Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 1 PHẦN 1: CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1/Định nghĩa 0 0 A B A B A B A B 2/Tính chất + A>B AB + A>B và B >C CA + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B và C > 0 A.C > B.C + A>B và C < 0 A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D 0 < A.C < B.D + A > B > 0 A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1 A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1 A m < A n +A < B và A.B > 0 BA 11 3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A n 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + 0A với A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + - A < A = A + A B A B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + BABA ( dấu = xảy ra khi A.B < 0) PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 0 với M Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2 2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3 2 (x + y + z) Giải: www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 2 a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = 2 1 .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx) = 2 1 0)()()( 222 zyzxyx đúng với mọi x;y;z R Vì (x-y) 2 0 với x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z) 2 0 với x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z) 2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz – 2yz = ( x – y + z) 2 0 đúng với mọi x;y;z R Vậy x 2 + y 2 + z 2 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 - 2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng : a) 2 22 22 baba ; b) 2 222 33 cbacba c) Hãy tổng quát bài toán Giải: a) Ta xét hiệu 2 22 22 baba = 4 2 4 2 2222 bababa = abbaba 222 4 1 2222 = 0 4 1 2 ba Vậy 2 22 22 baba . Dấu bằng xảy ra khi a=b b)Ta xét hiệu 2 222 33 cbacba = 0 9 1 222 accbba .Vậy 2 222 33 cbacba Dấu bằng xảy ra khi a = b =c c)Tổng quát 2 21 22 2 2 1 n aaa n aaa nn Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2 Bước 3:Kết luận A B www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 3 Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Giải: 01 4444 2 2 2 2 2 2 2 m m qmq m pmp m nmn m 01 2222 2222 m q m p m n m (luôn đúng) Dấu bằng xảy ra khi 01 2 0 2 0 2 0 2 m q m p m n m 2 2 2 2 m m q m p m n 1 2 qpn m Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : )( 444 cbaabccba Giải: Ta có : )( 444 cbaabccba , 0,, cba 0 0)2( )2()2( 0222 222 0222222 0 222 2 22 2 22 2 22 22222 2222222222 2 22 2 22 2 22 222 22 2 2222 2 2222 2 22 222444 222444 acabacbcbcabaccbba abaacba abcaccbacbcbbaaccbba abcacbbca caaccbcbbaba abcacbbcacba abcacbbcacba Đúng với mọi a, b, c. Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Nếu A < B C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B . Chú ý các hằng đẳng thức sau: 22 2 2 BABABA BCACABCBACBA 222 222 2 3223 3 33 BABBAABA Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng a) ab b a 4 2 2 b) baabba 1 22 c) edcbaedcba 22222 Giải: www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 4 a) ab b a 4 2 2 abba 44 22 044 22 baa 02 2 ba (BĐT này luôn đúng). Vậy ab b a 4 2 2 (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) b) baabba 1 22 )(21(2 22 baabba 012122 2222 bbaababa 0)1()1()( 222 baba Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy baabba 1 22 . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) edcbaedcba 22222 edcbaedcba 44 22222 044444444 22222222 cacadadacacababa 02222 2222 cadacaba Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 4488221010 babababa Giải: 4488221010 babababa 128448121210221012 bbabaabbabaa 0 22822228 abbababa a 2 b 2 (a 2 -b 2 )(a 6 -b 6 ) 0 a 2 b 2 (a 2 -b 2 ) 2 (a 4 + a 2 b 2 +b 4 ) 0 Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 và x y Chứng minh yx yx 22 22 Giải: yx yx 22 22 vì :x y nên x- y 0 x 2 +y 2 22 ( x-y) x 2 +y 2 - 22 x+ 22 y 0 x 2 +y 2 +2- 22 x+ 22 y -2 0 x 2 +y 2 +( 2 ) 2 - 22 x+ 22 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- 2 ) 2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= 01269 222 yxyyyx Ryx, b/ cbacba 222 (gợi ý :bình phương 2 vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: zyx zyx zyx 111 1 Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 5 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( zyx 111 )=x+y+z - ( 0) 111 zyx (vì zyx 111 < x+y+z theo gt) 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương. Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1 Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 21 ca c cb b ba a Giải: Ta có : )1( 11 cba a ba a cbaba cbaba Tương tự ta có : )2( cba b cb b , )3( cba c ca c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : 1 ca c cb b ba a (*) Ta có : )4( cba ca ba a baa Tương tự : )5( cba ba cb b , )6( cba bc ac c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : 2 ca c cb b ba a (**) Từ (*) và (**) , ta được : 21 ca c cb b ba a (đpcm) Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) xyyx 2 22 b) xyyx 22 dấu( = ) khi x = y = 0 c) xyyx 4 2 d) 2 a b b a Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: xyyx 4 2 Tacó abba 4 2 ; bccb 4 2 ; acac 4 2 2 ba 2 cb 2 ac 2 222 864 abccba (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : 0,ba , ta có: abba 2 . Dấu “=” xảy ra khi a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 6 n n n n nn n aaa aaa aaanaaa 21 21 2121 Dấu “=” xảy ra khi n aaa 21 Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm. Ví dụ 1 : Giải phương trình : 2 3 42 2 12 4 14 2 xx x x x x x Giải : Nếu đặt t =2 x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt 0,, 4 2 ba b a x x Khi đó phương trình có dạng : 2 31 11 baa b b a Vế trái của phương trình: 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 a b a b a b a b b a a b b a a b a b c b a a b b a a b b a a b 2 3 3 11 3 .113 2 1 3 3 baba baba Vậy phương trình tương đương với : 0142111 xbababa xx . Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P = 111 z z y y x x Giải : P = 3- ( 1 1 1 1 1 1 zyx ) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 3 3 9a b c abc a b c a b c abc a b c a b c a b c Suy ra Q = 1 1 1 1 1 1 zyx 4 9 -Q 4 9 nên P = 3 – Q 3- 4 9 = 4 3 Vậy max P = 4 3 .khi x = y = z = 3 1 . Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: abc cba abcacbbca 2 111 222 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 7 acab bca bca bcabca 11 2 112 2 2 2 Tương tự : 22 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 22 2 2 2 2 b ac bc ab c ab ac bc b ac c ab abc a bc b ac c ab abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : 3 cba c bac b acb a (*) Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : )1( ))()(( 3 3 cbabacacb abc cba c bac b acb a Cũng theo bất đẳng thức Côsi : )2()( 2 1 ))(( cbacacbbacacb Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được )3(1 ))()(( ))()(( cbabacacb abc abccbabacacb Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều . Ví dụ 5: Cho zyx cba ,,0 0 . Chứng minh rằng: 2 2 4 zyx ac ca c z b y a x czby Giải: Đặt 0)()( 2 acxcaxxf có 2 nghiệm a,c Mà: 0)(0)( 2 acbcabbfcba zyxca c z b y a x aczcybxa zcaycaxca c z aczc b y acyb a x acxa yca b y acybca b ac b )()()( Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: )( 4 4 2 2 2 22 đpcmzyx ac ca c z b y a x aczcybxa zyxca c z b y a x aczcybxa zyxca c z b y a x aczcybxa Phương pháp 5: Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 8 Cho 2n số thực ( 2n ): nn bbbaaa , ,,,, , 2121 . Ta luôn có: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa Dấu “=” xảy ra khi n n b a b a b a 2 2 1 1 Hay n n a b a b a b 2 2 1 1 (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 ) Chứng minh: Đặt 22 2 2 1 22 2 2 1 n n bbbb aaaa Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng. Nếu a,b > 0: Đặt: ni b b a a i i i i , 2,1, , Thế thì: 22 2 2 1 22 2 2 1 nn Mặt khác: 22 2 1 iiii Suy ra: babababa nn nnnn 1) ( 2 1 ) ( 2 1 2211 22 2 2 1 22 2 2 12211 Lại có: nnnn babababababa 22112211 Suy ra: ) )( () ( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa Dấu”=” xảy ra n n nn ii b a b a b a dáucùng ni , ,2,1 2 2 1 1 11 Ví dụ 1 : Chứng minh rằng: Rx , ta có: 8 1 cossin 88 xx Giải: Ta có: Rxxx ,1cossin 22 Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có: 2 2 4 4 2 2 2 4 4 4 4 1 sin .1 cos .1 sin cos 1 1 11 sin cos sin cos 24 x x x x x x x x Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa: 2 4 4 8 8 2 2 4 4 1 1 1 sin .1 cos .1 sin cos 1 1 sin cos 4 4 8 x x x x x x Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của: ACCBBAP tan.tan1tan.tan1tan.tan1 Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: ), ,2,1)(, ,,( micba iii Thế thì: ) )( )( () ( 222111 2 212121 m m m m m m mmmmmm mmm cbacbacbacccbbbaaa www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 9 Dấu”=” xảy ra bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì i t sao cho: iiiiii ctcbtbata , ,, , Hay nnn cbacbacba ::: ::: :: 222111 Ví dụ 1: Cho 2, 3 22 2 2 1 nZn aaa n Chứng minh rằng: 2 1 32 21 n a aa n Giải: * Nk ta có: 2 1 2 1 1 4 1 11 2 2 kk k k 2 2 2 2 1 1 1 11 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 1 1 3 1 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 k kk n n n n Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski: 2 3 2 3 1 3 1 2 1 1 32 222 22 2 2 1 21 n aaa n a aa n n (đpcm) Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: 222222 )()( dcbadbca Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd 2222 . dcba mà 2222 22 2 dcbdacbadbca 22222222 .2 dcdcbaba 222222 )()( dcbadbca Ví dụ 3: Chứng minh rằng : acbcabcba 222 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 2 222222 .1.1.1)(111 cbacba 3 acbcabcbacba 2 222222 acbcabcba 222 Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép Kiến thức: a)Nếu n n bbb aaa 21 21 thì n bababa n bbb n aaa nnnn . 22112121 . www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập online Page 10 Dấu „=‟ xảy ra khi và chỉ khi n n bbb aaa 21 21 b)Nếu n n bbb aaa 21 21 thì n bababa n bbb n aaa nnnn . 22112121 Dấu „=‟ xảy ra khi và chỉ khi n n bbb aaa 21 21 Ví dụ 1: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và . 3 2 sinsinsin 2sin.sin2sin.sin2sin.sin S CBA CCBBaA S là diện tích tan giác. chứng minh rằng ABC là tam giác đều. Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư . 2 0 CBA Suy ra: CBa CBA 2sin2sin2sin sinsinsin Áp dụng BĐT trebusep ta được: )2sin2sin2(sin 3 1 sinsinsin 2sin.sin2sin.sin2sin.sin 2sin.sin2sin.sin2sin.sin3 2sin2sin2sinsinsinsin CBA CBA CCBBAA CCBBAA CBACBA Dấu „=‟ xảy ra dêuABC CBA CBA 2sin2sin2sin sinsinsin Mặt khác: )2(2sin sin).sin2)(sin2( sinsinsin4sin.sin2.sin2 )cos()cos(sin2cos)cos(sin2 2sin)cos().sin(22sin2sin2sin SCbaCBRAR CBABAC BABACCBAC CBABACBA Thay (2) vào (1) ta có . 3 2 sinsinsin 2sin.sin2sin.sin2sin.sin S CBA CCBBaA Dấu „=‟ xảy ra ABC đều. Ví dụ 2(HS tự giải): a/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: 9 111 cba b/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z )1)(1)(1(4 zyx c/ Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: 2 3 ba c ac b cb a [...]... sin x , n , x R+ Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng Kiến thức: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p q” Muốn chứng minh p q (với p... dụ2: Chứng minh rằng: f x, y x 2 y 4 2 x 2 2 y 2 4 xy x 2 4 xy 3 Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x2 y4 2 x2 2 y2 4 y2 1 y2 Ta có x 2 4 xy 3 4 xy 2 4 y2 y2 1 2 2 ( y 2 1) 2 x 2 0 16 y 2 4 y 1 y x 4 y2 0 0 2 Vì a = y 2 1 0 vậy f x, y 0 (đpcm) Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n n0 ta thực hiện các bước sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức. .. b d 998 a c b 1 = d c Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 u2 un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak ak 1 Khi đó :S = a1 a2 a2 a3 an an 1 a1 an 1 (*) Phương pháp chung về tính tích... ak 1 ) 1 ) 2 Bất đẳng thức đúng với n= k+1 Vậy theo nguyên lý quy nạp: (1 a1 )(1 a 2 )  (1 a n ) Ví dụ 5: Cho 1 n (a1b1 a 2 b2 , ai , bi  a n bn ) 2 (a12 R, i 2 a2 1 2 1,2, , n Chứng minh rằng: 2  a n )(b12 2 b2 2  bn ) Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k ( k ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (a1b1 a 2 b2  a k bk ) 2 (a12 2 a2 2  a k )(b12 2 b2  bk2 ) n= k+1 Ta cần chứng minh: (a1b1 a... =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi n n0 1 12 Ví dụ1: Chứng minh rằng : 1 4 Giải: Với n =2 ta có 1 2 1 22 1 2 1 n2 1 n 2 n N; n 1 (1) (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng...  a k 1bk 1 ) 2 2 (a1b1 a 2 b2  a k bk ) a k 1bk 1 2 a k 1 bk2 1 Vậy (1) được chứng minh Ví dụ 6: Cho 1 n , ai , bi R, i 1,2, , n Chứng minh rằng: ( a2  an 2 ) n a1 a12 2 2 a2  an n Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k ( k ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: ( a1 a2  ak 2 ) k 2 2 a2  ak k a12 n= k+1 Ta cần chứng minh: ( Đặt: a VP (1) a2 1 k 1 a3 (a12 1 a12 (k 1) 2 a12  ak k k 2a2 k2 a1 a12... chứng minh Ví dụ 7: Chứng minh rằng: Giải: n=2 n n 4 (n 1) n 1 nn (n 1) n 1 , n nn (n 1) n ,n 2 1 3 n=k 2 : giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k k (k 1) k 1 n= k+1:Ta c ó: k k (k 1) k 1 (k 1) k 1 (k 1) k 1 (k 1) 2k 2 (k 1) 2 [(k 1) 2 ] k 1 (k (k 2 2k ) k 1 (k 2 2k ) (vì (k 1) 2 k 2 2k 1 k 2 2k ) Bất đẳng thức đúng với n= k+1 (k 1) k 1 (k 2) k k k (k 2) k n n 1 Vậy n (n 1) , n , n 2 Ví dụ 8: Chứng minh. .. akb bk 1 ak 0 4 Ta chứng minh (3) (+) Giả sử a b và giả thiết cho a ak b k bk ak bk a b -b bk a b (+) Giả sử a < b và theo giả thiết ak bk a b (3) 0 a b 0 - a . a, b, c. Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng 0) PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 0 với M. c=b=999 Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. (*) Phương pháp chung