TÊN ĐỀ TÀI: ”PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS”. GVHD : Th.s Nguyễn Ngọc Đức Sinh viên : Ngô Thúy Hằng Lớp : Sư phạm Toán 34 Khoa : GD THCS Bắc Ninh, 2015 Lời Cám Ơn Trong thời gian thực hiện, dưới sự hướng dẫn tận tình của giáo viên hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, em đã có được một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiêm túc để hoàn thành đề tài này. Kết quả thu hoạch được không chỉ là do nỗ lực cá nhân em mà còn có sự giúp đỡ của quý thầy cô và các bạn. Em xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc với các thầy giáo, cô giáo trong khoa GD THCS Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc Ninh luôn tạo điều kiện để em thực hiện đề tài này. Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn trân thành đến tới Th.s Nguyễn Ngọc Đức – Giảng viên Khoa GD THCS của Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc Ninh, cô đã hướng dẫn và luôn động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài. Do thời gian nghiên cứu đề tài chưa được nhiều, kinh nghiệm cũng như trình độ hiểu biết có hạn nên đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì thế, em kính mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn. Em xin trân thành cảm ơn Bắc Ninh, ngày 11 tháng 11 năm 2015 Sinh viên thực hiện Ngô Thúy Hằng PHỤ LỤC A. Mở Đầu 1. Lý do chọn đề tài……………………………….……………………………. 5 2. Mục đích nghiên cứu…………………………….…………………………....5 3. Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………….………………………...6 4. Phương pháp nghiên cứu…………………….………………………………..6 5. Cấu trúc tiểu luận………………………………….…………………………..6 B. Nội Dung CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lí luận………………………………………………………………...7 1.2. Cơ sở thực tiễn……………………………………………………………...7 CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử……………………………….8 2.2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử……………………..9 C. Kết Luận…………………………………………………….….....…..……25 Tài liệu tham khảo…………
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM BẮC NINH KHOA GD THCS ……….……… BÀI TIỂU LUẬN Môn: Đại số đại cương TÊN ĐỀ TÀI: ”PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THCS” GVHD : Th.s Nguyễn Ngọc Đức Sinh viên : Ngô Thúy Hằng Lớp : Sư phạm Toán 34 Khoa : GD THCS Bắc Ninh, 2015 Lời Cám Ơn Trong thời gian thực hiện, hướng dẫn tận tình giáo viên hướng dẫn phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi, em có q trình nghiên cứu, tìm hiểu học tập nghiêm túc để hoàn thành đề tài Kết thu hoạch không nỗ lực cá nhân em mà cịn có giúp đỡ quý thầy cô bạn Em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc với thầy giáo, cô giáo khoa GD THCS- Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc Ninh tạo điều kiện để em thực đề tài Em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn trân thành đến tới Th.s Nguyễn Ngọc Đức – Giảng viên Khoa GD THCS Trường Cao Đẳng Sư Phạm Bắc Ninh, cô hướng dẫn động viên em suốt trình nghiên cứu đề tài Do thời gian nghiên cứu đề tài chưa nhiều, kinh nghiệm trình độ hiểu biết có hạn nên đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Vì thế, em kính mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin trân thành cảm ơn! Bắc Ninh, ngày 11 tháng 11 năm 2015 Sinh viên thực Ngô Thúy Hằng PHỤ LỤC A Mở Đầu Lý chọn đề tài……………………………….…………………………… Mục đích nghiên cứu…………………………….………………………… Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………….……………………… Phương pháp nghiên cứu…………………….……………………………… Cấu trúc tiểu luận………………………………….………………………… B Nội Dung CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lí luận……………………………………………………………… 1.2 Cơ sở thực tiễn…………………………………………………………… CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử……………………………….8 2.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử…………………… C Kết Luận…………………………………………………….… … ……25 Tài liệu tham khảo………………………………………………… ………….26 Nhận xét giáo viên: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Cơ sở lý luận Tốn học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thông Là môn học khó, địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học, để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu công việc mà thân giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn thường xun phải làm Chương trình Tốn bậc THCS có nhiều chun đề, chun đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” chuyên đề giữ vai trị quan trọng, giúp cho học sinh hình thành kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực rút gọn biểu thức đại số khơng thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải phương trình bậc cao gặp nhiều khó khăn học sinh khơng thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện, tỉnh, thành phố, nhiều năm có tốn chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vậy, việc dạy học cho học sinh chun đề phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề mà thân quan tâm 1.2 Cơ sở thực tiễn Tình trạng học sinh khơng biết phân tích đa thức thành nhân tử, đa thức phức tạp em chưa biết cách phân tích Đây lý tơi chọn đề tài để áp dụng vào việc dạy học sau Với tất lý nêu trên, định chọn đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử THCS” Mục đích Đưa ưu khuyết điểm giải toán học sinh, để học sinh nắm chìa khóa phương pháp, biến đổi, phân tích, chứng hay tính tốn đơn giản giải dành cho học sinh tự luyện tập Giúp cho học sinh phát triển lực độc lập suy nghĩ tìm tịi, nhờ mà xây dựng khả tự học nghiên cứu Nhiệm vụ đề tài Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử Xây dựng hệ thống tập phân tích đa thức thành nhân tử với phương pháp giải tập thích hợp cho Thực nghiệm việc sử dụng phương pháp giải tập phân tích đa thức thành nhân tử giảng dạy sau Đề xuất số học kinh nghiệm trình nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau đây: Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp khảo sát thực tiễn Phương pháp quan sát Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo mục lục, tiểu luận trình bày chương: Chương 1: Cơ sở lí luận thực tiễn Chương 2: Phân tích đa thức thành nhân tử B NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN THỰC TIỄN 1.1 C¬ së lÝ luËn Khái niệm biểu thức đại số chương trình Tốn THCS nói chung, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử chương trình Tốn nói riêng chủ đề đậc biệt quan trọng chuỗi kiến thức Tốn Bởi vậy, nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học sinh vận dụng kiến thức giải cá dạng tốn khác như: Rút gọn phân thức, tìm tập xác định phân thức, giải phương trình tích, xét tính chia hết biểu thức, tính giá trị biểu thức,… Như vậy, nhiệm vụ giáo viên phải truyền đạt để học sinh nắm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, qua học sinh rèn luyện khả tư duy, khả tìm tịi khám phá kiến thức đồng thời củng cố kiến thức học như: phép nhân đơn thức, đa thức đẳng thức đáng nhớ,… để học sinh thấy mối quan hệ kiến thức cũ kiến thức 1.2 Cơ sở thực tiễn Phân tích đa thức thành nhân tử kiến thức quan trọng chương trình Tốn 8, kiến thức khó học sinh trung bình yếu Trong tơi chưa có nhiều kinh nghiệm chuyên đề này, nên tơi nghiên cứu để giúp học sinh trung bình yếu học tốt nâng cao kiến thức cho thân 8 CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHN T 2.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử 2.1.1 Định nghĩa + Nếu đa thức đợc viết dới dạng tích hai hay nhiều ®a thøc th× ta nãi r»ng ®a thøc ®· cho đợc phân tích thành nhân tử + Với đa thức (khác 0) ta biểu diễn thành tích nhân tử khác với đa thức khác Thật vậy: anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c( an a a xn + n −1 xn – + … + ) ( víi c ≠ c c c 0, c ≠ ) 2.1.2 Định nghĩa Giả sử P(x) P [ x ] đa thức có bậc lớn Ta nói P(x) bất khả quy trờng P phân tích đợc thành tích hai đa thức bậc khác nhỏ bậc P(x) Trờng hợp trái lại P(x) đợc gọi khả quy phân tích đợc P 2.1.3 Các định lý phân tích đa thức thành nhân tử 2.1.3.1 Định lý Mỗi đa thức f(x) trờng P phân tích đợc thành tích đa thức bất khả quy, phân tích sai khác thứ tự nhân tử nhân tử bậc 2.1.3.2 Định lý Trên trờng số thực R, đa thức bất khả quy bậc bậc hai với biệt thức < Vậy đa thức R có bậc lớn phân tích đợc thành tích đa thức bậc bậc hai với < 9 2.1.3.3 Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten ) Gi¶ sư f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an ≠ 0, lµ đa thức hệ số nguyên Nếu tồn số nguyên tố p cho p ớc an nhng p ớc hệ số lại p ớc số hạng tự a0 Thế đa thức f(x) bất khả quy Q 2.2 Mt số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Qua định lý trên, ta đà chứng tỏ đa thức phân tích đợc thành tích đa thức trờng số thực R Song mặt lí thuyết, thực hành khó khăn nhiều, đòi hỏi kĩ thuật, thói quen kĩ sơ cấp Dới qua ví dụ ta xem xét số phơng pháp thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử 2.2.1 Phơng pháp đặt nhân tử chung Phơng pháp vËn dơng trùc tiÕp tÝnh chÊt ph©n phèi cđa phÐp nhân phép cộng (theo chiều ngợc) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Gi¶i: Ta cã : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Gi¶i: Ta cã: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 10 B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Giải: Ta thấy hạng tử có nhân tử chung y 2z Do đó: B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bài : phân tích đa thức sau thành nh©n tư: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Gi¶i: Ta cã: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x 4a) Bài 5: phân tích cỏc đa thức sau thành nhân tử: a, Q = 3x3y 6x2y 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy b, A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) c, B = x3 + 3x2 + 2x + d, A = 6z3 + 3z2 + 2z +1 2.2.2 Phơng pháp nhóm hạng tử Phơng pháp vận dụng cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp phép cộng, để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung, sau vËn dơng tÝnh chÊt ph©n phèi cđa phÐp nh©n víi phép cộng Sau số ví dụ: Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Gi¶i: Ta cã: B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2)) = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) 11 = (y – z)(x y)(z x) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Gi¶i: Ta cã: A = 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = x6 + x4 + x2 + Gi¶: Ta cã: B = x6 + x4 + x2 + = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) Bµi 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = xm + + xm + – x - Gi¶i: Ta cã: A = xm + + xm + – x – = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 1) Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y) Giải: Khai triển hai số hạng cuối nhóm số hạng làm xuất thừa số chung y - z Ta cã: P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) = (y – z)((x2 + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z) NhËn xÐt: dÔ thÊy z – x = -((y – z) + (x – y) nªn: P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y) 12 =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y)) = (y – z) (x y)(x z) Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) – abc b, Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc c, A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc d, P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) 4z2x2(2x + z) 2.2.3 Phơng pháp dùng đẳng thức đáng nhớ Phơng pháp dùng đẳng thức để đa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác Các đẳng thức thờng dùng là: A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau số tập cụ thể: Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2y2 + y4 Gi¶i: Ta cã: A = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy) Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 13 Gi¶i: Ta cã: B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 ) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab+ b2) +(a2 +ab+ b2 )(a2- ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1)) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) Bµi 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Gi¶i: Ta cã: M = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) Bài 15: Phân tích cỏc đa thức sau thành nhân tử a, A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 b, A = (x + y)3 +(x - y)3 c, B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3 d, A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3) e, P = x8 – 28 f, Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) 2.2.4 Phơng pháp thực phép chia: Nếu a nghiệm đa thức f(x) có ph©n tÝch 14 f(x) = (x – a).g(x) với g(x) đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x a) Sau lại phân tích tiếp g(x) Sau số ví dụ cụ thể: Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + Gi¶i: DƠ thÊy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + = Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc: f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x) DÔ thÊy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cã g(-2) = Nªn chia g(x) cho (x + 2), ta đợc: g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + Ta cã: h(-2) = Nªn chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x2 + 1) VËy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1) = (x + 2)3(x2 + 1) Khi thùc hiÖn phÐp chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta cã thĨ sư dụng sơ đồ Hoocne để thực phép chia đợc nhanh h¬n VÝ dơ chia f(x) cho (x + 2) nh sau: -2 1 13 14 12 VËy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + cho (x + 2) nh sau: -2 1 4 15 VËy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2) Chia x3 + 2x2 + 2x + cho (x + 2) nh sau: -2 1 2 VËy x3 + 2x2 + 2x + = (x + 2)(x2 + 1) VËy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1) Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36 Giải: Tìm nghiệm nguyên đa thức (nÕu cã) c¸c íc cđa 36: ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± ; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36 Ta thÊy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = Ta cã: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2) = (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18) Lại phân tích Q = x3 4x2 3x + 18 thành nhân tử Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = Nên chia Q cho (x + 2), ta đợc : Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9) = (x + 2)(x – 3)2 VËy: P = (x + 2)2(x 3)2 2.2.5 Phơng pháp đặt ẩn phụ Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biÕn) ta cã thĨ ®a mét ®a thøc víi Èn số cồng kềnh, phức tạp đa thức có biến mới, mà đa thức dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử Sau số toán dùng phơng pháp đặt ẩn phụ Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12 16 Giải: Đặt: y = x2 + x , đa thức ®· cho trë thµnh: A = y2 + 4y – 12 = y2 – 2y + 6y – 12 = y(y – 2) + 6(y – 2) = (y – 2)(y + 6) (1) Thay : y = x2 + x vào (1) ta đợc: A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x 6) Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Gi¶i: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12 Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức đà cho trở thành: A = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – 3y + 4y – 12 = y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4) (*) Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta đợc: A = (x2 + x + - 3)(x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x12 3x6 + Giải: B = x12 3x6 + Đặt y = x6 (y ) Đa thức đà cho trë thµnh: B = y2 – 3y + = y2 – 2y + – y = (y – 1)2 – y 17 = (y – - y )(y + + y ) (*) Thay: y = x6 vào (*) đợc: B = (x6 - x )( y + + x ) = (x6 – – x3)(x6 + + x3) Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x3 - x2 + 3x + - Giải: Đặt: y = x A = (y + , ta cã x = y + ) - (y + 2 ) + 3(y + 2) + - = y3 + 3y2 + 3y.2 + 2 - (y2 + 2 y + 2) + 3(y + 2) + - = y3 - 3y – = y3 - y – 2y – = y(y2 – 1) – 2(y + 1) = y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(y(y – 1) – 2) = (y + 1)(y2 – y – 2) = (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) Thay: y = x A = (x - (*) vào (*), đợc: 2 + 1) (x - - 2) Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Gi¶i: Ta cã: M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 Đặt: y = (x2 + 8x + 7) Đa thức đà cho trở thµnh: M = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 18 = y2 + 3y + 5y + 15 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay: y = (x2 + 8x + 7), ta đợc: M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Nhận xét: Từ lời giải toán ta giải toán tổng quát sau: phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m NÕu a + d = b + c Ta biến đổi A thành: A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1) B»ng cách biến đổi tơng tự nh 36, ta đa ®a thøc (1) vỊ ®a thøc bËc hai vµ tõ phân tích đợc đa thức A thành tích nhân tử Bài 22: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Gi¶i: Gi¶ sư x ≠ , ta viết đa thức dới dạng: A = x2((x2 + §Ỉt y = x - 1 )+7) ) + 6( x x x 1 th× x2 + = y2 + x x A = x2(y2 + + 6y + 7) Do ®ã: = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) Thay y = x - , ta đợc x A = x( x − ) + 3x x = (x2 + 3x – 1)2 19 Dạng phân tích với x = Nhận xét: Từ lời giải tập này, ta giải tập tổng quát sau: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = a0x2n + a1xn – +…….+ an – 1xn – +anxn + an – 1xn – + … + a1x + a0 Bằng cách đa xn làm nhân tử A, hay : A = xn(a0xn + a1xn – + …….+ an – 1x + an + + a n −1 a +… + n1−1 x x a0 xn Sau ®ã ®Ỉt y = x + x ta sÏ phân tích đợc A thành nhân tử cách dễ dàng nh tập Bài 23: Phân tích cỏc đa thức sau thành nhân tử: a, A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 b, B = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 c, P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z x)3 2.2.6 Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng) Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ phơng pháp thêm, bớt hạng tử đa thức để làm xuất đa thức đa đẳng thức đáng nhớ Sau số ví dụ: Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 6x + Giải: Ta giải toán số cách nh sau: Cách 1: A = x2 – 6x + = x2 – x – 5x + = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) 20 Cách 2: A = x2 6x + Đặt f(x) = x2 – 6x + DƠ thÊy tỉng c¸c hƯ sè cđa f(x) b»ng hay f(x) = nªn f(x) chia hÕt cho (x- 1) Thùc hiƯn phép chia f(x) cho (x 1) đợc thơng (x – 5) Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chú ý: Để phân tích đa thức ax + bx + c (c 0) phơng pháp tách số hạng ta làm nh sau: Bớc 1: lấy tích a.c = t Bớc 2: phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất trờng hợp) t = pi.qi Bc 3: tìm cặp nhân tử p i, qi mét cỈp pa, qa cho: pa + qa = b Bíc 4: viÕt ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bớc 5: từ nhóm số hạng đa nhân tủ chung dấu ngoặc Bài 25: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x2 - Gi¶i: B = x4 + 2x2 - = x4 – x2+ 3x2 – = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Bài 26: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 + x2 + Giải: A = x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 21 = (x2 + - x)(x2 + + x) Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = 5x2 + 6xy + y2 Giải: F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) Bµi 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, P = x4 + x2y2 + y4 b, A = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 c, P = 4x4 + 81 d, Q = 3x3 – 7x2 + 17x - e, A = x3 – x2 – x - f, B = x3 + x2 – x + g, C = x3 6x2 x + 30 2.2.7 Phơng pháp hệ số bất định Phơng pháp dựa vào định nghÜa hai ®a thøc b»ng nhau, ta cã thĨ tÝnh đợc hệ số biểu diễn đòi hỏi cách giải hệ phơng trình sơ cấp Sau số ví dụ: Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 6x3 + 12x2 – 14x + Gi¶i: BiĨu diƠn ®a thøc díi d¹ng : x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3= x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd §ång hai đa thức, ta đợc hệ điều kiện: 22 a + c = −16 ac + b + d = 12 ad + bc = −14 bd = XÐt bd = víi b, d ∈ Z , b ∈ {1;3 } víi b = 3; d = Hệ điều kiện trở thành: a + c = −6 ac = a + 3c = −14 Suy 2c = - 14 + = - 8, Do ®ã c = - , a = -2 VËy M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 – 2x + 3)(x2 4x + 1) Bài 30: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Giải: Biểu diễn đa thức dới dạng: A = ( ax + by + c )( dx + ey + g ) = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey + ( bg + ce )y + cg = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 §ång nhÊt hai ®a thøc, ta ®ỵc hƯ ®iỊu kiƯn: ad = ae +bd = 22 ag +cd =11 be = bg +ce = 37 cg =10 ⇒ a =3 b =1 c =5 d =1 e =7 g =2 VËy A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 = ( 3x + y + )( x + 7y + ) Bài 31: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư B = x4 – 8x + 63 23 Giải: Ta biểu diễn B dới dạng: B = x4 – 8x + 63 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hai đa thức ta đợc hƯ ®iỊu kiƯn: a + c = ac + b + d = ad + bc = −8 bd = 63 ⇔ a b c d =− =7 =4 =9 VËy: B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) 2.2.8 Phơng pháp xét giá trị riêng Đây phơng pháp khó, nhng áp dụng cách linh hoạt phân tích đa thức thành nhân tử nhanh Trong phơng pháp ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số lại Sau số ví dụ: Bài 32: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x2(y z) + y2(z – x) + z2(x – y) Gi¶i: Thư thay x bëi y th× P = y2(y – z) + y2(z – y) = Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z x P không đổi ( ta nói đa thức P hoán vị vòng quanh x y → z → x Do ®ã nÕu P chøa thõa sè x – y th× cịng chøa thõa sè y – z, z – x VËy P cã d¹ng: k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thÊy k phải số, P có bậc tập hợp biến x, y, z, tÝch (x – y)(y – z)(z – x) còng cã bậc ba tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y z) + y2(z x) + z2(x – y) 24 = k(x – y)(y – z)(z – x) ®óng víi mäi x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = (*), ta đợc: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) ⇔ = -2k ⇔ k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Chú ý: (*) giá trị x, y, z chọn tuỳ ý cần chúng đôi khác để (x y)(y z)(z x) Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư P = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z) Gi¶i: Thay x = y th× P = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta thấy đa thức P hoán vị vßng quanh x → y → z → x Do ®ã nÕu P chøa thõa sè x – y th× còng chøa thõa sè y – z, z – x VËy P cã d¹ng: k(x – y)(y – z)(z – x) Mặt khác P đa thức bậc ba đối víi x, y, z, nªn phÐp chia A cho (x y)(y z)(z x) thơng sè k, nghÜa lµ: P = k(x – y)(y – z)(z – x) với k lµ h»ng sè Cho : x = 1; y = -1; z = ta ®ỵc : 12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k 2.(-1).(-1) ⇔ -2 = 2k ⇔ k = -1 VËy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Bài 34: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c a) 25 Giải: Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, A không thay đổi Thay a=b vµo A ta cã: A = + bc(b – c) + cb(c – b) = Do ®ã A (a – b) Suy A (b – c) vµ A (c – a) Tõ ®ã: A (a – b)(b – c)(c – a) Mặt khác A đa thức bậc ba a, b, c, nªn phÐp chia A cho (a b)(b c)(c a) thơng số k, nghÜa lµ: A = k(a – b)(b – c)(c – a) Cho a = 1; b = 0; c = ta đợc = -2k hay k = - A = -1(a – b)(b – c)(c – a) = (a – b)(b – c)(a – c) Bµi 35: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 y3) Giải: Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh x, y, z P không thay đổi Thay z = y vµo P ta cã: P = + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = Do ®ã: P (y – z) Suy P (z – x) P (x y) Từ : P (y – z)(z – x)(z – x) MỈt khác P đa thức bậc ba x, y, z nªn phÐp chia P cho (y – z)(z x)(z x)đợc thơng số k, nghÜa lµ: P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho: x = 2; y = 1; z = 0, ta đợc: 2.13 + 1.(-2)3 + = k.1.(-2) ⇔ - = - 2k 26 ⇔ k=3 VËy P = 3(y – z)(z – x)(z – x) Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x) Bµi 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = a(b +c - a)2 + b(c +a - b)2 + c(a +b - c)2 + (a + b - c)(b +c a)(c +a - b) Giải: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, M không thay đổi Thay a = vµo M ta cã: M = + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = Do ®ã M a Suy M b vµ M c Từ đó: M abc Mặt khác M đa thức bậc ba a, b, c nên phép chia M cho abc thơng h»ng sè k, nghÜa lµ: M = k.abc Cho a = b = c = 1, ta đợc : 1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 ⇔ k=4 VËy M = 4.abc Hay: a(b +c - a)2 + b(c +a - b)2 + c(a + b - c) 2+ (a +b - c)(b +c a)(c + a - b) = 4abc C KẾT LUẬN 27 Qua chuyên đề nghiên cứu : “ phân tích đa thức thành nhân tử chương trình tốn THCS” tơi có hiểu biết sâu sắc dạng phân tích đa thức đa thức thành nhân tử Bản thân sinh viên trường Cao Đẳng Sư phạm Bắc Ninh cố gắng rèn luyện tri thức , nắm vững phương pháp dạy học để sau trở thành người giáo viên dạy tốt nắm vững kĩ tri thức Hi vọng qua kiến thức nghiên cứu giúp cho số bạn học sinh, sinh viên tiếp cận dạng toán chia hết cách dề dàng, chủ động, phân loại số dạng tập từ đến phức tạp Từ đó, rèn luyện thêm trí thơng minh sáng tạo, tự tìm tịi cách giải cách học dạng tốn nói riêng dạng tốn khác nói chung Qua chun để tơi tự nhận thấy cịn phải học tập bổ sung nhiều vốn tri thức thân bao la kiến thức Toán học Đồng thời tự hứa với thân cố gắng học tập rèn luyện thật tốt Bài tiểu luận tơi chắn cịn có nhiều thiếu sót song góp phần vào việc hồn thiện kĩ giải toán chia hết cho người học tơi mong góp ý thầy cô mong thầy cô bạn giúp đỡ Cám ơn theo dõi! Bắc Ninh, ngày 22 tháng 11 năm 2015 Người viết Ngô Thúy Hằng 28 Tài liệu tham khảo Chuyên đề bồi dưỡng Đại số (Nguyễn Đức Tấn) Nguồn Internet Sách giáo khoa Toán ... tiễn…………………………………………………………… CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 2.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử? ??…………………………….8 2.2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử? ??………………… C Kết Luận…………………………………………………….…... biết phân tích đa thức thành nhân tử, đa thức phức tạp em chưa biết cách phân tích Đây lý chọn đề tài để áp dụng vào việc dạy học sau Với tất lý nêu trên, định chọn đề tài ? ?Phân tích đa thức thành. .. kiến thức cho thân 8 CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THNH NHN T 2.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử 2.1.1 Định nghĩa + Nếu đa thức đợc viết dới dạng tích hai hay nhiều đa thức ta nói đa thức