Một số PP chứng minh bất đẳng thức

Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 1 CHUYÊN ĐỀ 8 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC: 1.  a 2  0 với mọi a  R. Dấu "=" xãy ra  a = 0  -a 2  0 với mọi a  R. Dấu "=" xãy ra  a = 0  a  0 với mọi a  R. Dấu "=" xãy ra  a = 0 2.  a b a c b c        Với mọi a, b, c thuộc R  a > b thì a + c > b + c ( a, b, c  R) a + c > b + c  a > b ( a, b, c  R)  a > b . . . . a c b c a c bc       3.  a b a c b d c d           a b a c b d C d           0 a b c ac bd c d           1 1 . 0 a b ab a b         0 * n n a b a b n Z          2 1 2 1 * n n a b a b n Z           n n a b a b    (n  N*, n chẳn ) 4.  A B A B A B          A B B A B      với B  0  A B A B    dấu "=" xãy ra khi A.B  0  A B A B    dấu "=" xãy ra khi 0 A B   học 0 A B    2 2 A B A B    5. m > n và m; n nguyên dương với c > 0 với c < 0 Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 2 Nếu a > 1 thì a m > a n Nếu a = 1 thì a m = a n Nếu 0 < a < 1 thì a m < a n 6. Bất đẳng thức cô-si: Với a  0, b  0.Ta có: a + b 2 a b  dấu "=" xãy ra  a = b II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH: 1. Phương pháp thứ nhất: Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > 0 là một bất đẳng thức đúng. Từ đó suy ra A > B Ví dụ 1: Chứng minh a 4 + b 4  a 3 b + ab 3 ( a,b  R 0 Giải: a 4 + b 4  a 3 b + ab 3  a 4 + b 4 - a 3 b - ab 3  0  a 3 (a - b) + b 3 (b - a)  0  a 3 (a - b) - b 3 (a - b)  0  (a - b)(a 3 - b 3 )  0  (a - b) 2 (a 2 + ab + b 2 )  0  (a - b) 2 [(a + 2 b ) 2 + 2 3 4 b ]  0 (*) vì (a - b) 2  0 ; (a + 2 b ) 2 + 2 3 4 b  0 Nên bất đẳng thức (*) luôn luôn đúng Suy ra a 4 + b 4  a 3 b + ab 3 Ví dụ 2: Cho a  0 , b  0, c  0. Chứng minh rằng: a + b + c ab bc ca    Giải: a + b + c ab bc ca    0 a b c ab bc ac        2 2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ac        ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0 a b ab a c ac b c bc            ( a b  ) 2 + ( a c  ) 2 + ( b c  ) 2  0. Bất đẳng thức này luôn luôn đúng Suy ra a + b + c ab bc ca    2. Phương pháp thứ 2: Để chứng minh A > B, ta dùng phép biến đổi tương đương thành một bất đẳng thức đúng đã biết hoặc theo đề bài đã cho hoặc ngược lại xuất phát từ bất đẳng thức đúng và biến đổi thành bất đẳng thức cần chứng minh: Tổng quát: A > B  A 1 > B 1  . . . .  A n > B n Mà A n > B n là một bất đẳng thức đúng Suy ra A > B. Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 3 Ví dụ 1: Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 4 1 1 3 a b     Giải: Vì a + 1 > 0 và b + 1 > 0 nên: 1 1 4 1 1 3 a b      3(b + 1 + a + 1)  4(a + 1)(b + 1)  3(1 + 1 + 1)  4(ab + a + b + 1) ( vì a + b = 1)  9  4(ab + 2)  9  4ab + 8  1  4ab  (a + b) 2  4ab  (a - b) 2  0 đây là bất đẳng thức đúng Suy ra 1 1 4 1 1 3 a b     Ví dụ 2: Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: b + c  16abc Giải: Vì a, b, c > 0 nên: a + (b + c)  2 ( ) a b c  ( bất đẳng thức cô-si) 1 2 ( ) a b c    ( vì a + b + c = 1) 1   4a(b + c)  b + c  4a(b + c) 2 (1) Mà b + c 2 bc  ( bất đẳng thức cô-si) 2 ( ) 4 b c bc    (2) Từ (1) và (2) suy ra b + c  4a. 4bc  b + c  16abc 3. Phương pháp thứ 3: Để chứng minh A > B ta lần lượt chứng minh A > C > D > B. Từ đó suy ra A > B. Hoặc sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi từ giả thiết của đề bài thành điều phải chứng minh. Ví dụ 1: cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng: (a + b)( 1 1 a b  )  4 Giải: Vì a > 0 1 a  > 0 Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 4 Vì b > 0 1 b  > 0 Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số a và b; 1 a và 1 b ta có: a + b 2 ab  (1) 1 a + 1 b 1 1 2 . a b  (2) Vì 2 vế của bất đẳng thức (1) và (2) đề dương nên nhân vế theo vế ta được: (a + b)( 1 a + 1 b )  4 Ví dụ 2: Cho a, b là hai số thực bất kỳ và a + b = 1. Chứng minh rằng: a 3 + b 3 1 4  Giải: Ta có: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) = a 2 - ab + b 2 ( vì a + b = 1) 3 3 2( ) a b   = 2a 2 - 2ab + 2b 2 = a 2 + b 2 + (a - b) 2 mà a 2 + b 2 + (a - b) 2  a 2 + b 2  2(a 3 + b 3 )  a 2 + b 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b ab       = 2 ( ) 2 a b  ( vì a 2 + b 2  2ab )  2(a 3 + b 3 )  2 ( ) 2 a b  = 1 2  a 3 + b 3  1 4 Ta có thể chứng minh theo cách sau: a 3 + b 3 1 4   4(a 3 + b 3 )  1  4(a 3 + b 3 )  (a + b) 3 ( vì a + b = 1)  4a 3 + 4b 3 - a 3 - b 3 - 3a 2 b - 3ab 2  0  3a 3 - 3a 2 b + 3b 3 - 3ab 2  0  3a 2 (a - b) - 3b 2 (a - b)  0  3(a - b)(a 2 - b 2 )  0  3(a - b)(a - b)(a + b)  0  3(a - b) 2  0 ( đẳng thức đúng). vậy a 3 + b 3 1 4  Ví dụ 3: Chứng minh rằng a 4 + b 4 + c 4  abc(a + b + c) với a, b, c  R Giải: Vì a 4  0, b 4  0, c 4  0 Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: a 4 + b 4  2a 2 b 2 a 4 + c 4  2a 2 c 2 b 4 + c 4  2b 2 c 2 Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 5  2(a 4 + b 4 + c 4 )  2(a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 )  a 4 + b 4 + c 4  a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 (1) Tương tự ta có: a 2 b 2 + a 2 c 2  2(ab)(ac) a 2 b 2 + b 2 c 2  2(ab)(bc) a 2 c 2 + b 2 c 2  2(ac)(bc)  a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2  (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc)  a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2  abc(a + b + c) (2) Từ (1) và (2) suy ra a 4 + b 4 + c 4  abc(a + b + c) với a, b, c  R 4. Phương pháp thứ 4: Muốn chứng minh A > B (1) Ta giả sử A  B, biến đổi bất đẳng thức này để chỉ ra được điều mâu thuẩn với giả thiết hoặc mâu thuẩn với một bất đẳng thức đúng nào đó đã biết. Do đó điều giả sử là sai Suy ra bất đẳng thức (1) đúng Ví dụ : Cho x 2 + y 2  2. Chứng minh rằng x + y  2 Giải: Giả sử x + y > 2  x 2 + y 2 +2xy > 4 mà x 2 + y 2  2xy  2(x 2 + y 2 )  x 2 + y 2 + 2xy > 4  2(x 2 + y 2 ) > 4  x 2 + y 2 > 2. Điều này mâu thuẩn với giả thiết x 2 + y 2  2 Suy ra x + y > 2 5. Phương pháp thứ 5: ( phương pháp đổi biến ) Bước 1: Đặt ẩn phụ bởi một biểu thức có liên quan đến 2 vế ( hoặc 1 vế ) của bất đẳng thức. Bước 2: Chuyển bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức theo biến vừa đặt. Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức theo biến vừa đặt là bất đẳng thức đúng. Từ đó suy ra bất đẳng thức ban đầu đúng Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu a > 0; b > 0; c > 0 thì 3 2 a b c b c c a a b       (1) Giải: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z ( x, y, z)  a + b + c = 2 x y z   Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 6 2 y z x a     ; b = 2 z x y   ; c = 2 x y z   Khi đó: Vế trái = a b c b c c a a b      = 2 y z x x   + 2 z x y y   + 2 x y z z   Vế trái = 1 1 1 3 2 2 2 2 y x z x z y x y x z y z                        (*) Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên x > 0, y > 0, z > 0. Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: 2 . x y x y y x y x   = 2; tương tự: z x x z   2 và z y y z   2 Từ (*) suy ra: Vế trái = 1 1 1 3 2 2 2 2 y x z x z y x y x z y z                         1 + 1 + 1 + 3 2 = 3 2 Vậy 3 2 a b c b c c a a b       Ví dụ 2: Cho a > b > 0. Chứng minh rằng: a b a b    Giải: Đặt a = x 2 ; b = y 2 ( x > 0, y > 0) Vì a > b nên x > y. Do đó: Vế trái = a b  = x - y =      2 x y x y x y      Vế trái <    x y x y   = 2 2 x y   Vế trái < a b  Vậy a b a b    Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) a b b c c a a b b c c a          Giải: Đặt x = a b a b   ; y = b c b c   ; z = c a c a   Ta có: (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 2 2 2 a b c a b b c c a      (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 2 2 2 b c a a b b c c a      Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 7  (x + 1)(y + 1)(z + 1) = (x - 1)(y - 1)(z - 1)  xy + yz + zx = -1 ( bỏ ngoặc và chuyển vế ) Mà (x + y + z) 2  0  x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx)  0  x 2 + y 2 + z 2 + 2.(-1)  0  x 2 + y 2 + z 2  2  2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) a b b c c a a b b c c a          Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh 6.Phương pháp thứ 6: Bước 1: Xác định dạng tổng quát của các số hạng của bất đẳng thức Bước 2: Tìm bất đẳng thức tương ứng với dạng tổng quát đã tìm được bằng cách làm trội tử hoặc mẫu Bước 3: Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh và rút gọn. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 1 1 1 2 2 1 3 2 2008 2007     Giải: Dạng tổng quát các số hạng ở vế trái là : 1 1 ( *) ( 1) ( 1) ( 1) k k Z k k k k k k k             = 2 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k k                    = 1 1 1 1 1 1 k k k k k              Vì 1 1 1 k k   nên : 1 ( 1) k k  = 1 1 1 1 1 1 k k k k k              < 1 1 1 1 1 k k k k k             = hay 1 ( 1) k k  < 2 1 1 1 k k k k          = 1 1 2 1 k k          1 ( 1) k k  < 1 1 2 1 k k         . Do đó: 1 1 1 2 2 1 1 2         1 1 1 2 3 2 2 3         Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 8 1 1 1 2 2008 2007 2007 2008         Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 3 2 2008 2007 1 2 2 3 2007 2008                hay 1 1 1 1 1 2 2 1 3 2 2008 2007 1 2008           Vì 1 1 1 1 2008         nên: 1 1 1 2 2 1 3 2 2008 2007     Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh: 1 1 1 2 2 1 3 2 2008 2007     Ví dụ 2: Cho A = 1 1 1 1 1 2 3 2024    . Chứng minh rằng A > 88 Giải: A = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2004 1 1 2 2 2004 2004         Làm trội mẫu ta có: A 2 2 2 1 1 2 2 2004 2004        > 2 2 2 1 2 2 3 2004 2005        A > 1 1 1 2 ( ) 1 2 2 3 2004 2005       Đặt B = 1 1 1 1 2 2 3 2004 2005       Các số hạng của bất đẳng thức B có dạng: 1 1 n n   = 2 2 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n n n n n n              B = 1 1 1 1 2 2 3 2004 2005       = 2 1 3 2 2025 2024      = 2025 1 45 1 44      A = 1 1 1 1 1 2 3 2024    > 2.44. Vậy A > 88 III. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Trường THCS Bình Thành Biên soạn: Lê Công Thuận Tổ: Toán - Lý-Tin-C.Nghệ CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 9 1. Cho x và y là hai số dương. Chứng minh rằng: 1 1 4 x y x y    2. Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c. Chu vi bằng 2p. Chứng minh rằng: ( )( )( ) 8 abc p a p b p c     3. Chứng minh rằng nếu các số dương a, b, c có tổng a + b + c = 1 thì 1 1 1 9 a b c    4. Cho a > 0, b > 0. chứng minh rằng: a b a b b a    5. Cho x, y, z là ba số thực bất kỳ. Chứng minh bất đẳng thức: (x - y) 2 + (y - z) 2 + (z - x) 2  3(x 2 + y 2 + z 2 ) 6. Cho x, y khác 0. Chứng minh rằng: x 4 + y 4 6 6 2 2 x y y x   7. Cho a > 0, b > 0, c > 0> Chứng minh rằng: bc ca ab a b c a b c      8. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi x  R 2 2 2 2 1 x x x x      9. Chứng minh rằng: a 4 + b 4 + c 4 < 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. 10. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 1 3 5 2 1 1 2 4 6 2 2 1 n n n       . bởi một biểu thức có liên quan đến 2 vế ( hoặc 1 vế ) của bất đẳng thức. Bước 2: Chuyển bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức theo biến vừa đặt. Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức. phát từ bất đẳng thức đúng và biến đổi thành bất đẳng thức cần chứng minh: Tổng quát: A > B  A 1 > B 1  . . . .  A n > B n Mà A n > B n là một bất đẳng thức đúng.        Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh 6.Phương pháp thứ 6: Bước 1: Xác định dạng tổng quát của các số hạng của bất đẳng thức Bước 2: Tìm bất đẳng thức tương ứng với dạng