Bảng biến thiên: f¢(x) = ì x2 = 50 ï Û x=5 f¢(x) = í ï £ x £ 48 ỵ Từ BBT suy b biến thiên từ đến 7, f(b) giảm chuyển sang tăng b biến thiên từ đến 48 Suy minf(b) = min[f(7); f(8)] 49 + 57 53 64 + 58 61 53 = = > Ta có f(7) = ; f(8) = 350 175 400 200 175 ìa = ïb = 53 ï í Vậy minS = 175 ïc = ïd = 50 ỵ 38 (Đại học 2002 dự bị 6) 1 Ta có diện tích tam giác: S = aha = bhb = chc 2 2S 2S 2S ; hb = ; hc = Þ = a b c 1 1 Þ (a + b + c) + + = hb hc 2S 1ư ỉ 1 1ửổ ổ 1 1ử ị ỗ + + ữỗ (a + b + c) ỗ + + ÷ + + ÷= è a b c ø è hb hc ø 2S èa b cø æ 1 1ư Áp dụng BĐT Cơsi ta có: (a + b + c) ỗ + + ữ ốa b cø 1ư ỉ 1 1ưỉ + + , nờn ta cú: ỗ + + ữ ỗ ữ =3 ố a b c ứ è hb hc ø 39 (Đại học khối A 2003) r r r r r r Với u,v ta có: u + v £ u + v (*) S = r ỉ r ổ 1ử r ổ 1ử a = ỗ x; ữ ; b = ỗ y; ữ ; c = ỗ z; ÷ è xø è zø è ỳ r r r r r r r r r Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: a + b + c ³ a + b + c ³ a + b + c Đặt Vậy P = x + x2 + y + y2 + z + b2 + b + 50 (2 ≤ b ≤ 48, b Ỵ N) 50b 34 ³ z2 ỉ 1 1ử (x + y + z) + ỗ + + ÷ èx y zø 2 · Cách 1: ỉ 1 1ư Ta có: P³ (x + y + z) + ỗ + + ữ ốx y zø 2 Chuyển biểu thức f(b) = ( 33 ỉx+ y+zư với t = (3 xyz)2 ị < t Ê ỗ ữ Ê è ø 35 xyz ) 2 æ + ỗ 33 = 9t + ỗ xyz ÷ ÷ t è ø 49 (Đại học khối D 2005 dự bị 2) 2 =– 2 x 1+ y x 1+ y + ³2 =x 1+ y 1+ y Ta có: A B C 1ỉ 1ư 1 = - (4 - 3) Do (3) suy ra: sin sin sin Ê - ỗ ỗ 2ữ ữ 2 2è 8 ø y 1+ z y 1+ z + ³2 =y 1+ z 1+ z z2 1+ x z2 + x + ³2 =z 1+ x 1+ x Cộng bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có: ỉ x2 1+ y ỉ y 1+ z ổ z 1+ x + + + ỗ ữ+ỗ ữ+ỗ ữ x+y+z ỗ 1+ y ữ ỗ 1+ z ữ ỗ 1+ x ứ ố ø è ÷ è ø = x2 y2 z2 x+y+z 3(x + y + z) + + ³- +x+y+z ³ 4 + y 1+ z + x 4 3 3 ³ - = - = (vì x + y + z ³ 3 xyz = 3) 4 4 x2 y2 z2 + + ³ Vậy: + y 1+ z + x 50 (Đại học khối A 2006) · Cách 1: 1 1 Từ giả thiết suy ra: + = + x y x xy y Û 1 2 = a, = b, ta có: a + b = a + b – ab x y 3 2 A = a + b = (a + b)(a – ab + b ) = (a + b) Từ (1) suy ra: a + b = (a + b) – 3ab Đặt (1) x + y = x3 + y3 3 x y = (x + y)(x2 + y2 - xy) 3 x y 40 = (x + y)2 xy 3 x y = B-C ì ïcos = ìA = 1200 ï ï Dấu “=” xảy Û í Ûí ïB = C = 30 ïsin A = ỵ ï 2 ỵ 42 (Đại học khối A 2005) Với a, b > ta có: a+b 1ỉ 1ử Ê Ê ỗ + ữ 4ab Ê (a + b) Û a + b 4ab a + b 4è a bø Dấu "=" xảy a = b Áp dụng kết ta có: é 1 ỉ 1 ứ 1ỉ 1 1ỉ 1 1ư £ ç + + ÷ £ ê + ç + ÷ú = ỗ + ữ 2x+y+z ố 2x y + z ø è x 2y 2z ø ë 2x è y z ø û Tương tự: 1ỉ 1 é 1 ỉ 1 ửự 1ổ 1 Ê ỗ + + ữ Ê + ỗ + ữỳ = ỗ + x + 2y + z è 2y x + z ø ë 2y è x z ø û è y 2z 1ỉ 1 é 1 ỉ 1 ứ 1ỉ 1 Ê ỗ + + ữ Ê + ỗ + ữỳ = ỗ + x + y + 2z è 2z x + y ø ë 2z è x y ø û è z 2x (1) 1ư ÷ (2) 2x ø 1ư ÷ (3) 2y ø Vậy: x S2 Ta có: SP = S – 3P Û P = S+ 3 -3 1 1ỉ 1 + + Ê ỗ + + 1ữ = 2x+y+z x + 2y + z x + y + 2z è x yz ø Ta thấy bất đẳng thức (1), (2), (3) dấu "=" xảy x = y = z Vậy đẳng thức xảy x = y = z = 43 (Đại học khối B 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: ỉ a + bư 2 Vỡ ab ỗ ữ nờn a + b ≥ (a + b) – (a + b) è ø Þ (a + b) – 4(a + b) ≤ Þ ≤ a + b ≤ Suy ra: A = (a + b) ≤ 16 Với x = y = A = 16 Vậy giá trị lớn A 16 · Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy với S – 4P ³ T gi thit ị S, P A= 2 éỉ A 1ư 1ù 1ỉ A 1ư 1ổ A Aử - sin ữ = ờỗ sin - ữ - ỳ = - ỗ sin - ữ sin ỗ ờố 2ứ 4ỳ 2ố 2ø 2è 2ø ë û (x + y)2 2 x y x ỉ 12 ỉ 15 ổ 12 ỗ ữ +ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ố ø Tương tự ta có: x x ỉ 15 ỗ ữ ố ứ x x ị x ổ 12 ổ 20 x ỗ ữ +ỗ ữ ³ 2.4 è ø è ø x æ 12 ổ 15 x ỗ ữ + ỗ ÷ ³ 2.3 è ø è ø x x ổ 15 ổ 20 x ỗ ữ +ỗ ữ 2.5 ố ứ ố ứ (2) 37 (1) (3) Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), chia vế bất đẳng thức nhận cho ta có đpcm Đẳng thức xảy Û (1), (2), (3) đẳng thức Û x = 44 (Đại học khối D 2005) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có: 1+ x + y ³ xy + x + y ³ 3 1.x3 y3 = 3xy Û 3 + y + z3 ³ yz Tương tự: Mặt khác Þ xy + + yz + 3 + zx 1+ z3 + x3 ³ zx (2); yz ³ 33 ³3 3 xy 3 yz zx (3) xy (1) zx · Cách 2: (4) xy yz zx Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm Đẳng thức xảy Û (1), (2), (3), (4) đẳng thức Û x = y = z = 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Ta có: Þ Tương tự: Vậy x 3+4 =1+1+1+4 ³4 x x x 3+ ³ y x 8 38 8 + 4x + + 4y + + 4z ³ é 4x + 4y + 4z ù ³ 4x.4y.4z ê ú ë û ³6 24 4x + y + z = 46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ta có: 1+x=1+ 1+ 1+ y x x x x3 + + ³ 44 3 3 y y y y y3 =1+ + + ³ 44 3 3x 3x 3x x x =1+ y + y + y ³ 44 33 y3 ổ 36 ị ỗ 1+ ữ 164 ỗ yữ y ố ứ y ửổ x3 y3 36 ổ Vy: (1+ x ) ỗ 1+ ữ ỗ 1+ ữ 256 3 = 256 x ứỗ yữ ố 3 x y è ø 47 (Đại học khối B 2005 dự bị 1) · Cách 1: 38 z= 3 a + 3b Þ x = a + 3b; c + 3a Þ z = c + 3a 3 y= b + 3c Þ y = b + 3c; 3 Þ x + y + z = 4(a + b + c) = = BĐT cần ch minh Û x + y + z £ Ta có: x + + ³ x3 1.1 = 3x; y + + ³ 3 y3 1.1 = 3y; 3 + 4z ³ 4z 3+ ³ ; Đặt x = 3 z + + ³ z3 1.1 = 3z 3 Þ ³ 3(x + y + z) (vì x + y + z = 3) Vậy x + y + z £ x =2 y a + 3b + 1+ 1 = (a + 3b + 2) 3 (b + 3c).1.1 £ b + 3c + 1+ = (b + 3c + 2) 3 (c + 3a).1.1 £ c + 3a + 1+ = (c + 3a + 2) 3 1é ù Suy ra: a + 3b + b + 3c + c + 3a £ [ 4(a + b + c) + 6] £ ê + 6ú = 3 3ë û ì ïa + b + c = Dấu "=" xảy Û í Ûa=b=c= 4 ï ỵa + 3b = b + 3c = c + 3a=1 (a + 3b).1.1 £ Ta có: ì x = y = z3 = ìa + 3b = b + 3c = c + 3a=1 ï ï Û í Dấu "=" xảy Û í 3 ïa + b + c = ïa+b+c= ỵ ỵ Ûa=b=c= 48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Ta có: £ x £ Þ x ³ x 1 x y -y x £ Û x y £ +y x (1) 4 1 1 Theo BĐT Cơsi ta có: y x + ³ yx2 + ³ yx2 = x y Þ x y - y x £ 4 4 ì ï0 £ y £ x £ ï Û Dấu "=" xảy Û í x = x2 ï ï yx2 = ỵ ìx = ï í ïy = ỵ 39 ịA= S2 ổS+ 3ử =ỗ ữ ố S ứ P 2 Đk: S – 4P ³ Û S – ỉ S-1ư 4S2 S-1 ³ Û S ỗS+ 3ữ (vỡ Sạ0) è ø S+ S+ éS < -3 Û (*) ởS S+ -3 ị h = < 0, "S thoả (*) Đặt h = f(S) = S S Từ bảng biến thiên, ta có: < h £ h ¹ 1, "S thoả (*) 1 Mà A = h Þ MaxA = 16 x = y = (S = 1, P = ) · Cách 3: 1 x+y 3y ỉ >0 >0Þ + = (x + y)xy = ỗ x - ữ + x y xy 2ø è A= x + y = x3 + y3 3 x y ổ 1ử = ỗ + ữ ị èx yø A= 1 + x y a3 + b3 ỉ a + bư Dễ chứng minh được: ç (với a + b > 0) ÷ £ è ø dấu "=" xảy a = b 1 Áp dụng với a = , b = , ta có: x y 3 ỉ 1ử ổ 1ử ổ 1ử + ữ ỗ ữ +ỗ ữ ỗx y x ố y ứ ổ A Ê A A Ê 16 ỗ ữ Êố ứ ỗ ỗ ữ ữ 2 ç ÷ è ø ç ÷ è ø 1 Dấu "=" xảy = = Vậy Max A = 16 x y · Cách 4: A= 43 S2 P , suy A= S 3S = P S - SP 41 P 1S2 - SP P 2 (chia cho S ) S – 4P ³ Û S – ³ ³ Û 1- S ³ Û S Nên: A = S2 £ 16 Vậy Max A = 16 (khi x = y = P 51 (Đại học khối B 2006) Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y) Do OM + ON ≥ MN nên: ( x - 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 ) ³ + 4y2 = 1+ y2 Do đó: A ≥ 1+ y + y - = f(y) · Với y ≤ Þ f(y) = 1+ y2 + – y Þ f¢(y) = 2y y2 + ìy ³ ï Ûy= 1+ y Û í 2 ï 4y = 1+ y ỵ Do ta có bảng biến thiên f¢(y) = Û 2y = · Với y ≥ Þ f(y) ≥ 1+ y2 ≥ > + với số thực x, y A = + Khi x = y = Vậy A ≥ + Nên giá trị nhỏ A + 42 –1 ... 37 (1) (3) Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), chia vế bất đẳng thức nhận cho ta có đpcm Đẳng thức xảy Û (1), (2), (3) đẳng thức Û x = 44 (Đại học khối D 2005) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số... 2y + z x + y + 2z è x yz ø Ta thấy bất đẳng thức (1), (2), (3) dấu "=" xảy x = y = z Vậy đẳng thức xảy x = y = z = 43 (Đại học khối B 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có: ỉ a... xy 3 yz zx (3) xy (1) zx · Cách 2: (4) xy yz zx Cộng bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm Đẳng thức xảy Û (1), (2), (3), (4) đẳng thức Û x = y = z = 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Ta