A. ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính lôgic, lượng kiến thức rất rộng. Bản thân mỗi người giáo viên, học sinh không phải ai cũng giỏi tất cả các chuyên đề, mà mỗi người có những sở trường riêng. Một trong những chuyên đề mà tôi thấy học sinh, và ngay cả giáo viên đang còn lúng túng khi đi tìm ra lời giải. Chuyên đề này cũng là chuyên đề mà tôi rất thích. Chính những lí do trên nên trong quá trình giảng dạy cũng như đọc tài liệu tôi đã tập hợp được: “ Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng”
A ĐẶT VẤN ĐỀ Tốn học mơn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính lôgic, lượng kiến thức rộng Bản thân người giáo viên, học sinh giỏi tất chuyên đề, mà người có sở trường riêng Một chuyên đề mà thấy học sinh, giáo viên lúng túng tìm lời giải Chuyên đề chun đề mà tơi thích Chính lí nên q trình giảng dạy đọc tài liệu tập hợp được: “ Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng” B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Với mục đích cho học sinh biết số phương pháp để chứng minh ba điểm thẳng hàng Nội dung chủ yếu viết số kinh nghiệm thân rút trình giảng dạy trực tiếp mơn Tốn trường THCS Bình Lương Qua tập tơi cho học sinh nhận xét, tìm mối liên hệ yếu tố Sau gợi ý cho học sinh tìm nhiều cách giải Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lý Phát cách giải tương tự khái quát phương pháp đường lối chung Trong đề tài, tơi chọn lọc số tốn SGK SBT, ngồi mở rộng đơn vị kiến thức số đề thi vào 10 năm số tài liệu nâng cao Đề tài áp dụng cho đội tượng trung bình, (mơn hình học) học sinh bậc THCS II THỰC TRẠNG CỦA VIỆC CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG - Việc bồi dưỡng cho học sinh giỏi chưa có kế hoạch, hệ thống từ lớp nhỏ đến lớp lớn Chỉ đến lớp bắt đầu ôn cho em - Địa phương vùng đặc biệt khó khăn (vùng 30A), việc quan tâm đến học hành em hạn chế tinh thần vật chất - Kiến thức em rỗng nhiều, đồ dùng học tập thiếu Kỹ vẽ hình, chứng minh hạn chế - Dạng tốn đưa vào SGK dạng tập, không đưa phương pháp chứng minh cụ thể đầy đủ Qua khảo sát chất lượng 29 em trường THCS Bình Lương(nói riêng chun đề này) tơi thấy: - Đa số em chưa biết cách chứng minh ba điểm thẳng hàng - Tỉ lệ yếu nhiều, giỏi Bảng khảo sát trước nghiên cứu: Mức độ hiểu học sinh TT Số lượng Khá TB Yếu SL % SL % SL % 29 6,9 13,8 23 79,3 Các giải pháp thực - Qua tiết dạy lớp, tiết ôn tập, tiết bồi dưỡng - Chọn phương pháp phù hợp với nội dung tiết dạy - Qua ví dụ minh hoạ cung cấp cho học sinh phương pháp chứng minh Các biện pháp để tổ chức thực 2.1 Lý thuyết - Học sinh ôn tập kiến thức tất khối lớp 2.2 Các phương pháp chứng minh Chú ý: Hình vẽ đóng vai trò quan trọng q trình giải tốn: * Hình vẽ xác, rõ ràng giúp học sinh nhanh chóng tìm lời giải + Tránh vẽ vào trường hợp đặc biệt + Khi vẽ hình phải vẽ hết trường hợp tốn + Sau vẽ hình xong nên đánh dấu giả thiết lên hình vẽ Như việc chứng minh đơn giản a) Phương pháp 1: Sử dụng góc kề bù Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, kéo dài trung tuyến BD đến F cho DF = BD trung tuyến CE đến G cho CE = EG Chứng minh rằng: G, A, F thẳng hàng Lời giải 1: Sử dụng cách 1: Ta chứng minh cho ∠ GAC + ∠ FAC = 1800 A G E B F D C Chứng minh: Xét ∆ AEG ∆ BEC có: AE = EB ( gt ), cạnh EC = EG ( gt ) ∠ AEG = ∠ BEC ( đối đỉnh ) => ∆ AEG = ∆ BEC ( c.g.c) => ∠ GAB = ∠ CBA ( góc tương ứng ) Tương tự: ∠ FAC = ∠ BCA Suy ra: ∠ GAB + ∠ BAC + ∠ FAC = ∠ CBA + ∠ BAC + ∠ ACB = 1800 (Tính chất tổng ba góc tam giác) => ba điểm G, A, F thẳng hàng Lời giải 2: Sử dụng cách Nhận xét: Ta nhận thấy AG AF song song vói BC Ta chứng minh Chứng minh: Xét ∆ AEG ∆ BEC có: AE = EB ( gt ), cạnh EC = EG ( gt ) ∠ AEG = ∠ BEG => ∆ AEG = ∆ BEC( c.g.c)=> ∠ GAB = ∠ CBA (2 góc tương ứng) => GA // BC (1) Tương tự: AF // BC (2) Từ (1) (2) suy G, A, F thẳng hàng Lưu ý: Nếu HS lớp lớp ta yêu cầu hs thêm cách khác (chứng minh tứ giác AGBC AFCB hình bình hành => có cạnh song song => góc so le => đến kết luận cách 1) b) Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-clit (Chỉ có đường thẳng qua điểm nằm đường thẳng song song với đường thẳng đó) Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Các tia phân giác góc A D cắt I, tia phân giác góc B C cắt J Gọi M N trung điểm AD BC Chứng minh rằng: Bốn điểm M, N, I, J thẳng hàng Lời giải: A B I M J N P D Q C Nhận xét: - Nhận thấy đoạn thẳng qua điểm M, N, I, J song song với CD Ta chứng minh - Bài toán có liên quan đến trung điểm đoạn thẳng nên ta nghĩ đến kiến thức đường trung bình tam giác hình thang Chứng minh: Kéo dài AI cắt CD P Ta có: Aˆ1 = Aˆ (gt) mà Aˆ = Pˆ1 ( AB // CD) => Aˆ1 = Pˆ1 (= Aˆ ) => ∆ ADP tam giác cân Có DI đường phân giác suy DI đường trung tuyến => I trung điểm AP Vậy MI đường trung bình tam giác ADP => MI // DP hay MI // CD (1) Tương tự: NJ // CD (2) Mặt khác MN đường trung bình hình thang ABCD suy MN // CD (3) Từ (1), (2) (3) suy M, N, I, J thẳng hàng Kết luận: Qua ví dụ ví dụ ta thấy: Ta nghĩ đến cách hình vẽ mà có đường thẳng song song với đường thẳng qua điểm cần chứng minh thẳng hàng c) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng Ví dụ 3: Cho đường tròn ( O ), đường kính AB Kẻ hai dây cung AC BD song song với Chứng minh rằng: C, O, D thẳng hàng Lời giải: D A B O C Nhận xét: Ta thấy ba điểm C, O, D khơng thẳng hàng mà điểm O có vị trí đặc biệt trung điểm CD Và CD đường chéo hình chữ nhật ACBD ( dự đốn ) Ta chứng minh cho ACBD hình chữ nhật Chứng minh: Ta có: ∠ ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Vì AC // BD => ∠ ADB = ∠ DAC = 900 ( góc phía) Tương tự: ∠ ACB = ∠ CBD = 900 Vậy ACBD hình chữ nhật ( có góc vng ) Mà O trung điểm AB, suy O trung điểm CD => C, O, D thẳng hàng Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, có O điểm tam giác Gọi L, M, N, D, E, F trung điểm AO, BO, CO, BC, AC, AB Gọi I giao điểm DL NF Chứng minh rằng: Ba điểm E, I, M thẳng hàng Lời giải: A L O E F I N C M D B Nhận xét: - Ta dự đốn thấy ba điểm E, I, M khơng thẳng hàng mà điểm I có vị trí đặc biệt trung điểm ME Và ME đường chéo hình bình hành EFMN Ta chứng minh cho EFMN hình bình hành - Bài tốn có liên quan đến trung điểm đoạn thẳng nên ta nghĩ đến kiến thức đường trung bình tam giác Chứng minh: Xét ∆ OAB có: OL = AL (gt) ON = NC (gt) => NL đường trung bình tamgiác OAB AC (t/c đường trung bình) (1) Tương tự: DF // AC DF = AC (2) Từ (1), (2) => NL = DF (= AC) NL // DF (cùng // AC) => DFLN hình => NL // AC NL = bình hành => DL NF cắt trung điểm I đường Tương tự EFMN hình bình hành Mà I trung điểm NF => I trung điểm ME hay M, I, E thẳng hàng d) Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân A Phân giác BD CE Gọi I, J trung điểm BC ED Gọi O giao điểm BD CE Chứng minh rằng: a) BEDC hình thang cân b) BE= ED = DC c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng Giải: A J E O B I D 2 C 1 Bˆ ) 2 Xét ∆ ABD ∆ ACE có: AB = AC (gt), ∠ A chung ∠ B1 = ∠ C1 (c/m trên) AE AD = => ∆ ABD = ∆ ACE => BD = CE(1) AE = AD => (vì AB = AC) AB AC a) Ta có: ∆ ABC cân => ∠ B = ∠ C => ∠ C1 = ∠ B1 (= Cˆ = => ED // BC (định lí đảo định lí ta-let) => BEDC hình thang có BD = CE (c/m trên) => BEDC hình thang cân b) Có ED // BC => ∠ D1 = ∠ B2 mà ∠ B2 = ∠ B1 => ∠ D1 = ∠ B1 => ∆ BED cân => BE = ED Mặt khác: BE = DC (BEDC hình thang cân) Vậy BE = ED = DC c) Lời giải 1: Nhận xét: Nhận thấy điểm A, J, O, I cách đầu mút B C đoạn thẳng BC Ta chứng minh bốn điểm nằm đường trung trực BC Chứng minh: ∆ ABC cân => AB = AC => Điểm A thuộc đường trung trực BC (1) Ta có: ∆ BEJ = ∆ CDJ ( BE = CD; ∠ BED = ∠ CDE BEDC hình thang cân, EJ = DJ ) => JB = JC => Điểm J thuộc đường trung trực BC (2) ∆ BOC cân ( ∠ C2 = ∠ B2) => OB = OC => Điểm O thuộc đường trung trực BC (3) Vì IB = IC => điểm I thuộc đường trung trực BC (4) Từ (1), (2), (3), (4) => Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng Lời giải 2: Chứng minh: Ta có: - ∆ ABC cân A, có AI đường trung tuyến => AI đường phân giác ∠ BAC (4) - Xét ∆ ABC có O giao điểm tia phân giác BD CE => AO tia phân giác ∠ BAC (5) (tính chất đường phân giác tam giác) - ∆ AED cân A, có AJ đường trung tuyến => AJ đường phân giác ∠ BAC (6) Từ (4), (5), (6) => Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng Ví dụ 6: Cho góc xOy 900 Lấy điểm M thuộc tia Ox, hai điểm A B thuộc tia Oy Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng qua B vng góc BM P Gọi H giao điểm AP MB Gọi K giao điểm AM BP Gọi I, E, N trung điểm MP, AB KH Chứng minh ba điểm I, E, N thẳng hàng P y B K E I N H A O M x Giải: Xét ∆ vng PBM có BI đường trung tuyến => BI = Tương tự AI = PM (1) PM (2).Vậy AI = BI => I thuộc đường trung trực AB Tương tự N thuộc đường trung trực AB EA = EB => E thuộc đường trung trực AB Vậy ba điểm I, E, N thẳng hàng (cùng thuộc vào đường trung trực AB) Kết luận: - Trong trường hợp mà hình vẽ có đoạn thẳng nhận đường thẳng qua điểm cần chứng minh thẳng hàng làm đường trung trực ta sử dụng cách vd - Trong trường hợp mà hình vẽ có đường thẳng qua điểm cần chứng minh thẳng hàng tia phân giác góc ta sử dụng cách vd e) Phương pháp 5: Sử dụng đường đồng quy tam giác Ví dụ 7: Trên cạnh AB, AC tam giác ABC phía ngồi tam giác, dựng hình vng ABDE, ACPG Từ E G kẻ EI // AG GI // AE Đường cao AH a) Chứng minh rằng: I, A, H thẳng hàng b) Gọi giao điểm BP CD O Chứng minh rằng: H, A, O thẳng hàng Giải: I G E A P N D M B O Q2 H C a) Ta có: EI // AG GI // AE => AGIE hình bình hành => ∠ IEA + ∠ EAG = 1800 (1) Mặt khác: ∠ EAG + ∠ EAB + ∠ BAC + ∠ CAG = 3600 , mà ∠ EAB = ∠ CAG = 900 suy ra: ∠ EAG + ∠ BAC = 1800 (2) Từ (1), (2) suy ra: ∠ IEA = ∠ BAC Xét ∆ EAI ∆ ABC có: IE = AC (= AG), EA = AB ∠ IEA = ∠ BAC (vừa c/m) => ∆ EAI= ∆ ABC (c.g.c) => ∠ A1 = ∠ ABC (2 góc tương ứng) (3) Mà: ∠ ABC + ∠ A3 = 900 (4) Từ (3), (4) => ∠ A1 + ∠ A3 = 900 => ∠ A1 + ∠ A3 + ∠ A2 = 900 + 900 = 1800 Hay I, A, H thẳng hàng b) Ta chứng minh cho CD, BP IH đường cao tam giác IBC Gọi Q giao điểm IH CD Gọi M giao điểm IB DC, gọi N giao điểm IC va BP Ta có: ∠ BAI = ∠ A1 + ∠ A2 = ∠ A1 + 900 (5) ∠ DBC = ∠ DBA + ∠ ABC = 900 + ∠ ABC (6) Từ (3), (5), (6) => ∠ BAI = ∠ DBC Xét ∆ BAI ∆ DBC có: ∠ BAI = ∠ DBC (c/m trên), BA = DB (gt), AI = BC (vì ∆ EAI = ∆ ABC) => ∆ BAI = ∆ DBC (c.g.c) => ∠ BIA = ∠ BCD Xét ∆ QHC có: ∠ BCD + ∠ Q2 = 900 => ∠ BIA + ∠ Q2 = 900 mà ∠ Q2 = ∠ Q1 => ∠ BIA + ∠ Q1 = 900 (7) Tam giác MIF có: ∠ BIA + ∠ Q1 + ∠ IMQ = 1800 (8) Từ (7) (8) suy ∠ IMQ = 900 hay CM ⊥ IB => CM đường cao ∆ IBC Tương tự ta có: BN đường cao tam giác IBC Xét ∆ IBC có CM BN đường cao cắt O => Điểm O thuộc vào đường cao IH => H, I, O thẳng hàng Mà: I, A, H thẳng hàng => H, A, O thẳng hàng Kết luận: Nếu ta thấy hình vẽ mà điểm cần chứng minh thẳng hàng nằm loại đường(đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) ta nghĩ đến phương pháp g) Phương pháp 6: Sử dụng góc Ví dụ 8: Cho tam giác ABC vuông A, cạnh huyền BC = AB Lấy D điểm thuộc cạnh AC cho: cho ∠ ACE = ∠ ABD = ∠ ABC Gọi E điểm cạnh AB ∠ ACB Gọi F giao điểm BD CE Gọi G H theo thứ tự điểm đối xứng F qua BC AC Chứng minh rằng: Ba điểm H, D, G thẳng hàng C G I D H F A E B Chứng minh: AB AB = = => ∠ ACB = 300 => ∠ ABC = 600 => BC AB 1 ∠ ABD = ∠ ABC= 200 ∠ ACE = ∠ ACB = 100 Vậy ∠ CBD = 400 3 Xét ∆ ABC ta có: Sin C = H, F đối xứng qua AC => AC đường trung trực HF => CH = CF => ∆ CHF tam giác cân, có CA đường cao => CA đường phân giác => ∠ HCA = ∠ ACE = 100 Tương tự: CF = CG ∠ BCE = ∠ BCG = 200 Vậy CH = CG (= CF) => ∆ CHG cân có : ∠ HCG = ∠ HCA + ∠ ACB + ∠ BCG = 100 + 300 + 200 = 600 => ∆ CHG tam giác => ∠ CHG = 600 (1) Ta có: CH = CF; DH = DF DC chung => ∆ CHD = ∆ CFD (c.c.c) => ∠ CHD = ∠ CFD Mà ∠ CFD = ∠ BFE (đối đỉnh) (2) Mặt khác: ∆ BFC thì: ∠ BFE = ∠ BCE + ∠ CBD = 200 + 400 = 600 (3) Từ (2), (3) suy ∠ CHD = 600 (4) Từ (3) (4) suy H, D, G thẳng hàng h) Phương pháp 7: Phương pháp chứng minh hai góc đối đỉnh Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) cho AB ≠ CD AC phân giác góc BAD Gọi H, I, K hình chiếu điểm C AB, BD, AD Chứng minh H, I, K thẳng hàng Giải: A O B I K D H C Ta có: ∠ CID = ∠ CKD =900 ⇒ Tứ giác CIKD nội tiếp đường tròn đường kính CD ⇒ ∠ KID = ∠ KCD (cùng chắn cung) (1) Ta có: ∠ CIB = ∠ CHB = 900 ⇒ Tứ giác CHBI nội tiếp đường tròn đường kính BC ⇒ BIH = ∠ BCH (cùng chắn cung) (2) Vì AC phân giác ∠ BAD ⇒ CH = CK (3) cung nhỏ BC = cung nhỏ CD ⇒ BC = CD (4) ∠ CHB = ∠ CKD (5) Từ (3), (4) (5) ⇒ ∆ BHC = ∆ DKC ⇒ ∠ BCH = ∠ KCD(5) Từ (1) ,(2) (5) ⇒ ∠ KID = ∠ BIH mà B, I, D thẳng hàng ⇒ Ba điểm H, I, K thẳng hàng Một số tập vận dụng 10 Câu 1: Cho góc vng xOy, điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy Đường trung trực đoạn thẳng OA cắt Ox D, đường trung trực đoạn thẳng OB cắt Oy E Gọi C giao điểm hai đường trung trực Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Câu 2: Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Gọi E F điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh rằng: E, A, F thẳng hàng Câu 3: Cho hình bình hành ABCD Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ A C đến đường chéo BD Gọi O trung điểm HK Chứng minh rằng: A, O, C thẳng hàng Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M điểm thuộc cạnh BC Gọi MD đường vng góc kẻ từ M đến AB, ME đường vng góc kẻ từ M đến AC, O trung điểm DE Chứng minh ba điểm A, O, M thẳng hàng Câu 5: Cho hình thoi ABCD tâm O Gọi E điểm đối xứng A qua B, ED cắt AC I BC F Gọi G H theo thứ tự giao điểm cặp đường thẳng OE BC; OF CE Chứng minh rằng: Ba điểm A, G, H thẳng hàng Câu 6: Cho tam giác ABC có góc nhọn B B = Cˆ Dựng đường cao AH Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BH Gọi I trung điểm AC Chứng minh rằng: Ba điểm E, H, I thẳng hàng Câu 7: Cho đường thẳng a b cắt O, đường thẳng a đặt liên tiếp đoạn thẳng OA = AB = BC Trên đường thẳng b đặt liên tiếp đoạn LO = OM = MN Gọi I giao điểm MC AL Chứng minh rằng: Ba điểm N, I, B thẳng hàng Câu 8: Cho tam giác ABC có đường cao AA, , BB , , CC , Chiếu A, lên AB, AC, BB , , CC , Chứng minh rằng: Bốn điểm I, J, K, L thẳng hàng Câu 9: Cho hình bình hành ABCD ; gọi H K trung điểm cạnh BC DC Gọi E điểm đối xứng A qua H Chứng minh D, C, E thẳng hàng Câu 10: Cho hình chữ nhật ABCD ; O giao điểm đường chéo, đường chéo AC lấy điểm M (M không trùng O) Gọi N điểm đối xứng B qua M Từ N kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng CD F, vẽ NE vng góc với AD E Chứng minh : Ba điểm E, F, M thẳng hàng Câu 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AB ≠ BC Trung tuyến AM, phân giác AD Gọi E giao điểm AD với (O) Chứng minh : Ba điểm O, M, E thẳng hàng Câu 12: Gọi AH đường cao thuộc cạnh huyền tam giác vuông ABC Gọi O, I, J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ABH AHC Chứng minh : O, I , B thẳng hàng O, J, C thẳng hàng Câu 13: Cho tam giác ABC vuông A Dựng miền ngồi tam giác ABC hình vng ABHK ACDE Chứng minh H, A, D thẳng hàng Câu 14: Cho hai đường tròn (O) (O') ngồi kẻ tiếp tuyến chung AB A'B' Các tiếp tuyến chung CD EF Các điểm A, A', C, E 11 thuộc đường tròn (O) Các điểm B, B', D, F thuộc đường tròn (O') Gọi M giao điểm AB EF N giao điểm A'B' CD Gọi H giao điểm MN OO' Chứng minh H, D, B thẳng hàng Câu 15: Cho hai đường tròn (O;R) (O';R') (R ≠ R') Kẻ tiếp tuyến chung AB CD, tiếp tuyến chung EF (Các điểm A, C, E ∈ (O); điểm B, D, F ∈ (O')) Hai tiếp tuyến cắt I, EO cắt (O) K Chứng minh : I, K, F thẳng hàng Câu 16: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) cho AB ≠ CD Gọi AC phân giác góc BAD Gọi H, I, K hình chiếu điểm C AB, BD, AD Chứng minh H, I, K thẳng hàng Câu 17: Cho ba điểm có toạ độ A(1;4), B(-3;-8), C(0;1) Chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng Câu 18: Từ điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác hạ đường vng góc xuống cạnh tam giác Chứng minh rằng: Chân đường vng góc thẳng hàng (Đường thẳng gọi đường thẳng Sim son) Câu 19: Chứng minh rằng: trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp với tam giác thẳng hàng (Đường thẳng gọi đường Ơle) Câu 20: Cho M, N, P nằm cạnh AB, BC, CA (hoặc nằm đường thẳng chứa cạnh) tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để M, N, P thẳng hàng là: MA NB PC = (Định lí Mênêlauýt) MB NC PA 12 C KẾT LUẬN Bảng khảo sát sau nghiên cứu: TT Số lượng 29 Mức độ hiểu học sinh Khá TB Yếu SL % SL % SL % 24,1 14 48,3 27,6 Sau áp dụng sáng kiến trường THCS nơi công tác thì: Với cách đi, cách giảng học sinh tiếp thu kiến thức cách chủ động, không rơi vào trạng thái gò ép, giúp học sinh có hứng thú học môn Đa số em hiểu biết cách chứng minh ba điểm thẳng hàng Đối với học sinh, làm tốt dạng tốn mà giúp học sinh nắm sâu kiến thức từ lớp Vận dụng tốt vào chứng minh tập Biết cách suy luận từ toán đến toán mới, từ dễ đến khó qua hình thành phương pháp chứng minh Tuy nhiên kinh nghiệm hạn chế thân, trình đưa sáng kiến vận dụng cho học sinh không tránh khỏi sai sót Bản thân tơi nghiên cứu tập mà phạm vi kiến thức sách giáo khoa, sách tập, đề thi vào lớp 10 hàng năm số tài liệu nâng cao (Một số vấn đề nâng cao phát triển hình học 8, 9) Sáng kiến mở rộng khai thác nhiều với kiến thức rộng Chính tơi mong góp ý đồng nghiệp, hội đồng khoa học cấp để sáng kiến hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Như xuân, ngày 28 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác, Vi Đức Thiện 13 MỤC LỤC STT ĐỀ MỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ II THỰC TRẠNG CỦA VIỆC CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Các giải pháp thực Các biện pháp để tổ chức thực 2.1 Lý thuyết 2.2 Các phương pháp chứng minh a) Phương pháp 1: Sử dụng góc kề bù b) Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-clit c) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất hình bình hành, hình chữ nhật, hình vng d) Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng e) Phương pháp 5: Sử dụng đường đồng quy tam giác g) Phương pháp 6: Sử dụng góc h) Phương pháp 7: Phương pháp chứng minh hai góc đối đỉnh số tập vận dụng C KẾT LUẬN TRANG 2 2 3 10 10 13 14 ... vng d) Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng e) Phương pháp 5: Sử dụng đường đồng quy tam giác g) Phương pháp 6: Sử dụng góc h) Phương pháp 7: Phương pháp chứng minh hai... Gọi H, I, K hình chiếu điểm C AB, BD, AD Chứng minh H, I, K thẳng hàng Câu 17: Cho ba điểm có toạ độ A(1;4), B(-3;-8), C(0;1) Chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng Câu 18: Từ điểm nằm đường tròn ngoại... Các giải pháp thực Các biện pháp để tổ chức thực 2.1 Lý thuyết 2.2 Các phương pháp chứng minh a) Phương pháp 1: Sử dụng góc kề bù b) Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề Ơ-clit c) Phương pháp 3: Sử