SKKN khai thác hai tính chất của hàm số trong chứng minh bất đẳng thức

Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH TRƯỜNG THPT HOA LƯ A SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC HAI TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc Học vị: Thạc sỹ khoa học Toán học Chức vụ: Tổ phó tổ Tốn – Tin Đơn vị: Trường THPT Hoa Lư A Ninh Bình, tháng năm 2014 Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 1/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giả thuyết khoa học Mục đích đề tài Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài Chương I Phương pháp tiếp tuyến 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Một số ví dụ minh họa 1.3 Bài tập tự luyện Chương II Khai thác tính chất hàm số y = 2.1 Kiến thức chuẩn bị …… 19 2.2 Một số ví dụ minh họa 2.3 Bài tập tự luyện KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 2/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bất đẳng thức vấn đề cổ điển toán học sơ cấp ngày phát triển, phần tốn sơ cấp hay, khó đa dạng phương pháp Bất đẳng thức thường xuất đề thi Đại học, Cao đẳng, đề thi học sinh giỏi thường gây khó khăn học sinh Hiện nay, chương trình phổ thơng, thời lượng cho phần bất đẳng thức cịn ít, phương pháp chứng minh bất đẳng thức lại vơ đa dạng Trong sách giáo khoa trình bày số cách chứng minh bản: lớp 10 có trình bày số phương pháp chứng minh bất đẳng thức (biến đổi tương đương, phản chứng, sử dụng bất đẳng thức cổ điển TBC – TBN, Bunhia…), lớp 11 giới thiệu phương pháp chứng minh qui nạp, đặc biệt chương trình 12 có ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Từ thực tiễn kinh nghiệm thân năm luyện thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi tìm tịi, tham khảo tổng hợp tài liệu Tốn tơi lựa chọn đề tài: “Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức” với mong muốn giúp đỡ em học sinh có thêm cách nhìn bất đẳng thức, qua rèn luyện thao tác tư duy, bồi dưỡng lực tự học từ góp phần nâng cao chất lượng dạy học Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng hệ thống tập cách hợp lý, lồng ghép vào câu hỏi, tình gợi vấn đề trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành hoạt động tư tương tự hóa, tổng qt hóa … tốn với trợ giúp thích hợp giúp em nắm bắt cách giải dạng tốn đồng thời góp phần bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh THPT Mục đích đề tài - Hướng dẫn học sinh khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức - Rèn luyện thao tác tư duy, bồi dưỡng lực tự học cho học sinh THPT Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu phạm vi nội dung mơn Tốn chương trình THPT Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, tổng hợp tài liệu có liên quan đến đề tài Nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành dự giờ, quan sát, lấy ý kiến học sinh, giáo viên thực trạng dạy học chủ đề trường phổ thông Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 3/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức Thực nghiệm sư phạm: - Dạy thử nghiệm lớp 10 chương chứng minh bất đẳng thức lớp 11 sau học xong ý nghĩa hình học đạo hàm đầu năm lớp 12 học ứng dụng đạo hàm - Đánh giá tính khả thi hiệu hệ thống tập minh họa cho phương pháp thông qua điều tra, kiểm tra thu hoạch học sinh - Đánh giá, thống kê kết học sinh thi học sinh giỏi theo năm học Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, phần nội dung đề tài gồm chương Chương I trình bày phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức Chương II khai thác tính chất hàm số y ax b chứng minh bất đẳng thức Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 4/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức Chương I PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN Trong khuôn khổ sáng kiến, đề cập đến ứng dụng nhỏ đạo hàm việc chứng minh bất đẳng thức, phương pháp tiếp tuyến Ý tưởng phương pháp tiếp tuyến sử dụng cơng thức phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số để tìm biểu thức trung gian đánh giá bất đẳng thức 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trước hết ta nhắc lại toán sau: Cho hàm số f t liên tục có đạo hàm D (giả sử có phương trình y D Khi đó, tiếp tuyến điểm t0 at t0 b ) nằm (nằm dưới) đồ thị hàm số f lân cận D0 D t0 hiển nhiên ta có f t a t t b hay f t a t t b , t D0 Từ tính chất ta thấy với t1 ,t2 , ,tn f t1 f t2 D0 f tn a t1 t t n nt nb Như vậy, bất đẳng thức có dạng “tổng hàm” vế trái bất đẳng thức có giả thiết t1 t t n nt0 với đẳng thức xảy tất biến ti t0 ta thử chứng minh phương pháp tiếp tuyến, nghĩa ta tìm phương trình tiếp tuyến y a t t b điểm t0 đồ thị hàm số y f t , sau tiến hành kiểm chứng BĐT f t a t t b hay f t a t t b , t D0 1.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho a , b , c , d thỏa mãn a b c d Chứng minh a 3a Lời giải + Từ giả thiết suy a , b , c , d 0; Dấu đẳng thức xảy a b c d + PTTT đồ thị hàm số + Ta có t 3t + Thay a,b,c, d vào t bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm  Nhận xét: Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 5/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức - Khi xét hiệu f t a t t0 b , ta thường tách nghiệm kép t t0 (điểm dấu đẳng thức xảy ra) - Khi trình bày lời giải, ta khơng cần viết giai đoạn tìm tiếp tuyến mà đưa ln bất đẳng thức đặc trưng cho toán cần chứng minh Tương tự, ta yêu cầu học sinh lên trình bày Ví dụ Ví dụ Ví dụ Cho a , b , c , d thỏa mãn a b c d Chứng minh + Từ giả thiết suy a,b,c, d 0;4 Dấu đẳng thức xảy a b c d + PTTT đồ thị hàm số f + Ta chứng minh (ln t2 6t t t 2t 0, t 0;4 ) + Thay a,b,c, d vào t bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm Ví dụ Cho a , b, c thỏa mãn a b c Chứng minh + Xét hàm f t + PTTT đồ thị hàm số f t + Ta chứng minh Ví dụ Cho a , b , c , d a3 b3 c3 d3 a2 b2 c2 d2 Lời giải + Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 6/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức 6a3 a2 6b b 26c c 26d d2 + PTTT đồ thị hàm số + Ta có 6t t + Thay a , b , c , d vào t bất đẳng thức (*), cộng vế theo vế ta có đpcm Qua Ví dụ 4, u cầu học sinh tương tự làm Ví dụ Ví dụ Cho a,b, c thỏa mãn a b c Chứng minh + Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 2a2 a2 + PTTT đồ thị hàm số f t + Ta chứng minh Thật  Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy việc xác định dấu biểu thức f t at t0 b D làm sau: - Dựa vào dấu bất đẳng thức cần chứng minh Dự đoán cách thay giá trị f t - at Phân tích f t t0 t D vào biểu thức b at t0 b t t0 h t xác định dấu h t D Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức a b c bc a + Ycbtf u a a u a a 0;1 f 0 f + Ta có f a a a2 f Ví dụ Cho a , b, c Cách + Không tính tổng quát, ta giả sử a a , b, c0 a + Khi đó, a b c abc a + Ta tìm GTNN hàm số f a a b c bc a a2 Cách Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng a2 b c abc a b c 2bc abc a a2 bc a 4 + Ycbtf ua Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 23/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức f 0 f f + Mà Do đó, f u 0, u 0; Ví dụ Cho a , b, c thỏa mãn a b c Chứng minh a b c3 6abc Lời giải Cách +Vì vai trị a ,b,c bình đẳng nên ta ln giả sử a a , b, c0 a + Khi đó, a b c abc a a3 b c 3bc b c 6abc a 3bc 3a + Xét hàm số f a Cách f 0; + B i ế n đ ổ i b ấ t đ ẳ n g t h ứ c c ầ n c h ứ n g m i n h v ề d n g a b 3 a b a b c a b c c 3ab c c 6abc ab 9c 3c 3c + Ycbtf u9 c u 3c + Ta có f c Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức Ví dụ Cho a , b , c , d 0;1 Chứng minh a b c d a b c d Lời giải + Ycbt f a 1 b c d a b c d b c d 0, a 0;1 , b, c , d 0;1 f f 0 , b , c , d 0;1 + Mà f b c d 0, b , c , d 0;1 + Ta cần chứng minh f b c d b c d 0, b , c , b c d + Ta xét toán: Chứng minh d 0;1 b c d 0, b , c , d 0;1 (1) Ta thấy toán (1) tương tự toán ban đầu, nhiên giảm bớt biến Do đó, tiếp tục cách làm ta giải triệt để toán ban đầu Ycbt (1) gb g0 g1 + c 1 d b c d c d 0, b 0;1 , c,d 0;1 , c , d 0;1 Mà g c d 0; g c d c d cd 0g b b ,c, d 0;1 Ta có điều phải chứng minh Một số tốn, khơng phải lúc có sẵn dạng hàm số y ax b Tuy nhiên, số trường hợp, nhờ biến đổi, đánh giá bất đẳng thức đại số thích hợp ta áp dụng tính chất hàm số Ví dụ Chứng minh b c c a a b Lời giải + Khơng tính tổng qt ta giả sử a a b c VT max a,b,c Khi a b c +Ta chứng minh f a c1 + b , c 0;1 , ta có abc a b c 0, a 0;1 , b, c 0;1 b Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 25/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức f f Ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho a , b , c 0;1 Chứng minh a b c a b b c c a Lời giải + Biến đổi bất đẳng thức dạng b a + Vì a 0;1 nên a a2 , suy b 1a2 c2a b2c1 b2 c2 + Ta chứng minh b b c2 1u f u f f c a b c b c2 b a c a b c b c2 a c a b c b c2 b c b c2 0, với 0, a , b , c 0;1 u a2 1, b , c 0;1 , b , c + Ta có f f Vậy f u 0;1 b2c b2 c2 b c b b2 0, u c c b2 b , c 0;1 b , c 0;1 0;1 (đpcm) Ví dụ Cho x , y , z x y z Chứng minh x y y z z x 27 Lời giải + K hơng tính tổng quát ta giả sử x x ; y ; z0 x Khi đó, x + Ycbtf x y y f f Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức + Ta có f y f Vì x 3 f y Vậy ta có điều phải chứng minh Ta biết, bất đẳng thức xuất nhiều tốn (có thể trực tiếp gián tiếp), số trường hợp định việc khai thác tính chất hàm số y ax b để chứng minh bất đẳng thức cịn hiệu việc giải lớp tốn Ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 1) Tìm m để hàm số y m cos x m x m 2) Tìm m để hàm số y x m sin x đồng biến 3m nghịch biến Lời giải 1) + Ycbty ' 4m sin x 2m 0, x g u m u m 0, x 1;1 + Do đồ thị hàm số y g u ,u1;1 2) Học sinh trình bày tương tự Ví dụ 10 Tìm x để bất phương trình x 2 x sin y cos y với y Lời giải + Đặt u sin y cos y u 2; + Ycbt Tìm x để f u 2x.u x2 0, u2; f f Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 11 Chứng minh với m x 2m 1x 3m , với x 4;1 Lời giải Ycbtx + 2m x 3m 0, x4;1 , m; f m + Vì f m f 2x 3m x x 0, m hàm bậc với hệ số góc 0, x 4;1 ; 2, x 0, x x x 0, x x 4;1 (1) 4;1 nên 4;1 (luôn đúng) Điều phải chứng minh 2.3 Bài tập tự luyện 1) Cho a , b , c ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh a b c 2 abc 2) Cho x , y , z x y z Chứng minh xy yz xz 9xyz 3) Cho x , y , z x y z Chứng minh x 4) Cho x , y , z thỏa mãn x y z Chứng minh x y z2 14 5) Cho x , y , z thỏa mãn x y z Chứng minh x y z3 6) Cho a , b , c thỏa mãn a b c Chứng minh a 7) Chứng minh với m x Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A y2 z2 6x3 b3 c3 y3 z3 15abc 3m x m , với x Page 28/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức KẾT LUẬN Sáng kiến có kết sau đây: Sáng kiến trình bày hai phương pháp chứng minh bất đẳng thức thơng qua khai thác hai tính chất hàm số Kết thực nghiệm cho thấy tính khả thi hiệu sáng kiến Việc tự giải hệ thống tập giúp học sinh hiểu rõ chất, phương pháp chứng minh bất đẳng thức Từ đó, học sinh tự xây dựng tốn tương tự, tốn Chính điều kích thích say mê, tìm tịi khám phá, nâng cao lực tự học học sinh Sáng kiến kết tinh kinh nghiệm kiểm chứng qua hoạt động giảng dạy lớp ôn bồi dưỡng HSG nhiều năm đạt kết đáng khích lệ Xây dựng tài liệu tham khảo bổ ích cho em học sinh ôn thi ôn thi học sinh giỏi THPT, bạn đồng nghiệp Tuy nhiên chắn nội dung sáng kiến không tránh khỏi khiếm khuyết định Rất mong nhận góp ý, phê bình thầy, bạn bè đồng nghiệp Xác nhận BGH Tổ trưởng chun mơn Ninh Bình, ngày tháng năm 2014 NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN Tống Thị Nguyệt Nguyễn Tử Phúc TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chun tốn Giải tích 12, NXBGD [2] Đồn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu chun tốn Bài tập Giải tích 12, NXBGD Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 29/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức [3] Trần Lưu Cường, Toán Olympic cho sinh viên, NXBGD 1998 [4] Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, NXB Tri Thức [5] Trần Phương, Tuyển chọn chuyên đề luyện thi Đại học mơn Tốn Hàm số, NXBĐHQGHN [6] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức [7] Tạp chí THTT, số 408, tháng 6/2011 [8] Tuyển tập 30 năm tạp chí THTT, NXBGD 1998 [9] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XV, NXBGD 2009 [10] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XVI, NXBGD 2010 [11] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XVII, NXBGD 2011 [12] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4, lần XVIII, NXBGD 2012 [13] Tài liệu mạng Internet qua vài trang web sau http://mathforum.org/dr.math/ www.mathlinks.ro/ http://diendantoanhoc.net/ www.toanthpt.net/ www.mathvn.com/ http://mathworld.wolfram.com/ http://violet.vn/ Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 30/30 ... tuyến chứng minh bất đẳng thức Chương II khai thác tính chất hàm số y ax b chứng minh bất đẳng thức Người thực hiện: Nguyễn Tử Phúc, THPT Hoa Lư A Page 4/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh. .. Lư A Page 12/30 Khai thác hai tính chất hàm số chứng minh bất đẳng thức + Khơng tính tổng qt ta giả sử a b c Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 2a + PTTT đồ thị hàm số + Xét 2t 6t +... minh bất đẳng thức Chương II KHAI THÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = AX + B TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Kiến thức chuẩn bị Cho hàm số y f x ax b Nếu xét đoạn thẳng có hai đầu mút hai điểm