Casiotuduy ứng dụng tính có hướng để tính diện tích mặt phẳng

Trần Lê Quyền (Tổng hợp trình bày LATEX) Ứng dụng tích có hướng vào mặt phẳng Oxy −→ trà giảm cân ←− Liên hệ: Thầy Quyền - Quận 6, TP HCM - 0122 667 8435 Page: Casiotuduy - https://www.facebook.com/casiotuduy Mua trà giảm cân Học Viện Quân Y - 0979 118 113 (free ship) Tháng 12 năm 2016 GV Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương → − − Trong không gian Oxyz , cho vecto → a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ), tích có → − → − → − → − hướng hai vecto a , b vecto [ a ; b ] xác định sau: → − − [→ a; b]= a1 a2 a3 a1 a2 a3 ; ; b1 b2 b3 b1 b2 b3 Một ứng dụng tích có hướng cho phép ta tính diện tích tam giác ABC mà tọa độ điểm A, B, C xác định, −→ −→ SABC = [AB; AC] − − Có thể xem vectơ → u = (A, B) , → v = (C, D) mặt phẳng Oxy − vectơ không gian Oxyz cách viết lại chúng dạng → u = (A, B; 0) → − v = (C, D; 0), tích có hướng − − [→ u ;→ v ] = (0; 0; AD − BC) −→ −−→ − − Như vậy, điểm A, B, C mặt phẳng Oxy mà AB = → u , CD = → v ta có SABC = |AD − BC| (∗) Trong tài liệu này, sử dụng (*) công thức hữu dụng cho phép tính nhanh diện tích tam giác mặt phẳng Oxy Ví dụ Cho đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + có hai điểm cực trị A, B Tính diện tích tam giác OAB A √ B C D Giải Tìm A(0; 4), B(2; 0), tức A = 0, B = 4, C = 2, D = Áp dụng (*), diện tích SOAB = |0.0 − 4.2| = Đáp án: B Ví dụ Gọi A, B, C ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = 2x4 − 4x2 + Tính diện tích tam giác ABC A B C D −→ −→ Giải Các điểm cực trị A(0; 1), B(1; −1); C(−1; −1), ta có AB = (1; −2); AC = (−1; −2), diện tích ∆ABC cho SABC = |1.(−2) − (−2).(−1)| = 2 Đáp án: B Để ý rằng, A ∈ Oy, B, C ba điểm cực trị đồ thị hàm bậc trùng https://www.facebook.com/casiotuduy 0122 667 8435 GV Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương phương ta có SABC = |xB (yB − yA )| Ta dùng nhận xét cho ví dụ Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 −2(1−m2 )x2 +m+1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất? A m = B m = − C m = √ D m = √ Giải Ta có A(0; m + 1), B( − m2 ; 2m2 + m − m4 ), C(− − m2 ; 2m2 + m − m4 ) với m ∈ (−1; 1) Theo SABC = − m2 (2m2 − m4 − 1) đạt giá trị lớn m = Đáp án: C Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 3(1 − m)x + + 3m có hai cực trị, đồng thời hai điểm cực trị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích A m = C m = ∨ m = B m = D m = Giải Ta cần y = 3x2 − 6x + 3(1 − m) > ⇒ m > (loại B) Cách nhanh thử giá trị > m Ứng với giá trị đó, ta solve phương trình 3x3 − 6x + 3(1 − m) = theo biến x, gán nghiệm vào A, C Gán y(A), y(C) tương ứng vào B, D Sau xét hiệu AD − BC , kết −8 nhận m tương ứng Cụ thể, với m = ta có AD − BC ∼ 16, 97 (loại), chọn D Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m − có ba điểm cực trị thuộc đường tròn có bán kính −1 + A m = ∨ m = √ −1 ± C m = √ √ D m = ∨ m = Giải Ta có A(0; m − 1), B Sử dụng công thức S = −1 − B m = ∨ m = √ √ m; −m2 + m − , C − m; −m2 + m − , (m > 0) abc , ta có 4R √ √ √ m m + m4 m m= 4.1 solve phương trình (hoặc thử đáp án) chọn B Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính nhỏ nhất? https://www.facebook.com/casiotuduy 0122 667 8435 GV Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương A √ 2 B √ 2 C √ D − √ Giải Ta có y = 4x(x2 − m) nên phải có m > (loại D), điểm cực trị √ √ A(0; 2m + m4 ), B( m; m4 − m2 + 2m) C(− m; m4 − m2 + 2m) Bán kính cho abc = R= 4S √ √ m + m4 m + m3 √ = 2m m.m2 Thay giá trị m > đáp án thấy R nhỏ m = √ , chọn B Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 −2(m−3)x2 +m−1 có ba điểm cực trị A, B, C lập thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp √ √ A m = ∨ m = + 2 C m = B m = + 2 D Kết khác √ Giải Các điểm cực trị A(0; m − 1), B( m − 3; −m2 + 7m − 10), C , bán kính nội tiếp cho r = S , hay p 1= √ | m − 3.(−m2 + 6m − 9)| √ (m − 3) + (m − 3)4 + m − solve phương trình thử đáp án chọn C Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + m có điểm cực trị A, B cho góc AOB = 60◦ , O gốc tọa độ −12 + A m = √ −12 − B m = 12 √ 12 −12 ± D m = ∨ m = C m = √ 12 Giải Tìm A(0; m), B(−2; + m), ta có SAOB = OA.OB sin 60◦ hay 1√ |2m| = m2 √ + (4 + m)2 thay đáp án, chọn D Bài tập Bài Biết đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 − m + có điểm cực trị Tìm tất giá trị m để điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32 A ±4 B ±2 https://www.facebook.com/casiotuduy C 4 D 0122 667 8435 GV Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương Bài Gọi A, B điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + Tính diện tích tam giác OBC A √ B C D Bài Gọi A, B điểm cực trị đồ thị hàm số y = (x + 1)2 (2 − x) Tính diện tích tam giác ABC với C(1; −3) A B C D Đáp án khác Bài Gọi A, B, C ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = 2x4 − 4x2 + Tính diện tích tam giác ABC A B C D Bài Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 1 A m = √ C m = −1 B m = D m = Bài Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 + 22mx2 + m2 + m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 120◦ 3 A m = ∨ m = − √ B m = ∨ m = √ C m = D m = − √ 3 Bài Tìm tất giá trị tham số m đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp √ −1 − A m = ∨ m = √ −1 + C m = −1 ∨ m = √ −1 + B m = ∨ m = √ −1 − D m = −1 ∨ m = Bài Tìm tất giá trị tham số m đồ thị hàm số y = x4 + (3m + 1)x2 − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy độ dài cạnh bên A m = B m = − C m = D m = − Bài Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + 2m2 − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m = 1 C m = √ B m = ±1 https://www.facebook.com/casiotuduy D m = ± √ 0122 667 8435 GV Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương Bài 10 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m − có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính nhỏ A √ 2 2 C √ B √ D − √ Bài 11 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m − 1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp A m = B m = √ https://www.facebook.com/casiotuduy C m = D m = −1 0122 667 8435 ... = 2 Đáp án: B Để ý rằng, A ∈ Oy, B, C ba điểm cực trị đồ thị hàm bậc trùng https://www.facebook.com/casiotuduy 0122 667 8435 GV Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương phương ta có SABC = |xB (yB − yA... điểm cực trị tạo thành tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính nhỏ nhất? https://www.facebook.com/casiotuduy 0122 667 8435 GV Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương A √ 2 B √ 2 C √ D − √ Giải Ta có... tất giá trị m để điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích 32 A ±4 B ±2 https://www.facebook.com/casiotuduy C 4 D 0122 667 8435 GV Trần Lê Quyền - Bùi Hùng Vương Bài Gọi A, B điểm cực trị đồ