Luyện tập bất đẳng thức

Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1... Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1.. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a... Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a... Chứng minh BĐ

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki

2 Chứng minh: sinx cosx+ £ 2

II Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1 Chứng minh: (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 + + + ³ ³

2 Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c 0 2 ³ ³

3 Chứng minh: (1 a 1 b 1 c+ )( + )( + )³ +(1 3abc với a , b , c ³ 0 )3

x 1 , "x > 1 c)

+

³+

2 2

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ³ 4 với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số)

b a b c 3 abc + + ³ 3 với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số )

x 2 Định x để y đạt GTLN

38 Cho

=+

2 3 2

xy

Định x để y đạt GTLN

2 Chứng minh: (a b c)(a+ + 2+b2+c ) 9abc ; a,b,c 0 2 ³ ³

÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

3 thì y đạt GTNN bằng

-362

ê

=êë

2

30 1x

2 thì y đạt GTNN bằng

+

30 13

21 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

a a b c d 4 abcd + + + ³ 4 với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số)

2 3 2

xy

3 2

III Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1 Chứng minh: (ab + cd)2 £ (a2 + c2)(b2 + d2) («) BĐT Bunhiacopxki

(«) Û a b2 2+2abcd c d+ 2 2£a b2 2+a d2 2+c b2 2+c d 2 2

Û a d2 2+c b2 2-2abcd 0 Û ³ (ad cb- )2³0

2 Chứng minh: sinx cosx+ £ 2

÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :

° sinx cosx+ = 1 sinx 1 cosx+ £ (1 1 sin x cos x2+ 2) 2 + 2 )= 2

+ ++ + £ a2 b2 c2

b d

38 (Đại học 2002 dự bị 6)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ

-=ïî

2 (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng: x3 + y3 + z3 ³ x + y + z

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz

Ch minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì: logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c 1 >

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

Ch minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: xa + a – 1 ≥ ax

Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

27 (ĐH An Giang khối D 2000)

Cho các số a, b, c ≥ 0 Chứng minh: ac + 1 + bc + 1 ≥ ab(ac – 1 + bc – 1)

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác không: + + ³

Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10)

9 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)

Ta có: x + y + z ³ 33xyz Û xyz ³ 33xyz Û (xyz)2 ³ 27 Û xyz ³ 3 3

48 (Đại học khối B 2005 dự bị 2)

Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì x y y x- £ 1

4 Đẳng thức xảy ra khi nào?

z3 + 1 + 1 ³ 33 3z Þ z3 + 2 ³ 3z (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

3Xét hàm số f(t) = 3t + 3

t với 0 < t £

13

f¢(t) = 3 – 32

t =

-2 2

3Bảng biến thiên:

1 3

Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ³ 10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

3Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z = 1

3.Vậy Amin = 10 đạt được khi x = y = z =

13

Þ A ³ 5

Dấu "=" xảy ra Û

ì =ïï

ïíï

ï + =ï

ï >

î

4 4xx

1 4y4y5

x y4x,y 0

Û

=ìïí

=ïî

x 11y4 Vậy Amin = 5

ï = - =ïî

Þ 27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1

Û 27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1

Û 4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

Û 3(a2 + b2 + c2) + 4abc ≥ 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) – 14

= 3(a + b +c)2 – 14 = 13 Đẳng thức xảy ra Û 3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c Û a = b = c = 1

ïî

(a b) 2ab 2 cc(a b) ab 1

Ta xem đây là hệ phương trình của a, b và đặt ì + =

14 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương x3, y2 ta có:

Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c Ta được:

VT= logb c+ a log+ c a+ b log+ a b+ c log³ a b+ a log+ a b+ b log+ a b+ c log= a b+ abc

Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b

Do đó VT ≥ loga+babc > loga+b(a + b) = 1

16 (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)

· Xét f(x) = xa – ax + a – 1 (x ≥ 0) f¢(x) = a(xa – 1 – 1); f¢(x) = 0 Û x = 1

Vậy với "x ≥ 0 và a > 1 thì f(x) ≥ 0 hay xa + a – 1 ≥ ax

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

b 1 2b

c

2 2

c 1 2c

aa

x,y,z 0

x y z 1

và đpcm Û x2+2y2+ y2+2z2 + z2+2x2 ³ 3 Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

3(x2 + 2y2) = 3(x2 + y2 + y2) ≥ (x + y + y)2

Þ x2+2y2 ³ 1 (x 2y)+

3Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có:

3Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 1

Û (a + b) [4(a2 + b2 – ab) – (a2 + b2 + 2ab)] ≥ 0

Û (a + b)(3a2 + 3b2 – 6ab) ≥ 0 Û (a + b)(a – b)2 ≥ 0 BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng

≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)

24 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

î

a, b, c > 0 abc = 1 Û

>

ìíî

x,y,z 0xyz=1 và P = + + + + +

y z z x x yTheo BĐT Bunhiacopxki ta có:

ïí

ï + =î

=ïïí

+

ï =ïî

2( 2 3)x

63( 2 3)y

28 (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)

Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:

2 = x + y + z + x + y + z ≥ 63xyz (1)

và xy + yz + zx ≥ 33x y z 2 2 2 (2) Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được:

2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3) Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4) Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được:

(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx >

n

11

n = å=n k

n k

k 0

1C

Þ æç + ö÷

n

11

2 ( do a + b = 1) Vậy maxA = 6 khi a = b = 1

2

Þ Q(t) ³ Qæ öç ÷1

9 = 82 Vậy P ³ Q(t)³ 82 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 1

Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 1

3

40 (Đại học khối A 2003 dự bị 1)

· Tìm max: y = sin5x + 3 cosx ≤ sin4x + 3 cosx (1)

Ta chứng minh: sin4x + 3 cosx ≤ 3 , "x Î R (2)

Û 3 (1 – cosx) – sin4x ≥ 0 Û 3 (1 – cosx) – (1 – cos2x)2 ≥ 0

Û (1 – cosx).[ 3 – (1 – cosx)(1 + cosx)2 ] ≥ 0 (3)

Theo BĐT Côsi ta có:

(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1

2(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤

· Tìm min: Ta có y = sin5x + 3 cosx ≥ – sin4x + 3 cosx

Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x = p + k2p

Do đó nếu ta chứng minh được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 (1) thì (*) đúng

Ta có: (1 – y)(1 + y – x2) ≥ 0 Û x2 + y2 – x2y – 1 ≤ 0 (2)

Dấu “=” ở (2) xảy ra Û

=é

êì =êí

êî =ë

y 1

x 1

y 0Tương tự ta cũng có: x2 + z2 – z2x – 1 ≤ 0 (3)

y2 + z2 – y2z – 1 ≤ 0 (4) Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:

2(x2 + y2 + z2) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 Vậy (1) đúng Þ (*) đúng

2RDấu “=” xảy ra Û ìí = =

= =î

ïï =íï

ï + =ïî

x 4y

x 4y5

x y4

Û

=ìïí

=ïî

x 11y4

< <

ï

x (5 4x)5

ï + =ïî

x x 2 y y5

x y4

Û

=ìïí+ =ïî

x 4y5

x y4

Û

=ìïí

=ïî

x 11y4

Dấu “=” xảy ra Û

=ì

ï =í

ï = +î

£ £ïî

2

2 x 48 Û =x 5 2 Bảng biến thiên:

ï =ï

í =ï

ï =î

99tt

Dấu "=" xảy ra Û

ïí+ + =ï

a 3b b 3c c 3a=1

3a+b+c=

Þ A = = çæ + ö÷

2 2

SP

S2 – 4P ³ 0 Û S2 – 4S2-SP

3 ³ 0 Û

-

-P1S

í

= +

y 04y 1 y Û y =

13

Do đó ta có bảng biến thiên như trên

· Với y ≥ 2 Þ f(y) ≥ 2 1 y ≥ 2 5 > 2 + 3 + 2

Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y

Khi x = 0 và y = 1

3 thì A = 2 + 3 Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3